专题九 考点一 直线与圆&考点二 椭圆-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训试卷

n1·n2 所以cos(:)=n.n=-2 设二面角A一BD一C的平面角为a,则sina= Vi-o 所以二面角A-BD-C的正弦值为5 2 专题九解析几何 考点一 1.BCDA.△C,C,Cg为边长是2 的正三角形，设C,C:的中点为 D,连接CD,则圆C,Cg与CD 相切于点D,且关于C1D对称， 显然当1与C1D平行时，1均不 可能与三圆都相交（如图1），即k ≠一日放A结误B滨条件等 图1 价于d1=d2=d,两点到一条直线距离相等，要么是直 线平行于两点连线，要么是直线过两点的中点，连接 CC,C,C,由d1=d得，直线平行于CC或者过 CC中点，再由d=d得，直线平行于CCg或者过 CC中点，综合来看，有且仅有如图2所示的三种可能. fx 2 C -10 图2 B项正确.D.当b=0时，由点到直线距离公式，得d1= d2= 1,d3= 2 √+1 ,则51=5= √R+1 √+1 名(11>2，+十，=+2三，令 2+门 √+1 V-2=,则十+5，=4+22-4+2 √R+1 √+3 2+军令+1=，到++6=什用 t2+3 =2十，追。剩=，甲=兰即1=罗时 取最大值22D项正确，C,根据D选项的分析，b门 0h=平时如图3直线m所示十十>3，音6 0,k=√2时，为临界情况，此时直线（即直线n)与圆C3 和切，此时5，十s,十5，=45，比3小，那么直线n绕原点 3 O逆时针旋转到直线m这一过程中，必然存在满足s1十 52十s=3的1条直线，同理，与该直线关于y轴对称的 直线也满足51十2十5=3.类似地，另外2个圆的湘同 1 位置也各有2条直线满足s1十52十5=3.故满足s1十s2 十s=3的直线至少有6条，C正确. Ay 3-C3 1 C C2 -1 0 1 图3 2.BC将圆A的方程标准化：(x-3)2+(y-4)=25-k, A选项：圆心A的坐标为(3,4).A错误；B选项：当⊙A 与x轴相切时，半径R4=|yA|=4→R4=16→25-k= 16→k=9.B正确；C选项：当k=一11时，R=36→R =6.圆O的半径R。=1,圆心距d=1OA=√3+4= 5.因为RA一R。|=|6一1|=5=d,故两圆内切.C正确： D选项：两圆相交时，公共弦所在直线方程为两圆方程直 接相减：(x2+y2-1)-(x2+y2-6x-8y十k)=0,即6x 十8y一k一1=0，D错误. 3.B与直线y=√3x+2距离为1的直线为l1:y=√3x十4 和l2:y=√3x,圆心M(0,一2)到l1的距离为d1= 二243，到1，的距离为d=二21.你 √/1+(3)2 √/1+(3)2 题可知圆与l1,1:的交点总个数为2，据草图可知圆应与 l,相交，与L1相离，故1<r<3,选B. 4.C因为a,b,c成等差数列，所以a一2b十c=0,直线a.x十by 十c=0恒过P(1,一2)，当PC⊥AB时，AB取得最小值，此 时|PC=1,lAB引=2/5-|PC2=4. 5.D圆x2+y2-2x+6y=0的标准方程为(x-1)2+(y +3)=10,圆心坐标为(1，一3)，因此圆心到直线x一y 11+3+2 +2=0的距离d= =3√2 1+(-1)T 6.B由题可知，圆的方程可化为(x一2)2+ y y=5,故圆心B(2,0),A(0,-2),如图， 设切，点为M,N,AB=2√2，BM=√5，故 AM=3,sin∠MBA=AM-VE ΓAB2√2 Cos∠MBA= 2'sin a=sin(-a)=sinNBM= sn2∠MBA=2XE×E-压.故选B. 2√22√2 4 .D由=5，则名g十1叶五 a2 解得2=2， 渐近线y=一2x与圆无法相切， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x, 则圆心(2,3)到渐近线的距离4=2X2-31=5 √2+15 所以孩长1B1=2V广一==5.故 5 选D. 8.解析：由题知圆心为(2,2)，半径为2，又直线与圆相切， 则圆心(2,2)到直线Q.x十y=0的距离等于半径，即 12a+2=2,解得a=0. √+1 答案：0 9.解析：由x一my十1=0恒过定点（一1,0）， 又C1.05aw=2×2x1ye= 5 所以=。代入圆的方程得=昌 或=一 ，所以B(得，号)或B(传-)或 B(日号)或B(日-号)代入直线方程解得 m=士2或m=士2.（任写一个即可) 答案：士2或士2（任写一个即可） 10.解析：由题知圆(x十2)2十y=3和曲线y=2px关于 x轴对称，不妨设切线方程为y=x,k>0, 所以21 ,解得 √1+k =3,解得k=,由=x ly=2px x=0 3 0y=01 2√3b y 3 所以OP|= =2=8, 3 解得p=6.当k=一√3时，同理可得. 答案：6 11.解析：设点A(0,0),B(4,0),C(一1,1)，D(4,2),圆过其 中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点 为圆心，圆心到任一点的距离为半径 (1)若圆过A、B、C三点，则圆心在直线x=2,设圆心坐 标为(2，a),则4十a2=9十(a-1)2→a=3,r=√4+a =√3， 所以圆的方程为(x一2)2十(y一3)=13 (2)若圆过A、B、D三点，同(1)设圆心坐标为(2，a),则 4十a=4+(a-2)2→a=1,r=√J4+a=V5,所以圆的 方程为(x-2)+(y-1)=5 (3)若圆过A、C、D三，点，则线段AC的中垂线方程为y =x十1，线段AD的中垂线方程为y=-2x十5，联立得 x3 √+ 7 9 3 y=3 所以国的方整为()广+（哥）广-要 (4)若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为 y=1,线段BC中垂线方程为y=5.x一7，联立得 -号 所以国的方程为(-号)+心-1=器 答案：(x-2)+(y-3)=13或(x-2)+(y-1)=5 或(-专)+(-子)-或(-)+y-1 169 25 11 12.解析：由圆心为(0,2)，半径为1的圆与直线x=my相 切可得2”=1，解得m=5. √1+m 3 答案：号 13.解析：由图可得，两圆外切，且均与直线1：x=一1相 切，另垃两国圆心的直线1的方程为y=青，可得1与 1,交点为P(-1一专）由切线定理得，两国另一公切 线1，过，点P,设1，：y十号=k(x十1)，由点到直线距离 3 4 公式可得 √+1 =1,解得k= 24,即4y=24x ,另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线1，与 25 1垂直，解得13：y= 3 4+ 41 y 2 3-2gx3,45678x 2 答案：x=-1,或y=-或y=-子+（答对 7 其中之一即可) 14.解析：因为=，3，所以AB关于直线y=4的对称 2 直线为(3-a)x-2y+2a=0,所以3(a-3)+4+2a √/4+(3-a) <1,整理可得12a-2u+6<0,解得3<u≤号 答案子号引 考点二 实战集训1 1,A设P点坐标为(x',y'),中点M坐标为(x,y),则x =x,y'=2y,代入圆的方程为x2+4y2=16,化为标准方 为后+-10>0 2A由超意易得6=。百，4=停，样臣 a 士部得a=2做该A y=x+m 3.C将直线y=x十m与椭圆联立 3+y1消去y可 得4.x2+6m.x十3m2-3=0,则△=36m2-4×4(3m2-3) >0,解得一2<m<2, 由题意可知S。=25,,设搭圆后十y=1的左、 右焦点分别为F1,F,到直线y=x十m的距离分别为 8 dd,所以有号AB·d=2×号·AB·d,即d =2d2,将d1= -√2+m 2 d,=5十m代入上式，解得m=-或-32（舍去）. 3 故选C. 4.B设∠RPR,=20.0<0<受， ∠F1PFg 所以SaF,=6tan 2 2=b'tan 0, 由cos∠F,PE:=cos29=os9-sim0=1-tang cos0+sin01+tanθ 号解得：am9=合 由椭圆方程可知，a2=9,b=6,c2=a2-b=3, 所以，Sm月=2×ERIX1,=号×2Bx 1=6×号，解得：呢=3. 即=9x1-吾）=号 因此10=+B+哥=成选B 2 5.B因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°，由椭圆方程 可知，c2=5-1=4→c=2, 所以|PF2+|PF|2=|F,F212=4=16, 又|PF,I+|PF2I=2a=2√5， 平方得IPFI2+|PF:I+21 PFPE:I=16+2|PEI |PF2|=20,所以PF|·IPF2|=2.故选B. 6.A椭圆C的右顶点为B,由 于点P,Q均在C上，且关于 y轴对称，所以直线BP,AQ 也关于y轴对称，即P· k即=一kAP·ka=一车 7.解析：由题意，AB>BC >|CA|,故△ABC不是等腰 三角形，故上下顶点不能同 时取到，左右顶点不能同时 取到，两焦点也不能同时 取到， 故只能取一个上下顶点，一 个左右顶点，一个左右焦点，且a>c,a2=b十c2,分类 讨论； (1)a=3,a十c=5,a2+b=14→a=3,c=2,b=5满足 题意； (2)a=3,a十c=√14，a2+b=25→b=4>a显然不 成立； (3)a=√14，a+c=5,a2+b=3→b<0显然不成立； 综上，a=3,c=27e=3 .2 答案：号 11 8.解析：取AB的中点为E,因为MA|=|NB引，所以|ME =NE,设A(xy),B(:),可得十业X业 x1十xgx1一xg ,即e·想=二)设直线AB:y=kx十m,k =一 2 6,所以E 0,m>0,令x=0,y=m,令y=0,x=- (器受）所以×=-发=名=号又 k :IMN|=2√3，即|MN|=√m+(W2m)=2√3， 即m2+2nm=2m=2,所以直线AB:_号7+2 即x+√2y-2√2=0. 答案：x十√2y-2√2=0 9.解析：精圆离心率为子，不坊 。=1,且 △AFF,为正三角形，则直线 DE斜率=5.由等腰三角形 E 3 性质可得，|AE=IEFI,|AD =|DF。|,由椭圆性质得 △ADE的周长等价于|DE|+|DF:|+IEF2|=4a.另设 直线DE方程为y=5(,十c,与精圆方程联立得 3 13x2+8cx-32c2=0. 由弦长公式|DE|=√+1·|x1-x2|=√/k+1· √(x1+x2)-41x得|DE|= +1 /() 8c +g-=6,=4a=8c=1, 13 13 答案：13 10.解：(1)椭圆左焦点为F(-1,0),故c=1. 离心率为e=台=子，所以a=2 又b=a2-c2=4-1=3. 因号+号=1 (2)设直线1的斜率为t>0.直线过F(一1,0)，故I:y= x+1》.代入精围得子+D-1 3 即(3+4t2)x2+8tx+4t2-12=0. 设上方交点为P,第三象限交点为Q, 则xn=2(-2+3F+1 4t+3 2(-2t-3+1) 4t2+3 由于椭圆关于原点对称，直线PO与椭圆的另一交点为 R.OR=-OP (i)P,Q,F共线，且OR 2 =-OP. 点O到直线1的距离为 点R到直线L WA2+1 0 的距离为其2倍 因光=2·器 9 南整定如器-器子PF=0 用横坐标差表示同一直线上的长度， 得xp+1=2(-1-xa) 代入上式化简：2V+1=3,故= 2 E(x+1). 所以1：y= ()由计算可得直线QR的斜率为ka=一号y 直线QP的斜率为t,两直线夹角的正切为 3 tan∠PQR 1十tkaR + 由基本不等式， 4+2>2厄=45， 当1盟时取年子 因此tan∠PQRin=4√3. 11.解：(1)因为椭圆E的方程中b2=1,所以半焦距c= √(-1.右焦点为F(c,0),过F垂直于x轴的直线为 江=其与描圆交点的织坐标满足二十y=1>y=】 =,因为截线孩长度为②，所以：名三 a =√2， 所以c=√2-=1.精圆的离心痒为：e=￡= a 2 ②)(1)迪0)知精圆E方程为)+y=1→x+2y 2.已知A(x。,y),因为B是A在y轴上的垂足，所以 B(0,,).直线A0的方程为：y=x→x-xy=0, 直线GB过G(1,0,B(06)两点，方程为：号+义=1 yo →yox+ty=tyo, 设交点为P(x,y.由A0得x。=二将其代入GB方 V 程-)=户%=兴 从而6 因为A()在椭圆上，所以满足后十2y=2.代入可 得：()广+2(）=2rx+2ry=2-。 展开整理，即得M的方程为：(t-2)x2+4tx+2ty 2t=0(y≠0). (iⅱ)对M的方程进行配方： t-2(e+22) +2y2=2 20≠0) 若t一2=0→t=士√2，方程为抛物线（去掉与x轴交 点)，无中心点：若t≠士√2时，M存在唯一的中心点，其 坐标为(，品2) 180 当t≠士√2时，将M平移至中心在原点处的M,其方程 形式为：(-2)x2+2y=21 t-21 分析其几何形状：1.当t≠0且t≠士√2时，M有对称中 心，2.若-2>0→t|>√反：x2与y2项的系数均大于 0,且右端项大于0，此时M为椭圆（去掉与x轴交点）： 3.若一2<0→0<|t<√2：x2项系数小于0，y2项系 数大于0，且右端项小于0，此时方程变形为(2-).x 2r'y=2 2,此时M为双曲线（去掉与工轴交点）. 12.解：1)e==2·c=4、 2 又c2=a2-62, 6=a2-c2=a2-g=3g 44a, ① ⊙ 由①@y=是， “y=±。 a. 解得a=2. .a2=4. 6=是a2=3 C的标准方在为号+芳=1。 (2)由(1)知6=3，.圆的方程：x2十y=3, 设直线方程y=一√3x十m,与圆相切， .圆心(0,0)到直线3x十y-m=0距离等于半径， -m=√3， W/(5)2+12 解得m=士2√3， 1y=-5.x+m, 消去y整理得15x-8√3m.x十4m-12=0, ① 当m=2B时.①印5x-16z+12=0x,=号，=2， 当=号时=。 5x2=2时y2=0, w.n2 A0同)6=k=k,== 5 6 6 是-(×(}3 当m=-2√3时，①即5x2+16x+12=0. x=-2,=-5, 当x1=一2时，y1=0;x2= 号时=-4 5 <%r(g-.-2.0 若A(0W3), 5 33 k=kAP=- 6 2 k二3 综上： 13.解：(1)（圆锥曲线基本概念法）由题意可知a=2,离 心率为C=1 1a=2 所以c=1,又a=b+c2,所以b=3. 故E的方程为号+苦-1 (2)(面积同高法)如图， Ay 设B(x1y1),C(xy), D 由题意，得直线BC的方程 为y=k(x-1)+1, 南学+苦 ,消去y (y=k(x-1)十1 得(4k2+3)x2+8k(1-k)x+4(1-k)2-12=0, 则△=[8k(1-k)]-4(4k+3)[4(1-k)2-12]>0, x1十x= 462+32,0,=40-)2-12 一8k(1一k) 4k2+3 又B关于直线y=x的对称点为D,则D(y1x1), 设Q(t,t), 易知直线DC斜率存在，由D,C,Q三，点共线，可得 t一x1=y2二1 t-y1x2一y1 解得t= y1y2T1Z2 13k+11 y1十y2一(x1十x2） 8k十6， 所以Q(36+卫，13k+11 (8k+6’8k+6: 设点Q到直线BC的距离为d,则d=1h-1)(t-1)川 √1+k 51k2-1| √/1+k28k+6 由弦长公式可知AB=√1+k1x-1|, |AC=√1+k1x2-11, 则1IAB1-|AC1I=√1+1x十x:-2=√1+2· 一8k-6 4k+3: S△ABQ S△aca ABId-Acld-dlABI-IACII- 8 -8k-6 5|k2-11 5 4k2+3 V1+k18k+618' 化简得E-11 4+3=4 解得飞=土2 4 14.解：)由题意得A(a,0),F(-c,0),P(a,号(a十c), x(a+c)(a+c)= 根据已知条件列方程组 2,解之 92 181 得a=2,c=1, 所以b=a2-c=4-1=3, 所以辅圆方程为气+苦=1. (2)设B(,),可知直线PB的方程为有学x+宁y =1, 又切线过P(2,1), “号+=1%=-号+3 3 :点满足车+普=1 3 2 + -2x+3) 1， 4 3 .x6-3x+2=0, 解得x=1或x=2(舍)， %= B,) F(-1,0),P(2,1),A(2,0), 可知：1BP气-2)+（-）-， 21 I+1+(-)= ∴.|AP1=1,|PF1=√(2+1)+(1-0)=√10 PcOs∠BFP-BE+FPBP-=高o 2BF·IFP os∠AFP-LAET ARP EPAP-是而 2|AF|·IFP .cos∠BFP=cos∠AFP∴.∠BFP=∠AFP, PF平分∠AFB. 15.解：)由已知得6=3，将点P3,号)及6=3代入C 得号+=1，则d=12,所以=4-=3 青以C的装如：=台语子 (2)由已知得SaBm=名|PA1·dgM=子X √9+(-)×dm=,则d,m=125. 32 3 1 1 kAP=- 一3 乞lApy=-2x+3,设过点B且与 1 PA平行的直线为1'：0=-2x+m, 因为daM=125,所以13m=125,则m=-3 5 1 5 W1+ 或9（舍去），所以'：y=一 1 2x3 联立1：y=子-3和C方号+苦=1，得=0 =-3,所以B(0,-3成B(-3,-号） 当B坐标为(0，一3)时，1：y=多 当B坐标为(3受)时1y= 实战集训2 由题意知2u=4a=2,由e=二二2有 =6-=2+号=1 (2)①1斜率不存在时舍去. ②设1方程为y=kx-2,A(x1y1),B(x2y2), y=kz-2 联立 得(1+2k2)x2-8kx+4=0, 由4=64状=161+2>0，得心9支6日 21 8k 4 所以x1+x=1十2E212:=1+2R 所以IAB【=√个+k|x1 -x2 2√8(k+1)(4k+2-4)_4√(k+1)(2k-1) 4k+2 2k+1 O到AB的距离d= 2 /1+k9 1 所以SA0B=2X 2 ,4√(k+1)(2k2-1) 1+k 2k2+1 -4√2巨-2，解得k=号 2k°+1 (+1)(2×-1】 IABI= =√5 2x号+1 2.解：1)依题有后+6-√0且√公-6_22 3 第得a=36=1,故C的方程为号+=1. (2)(1)易知A(0,-1),设AR=tAP(t>0),则t= 3 3 AP+ OR=OA+AR=(0,-1)+t(m,n+1) =(tm,t(n+1)-1) = 3m 3(n+1) (m+(n+1)m+(m+1y-1） 故点R的坐标为 3m 3(n十1) （m+(n+1)'m+(n+1)-1）: （i)由kR=3kp可知 3(n+1)-m°-(n+1)=3n 3m m 整理可得m2十(n十4)=18，所以点P在圆心为N(0,一4)， 半径r=3√2的圆上运动. 设Q(),则号+=1，其中-1<%<1，故PQ≤ 1PN|+|NQ1=3V2+√J6+(,+4) =32+√9(1-y6)+(y十4) =3√2+√/-8y%+8y+25 =3E+√-8(-合）+27<3E+35. 取等条件为人=？，且P在线段QN延长线上，故PQ 的最大值为3√2+3√5. 1 ®解：)依椭圆定义知2a=4,而离心率=二，所以 a C三气√2,6=a一c=2,椭圆E的方程为 =1 ,xx+2yy-4=0 (2)联立， ,消去x得， 2)+2w=4 整理得，(2x6+4y)y2-16yy+16-4x6=0①， 又至+芝-1，所以2G+4=8,16-4=8, 故①式可化简为8y2-16yy+8y=0,即(y-y)=0, 所以y=y0, 所以直线xox十2y。y一4=0与椭圆相切，M为切点. 设A(x1y1),B(x2,y1),易知，当x1=x2时，由对称性可 -8 设秀中是会 联主2十2y4=0,解得工=4二4=2。 (y=2 x。 联主西十2y4=0,解得2=士4，=-2 (y=-2 所以三=二=。 4一4少-。4-4一 S。 xa一x2 4+4y0x6-4y,-4 To- 2y6-4y= 2-y -2y6-4yo 2+y 从68器-里 W√+4 /(4-4)+4x /(2-2)+4-28 N(4+4)+4.z6W(2+2)+4-2 4+4-,又号 SAM 2-yo √后+4%+42+为1 MB+21 故总=1041 S.OBI' 实战集训3 解：1)液Fc,0.由题设有c=1且么=是， 3 a 故0-1.3 a=?,解得a=2,故b=5, 故指国方散为号+芳=1 (2)直线AB的斜率必定存 在，设AB:y=k(x一4)， 0 A A(x1y1),B(x2y2) 由3x+4y2=12 y=(x-4),可得(3 0 +4k)x°一32k°x+64k° 12=0, 故△=1024k°-4(3+4k2)(64k-12)>0, 故-<< 2 2 32k2 又x1十x2= 3+462西=64-12 3+4k2 82 而N(停）故直线BN:y=”三（-受) x22 3 故ya= 22 -3y2 x2一2 2x-5 所以1一ya=1+2x,-5 3y2 =y×(2x,-5)+3y2 2x2-5 (x1-4)×(2x2-5)+3k(x2-4) 2x2-5 =k2x1-5(z十x2)+8 2x2-5 2×64k-12-5X32k 三k一 3+4k2 3+46+8 2x2-5 128k2-24-160k+24+32k 3+4k2 =k 2x,-5 =0, 故y1=yQ,即AQLy轴. 2.解：(1)由题意b=c= 2=2,从而a=B+C=2, 所以精圆方程为号+号-1，离心率为=号 (2)显然直线AB斜率存在，否 则B,D重合，直线BD斜率不 存在与题意不符，同样直线AB C 斜率不为0，否则直线AB与椭 圆无交点，矛盾. 从而设AB:y=kx十t,(t> √2)，A(x1y1),B(x2y2), y ,化简并整理得(1十2k)x十4ktx十 (y=kx十t 2t-4=0, 由题意△=16kt一8(2k°+1)(t一2)=8(4k+2一t) >0,即k,t应满足4k十2一t>0,所以x1+x2= 一4kt 2t-4 1+26西26+11 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(一x,y2), 所以AD:y=兰（一）十y1,在直线AD方程中令 x1十x2 x=0, 得必=1，十工y x1十x2 =(k:十)十x,(kx+) x1十x2 2++)_2+4=2=1, x1十x2 -4kt 所以t=2, 此时应满足十2-=4k-2>0 八k≠0 即长应满灵<-号我>竖 综上所述1=2满足题意，此时K-号浅> 2 21 18 3.解：(1)因为椭圆的离心率为e= 2,故a=2c,b=√3c,其 中c为半焦距， 所以A(-2c,0),B(0,-V3c),C0,- c},故SAA ×2×唱-3. 21 2 解得c=B,所以a=25,b=3,故椭圆方程为 12 9 =1. (2)若过点(0，-2)的动直 线的斜率存在，则可设直线方 程为y=k虹一受， 3 P(),Q(z:2),T(0,t), ,3.x2+4y2=36 由 =红一多·可得3十 4k).x2-12kx-27=0, 故△=144k+108(3+4k)=324+576k>0且x1+x2 =12k 3+4,Z12:= 27 3+4k2 而TP=(x1,y1-t),TQ=(x2,y-t),故TP·TQ= x1x+(y-t）(y2 -t）=x1x2 +(-号-（红：是-） =1+)-(受+）小+)+（停+） =1+)×(3平)-（受+）× +(受+） -27-27-138-121+3(是+）+(3+2) 3+4k 8+20-121-46]+3(2+）-27 3+4k 因为TP·TQ0, ,(3+2t)2-12t-45≤ 3 故 (层+) -27≤0 ,解得-3≤长之 若过点(0，一号)的动直线的斜率不存在， 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3), 此时需-3<1≤3，两者结合可得-3≤1≤号 综上，存在T0)且-3≤1<号，使得Tp.7Q<0, b=2 4.解：(1)由题意可得 a=b2+c2 e= 3 a=3 解得】b=2 =√5 所以辅国方程为苦+号=1. 3 (2)由题意可知：直线PQ的斜率 y 存在，设PQ:y=k(x十2)+3， M P(1,y1),Q(x2y2), /y=k(x+2)+3 联立方程 ,消去 =1 B 4 P y得：(4k+9)x2+8k(2k+3)x +16(k+3k)=0, A 则△=64k2(2k+3)2一64(4k2+ 9)(k2十3k)=-1728k>0,解得 k<0, 可得x1十x2= 8k(2k+3) 4k+9, 16(k+3k) 4k2+9 21+2(x+2) 因为A(-2,0),则直线AP:y= 令=0，解得y算即Mp司 可理可得N,辛) 2y1 2y2 则中2十2_+2)+3++2》+3 2 x1+2 x,+2 [kx+(2k+3](x+2)+[k+(2k+3)](+2) (x1+2)(x,+2) 2k.x1x2+(4k+3)(x1+x2)+4(2k+3) x1x:+2(x1+x2)十4 32k(k'+3)_8k(46+3)(2k+3》+4(2k+3) 4k2+ 4k2+9 16(k+3)-16k(2k+3)+4 108=3, 36 4k2+9 4k2+9 所以线段MN的中点是定点(0,3). 实战集训4 1.解：(1)如图， 2 由题意得∫a+c=3 (a-c=1 解得a=2,c=1,所以b= √2-1=√3， 0 所以椭圆的方程为+上与 3 1,离心率为e=C=1 a-2 (2)由题意得，直线A。P斜率存在，由椭圆的方程为 兰+号=1可得A20: 设直线A,P的方程为y=k(x一2)， 方（片+苦 =1 ,消去y整理得 (y=k(.x-2) (3+4k)x2-16kx+16k-12=0, 由韦达定理得xA·p=1612 3十4k, 所以xp 8k2-6 3+4k2 所以P /82-612k 3+46'3+4kQ(0,-2k). 所以SA04=号×4X0l, Sm=2×1X1r 18 Sa,4P=合X4X1m1 所以SAA,aA,=SAA阳十SaAA,P=2SaA,PF+S△A,4P, 所以2|y%|=3yp1,即2|-2k=3 12k 3+4k2 解得=士9，所以直线A,P的方程为 y=±5(z-2. 3解：1)设E的方程为兰+ +=1(a>0,b>0). 将A0,-2,B(受，-1）两点代入得 9 a+=1， (a>0,b>0),解得a2=3,b=4, 故E的方程为+=1. (2)由A0,-2.B(受-1 2 可得直线AB:)=3x-2. ①若过P(1,一2)的直线的斜率不存在，直线为x=1.代 人+兰-1.可得M(N(-2)将 3 代入ABy=景-2，可得T6+8,2),由N 3 3 -Ti,得H(25+5,2),易求得此时直线HNy 3 (2-2当-2所以童线连点0-2》 ②若过点P(1,一2)的直线的斜率存在，设kx一y一(k十 2)=0,M(x1y1),N(x2y2). kx-y-(k+2)=0 联立{x2 ,得(3k+4)x2-6k(2+)x十 3k(k+4)=0. 6k(2+k) x1十x2= 3k2+4 故有 z1x2= 3k(4+k) 3k2+4 y+2= -8(2十k) 得 3k+4 一24k(*) 44+h-26)且西+=3 3k2+4 y=y 联立 号-2可得T(+3小H(3十6 x1y),可求得此时HN:y-=3y十6-1- y1-y2 x2),将(0，一2)代入整理得2(x1十x2)一6(y1十y2)十 x1y:+x2y1-3y1y-12=0, 将（￥）式代入，得24k+12k+96+48k-24k-48-48k 十24k-36k-48=0,显然成立. 综上，可得直线HN过定点(0，一2) ,b=1 /a=2 3.解：(1)依题意可知：2c=2√3，解得b=1 (a2=b+c2 (c=√3 故精国E的方程为：子十)=1， (2)由题可设直线方程为：y-1=k(x十2)，B(x1,y1), C(x2y2）, y一1=k(x+2) 联立直线和椭圆E方程 +y2=1 ,可得(1+ (4 4k).x2+(16k+8k)x+16k+16k=0,由△>0可得 (16k2+8k)2一4×(1+4k2)(16k2+16k)>0, 解得k<0, 根据韦达定理可得：西十=二66十8) 1+4k T2 =16k2+16k 1+4k 直线AB的斜率为k=少 ,AB的直线方程为： 71 y=y二 x十1，令y=0,可得点M的横坐标xM =1-y 同理可得点N的横坐标xN,则有MN|= _x1-x 1-y11-y2-k(x1+2) -k(x2+2) =(，+2+2) 1.x2(x1+2)-x1(x2+2) k x1x:+2(x1十x2)+4 12√(x1十x2)-4x1x2 =2, kx1x2十2(x1十x2)+4 代入韦达定理式子可得 -(16k2+8k) 4×16k+166 1 1+4k2 1+4k 16k+16k+2( 168)十4 2 1十4k 1十4k2 化简可得： 2√64(2k+k)-4×16(k+k)(1+4k) 1 1+4k =2, 16k+16k+-32k-16k+4+16k 1+4k2 1+4k2 1+4k 4√46+4+k-4k-4设-k-6=2,可得 即k √一 k=车，解得=一4，故 。二之·两边平方则有己1= k的值为一4. 考点三 1.B将，点(1,0)代入双曲线方程得： a2 -0=1→a2=1→a =1, 将点（停东入风自战方报得： 2 =1→ 7 6 9 62=19=3→b2=12→b=2√3， 64 所以双曲线的渐近线方程为y=士bx, 即：y=士2√3x. 2B号-=0，得y=士，所以是=号解 =3. Is 3.D△FPA中，|FA|=|FP|=a+c,∠FAP=30°，设右 焦点为F, ∴∠APF=30°，∠PFA=120°，∠PAF=150°，由余弦 定理： IAP=FA+FP12-21FAIIFPIcos 120 =2(a+c)+(a十c)2=3(a+c)2, ∴.|AP|=√3(a+c). 由双曲线定义： |PF'1=|PF|+2a=a十c+2a=3a十c, 在△PAF中，由余弦定理. |PFI2=|PAI+|AF12-2PA|·|FA|cos150°， (3a十c)2=[3(a+c)]+(c-a)2-2(c-a)·3(a+c) ( 整理得：3c2-ac-4a°=0， ..3e-e-4=0, e>1,e=专 4.D由题知b=√7a,则c=√7+1a=2√2a,所以离心率e =C=2√2，故选D, 5.B先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c,即可求出离 心率由-4=4得， 4 -y2=1,所以a2=4,b2=1, c2=a2+b=5,即a=2,c=W5,所以e= C- ，故 2 选：B. 6.A如图所示，设|PF2|=m,M 3c-a 则|PF1|=m+2a,|PM =m. 由IPF1I+IPF2I=3IFF2I 3c+a 可得m十(m十2a)=6c,所以 m=3c-a,过P作PM⊥ 3c-a MF,,交点为M. 从而PF,=3c+a,F,H= F 0 IPMI-F F:|=c-a. F2 c-a 由lMFl,=|PH|得(3c+a)2-(3c-a) =(3c-a)2-(c-a)2, 所以12ac=8c2-4ac,整理即得c=2a,故离心率e=9 =2. 7.A本题考查了双曲线的几 y 何性质。如图，因为双曲线的 渐近线方程为y=x,kB= 1 .AB与渐近线平行，当C,点 C 在无穷远处时无限逼近渐 近线， 0 ∴AB边上的高无限逼近渐 近线， ∴.AB的高没有最小值，△ABC的面积没有最小值. 当C位于(1,0)时，AB边上的高最大，此时△ABC的面 积最大， 8.ACD根据双曲线的对称性可知A1A2与MN互相平 分，所以四边形A,MA,N是平行四边形，因为∠NA,M =吾，所以∠AMA,=否A正扇.以FB为直径的国 6 的方程为x2十y=c, 5最新真题 专题九解析儿何 分类特训 考点一直线与圆 一、选择题 1.(多选)(2026·全国I卷，11)已知圆C:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=1,圆C:x2+(y 3)2=1,直线1：y=kx十b与C1,C2,C3均有两个交点，记1被C1,C2,C3截得的弦长分别为s1, 整 5253,则 () A.k可以取任意实数 将 B.满足31=52=53的直线1共有3条 C.满足s1+52十53=3的直线1多于3条 D.当6=0时，十52十3的最大值为2四 3 2.(多选)(2026·全国Ⅱ卷，9)已知⊙0：x2+y2=1,⊙A:x2+y2-6.x-8y十k=0,则( A.点A的坐标为（一3，一4） B.当k=9时，⊙A与x轴相切 杯 C.当k=一11时，⊙O与⊙A相切 D.当⊙O与⊙A相交时，两个交点所在直线的方程为6x+8y一k一2=0 3.(2025·全国一卷，7)已知圆x2+(y十2)2=r2(r>0)上到直线y=3x十2的距离为1的点有 且仅有两个，则，的取值范围是 () A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 如 4.(2024·全国甲卷（理），12)已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1 阳 =0交于A,B两点，则|AB的最小值为 () A.1 B.2 C.4 D.2√5 5.(2024·北京卷，3)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为 ) A.√2 B.2 C.3 D.3√2 品 6.(2023·新课标I卷，6)过点(0，一2)与圆x2+y2一4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则 sin a= () A.1 B.15 4 C.10 4 D. 4 y 7.2023·全国甲卷理，8)已州双曲线C 62 =1(a>0,b>0)的离心率为5，C的一条渐近 线与圆(x-2)2+(y一3)2=1交于A,B两点，则|AB|= B.2⑤ 5 C3⑤ 5 D.4 5 77 二、填空题 8.(2026·北京卷，11)已知直线ax+y=0与圆(x-2)2+(y-2)2=4相切，则a= 9.(2023·新课标Ⅱ卷，15)已知直线x-my+1=0与⊙C:(x一1)2+y2=4交于A,B两点，写出 满足△4BC面积为的m的一个值 10.(2023·天津卷，12)过原点O的一条直线与圆C:(x+2)+y=3相切，交曲线y=2x(p>0)于点 P,若OP|=8,则p的值为 11.（2022·全国乙卷，14)过四点(0,0)，(4,0)，（一1,1），(4,2)中的三点的一个圆的方程为 12.(202·全国甲卷，14)若双曲线g°-需=10m>0)的蒲近线与图+y-4y十3=0相切，则 m= 13.(2022·新高考I卷，14)写出与圆x+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的 方程 14.(2022·新高考Ⅱ卷，15)设点A(一2,3)，B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆 (x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是 考点二椭圆 [真题题组·实战集训] 一、选择题 1.(2024·新课标Ⅱ卷，5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段 PP',P'为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为 ( 后+誉=1≥0) R5+若-10>0) c若+号-1o D后+号-1y≥e) 2.(2023·新课标1卷.)设椭圆C后+y=1a>1》,G:等+y=1的离心率分别为e,若 e2=√3e1,则a= () A B.2 C.3 D.√6 3.(2023·新课标Ⅱ卷，5)已知椭圆C:+y1的左、右焦点分别为5，P,直线y=x+m与C 交于A,B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m= ( ) A号 C② 3 D- 78 全国甲卷（理），12)已知椭圆。士1，EE,为两个焦点，0为原点，P 点，eos∠F,PF,=,则IP01- A昌 c号 受 S,(2023·全国甲卷（文），7)设F,E,为椭圆C十=1的两个焦点.点P在C上，若PE PF2=0,则|PF1·|PF2|= ( A.1 B.2 C.4 D.5 6,(2022·全国甲卷，10)椭圆C乙十1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上，日关于 轴对称，若直线AP,AQ的斜率之积为，则C的离心率为 B.② c 二、填空题 6·上海卷，12)已知A,B,C是椭圆十1的四个顶点与两个焦点中的三不 |AB|=5,|BC=√14，|AC=3,则该椭圆的离心率为 (2022·新高考Ⅱ卷，16)已知直线与椭圆{十31在第一象限交于A,B两点，1与z至 y轴分别交于M,N两点，且|MA|=|NB|,MN=2√3，则l的方程为 9.(2022·新高者1卷，16)吧知椭圆C乙计片户1Q>>0).C的上顶点为4，两个焦点为F F2,离心率为2，过F且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点，DE|=6,则△ADE的周长 是 三、解答题 10.(202·全国I卷，18)17分)已知箱圆C号+芳-1(a>6>0)的左焦点为F(-1,0,离心 黄为经 (1)求C的方程； (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线1与C交于P,Q两点，其中Q在第三象限， 直线PO与C的另一个交点为R. 79 (1)若△PQR的面积是△PFO的面积的3倍，求l的方程； (i)求tan∠PQR的最小值. 山，(2026·全国卷，8)47分)E知椭圆E:+y1(a>D,过E的右焦点且与x轴垂直的 直线被E所截得的线段长为√2. (1)求E的离心率； (2)设O为坐标原点，给定点G(t,0)(t≠0)，A(xo,yo)(y≠0)为E上的点，过A作y轴的垂 线，垂足为B.直线OA与直线GB的交点为P.当A在E上运动时，点P的轨迹为M. (i)求M的方程； (iⅱ)当t为何值时，M有对称中心？当M有对称中心时，将M平移后得到曲线M',使得O为 '的对称中心，说明M是什么曲线. 80 12(2026·天津卷.1815分已知椭圆C:号+常-1(a>b>0)的高心来为5椭圆淡直线=6 截得的线段长为√3. (1)求C的标准方程； (2)斜率为一√3的直线与圆x2+y2=b相切，且该直线交椭圆于P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1< y),A是椭圆上顶点.记直线AP,AQ的斜率分别为1，k,求 2 3.(2026·北京卷，19)15分已知椭圆E:乙+y +方=1(a>b>0)的一个顶点是(2,0)，离心率为 2过点A(1,1)且斜率为（≠士1D的直线交椭圆E于B,C两点，B关于直线y=x的对称 点为D,直线DC交直线y=x于Q. (1)求E的方程； (2)若S6e-Sawl=8,求： 81 14.(2025·天津卷，18)已知椭圆 G十1(a≥b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为x=a上 一点，且直线PF的斜率为3，△PFA的面积为，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证：PF平分∠AFB. 15,(2024·新课标I卷：1615分)已知A0,3)和P3,}为椭圆C:号+若-1a>6>0)上 两点. (1)求C的离心率； (2)若过P的直线1交C于另一点B,且△ABP的面积为9，求1的方程. 82 [真题题组·实战集训l2] 1.(2025·全国二卷，169已如椭侧C号+芳-1(a>6>0)的离心率为 ,长轴长为4， (1)求C的方程； (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A、B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为√2，求|AB. 2.(2025·全国一卷，18)已知椭圆C, 2十1(a≥b一0)的离心率为2，下顶点为A,右顶点 为B,|AB|=√10. (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AP·AR=3. (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）； (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ的 最大值 83 3,2025·北京卷，19)已知椭圆E气十1(a>6>0),离心率为，隔圆上的点到两个焦点的 距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为原点，M(xo,yo)(xo≠0)为椭圆上一点，直线xox十2yoy一4=0与y=2和y=一2 于A,B两点，△OMA与△OMB的面积分别为S,S.猜想。与B的数量关系并 84 [直题题组·虱战集训3] 1.2024·全国甲卷（理），20)2分)设椭圆C+ +若=1a>>0)的右焦点为R,点M1,引 在C上，且MF⊥x轴. (1)求C的方程； (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q. 证明：AQ⊥y轴. C2024·北京卷，19)☑5分)已知椭圆方程C:十之=1(a>6>0),焦点和短轴端点构成边 b 为2的正方形，过(0，t)(t>√2)的直线1与椭圆交于A,B,C(0,1),连接AC交椭圆于D (1)求椭圆E的方程和离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t. 85 3.(2024·天津卷，18)（本小题15分）已知椭圆 =1(a>b>0)的离心率e=号，左顶点为A,下顶 2 点为B,C是线段0B的中点，其中S6-3,5 2 (1)求椭圆的方程 (2)过点0，一}的动直线与椭圆有两个交点P,Q.在y轴上是否存在点T使得T产，TQ≤0. 若存在，求出点T纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 4.2023·全国乙卷（理），20)2分)已知椭圆C:之+1(a>b>0)的离心率为，点4(-2.0)在 C上 (1)求C的方程， (2)过点（一2,3）的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线 段MN的中点为定点. 86 [真题题组·实战集训l4] 1.C2023·天津卷，18)15分)已知椭圆子+芳-1(a>b>0)的左，右顶点分别为A,A,右熊点 为F,已知A1F|=3,|A2F|=1. (1)求椭圆的方程和离心率e; (2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q,若三角形A,PQ的面 积是三角形A,FP面积的二倍，求直线A,P的方程. 2.(2022·全国乙卷，20)(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 A0,-2,B2-两点. (1)求E的方程； (2)设过点P(1,一2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点 H满足MT=TH.证明：直线HN过定点. 87 3.(2022·北京卷，19)（本小题15分） 已知椭圆E:二+-1a>6>0)的一个顶点为A0,1D,焦距为25。 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(一2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x 轴交于点M,N.当|MN|=2时，求k的值. 的 烯 88