精品解析：福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

厦门市同安实验中学2024-2025学年（上）高三数学期中考试试卷 班级______姓名______座号______ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知直线的倾斜角为60°，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系，列出方程，求得答案. 【详解】由题意可知 ， 故直线斜率为 ，故有， 故选：B 2. 已知为钝角，向量，若，则 （ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示列式计算即得. 【详解】由，得，则，即， 由为钝角，得0，解得，所以. 故选：C 3. 已知等差数列的公差 ，若，且成等比数列，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质及等差数列通项公式列方程求公差. 【详解】由成等比数列，得，且， 即，解得或（舍去）. 故选：B 4. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积. 【详解】因为底面半径，所以底面周长， 又圆锥母线长，所以圆锥侧面积． 故选：A． 5. 公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质，结合基本不等式，求解即可. 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理及直角三角形边界关系求得正确答案. 【详解】在中，， 在 中，，， 所以， 由正弦定理， 得， 在中，. 所以估算黄鹤楼的高度CD为. 故选：C 7. 如图，二面角等于135°， ， 是棱上两点， ， 分别在半平面， 内， ，，且 ，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由 ，，得，， 又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：C. 8. 在中，，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设另一焦点为D，则在中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知求得a，再利用求得AD，最后在中根据勾股定理求得CD，得到椭圆半焦距，进一步求得离心率. 【详解】解：设另一焦点为D， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，∴. 在中焦距， 则， ∴. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用.要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系是关键，是中档题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 最大值为2 D. 其图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据辅助角公式化简函数，然后根据选项，依次判断函数的性质. 【详解】，所以函数是偶函数，故A正确； 时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误； 函数的最大值是，故C错误； 当时，，所以函数图象关于点对称，故D正确. 故选：AD 10. 已知数列的前项和为，且，记的前项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，，；B选项，变形得到，得到是等比数列，B错误；C选项，由选项B可得，分组求和即可；D选项，求出，，结合等比数列求和公式得到. 【详解】对于A，，得，选项A正确； B选项，由，得，即， 即，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列，选项B错误； C选项，由选项B可得，即， 所以 ，选项C正确； D选项，，则， 所以， 即，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若，采用累加法； （2）若，采用累乘法； （3）若，可利用构造进行求解； 11. 在棱长为2的正方体中，点在侧面（包含边界）内运动，点 为正方形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在，使得平面 B. 若点在上，则为定值 C. 若，则点的轨迹为线段 D. 若为侧面的中心，则二面角正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】当为中点时，平面，可得选项A错误；利用线面平行转化三棱锥体积可得选项B正确；根据分析可得点在两平面的交线上，结合题目条件可知选项C正确；求两平面的法向量，利用二面角的向量求法可知选项D正确. 【详解】由题意得， 为中点. 以 为原点，分别以所在直线为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， ，，. A.由题意得，， ∴，∴， ∵平面，平面，， ∴平面， 当为中点时，，平面，选项A错误. B.由题意得，， ∵平面，平面，∴平面， 若点在上，则点到平面的距离等于点 到平面的距离， ∴，故为定值，选项B正确. C.由题意得，， ∴，∴， ∵平面，平面，， ∴平面， 由平面，得，平面，故点在平面与平面的交线上，即点在直线上， 由点在侧面（包含边界）内运动，故点的轨迹为线段，选项C正确. D.由题意得，，平面的法向量为 ∴，， 设平面 的法向量为，则，可取， 设二面角的平面角为，则， ∴，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数（ 为虚数单位），若是纯虚数，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，然后根据纯虚数的概念求解出的值. 【详解】因为为纯虚数， 所以，所以， 故答案为：. 13. 在等比数列中是函数的极值点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，得到是的两个实数根，所以，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点， 所以是的两个实数根，可得， 又因为数列为等比数列，可得同号，且， 所以，所以. 14. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则______，______. 【答案】 ①. 1 ②. -2026 【解析】 【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为偶函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果. 【详解】由得，，， ∴，故是周期为的函数. ∵为偶函数，∴，∴， 令，得， 令，得. 在中，令，得， ∴. 令，得，故， 令，得，故. 由函数的周期性得， . 故答案为：1；-2026. 【点睛】方法点睛： ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤若，则函数的周期. 四、解答题（第15题13分，第16题、17题15分，第18题、19题17分） 15. 如图，已知在 中，内角所对的边分别为 ，且． （1）求 的值； （2）若为边 上一点，且 ，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，从而可得，即，即可求解； （2）利用余弦定理及向量的数量积求出，利用平面向量基本定理表示出，再平方求解． 【小问1详解】 由题意知，，． 又 ，故，而，则． 【小问2详解】 在 中， ， 故． 又，所以，， 所以， 故 故． 16. 如图，在四棱锥 中，平面 平面， ， ， ， ， ，. （1）求证： 平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为平面 平面， ，平面 平面 ， 平面， 可得 平面 ，则 ， 又因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得 平面 ，可证 ，结合 可证线面垂直； （2）作辅助线，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 的中点，连结 ，， 因为 ，所以 ， 且 平面 ，平面 平面，平面 平面 ， 所以 平面，且 平面，所以 ， 又因为 ，所以 ， 如图建立空间直角坐标系 ， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令 ，则 ，可得， 则， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和为，等差数列的前项和为. （1）求和的通项公式; （2）设求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系求出，利用等差数列的基本量求解； （2）可分组求和，分别依据等差数列求和与错位相减求和. 【小问1详解】 解：因为，① 所以当时，， 又 ，所以 . 当 时，，② ①式减去②式得， 所以. 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 设等差数列的公差为 ， 因为，可得，解得， 所以，即的通项公式为. 【小问2详解】 解：因为可得 则数列的前2n项和， 令， ， 则， 所以， ， . 18. 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，以 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 ，直线 与椭圆 交于 两点（ 不与椭圆的顶点重合）. （1）求 的标准方程； （2）若以 为直径的圆经过原点，求证： 直线 与圆 相切； （3）若动直线 过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴的交点为 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据面积和离心率得和，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据 ，得，代入化简可得 ，根据点到直线距离公式即可求证， （3）联立直线与椭圆方程得到韦达定理，根据三点共线可得 ，即 ，化简可得 为定点，即可利用三角形面积关系得表达式，结合基本不等式求解最值. 【小问1详解】 设椭圆 的长半轴长为 ，短半轴长为 ，半焦距为 . 由已知， ，即 ，又 ， 由 可得: ， 因为 的焦点在 轴上，所以 的标准方程是 【小问2详解】 当直线有斜率时，设直线 的方程为 ， 以 为直径的圆经过原点，即 ， 设 ，所以 ， 联立方程 ，得 ，即 ， ， 化简得 ， 设 到直线 距离为 ，则 ， 所以直线 与圆 相切. 当直线无斜率时，设直线方程为，与椭圆方程联立可得，， 由于 为直径的圆经过原点，故， 故圆 的圆心到直线的距离，故直线与圆相切. 综上，直线 与圆 相切. 【小问3详解】 设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，得 ， 即 . 设点 ， 则 . 因为点 关于 轴对称，则 . 设点 ， 因为 三点共线，则 ，即 ， 即 ，即 ，得 所以点 为定点， ， . 令 ，则 . 当且仅当 时取等号，所以 的面积的最大值为 . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 已知函数，其中 是实数. （1）若 ，求的单调区间； （2）若函数不具有单调性，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求 的最小值. 【答案】（1）在单调递增，单调递减 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解； （2）由题意在定义域内有异号零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理列不等式求解即可； （3）易知当时，，再证能成立，即证：存在，使得恒成立，构造函数，利用导数研究其最值即可求解. 【小问1详解】 当 时，，则， 令，解得，令，解得 ， 所以在单调递增，单调递减； 【小问2详解】 函数的图象是连续的，且不具有单调性， 在定义域内有正有负（有异号零点）， 记，则在为负，为正， 在单调递减，单调递增， 故存在，使得， 只需，即. 【小问3详解】 对任意都成立，当时，， 下证：能成立，即证：存在，使得恒成立， 记，故（必要性）， 而，则，解得， 只需证：恒成立， ，由（2）知，其在单调递减，单调递增， 在为正，在为负，在为负， 在单调递增，单调递减，，得证； 综上，的最小值为0. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2024-2025学年（上）高三数学期中考试试卷 班级______姓名______座号______ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知直线的倾斜角为60°，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为钝角，向量，若，则 （ ） A. B. C. D. 或 3. 已知等差数列的公差 ，若，且成等比数列，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角等于135°，，是棱上两点，， 分别在半平面， 内， ，，且 ，，则（ ） A. B. C. D. 4 8. 在中，，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 最大值为2 D. 其图象关于点对称 10. 已知数列的前项和为，且，记的前项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，点在侧面（包含边界）内运动，点 为正方形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在，使得平面 B. 若点在上，则为定值 C. 若，则点的轨迹为线段 D. 若为侧面的中心，则二面角正弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数（ 为虚数单位），若是纯虚数，则实数________． 13. 在等比数列中是函数的极值点，则______. 14. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则______，______. 四、解答题（第15题13分，第16题、17题15分，第18题、19题17分） 15. 如图，已知在中，内角所对的边分别为 ，且． （1）求的值； （2）若为边 上一点，且 ，求 的长． 16. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ，. （1）求证： 平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，等差数列的前项和为. （1）求和的通项公式; （2）设求数列的前项和. 18. 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，以 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 ，直线 与椭圆 交于 两点（ 不与椭圆的顶点重合）. （1）求 的标准方程； （2）若以 为直径的圆经过原点，求证： 直线 与圆 相切； （3）若动直线 过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴的交点为 ，求 面积的最大值. 19. 已知函数，其中 是实数. （1）若 ，求的单调区间； （2）若函数不具有单调性，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求 的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $