3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第1课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性的概念、判断及单调区间求法，通过函数图象情境提问导入新课，引导学生观察变化特点，衔接函数概念与图象的前期知识，以问题链为支架从直观到符号语言逐步构建定义。 其亮点在于采用问题驱动的探究式教学，通过追问“任意x1,x2”等培养逻辑推理（数学思维），结合物理玻意耳定律实例体现数学应用（数学语言），即时训练辨析概念强化理解。帮助学生提升数形结合能力，教师可直接使用分层题型与系统探究流程。

第三章 函数的概念与性质 3.2函数的基本性质 3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 学 习 目 标 1 2 3 理解函数单调性、最值的概念，能利用定义判断简单函数单调性，会求函数的单调区间与最值. 经历从图像直观到代数符号证明的过程，体会数形结合思想，提升逻辑推理能力. 感受数学严谨性，体会数形转化的魅力，养成严谨论证、主动探究的学习习惯. 新课引入 情境1：请看这两幅图象,思考下列问题： （1）它们是函数图象吗？ （2）通过下列图象，你能得到什么信息？ （3）你能说一说这些图象的变化特点吗？ 探究一：函数的单调性 新知探究 思考1：我们如何去研究它的变化特点、性质呢？能否严格给出定义？ 从情境我们知道，先画出函数图象，通过观察分析图象的特征，可以得到函数的一些性质．观察下图中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？ 图象从左到右保持递增 图象从左到右有增有减 图象关于轴对称 图象关于原点成中心对称 单调性 定性:图形语言 定量:符号语言 奇偶性 探究一：函数的单调性 新知探究 问题1：你能画出下列函数图像，并描述函数有何变化趋势吗？ （1）； （2） 探究一：函数的单调性 新知探究 问题2：我们以为例研究，要如何用“符号语言”描述函数在 上随的增大而增大？ 追问1：函数的表示方法有？ 追问2：我们已经用图像法研究过了函数的变化趋势，那我们可否再从列表法、解析法的角度去研究函数的变化趋势呢？ 图象法，列表法，解析式法 探究一：函数的单调性 新知探究 问题3：在下表中任取一些自变量的值，比较函数值大小，你能发现什么结论？ …           … …           … 追问1：列表法能把内的所有的数都比较完吗？ 追问2：如何才能把内的所有的数都比较完呢？ 列表法的局限性：只能实现“有限”个自变量和函数值大小的比较；不能把所有自变量和函数值大小的比较完。 数字表示 字母表示 探究一：函数的单调性 新知探究   因为我们这里要研究图像的变化趋势，是函数值的比较的过程，所以需要借助两个字母. 从而得到 数字表示 字母表示 当时，有 追问3：这里对，有什么要求？只取上的某些，满足时，有，是否可以？你能举例说明吗？ 必须是区间上的任意的，。只有某些满足不可以。 探究一：函数的单调性 新知探究 追问4：你能用符号语言描述上随的增大而增大这一规律了吗？ ,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递增 追问5：对任一函数而言，如果满足：在定义域的某个区间上任意取的两个数，当时，都有，能说明函数是上升的吗？ 追问6：由这个结论你能尝试写出单调递增的定义吗? 探究一：函数的单调性 新知探究 一般的,设函数的定义域为,区间 如果,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 如果函数在区间上单调递增，那么就说函数在这一区间 具有（严格的）单调性，区间叫做的单调递增区间。 问题4：你能类比函数单调递增的定义，描述函数单调递减的定义吗？ 探究一：函数的单调性 新知探究 一般的,设函数的定义域为,区间 如果,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 如果函数在区间上单调递减，那么就说函数在这一区间 具有（严格的）单调性，区间叫做的单调递减区间。 即时训练 辨析1：函数各有怎样的单调性？ 5 在区间上单调递减 在区间上单调递增 在区间上单调递增 在区间上单调递减 探究一：函数的单调性 新知探究 辨析2： 已知,则单调递增，这个说法对吗？ 已知,都有, 则单调递增，这个说法对吗？ 已知,当时，都有 ,则单调递增,这个说法对吗？ 函数在区间 和都是增函数，则函数在区间 上一定也是增函数吗？ 探究一：函数的单调性 新知探究   单调递增 单调递减 定义 图示 , 当时, 都有), 则称函数在区间上单调递减, 区间为的单调递减区间. 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称是增(减)函数. 单调性是局部性质 ②若在区间上单调递增(减)，则称在区间具有严格的单调性. 常数函数不具有严格的单调性. 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间， , 当时, 都有 则称函数在区间上单调递增, 区间为的单调递增区间. 即时训练 辨析3.反比例函数在整个定义域上是减函数吗？ 解：在上单调递减，在上也单调递减， 但在整个定义域内不具备统一的单调性， 所以，反比例函数 不是减函数。 的单调区间： 和 注意：反比例函数的两个单调递减区间要用和或“，”连接，不能写成并集形式，其他函数也是类似的。 典例精讲 例1：根据定义，研究函数的单调性. 解：函数的定义域是.且，则 由，得，所以 ①当时，. 于是，即. 这时，是增函数. ②当时，. 于是，即. 这时，是减函数. 典例精讲 例2：物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量气体，当其体积减小时，压强将增大.试对此用函数的单调性证明. 解：且，则 由，得；由，得. 又，于是，即. 所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数. 也就是说，当体积减小时，压强将增大. 探究一：函数的单调性 新知探究 追问：你能由例1、例2的解题过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数在区间上的单调性的基本步骤吗？ 用定义证明函数的单调性的步骤: 取值：设，是某个区间上任意两个值，且; 作差：作差; 变形：分解为若干可以直接确定符号的式子，一般化为积或商的形式 ; 定号：确定 的符号； 结论：确定函数的增减性. 典例精讲 例3：根据定义证明函数在区间上单调递增. 证明：且，有 由，得，.所以，. 又由，得. 于是，即. 所以，函数在区间上单调递增. 即时训练 题型1 图象法判断函数的单调性 1、下图是定义在区间上的函数，根据函数图象说出函数的单调区间.并说明在该区间上的单调性.   【答案】：在和上单调递减， 在 和上单调递增 2、函数的图象如图所示，其增区间是________． 【答案】： 3、函数的单调递增区间是________． 【答案】： 即时训练 题型1 图象法判断函数的单调性 4、画出函数 的图象，并指出函数的单调区间. 解：函数图象如图所示： 由图知，函数的增区间为： 函数的减区间为： 5、画出函数的图象，并指出函数的单调区间. 解：函数图象如图所示： 由图知，函数的增区间为： 函数的减区间为： 即时训练 题型2 利用定义判断或证明函数的单调性 1、根据定义，研究函数的单调性. 解：函数的定义域是.且，则 由，得，所以 ①当时，. 于是，即. 这时，是增函数. ②当时，. 于是，即. 这时，是减函数. 即时训练 题型2 利用定义判断或证明函数的单调性 2、根据定义证明函数在区间上单调递减. 证明：且，有 . 由，得，.所以，. 又由，得. 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减. 即时训练 题型3 根据单调性求参数取值范围 1、已知函数. (1)若上是增函数，求的范围. (2)若的单调区间是，求的范围. 解：(1)∵， ∴ 由二次函数的性质知，在上单调递增， 所以有，即 (2)∵， ∴ 由二次函数的性质知，在上单调递增， 若的单调区间是，则有，即 函数单调性的应用 技巧点拨 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围； (2)若一个函数在区间上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．　 即时训练 题型3 根据单调性求参数取值范围 2、若是上的减函数，则的取值范围为______________，的取值范围为________． 3、已知是定义在上增函数，且.求的取值范围。 解：∵ 是定义在上的增函数，且 ∴， 解得 ∴ 的取值范围为， 即时训练 题型3 根据单调性求参数取值范围 4、已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为_______________。 【答案】 5、 已知函数对任意 都有,且 ，则实数的取值范围是 _______________。 【答案】 课堂小结 感谢聆听! $