精品解析：福建泉州科技中学等校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中考试 高三年 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ） A. 0 B. ±1 C. D. 5. 两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 记为等比数列的前项和，若，则的公比为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ） A. 8 B. 144 C. 120 D. 280 8. 已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则的面积为（ ） A. 75 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最大值为3 C. 函数在区间上有2个极值点 D. 函数在点处的切线方程为 11. 若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，则______． 13. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为______. 14. 如图，正方体的棱长为，点P在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式 （2）设，求数列的前2n项和． 16. 如图，在四棱台中，平面，，，． （1）求证：； （2）若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17. 在中，已知角、、的对边分别为、、，且. （1）求角大小； （2）求证：； （3）设为的内心，求的最小值. 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 19. 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （3）直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试 高三年 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及复数的几何意义可解. 【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用相等向量和相反向量的定义，结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且，所以“且”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为，根据已知条件求出，再利用勾股定理可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为， 由，得，又， 所以，解得，； 所以圆锥的高为. 故选：A. 4. 已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ） A. 0 B. ±1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆的方程得出圆心坐标和半径；再根据题意分析得出圆心O到直线：的距离d为1；最后利用点到直线距离公式等式求解即可. 【详解】圆的圆心坐标是，半径为2. 因为圆上恰有三个点到直线距离等于1， 所以圆心O到直线：的距离d为1，即，得. 故选：C. 5. 两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，根据可得，设与的夹角为，利用即可求解. 【详解】由题意可得，，且， 所以. 设与的夹角为，， 则, 所以. 故选；D. 6. 记为等比数列的前项和，若，则的公比为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比. 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 7. 有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ） A. 8 B. 144 C. 120 D. 280 【答案】D 【解析】 【分析】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按指定顺序放入，再列式计算即得. 【详解】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入， 相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有种方法， 由分步计数乘法原理得击破气球的不同顺序的种数为. 故选：D 8. 已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则的面积为（ ） A. 75 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线定义得到，再利用导数得到切点弦所在直线方程，再求出直线的长和点P到直线的距离，最后利用三角形面积公式即可． 【详解】当F，Q，P三点共线时，取得最小值，且， 所以，解得，所以． 由，得． 设，，则曲线在处的切线方程为， 即．因为切线过点，所以． 同理可得，所以直线的方程为，即． 联立方程组，得， ，则． 因为直线过焦点F，所以， 点P到直线的距离， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是利用抛物线定义和三点共线得到p，再然后是利用导数得到切点弦所在直线方程，最后再求出和点P到直线的距离． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断. 【详解】根据二项式定理,的通项公式为, 对于A,常数项为,故A正确; 对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误; 对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确; 对于D,令,各项的系数之和为,故D错误. 故选:AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最大值为3 C. 函数在区间上有2个极值点 D. 函数在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中的几何意义，结合图象，求得的解析式，再结合正弦函数的性质及导数的几何意义、直线的点斜式方程，逐项分析即可. 【详解】由图可知，，，即， 又有，因此，，即， 又有，因此，，综上，. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，，，故的最大值为2，B错误； 对于C，令，则，， 当时，，当时，，当时，（舍），当时，（舍）， 故函数在区间上有2个极值点，一个是，一个是，C正确； 对于D，，，斜率， 根据直线的点斜式方程，函数在点处的切线方程为，即，故D正确； 故选：ACD. 11. 若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由性质的定义结合函数的单调性以及奇偶性即可判断BD，举出反例即可判断AC. 【详解】由性质的定义可知，当时，， 且时，. 对于A，因为的定义域为，值域为， 当时，必有， 所以函数不具有性质，故A错误； 对于B，因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 且，即为奇函数， 设，即，则， 所以； 设，即，则， 所以，所以函数具有性质，故B正确； 对于C，取，，即， 则， 所以函数不具有性质，故C错误； 对于D，因为，所以在上单调递增， 且， 所以是奇函数， 设，即，则， 所以； 设，即，则， 所以，所以函数具有性质，故D正确； 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】将题干中的两个式子均平方，再相加即可求出. 【详解】由题意可得，， ， 两式相加得，，即. 故答案为： 13. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为______. 【答案】 ①. 0.38 ②. 0.9 【解析】 【分析】分为只有甲合格，只有乙合格，只有丙合格，3种情况，根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出3种情况的概率，相加即可求得第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；根据已知可求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，因为概率相同，可以把它们看成3次重复试验发生次的概率，然后根据二项分布期望公式直接求解． 【详解】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，， 设表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则 ； 经过前后两次烧制后，甲合格的概率为，乙合格的概率为，丙合格的概率为， 则每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为， 所以，所以． 故答案为：0.38；0.9． 14. 如图，正方体的棱长为，点P在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，先确定点P的轨迹是平面内以点A为圆心，圆心角为且半径为1的圆弧及其内部，连接交于点O，进而求出点P到的最小距离，最后应用棱锥的体积公式求最小体积. 【详解】连接，因为平面，平面，所以， 所以，， 所以，点P的轨迹是平面内以点A为圆心，圆心角为且半径为1的圆弧及其内部， 连接交于点O， 因为四边形为正方形，所以O为的中点，且， 因为正方形的边长为，则，所以， 设点P到的距离为d，则， 所以，面积的最小值为， 故，即三棱锥体积的最小值为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式 （2）设，求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和． 【小问1详解】 由已知，有， 解得或（舍掉） 所以； 【小问2详解】 因为，所以 所以 ． 16. 如图，在四棱台中，平面，，，． （1）求证：； （2）若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：由题可知，，，， 由余弦定理得， 则，所以. 由平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，而平面，则有. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证平面，便可证得. （2）先由外接球表面积求出，建立空间直角坐标系，利用空间向量分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求得二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，两两垂直，则三棱锥的外接球 半径， 则外接球的表面积为，解得. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则有，，，，， 所以，. 设平面的法向量， 则有，取，则得. 由题可知平面，则取平面法向量. 则， 则平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17. 在中，已知角、、的对边分别为、、，且. （1）求角大小； （2）求证：； （3）设为的内心，求的最小值. 【答案】（1） （2） 由（1）知，，则有， 又，当且仅当时等号成立， 所以，解得，所以，当且仅当取到等号， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合三角形的面积公式、余弦定理即可求解； （2）由结合基本不等式即可求证； （3）设的内切圆的半径为，由等面积法可得，进而得到，进而化简得到，结合（2）中结论，即可得到，再根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由， 则， 根据余弦定理得，即， 由，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设的内切圆的半径为， 由等面积法可得，故， 所以，故 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，不等式， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即， 此时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，分类讨论求出函数的单调区间. （3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 时，，时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （3）直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 【答案】（1） （2） 设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证. （3） 设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为 ，， 联立：，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立①②得，， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由双曲线的性质，列出关于的方程，计算即可求得方程； （2）设，，，利用点差法可证得结论； （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，与双曲线方程联立方程组，结合韦达定理代入计算，即可表示出直线的方程，以及直线的方程，然后联立两直线方程，即可表示出的坐标，即可证明. 【小问1详解】 由已知得 解得， 故双曲线C的标准方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $