精品解析：福建省泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中”四校联盟 2025-2026学年第一学期期中考高三数学试题 （考试时间：120分钟总分：150分） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算计算，再求得复数的共轭复数即可求解. 【详解】由题意有：， 所以， 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 3. 已知，，，则等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 则. 故选：A. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出，代入两角差的余弦公式即可. 【详解】由题意可得， 即，， 故. 故选：A. 5. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出4是函数的一个周期，利用周期性和奇偶性即可求得答案. 【详解】因是定义在上的奇函数，则， 又，则， 故，即，则， 故4是函数的一个周期， 于是. 故选：A. 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列及等比数列的下标和性质求值，再代入结合诱导公式及两角差的正弦公式求解. 【详解】因为数列是等比数列，且，所以， 因为数列是等差数列，且，所以， 则 . 故选：D. 7. 如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由正八边形的性质可知为的中点， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 所以的最大值为. 故选：D. 8. 函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可. 【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则， 所以时，，所以在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以与及共有四个交点， 所以，解得， 即可得正实数的取值范围. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确， 故选：BCD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 满足的的取值范围为 C. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来，得到的图象关于对称 D. 函数与的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像先求，进而得，即可判断AB，利用函数图像的伸缩变换即可判断C，计算是否等于即可判断D. 【详解】由题意有：，，，即，又， 当时，，所以，故A正确； 由，所以，所以，解得， 所以满足的的取值范围为，故B正确； 将函数图象上所有点的横坐标变为原来，得到， 又，所以不关于对称，故C错误； 又， 所以函数与的图象关于直线对称，故D正确； 故选：ABD. 11. 若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义数列为“调和数列”，即数列是等差数列，利用等差数列通项公式即可判断A，利用等差数列的性质有，进而得即可判断B，利用等差数列的性质有，结合基本不等式即可判断C，由得，令利用导数研究单调性得，令，得，利用等差数列前项求和公式即可判断D. 【详解】对于A，由，所以，所以， 所以是以为公差，首项为的等差数列， 所以，故A正确； 对于B，由数列是等差数列，所以，所以，即，故B错误； 对于C，由数列是等差数列，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，当时，所以，所以， 令，所以， 令，解得，由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即在恒成立， 令，所以，即， 所以，故D正确； 故选：ACD. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推公式求出周期，利用周期即可求解. 【详解】由， 所以，， 所以数列是以4为周期的周期数列， 又，所以， 故答案为：. 13. 设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论即可. 【详解】，则，解得， 若的真子集的个数是1，则中只含有一个元素， 因为为正实数，则，， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 14. 设实数，若对于任意，不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将给定的不等式作等价变形，按分段讨论，并借助导数求出最值作答. 【详解】，，， 当时，，而，即恒成立， 因此，恒成立，当且仅当时，恒成立， 令，求导得，即函数在上单调递增， 因此，， 令，求导得，当时，，当时， 即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，则 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，把恒成立问题转化为求解函数的最值是解答的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数的极小值大于0，求k的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数的增区间是，减区间是； 当时，函数的增区间是，，减区间是. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再分段求解导数值为正、为负的不等式作答. （2）结合（1）求出函数的极大值，列式求解作答. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得：， 当时，当时，，当时，，因此在上递增，在上递减， 当时，当或时，，当时，，因此在，上递增，在上递减， 所以，当时，函数的增区间是，减区间是； 当时，函数的增区间是，，减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，函数在处取得极大值，无极小值， 当时，函数在处取得极小值，依题意，，解得或，则， 所以k的取值范围是. 【点睛】方法点睛：可导函数y＝f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同． 16. 已知向量其中，函数，且最小正周期为． （1）求的对称中心及其在区间上的最大值与最小值； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若直线与函数图象在轴右侧从左到右的30个交点的横坐标依次为，求的值． 【答案】（1）的对称中心为；， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算和三角恒等变换化简得，由条件求得，即得，结合正弦函数的对称性和单调性即可求得答案； （2）根据图象的平移伸缩变换求出，利用函数与方程的思想，先求出方程在一个周期上的解，再根据题意判断30个交点包含的周期数，利用正弦函数的对称性，即可求得答案. 【小问1详解】 ， 依题，，解得，则， 由，可得，即得函数的对称中心为； 因，则，当时，即时，，当时，即时，. 【小问2详解】 将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数， 由可得（*）， 根据正弦函数的图象可得或，，解得或， 因的周期为，当时，方程（*）的解为， 则直线与函数图象在轴右侧从左到右的30个交点中包含15个周期， 且，，， 则. 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 而，则或， 即或（舍去），故． （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得，进一步即可证明； （2）由题意首先求得的取值范围，进一步将目标式子转换为只含有的式子即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 18. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，求证：． 【答案】（1） （2） （3） ， ， ， . 结论得证. 【解析】 【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出； （2）利用错位相减法求出； （3）利用放缩法和裂项相消法求和可得答案. 【小问1详解】 由题意， ， 又是和的等比中项，得， 又，解得， ； 【小问2详解】 由（1），设， 则， 将以上两式相减得 ， ； 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，， 若证，只需证， 所以， 因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为， 所以存在时，使得，即，即， 当，当，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以，当时，； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，先求，再求导计算，利用导数的几何意义即可求切线方程，进而求解； （2）当时，若证，只需证，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可得证； （3）求导得，分和两种情况讨论，当时，利用导数研究单调性求出最小值，令，结合零点存在定理即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，所以， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意有：， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以在上最多一个零点，不满足题意； 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为有两个零点，所以， 令，所以， 所以在单调递增，又，所以， 当时，， 由零点存在定理，在上有1个零点， 设正整数满足， 所以，， 所以， 又， 由零点存在定理，在有1个零点， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中”四校联盟 2025-2026学年第一学期期中考高三数学试题 （考试时间：120分钟总分：150分） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知，，，则等于（ ）. A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 满足的的取值范围为 C. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来，得到的图象关于对称 D. 函数与的图象关于直线对称 11. 若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若，则 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，则___________． 13. 设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______. 14. 设实数，若对于任意，不等式恒成立，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数的极小值大于0，求k的取值范围． 16. 已知向量其中，函数，且最小正周期为． （1）求的对称中心及其在区间上的最大值与最小值； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若直线与函数图象在轴右侧从左到右的30个交点的横坐标依次为，求的值． 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 18. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，求证：． 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）若有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $