2027届高三物理一轮复习讲义：2.4 力的分解

该高中物理讲义聚焦力的分解核心考点，涵盖二分解方法、正交分解法、分力大小范围及共点力合成等高考重点，按“分解法则-方向依据-运算转化-合成方法”逻辑架构知识点，通过考点梳理（如分解方向的题目要求、作用效果、运动状态三依据）、方法指导（正交分解四步流程）、真题训练（8道例题覆盖不同情境），帮助学生系统构建力的分解知识网络，突破解题难点。 资料突出科学思维与模型建构，如例2结合V形槽物块匀速滑动情境，引导学生按作用效果分解力，建立摩擦力分析模型，培养科学推理能力。采用分层练习设计，例题从基础判断（例1分力方向）到综合计算（例7六力合成），作业强化易错点（如分力与合力关系），确保高效突破。助力学生规范分解步骤、提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰重难点指导。

§2.4力的分解 (一)力的分解方法 ▲高中阶段重点要求掌握力的二分解，少数情况下可能需要进行三分解 1.运算法则：力的分解是力的合成的逆运算，合成时的所有方法与规律对分解都适用 2.分解种数：若无条件限制，一个力可分解为无数对分力，因而进行力的分解时必须要有约束条件 【例1】已知两个共点力的合力为50N,分力F的方向与合力F的方向成30°角，分力F的大小为30W。则() A.乃的大小是唯一的B.乃3的方向是唯一的C.F,有两个可能的方向D.F2可取任意方向 【答案】C 【解析】 25 如图所示，F,>Fsin30°，F分解为与有两种可能，只有C正确 F3=30N 30° F F=50N 3.分力方向的选定依据主要有以下几点： ①题目要求：怎么要求就怎么分解 ②作用效果：一个力产生了哪几种作用效果，就按这几种作用效果进行分解 【例2】如图所示，一直角V形槽横截面为ABC,棱B垂直向外水平固定，侧面AB与水平 面的夹角为8，槽内有一质量为m的方形物块。现用水平向外的恒力F拉着物块在槽内匀速向外 滑动，物块与V形槽两侧面的动摩擦因数均为弘，下列说法正确的有( A.F等于物块受两侧面的摩擦力大小之和B.F的大小与无关，恒为wmg C.9=45时F最大，最大值Fma=2wngD.9=0与8=90°时F最小，最小值Fmm=umg 【答案】AD 【解析】如图所示，将物块的重力沿垂直于V形槽两侧面方向正交分解 物块对AB侧面的压力F=gcos0,受AB面的摩擦力=HF=gcos0(水平向里) 物块对CB侧面的压力F?=gsin0,变CB面的摩擦力五=F3=wgsi0(水平向里) 物块匀速向外滑动，则 F=f+3=ug(si4cosA=√2 umg sin(445） 由此可知选项A正确，B错误 个F √2umg 由三角函数知识可知，=45时F最大，最大值F,=√2ug,选项C错误 umg 由函数式F=√2 umg sin445)）可知F-的函数图像如右所示，易知D正确 45°909 ③运动状态：若物体具有加速度，一般沿加速度方向及加速度的垂直方向进行正交分解 【例3】如图所示，质量为M的斜面体置于光滑水平面上，其斜面上用平行于斜面的细线连接一个质量为m的小球， 斜面的倾斜角为。为使小球从斜面上飘起来，作用于斜面体上水平向右的力F至少应为多少？ 【答案】 (M+m)g tan 【解析】 M 8 设加速度为。将绳对小球的拉力T沿水平和竖直方向正交分解 水平方向：Tcos0=M:竖直方向：in0=g 联立解得：a=8 tane 对整体用牛顿第二定律，得F=(M+m1= (M+m)g tane 4.力的分解可转化为力的合成进行运算 分解运算往往不符合人们的思维习惯，而分解是合成的逆运算，因而可将分解转化为合成进行运算。 力的合成可表示为：F=F+F2（矢量式)（求合力F) F F 力的分解可表示为：F2=F-F1(矢量式)（求分力F2) 力的分解式可变为：F=F+(-F)(矢量式)，即：可 将F1反▣变为(-)，再将F与(-乃)进行合成求得F2。 (二)分力大小范围 1.分力大小与夹角 将一个确定的力分解为对称的两个分力，则两分力夹角越大，分力越大（不对称时比较复杂） 2.分力大小范围 【例4】两共点力与F的合力为20N,其中F1=6N,则F的最大值为N,最小值为N 【答案】26,14 【解析】合力F=20W 对力的合成矢量式进行变换：耳十F,=F→F,=F-耳=F+(仁-F) 求分力F,就相当于求F与一F的合力 F=6N,则-E的大小也为6N F与-F同向（即F与耳反向）时F,最大，最大值为26N F与-F反向（即F与F同向）时F,最小，最小值为14N 规律与技巧：将合力F分解为两个分力F与F,F=F-=F+(F)(矢量式)，求分力F的范 围，其实就是求F与-F的合力范围。 (三)正交分解法 1.一般步骤： ①选取两个互相垂直的方向作为分解方向（可定为x轴、y轴方向） ②将不在这两个方向上的力沿这两个方向进行正交分解 ③分别求出这两个方向上的合矢量（如：∑Fx、∑F,) ④再将上述两个方向上的合力进行合成，或分别在这两个方向上分析处理 【例5】三共点力大小分别为F1=10NF2=10N,=5N,它们的方向关系如图 方格纸中所示，求它们的合力大小。 【答案】13N 【解析】 如图建立直角坐标系将F、F正交分解，得 F=8N,F1,=6NF=-3N,F3=-4N 则：F=F1+F3x=5N;F,=F+F+F3m=12N 总的合力大小 F=V(}+(平}=13N 2 2.两垂直方向的选取原则：尽量使问题的分析处理最为简便 ①使尽可能多的力处在这两个方向上 ②有加速度时，最好使加速度处在被选取的一个方向上 3.一点说明：正交分解后，F,在y轴方向上无作用效果，F,在x轴方向上无作用效果，因而正交分 解法最适合于用来分析动力学问题。 【例6】在同一平面内的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19W40从30N和15N, F 方向如图所示，sm37°=0.6，cos37°=0.8，求它们的合力。 F 【答案】大小为38.2N,方向与F夹角为45斜向右上方 106° 【解析】用正交分解法求解： 37°F 如图建立直角坐标系将力沿x、y方向正交分解 F x轴和y轴方向的合力F和F,分别为： 377 37 F=F1+F2cos37-F3cos37=27N F;=Fzsin370+F3sin370-F4=27N 则总的合力： F=38.2N,iam =1045 F 即合力的大小约为38.2N,方向与F夹角为45斜向右上方 (四)多个共点力的合成方法 1.平行四边形法（用平行四边形定则依次合成）（麻烦，难度大，一般不用） 2.三角形、多边形法 3.正交分解法 4.分组法（先按各力按大小和方向的特点进行分组，每组的力先合成，再将各组的合力进行合成） 【例7】六个共面共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F, 5 4F 相邻间夹角均为60°，如图所示，则它们的合力大小是 合力方向是 6F 3F 【答案】6F,与5F的那个力方向一致 2F 【解析】将共线的两个力分为一组，共分为3组 3F 3F 每一组分别求合力，每一组的合力大小均为3F,如右图所示 60 再次这3个3F的力合成，得总合力大小为6F,方向与原5F的力方向一致 3F60° 【特别说明】人们生活在一个有方向的三维空间中，矢量的方向，本来是一个很简单的问题 但学生对于方向的描述，却是一大难点！任何一次对任意简单方向的描述，总是有大部分学生说不清、说不对！ 对于本题合力方向，不能说“向左偏上60°”（因为这6个力可能全在水平面内），更不能说东南西北这些方向（注 意：“上北下南、左西右东”，只是画标准地图时的方向规定。绘制地图时，为了让人们一看就知道方向，全世界统一规定 为“上北下南、左西右东”。如果不是按这种规定制图的，则要在地图上标注方向。而画其他图时，没有“上北下南、左 西右东”的规定)。 本题描述合力的方向，应该以原有的6个力的方向作为参考，而不能自行设定上下左右、水平竖直，或东南西北。 5.特殊关系法 【例8】已知共面的三个力大小F=20N,F2=30W,F3=40W,方向互成120° F2=30N 夹角，则它们的合力大小为 ,方向是 【答案】10V3N,与F垂直且与F3成30°角 F3=40W 【解析】 F1=20W 3 从三个力中各提取一个20W的力，这三个20N的力互成120°角，合力为0 剩下的两个力F)=10N,F=20N,两者成120°角 F3=20W 再将F)与F合成，易得合力大小F=10W3N,方向与F垂直且与成30°角 【作业】 班次 座次 姓名 1.一重力为mg的物块静止在倾角为的斜面上，根据重力产生的作用效果，可将重力分解为两个分力。己知物块与 斜面间的动摩擦因数为弘，下列对于分解重力的理解，正确的有( ) A.重力平行于斜面向下的分力产生下滑效果 B,物块对斜面的压力，就是其重力垂直于斜面向下的分力 C.物块受斜面的摩擦力大小为igcos日 D.物块重力沿斜面向下的分力大小为mgsn8 【答案】AD 【解析】本题主要是B选项容易错 物块的重力垂直于斜面向下的分力就只是重力的分力，不是对斜面的压力 Gx-mngsine 从以下几个方面可以说明： ①存在性：物块对斜面的压力F是客观存在的，而重力的分力G是假想不存在的 ②受力物体：压力的受力物体是斜面，而重力的受力物体是物块 ③力的性质：压力属于弹力，而重力属于万有引力 Ig G C选项错误的原因：静摩擦力不符合滑动摩擦力公式，根据物体受力平衡求得摩擦力大小应为g0 2.将一个F=10W的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力F方向与 F成30°角，另一个分力为F,如右图所示，则下列说法正确的是() F A.F2的方向不可能与F平行 B.F2的大小不可能大于10N C.乃的大小不可能小于5N D.F?有可能不在可与F所决定的平面内 30° F 【答案】AC 【解析】 两个共点力F与F及其它们的合力F,这三个力的矢量只存在两种关系：要么共线，要么构成一个闭合的三角形 A:与F不共线，若F与F平行又不能构成闭合三角形，所以F与F不可能平行，选项A正确 B:如图(1)，若日<30°，则F,>F→F,>10N,选项B错误 F C:当F2垂直于F时，F2取得最小值 30° 30° 的最小值Fm=Fsin30°=5N,选项c正确 图(1) 图(2) D:平行四边形和三角形都是平面图形，两共点力合成遵循平行四边形定则或三角形定则 所以，两共点力可与F及其它们的合力F必在同一平面内，选项D错误 3.己知力F分解为F、F,两个分力，如果己知F的大小及F2与F的夹角日，且8<90°，则( A.若乃1<Fsn6,则F,一定有两个解 B.若F1=sn8,则F有唯一解 C.若Fsm8<F1<F,则F,一定有两个解 D.若可>F,则F无解 【答案】BC 【解析】 本题用圆弧交点法分析有无解及可能解的个数 以F矢量的末端为圆心，以F的大小对应的长度为半径画圆弧， 通过圆弧与F?作用线的交点情况确定解的情况 从F矢量的末端到F3作用线的垂线段长度为Fsn日 -16 A:若F1<Fsm0,圆弧与F,无交点，无解，选项A错误 选项A图解 选项B图解 B:若F=Fd,圆弧与F相切，有一个交点（切点） F 所以F有唯一一个解，选项B正确 C:若Fm0<F<F,圆弧与F的作用线有两个交点 F 所以F有两个解，选项C正确 D:若F>F,圆弧与F的作用线有一个交点 选项C图解 所以F有一个解，选项D错误 选项D图解 4.如右是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F, D 滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D,已知图中2l=1.0m,b=0.05m,F=400N,滑块与左壁 B 接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）( ) A.3000W B.2000W C.1000W D.500W 21 【答案】B F-E 【解析】 D 力F按作用效果沿AB和AC两个方向分解为F与F两个分力 则有F=2 cosa→F=B=2c0s B 再将F按作用效果分解为F.和F,两个分力 则有P=Rima=Ftaa=F.'=5F=200N 2 F即等于球受到的向上顶起来的力，选项B正确 5 §2.4 力的分解 （一）力的分解方法 ▲高中阶段重点要求掌握力的二分解，少数情况下可能需要进行三分解 1．运算法则：力的分解是力的合成的逆运算，合成时的所有方法与规律对分解都适用 2．分解种数：若无条件限制，一个力可分解为无数对分力，因而进行力的分解时必须要有约束条件 【例1】已知两个共点力的合力为50N，分力F1的方向与合力F的方向成30角，分力F2的大小为30N。则（ ） A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的 C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向 3．分力方向的选定依据主要有以下几点： ①题目要求：怎么要求就怎么分解 ②作用效果：一个力产生了哪几种作用效果，就按这几种作用效果进行分解 ( θ A B C )【例2】如图所示，一直角V形槽横截面为ABC，棱B垂直向外水平固定，侧面AB与水平 面的夹角为θ，槽内有一质量为m的方形物块。现用水平向外的恒力F拉着物块在槽内匀速向外 滑动，物块与V形槽两侧面的动摩擦因数均为μ，下列说法正确的有（ ） A．F等于物块受两侧面的摩擦力大小之和 B．F的大小与θ无关，恒为μmg C．θ＝45°时F最大，最大值Fmax＝2μmg D．θ＝0与θ＝90°时F最小，最小值Fmin＝μmg ③运动状态：若物体具有加速度，一般沿加速度方向及加速度的垂直方向进行正交分解 ( M F m θ )【例3】如图所示，质量为M的斜面体置于光滑水平面上，其斜面上用平行于斜面的细线连接一个质量为m的小球，斜面的倾斜角为θ。为使小球从斜面上飘起来，作用于斜面体上水平向右的力F至少应为多少？ 4．力的分解可转化为力的合成进行运算 分解运算往往不符合人们的思维习惯，而分解是合成的逆运算，因而可将分解转化为合成进行运算。 ( F 1 F F F 2 - F 1 F 1 )力的合成可表示为：F＝F1+F2（矢量式）（求合力F） 力的分解可表示为：F2＝F-F1（矢量式）（求分力F2） 力的分解式可变为：F2＝F+（-F1）（矢量式），即：可 将F1反向变为（-F1），再将F与（-F1）进行合成求得F2。 （二）分力大小范围 1．分力大小与夹角 将一个确定的力分解为对称的两个分力，则两分力夹角越大，分力越大（不对称时比较复杂） 2．分力大小范围 【例4】两共点力F1与F2的合力为20N，其中F1＝6N，则F2的最大值为 N，最小值为 N。 规律与技巧：将合力F分解为两个分力F1与F2，F2＝F-F1＝F+（-F1）（矢量式），求分力F2的范围，其实就是求F与-F1的合力范围。 （三）正交分解法 1．一般步骤： ①选取两个互相垂直的方向作为分解方向（可定为x轴、y轴方向） ②将不在这两个方向上的力沿这两个方向进行正交分解 ③分别求出这两个方向上的合矢量（如：∑Fx、∑Fy） ④再将上述两个方向上的合力进行合成，或分别在这两个方向上分析处理 ( F 1 F 2 F 3 )【例5】三共点力大小分别为F1＝10N、F2＝10N、F3＝5N，它们的方向关系如图 方格纸中所示，求它们的合力大小。 2．两垂直方向的选取原则：尽量使问题的分析处理最为简便 ①使尽可能多的力处在这两个方向上 ②有加速度时，最好使加速度处在被选取的一个方向上 3．一点说明：正交分解后，Fx在y轴方向上无作用效果，Fy在x轴方向上无作用效果，因而正交分解法最适合于用来分析动力学问题。 【例6】在同一平面内的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和15N， 方向如图所示，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求它们的合力。 （四）多个共点力的合成方法 1．平行四边形法（用平行四边形定则依次合成）（麻烦，难度大，一般不用） 2．三角形、多边形法 3．正交分解法 4．分组法（先按各力按大小和方向的特点进行分组，每组的力先合成，再将各组的合力进行合成） ( 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F F )【例7】六个共面共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F， 相邻间夹角均为60°，如图所示，则它们的合力大小是 ， 合力方向是 。 5．特殊关系法 【例8】已知共面的三个力大小F1＝20N，F2＝30N，F3＝40N，方向互成120° 夹角，则它们的合力大小为 ，方向是 。 【作业】 班次 座次 姓名 1．一重力为mg的物块静止在倾角为θ的斜面上，根据重力产生的作用效果，可将重力分解为两个分力。已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ，下列对于分解重力的理解，正确的有（ ） A．重力平行于斜面向下的分力产生下滑效果 B．物块对斜面的压力，就是其重力垂直于斜面向下的分力 C．物块受斜面的摩擦力大小为μmgcosθ D．物块重力沿斜面向下的分力大小为mgsinθ 2．将一个F＝10N的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力F1方向与 F成30°角，另一个分力为F2，如右图所示，则下列说法正确的是（ ） A．F2的方向不可能与F平行 B．F2的大小不可能大于10N C．F1的大小不可能小于5N D．F2有可能不在F1与F所决定的平面内 3．己知力F分解为F1、F2两个分力，如果己知F1的大小及F2与F的夹角θ，且θ＜90°，则（ ） A．若F1＜Fsinθ，则F2一定有两个解 B．若F1＝Fsinθ，则F2有唯一解 C．若Fsinθ＜F1＜F，则F2一定有两个解 D．若F1＞F，则F2无解 4．如右是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F， 滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0m，b＝0.05m，F＝400N，滑块与左壁 接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）（ ） A．3000N B．2000N C．1000N D．500N ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.4 力的分解 （一）力的分解方法 ▲高中阶段重点要求掌握力的二分解，少数情况下可能需要进行三分解 1．运算法则：力的分解是力的合成的逆运算，合成时的所有方法与规律对分解都适用 2．分解种数：若无条件限制，一个力可分解为无数对分力，因而进行力的分解时必须要有约束条件 【例1】已知两个共点力的合力为50N，分力F1的方向与合力F的方向成30角，分力F2的大小为30N。则（ ） A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的 C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向 ( F= 50 N F 1 F 1 ′ 30 ° F 2 F 2 ′ = 30 N 25 )【答案】C 【解析】 如图所示，，F分解为F1与F2有两种可能，只有C正确 3．分力方向的选定依据主要有以下几点： ①题目要求：怎么要求就怎么分解 ②作用效果：一个力产生了哪几种作用效果，就按这几种作用效果进行分解 ( θ A B C )【例2】如图所示，一直角V形槽横截面为ABC，棱B垂直向外水平固定，侧面AB与水平 面的夹角为θ，槽内有一质量为m的方形物块。现用水平向外的恒力F拉着物块在槽内匀速向外 滑动，物块与V形槽两侧面的动摩擦因数均为μ，下列说法正确的有（ ） A．F等于物块受两侧面的摩擦力大小之和 B．F的大小与θ无关，恒为μmg C．θ＝45°时F最大，最大值Fmax＝2μmg D．θ＝0与θ＝90°时F最小，最小值Fmin＝μmg ( θ A B C mg mg cos θ mg sin θ )【答案】AD 【解析】如图所示，将物块的重力沿垂直于V形槽两侧面方向正交分解 物块对AB侧面的压力F1＝mgcosθ，受AB面的摩擦力f1＝μF1＝μmgcosθ（水平向里） 物块对CB侧面的压力F2＝mgsinθ，受CB面的摩擦力f2＝μF2＝μmgsinθ（水平向里） 物块匀速向外滑动，则 ( 0 45 ° θ F 90 ° )由此可知选项A正确，B错误 由三角函数知识可知，θ＝45°时F最大，最大值，选项C错误 由函数式可知的函数图像如右所示，易知D正确 ③运动状态：若物体具有加速度，一般沿加速度方向及加速度的垂直方向进行正交分解 ( M F m θ )【例3】如图所示，质量为M的斜面体置于光滑水平面上，其斜面上用平行于斜面的细线连接一个质量为m的小球，斜面的倾斜角为θ。为使小球从斜面上飘起来，作用于斜面体上水平向右的力F至少应为多少？ 【答案】 【解析】 设加速度为a。将绳对小球的拉力T沿水平和竖直方向正交分解 ( M F m θ T T y T x mg θ )水平方向：Tcosθ＝ma；竖直方向：Tsinθ＝mg 联立解得： 对整体用牛顿第二定律，得 4．力的分解可转化为力的合成进行运算 分解运算往往不符合人们的思维习惯，而分解是合成的逆运算，因而可将分解转化为合成进行运算。 ( F 1 F F F 2 - F 1 F 1 )力的合成可表示为：F＝F1+F2（矢量式）（求合力F） 力的分解可表示为：F2＝F-F1（矢量式）（求分力F2） 力的分解式可变为：F2＝F+（-F1）（矢量式），即：可 将F1反向变为（-F1），再将F与（-F1）进行合成求得F2。 （二）分力大小范围 1．分力大小与夹角 将一个确定的力分解为对称的两个分力，则两分力夹角越大，分力越大（不对称时比较复杂） 2．分力大小范围 【例4】两共点力F1与F2的合力为20N，其中F1＝6N，则F2的最大值为 N，最小值为 N。 【答案】26，14 【解析】合力 对力的合成矢量式进行变换： 求分力，就相当于求与的合力 ，则的大小也为 与同向（即与反向）时最大，最大值为 与反向（即与同向）时最小，最小值为 规律与技巧：将合力F分解为两个分力F1与F2，F2＝F-F1＝F+（-F1）（矢量式），求分力F2的范围，其实就是求F与-F1的合力范围。 （三）正交分解法 1．一般步骤： ①选取两个互相垂直的方向作为分解方向（可定为x轴、y轴方向） ②将不在这两个方向上的力沿这两个方向进行正交分解 ③分别求出这两个方向上的合矢量（如：∑Fx、∑Fy） ④再将上述两个方向上的合力进行合成，或分别在这两个方向上分析处理 ( F 1 F 2 F 3 )【例5】三共点力大小分别为F1＝10N、F2＝10N、F3＝5N，它们的方向关系如图 方格纸中所示，求它们的合力大小。 ( F 1 F 2 F 3 x y O F 1 x F 3 x F 1 y F 3 y ) 【答案】13N 【解析】 如图建立直角坐标系将F1、F3正交分解，得 F1x＝8N，F1y＝6N；F3x＝-3N，F3y＝-4N 则：ΣFx＝F1x+F3x＝5N；ΣFy＝F2+F1y+F3y＝12N 总的合力大小 2．两垂直方向的选取原则：尽量使问题的分析处理最为简便 ①使尽可能多的力处在这两个方向上 ②有加速度时，最好使加速度处在被选取的一个方向上 3．一点说明：正交分解后，Fx在y轴方向上无作用效果，Fy在x轴方向上无作用效果，因而正交分解法最适合于用来分析动力学问题。 【例6】在同一平面内的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和15N， 方向如图所示，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求它们的合力。 ( y x O F 2 F 1 F 3 F 4 37 ° 37 ° )【答案】大小为38.2N，方向与F1夹角为45°斜向右上方 【解析】用正交分解法求解： 如图建立直角坐标系将力沿x、y方向正交分解 x轴和y轴方向的合力Fx和Fy分别为： Fx＝F1＋F2cos37°－F3cos37°＝27N Fy＝F2sin37°＋F3sin37°－F4＝27N 则总的合力： ， 即合力的大小约为38.2N，方向与F1夹角为45°斜向右上方 （四）多个共点力的合成方法 1．平行四边形法（用平行四边形定则依次合成）（麻烦，难度大，一般不用） 2．三角形、多边形法 3．正交分解法 4．分组法（先按各力按大小和方向的特点进行分组，每组的力先合成，再将各组的合力进行合成） ( 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F F )【例7】六个共面共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F， 相邻间夹角均为60°，如图所示，则它们的合力大小是 ， 合力方向是 。 【答案】6F，与5F的那个力方向一致 ( 3 F 3 F 3 F 60 ° 60 ° )【解析】将共线的两个力分为一组，共分为3组 每一组分别求合力，每一组的合力大小均为3F，如右图所示 再次这3个3F的力合成，得总合力大小为6F，方向与原5F的力方向一致 【特别说明】人们生活在一个有方向的三维空间中，矢量的方向，本来是一个很简单的问题 但学生对于方向的描述，却是一大难点！任何一次对任意简单方向的描述，总是有大部分学生说不清、说不对！ 对于本题合力方向，不能说“向左偏上60°”（因为这6个力可能全在水平面内），更不能说东南西北这些方向（注意：“上北下南、左西右东”，只是画标准地图时的方向规定。绘制地图时，为了让人们一看就知道方向，全世界统一规定为“上北下南、左西右东”。如果不是按这种规定制图的，则要在地图上标注方向。而画其他图时，没有“上北下南、左西右东”的规定）。 本题描述合力的方向，应该以原有的6个力的方向作为参考，而不能自行设定上下左右、水平竖直，或东南西北。 5．特殊关系法 ( F 3 ＝ 40 N F 2 ＝ 3 0 N F 1 ＝ 2 0 N )【例8】已知共面的三个力大小F1＝20N，F2＝30N，F3＝40N，方向互成120° 夹角，则它们的合力大小为 ，方向是 。 【答案】，与F2垂直且与F3成30°角 【解析】 ( F ′ 3 ＝ 2 0 N F ′ 2 ＝ 1 0 N F )从三个力中各提取一个20N的力，这三个20N的力互成120°角，合力为0 剩下的两个力，，两者成120°角 再将与合成，易得合力大小，方向与F2垂直且与F3成30°角 【作业】 班次 座次 姓名 1．一重力为mg的物块静止在倾角为θ的斜面上，根据重力产生的作用效果，可将重力分解为两个分力。已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ，下列对于分解重力的理解，正确的有（ ） A．重力平行于斜面向下的分力产生下滑效果 B．物块对斜面的压力，就是其重力垂直于斜面向下的分力 C．物块受斜面的摩擦力大小为μmgcosθ D．物块重力沿斜面向下的分力大小为mgsinθ 【答案】AD ( mg θ θ G x =mgsin θ F 压 G y )【解析】本题主要是B选项容易错 物块的重力垂直于斜面向下的分力就只是重力的分力，不是对斜面的压力 从以下几个方面可以说明： ①存在性：物块对斜面的压力F压是客观存在的，而重力的分力Gy是假想不存在的 ②受力物体：压力的受力物体是斜面，而重力的受力物体是物块 ③力的性质：压力属于弹力，而重力属于万有引力 C选项错误的原因：静摩擦力不符合滑动摩擦力公式，根据物体受力平衡求得摩擦力大小应为mgsinθ 2．将一个F＝10N的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力F1方向与 F成30°角，另一个分力为F2，如右图所示，则下列说法正确的是（ ） A．F2的方向不可能与F平行 B．F2的大小不可能大于10N C．F1的大小不可能小于5N D．F2有可能不在F1与F所决定的平面内 【答案】AC 【解析】 两个共点力F1与F2及其它们的合力F，这三个力的矢量只存在两种关系：要么共线，要么构成一个闭合的三角形 ( F 1 F 2 30 ° θ F F 1 F 2 min 图（1） 图（2） )A：F1与F不共线，若F2与F平行又不能构成闭合三角形，所以F2与F不可能平行，选项A正确 B：如图（1），若，则，选项B错误 C：当F2垂直于F1时，F2取得最小值 F2的最小值，选项C正确 D：平行四边形和三角形都是平面图形，两共点力合成遵循平行四边形定则或三角形定则 所以，两共点力F1与F2及其它们的合力F必在同一平面内，选项D错误 3．己知力F分解为F1、F2两个分力，如果己知F1的大小及F2与F的夹角θ，且θ＜90°，则（ ） A．若F1＜Fsinθ，则F2一定有两个解 B．若F1＝Fsinθ，则F2有唯一解 C．若Fsinθ＜F1＜F，则F2一定有两个解 D．若F1＞F，则F2无解 【答案】BC 【解析】 ( θ F F 2 F 1 选项 A 图解 选项 B 图解 θ F F 2 F 1 )本题用圆弧交点法分析有无解及可能解的个数 以F矢量的末端为圆心，以F1的大小对应的长度为半径画圆弧， 通过圆弧与F2作用线的交点情况确定解的情况 从F矢量的末端到F2作用线的垂线段长度为 A：若F1＜Fsinθ，圆弧与F2无交点，无解，选项A错误 ( F F 2 F 1 θ F 2 F 1 选项 C 图解 F F 2 F 1 θ 选项 D 图解 )B：若F1＝Fsinθ，圆弧与F2相切，有一个交点（切点） 所以F2有唯一一个解，选项B正确 C：若Fsinθ＜F1＜F，圆弧与F2的作用线有两个交点 所以F2有两个解，选项C正确 D：若F1＞F，圆弧与F2的作用线有一个交点 所以F2有一个解，选项D错误 4．如右是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F， 滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0m，b＝0.05m，F＝400N，滑块与左壁 接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）（ ） ( F F 1 F 2 F 1 F y F x α )A．3000N B．2000N C．1000N D．500N 【答案】B 【解析】 力F按作用效果沿AB和AC两个方向分解为F1与F2两个分力 则有 再将F1按作用效果分解为Fx和Fy两个分力 则有 Fy即等于球受到的向上顶起来的力，选项B正确 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $§2.4力的分解 (一)力的分解方法 ▲高中阶段重点要求掌握力的二分解，少数情况下可能需要进行三分解 1,运算法则：力的分解是力的合成的逆运算，合成时的所有方法与规律对分解都适用 2.分解种数：若无条件限制，一个力可分解为无数对分力，因而进行力的分解时必须要有约束条件 【例1】已知两个共点力的合力为50N,分力F的方向与合力F的方向成30°角，分力F的大小为30W。则() A.F的大小是唯一的B.F的方向是唯一的C.F有两个可能的方向D.F2可取任意方向 3.分力方向的选定依据主要有以下几点： ①题目要求：怎么要求就怎么分解 ②作用效果：一个力产生了哪几种作用效果，就按这几种作用效果进行分解 【例2】如图所示，一直角V形槽横截面为ABC,棱B垂直向外水平固定，侧面AB与水平 面的夹角为日，槽内有一质量为m的方形物块。现用水平向外的恒力F拉着物块在槽内匀速向外 滑动，物块与V形槽两侧面的动摩擦因数均为4，下列说法正确的有() A.F等于物块受两侧面的摩擦力大小之和B.F的大小与无关，恒为umg C.9=45时F最大，最大值Fma=2wmgD.日=0与日=90°时F最小，最小值Fmm=umg ③运动状态：若物体具有加速度，一般沿加速度方向及加速度的垂直方向进行正交分解 【例3】如图所示，质量为M的斜面体置于光滑水平面上，其斜面上用平行于斜面的细线连接一个质量为m的小球， 斜面的倾斜角为8。为使小球从斜面上飘起来，作用于斜面体上水平向右的力F至少应为多少？ 8 4.力的分解可转化为力的合成进行运算 分解运算往往不符合人们的思维习惯，而分解是合成的逆运算，因而可将分解转化为合成进行运算。 力的合成可表示为：F=F+F2(矢量式)（求合力F) F 力的分解可表示为：F2=F-F1(矢量式)（求分力F) 力的分解式可变为：F2=F+(-F)(矢量式)，即：可 将F1反向变为(-乃)，再将F与(-乃)进行合成求得F2。 (二)分力大小范围 1.分力大小与夹角 将一个确定的力分解为对称的两个分力，则两分力夹角越大，分力越大（不对称时比较复杂） 2.分力大小范围 【例4】两共点力F可1与F2的合力为20N,其中F可1=6N,则F2的最大值为N,最小值为。 规律与技巧：将合力F分解为两个分力F1与F2,F2=F-=F+（-F)(矢量式)，求分力F2的范 围，其实就是求F与F的合力范围。 (三)正交分解法 1.一般步骤： ①选取两个互相垂直的方向作为分解方向（可定为x轴、y轴方向） ②将不在这两个方向上的力沿这两个方向进行正交分解 ③分别求出这两个方向上的合矢量（如：∑F、∑F,) ④再将上述两个方向上的合力进行合成，或分别在这两个方向上分析处理 1 【例5】三共点力大小分别为F1=10W、F,=10W、F3=5N,它们的方向关系如图 方格纸中所示，求它们的合力大小。 2.两垂直方向的选取原则：尽量使问题的分析处理最为简便 ①使尽可能多的力处在这两个方向上 3 ②有加速度时，最好使加速度处在被选取的一个方向上 3.一点说明：正交分解后，F在y轴方向上无作用效果，F,在x轴方向上无作用效果，因而正交分 解法最适合于用来分析动力学问题。 【例6】在同一平面内的四个力F、乃3、3、4的大小依次为19N、40N、30N和15N, F2 方向如图所示，s37°=0.6，cos37°=0.8，求它们的合力。 106° 87°F, (四)多个共点力的合成方法 1.平行四边形法（用平行四边形定则依次合成）（麻烦，难度大，一般不用） 2.三角形、多边形法 3.正交分解法 4. 分组法（先按各力按大小和方向的特点进行分组，每组的力先合成，再将各组的合力进行合成） 【例7】六个共面共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F, SF 4F 相邻间夹角均为60°，如图所示，则它们的合力大小是 6F 3F 合力方向是 5.特殊关系法 F 2F 【例8】已知共面的三个力大小F1=20N,F,=30W,F,=40W,方向互成120 夹角，则它们的合力大小为，方向是 【作业】 班次座次 姓名 1.一重力为mg的物块静止在倾角为的斜面上，根据重力产生的作用效果，可将重力分解为两个分力。已知物块与 斜面间的动摩擦因数为4，下列对于分解重力的理解，正确的有() A.重力平行于斜面向下的分力产生下滑效果 B.物块对斜面的压力，就是其重力垂直于斜面向下的分力 C.物块受斜面的摩擦力大小为ugcos8 D.物块重力沿斜面向下的分力大小为mgsn8 2.将一个F=10N的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力乃方向与 F成30°角，另一个分力为乃2，如右图所示，则下列说法正确的是() A.F,的方向不可能与F平行 B.F2的大小不可能大于10N C.F的大小不可能小于5N D.F:有可能不在F与F所决定的平面内 30° →万 3.己知力F分解为F1、F两个分力，如果己知F的大小及乃与F的夹角8，且日<90°，则( A.若F可1<Fsn8,则F2一定有两个解B.若F1=Fsm8,则F2有唯一解 D C.若Fs8<<F,则F一定有两个解D.若F>F,则F无解 4.如右是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F, 滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D,己知图中2l=1.0m,b=0.05m,F=400W,滑块与左壁 21% 接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）() A.3000W B.2000N C.1000W D.500W C