2027届高三物理一轮复习讲义：1.6 追及相遇与极值问题

该高中物理讲义聚焦高考运动学核心考点追及相遇与极值问题，按概述、分析思路、物理方法、数学方法及方程根意义的逻辑架构，通过考点梳理、临界条件与“两图三式”工具指导、16道典型例题及分层作业训练，帮助学生系统突破运动关系分析难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如用“等速最距”规律分析追及临界条件，结合v-t图像面积解读相对位移，设计刹车类、往返类问题专项突破。分层作业覆盖基础到综合应用，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

§1.6追及相遇与极值问题 (一)追及问题概述 追及问题是有关于两物体在同一直线上同向运动时（也有不在同一直线上运动的情况），后面的物体 (设为A)追赶前面的物体（设为B),讨论①能否追上：②何时何处追上：③何时相距最近或最远：④ 相隔的最近或最远距离为多少：⑤为使能追上或不能追上的条件等等问题。 在共线追及问题中，只有当追及物A的速度大于被追及物B的速度时才有可能追上。即：当4>s 时，A、B间的距离在缩小；当v4<B时，A、B间的距离在拉大。 （二)相遇问题概述 相遇问题与追及问题类似，一般是讨论①能否相遇；②何时何处相遇；③能相遇的次数：④为使能 相遇或不能相遇的条件等等问题。 从两物体的运动情况来看，有①同时与不同时出发；②同地与不同地出发；③运动方向同向、相向、 背向、垂直；④运动轨迹为直线或环线；⑤运动状态为匀速或变速等各种情况。 （三)分析思路及注意事项 1.临界条件一共线时等速，不共线时垂直与瞄准 （1)共线时等速：两物体共线运动，两物体速度相等（v4=v),往往是物体间能否追上，或相距最 近最远的临界条件，也是分析判断问题的切入点 (2)不共线时垂直与瞄准 【例1】如图所示，在禁渔区，一条渔船A正在进行非法捕鱼。岸边的渔政船B发现后立即做匀速直线运动前去拦截， 渔船A则沿平行于岸边的直线MN以vA=10mk的速度匀速撤离禁渔区，开始时两船位置关系如图，sm37°=0.6。 (1)为能追上渔船A,渔政船B的速度至少要多大？ (2)在上述情况下，B经多长时间追上A?B行驶的路程为多少？ A VA M--0=37 --------…W 1d=600m 海岸线 2.分析工具一两图三式 （1)两图：①运动过程示意图；②运动图像 （2)三式：三个等量关系①时间关系式；②位移关系式；③速度关系式 画出运动过程示意图，或运动图像（如vt图、xt图、αt图等等，找出两物体运动的时间关系，位 移关系，或速度关系，根据时间相等，位移相等，或速度及平均速度相等列方程 (我们所遇到的追及相遇各类习题，绝大部分可通过列位移关系方程求解，少数需要列时间关系方 程，当然有些问题可能列速度关系方程更简便) 3.初始状态一注意是否三同：同时同地同向 4.终极状态一注意限速与刹停 (重要提醒：只要涉及物体做减速运动，一定要注意在所研究的过程中，物体的速度是否会减到0， 以及速度减到0后是否会反向继续运动) 【例2】如图所示，A、B两物体相距x=7m,物体A以v4=4ms的速度向右 VA VB 匀速运动，而物体B此时的速度va=10ms,只在摩擦力作用下向右做匀减速运动， A 加速度a=-2ms2,那么物体A追上物体B所用的时间为( ▣B A.7s B.8s C.9s D.10s 1 (四)物理方法（即通常所说的分析法） 1.临界条件法(4=B) “等速最距”规律：在物体A追赶B的追及或相遇问题中，4=VB往往是求解的关键性条件。根据 运动的不同条件，4=ⅴs往往是两物体相距最近、最远、或恰好追上而不相撞的临界条件。 【例3】物体A、B同时从同一地点、向同一方向开始运动。A以10mk的速度匀速前进，B以2ms2的加速度从静止 开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。 2.相对运动法（换参法) 无论共线运动还是不共线运动，用相对运动法分析追及相遇极值问题，往往都比较方便。 【例4】军事演习中，在M点的正上方离地H=2000n高处，一架蓝军飞机以水平向右的速度v1=0.9ams发射一颗炮 弹1，欲轰炸地面目标P,红军的地面拦截系统同时在M点右方水平距离s=1500m的地面上的N点，以速度2发射拦截 跑雅2。如图所示，若不计空气阻力，重力加速度80公，153青 (1)若炮弹1刚好能击中目标P,求目标P离M点的水平距离so; (2)红军欲拦截成功，沿竖直向上发射拦截炮弹2的速度2的大小应为多少？ (3)若2的大小等于1的大小，红军欲拦截成功，问发射拦截炮弹2的速度2的方向应如何？ H (五)数学方法 这种方法主要是运用数学工具来处理物理问题，用这种方法解题时要注意数学方法及结论的物理 意义。用这种方法来处理追及与相遇问题，主要有方程法、函数法、不等式法和几何作图法 1.方程法 A追上B及A与B相遇时，它们必处在同一位置，因而可利用它们的位移（或位置坐标)相等列方 程求解，即利用位移公式求解。解题时可运用方程解的情况、根的判别式等工具进行处理。 涉及匀变速运动时，位移或相对位移x关于时间t的方程一般为一元二次方程，其根的判别式△： (1)若△>0有两解，说明两物体可能相遇两次： (2)若△=0有一解，说明两物体相遇一次： (3)若△>0无解，说明两物体不能相遇。 【例5】如图所示，甲、乙两辆小汽车原来停在平直公路MN上相距为85m的A、B两处，现甲车先开始向右做匀加 速直线运动，加速度a1=2.5m/s2;甲车运动6.0s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2=5.0ms2。两车处在不同 车道上，相遇时互不影响，求两辆汽车相遇时距A处的距离。 甲车 乙车 M 6 W A B 2 【例6】小球A从H高处自由落下，同时从A的正下方的地面上的P点以速度%竖直上抛一小球B。 (1)为使B球在回到P点之前能与A球相遇，v必须大于何值？ (2)为使B球能在上升过程中与A球相遇，v必须大于何值？ 【例7】如图所示，一客运汽车在平直的公路上以a=1ms2的加速度由静止开始匀加速运动，同时，车后60m处一乘 客以某一速度v匀速追赶汽车。乘客要喊住客运汽车，必须使乘客与汽车的距离不超过20m,且至少要保持2s,求乘客运 动速度v至少要多大才能将客车喊住。 ooo 60m 2.函数法 即利用相对位移函数式S相=SA一SB(A相对于B的相对位移)或S相=SB一SA(B相对于A的相对位 移)求解。这种方法实际上也是利用位移公式求解。解题时可运用函数的性质，如极值等处理。 (1)函数性质法（对称轴方程求条件、顶点坐标求极值） (2)求导法（导数为0得极值） 【例8】如图所示，A、B两车在同一平直道路上同向行驶，速度分别为v1=8m/s,v2=20m/s。当它们相距xo=28m时， 由于前方出现紧急情况，B车立即刹车以大小a=2ms2的加速度做匀减速运动，A车一直做匀速运动。求： (1)A车追上B车之前，两车相距的最大距离； (2)从B车开始刹车后，A车追上B车所用的时间。 ⊙ A 3 3.图象法 识图用图五要素：点、线、面、斜、截（图像各量的具体含义，根据推导出来的函数表达式确定） (1)点：端点定范围（或极值），最高最低点定极值，转折点定运动状态变化，交点定关系（速度 图像交点表示共速，位移图像交点往往表示相遇) (2)线：图线的形状反映运动类型 (3)面：-t图，图线与t轴所夹图形面积表示位移： A、B共线运动时，在同一坐标系中作出它们的-t图， 则两图线所夹“面积”表示相对位移。 (4)斜：x-t图斜率表示速度，v-t图斜率表示加速度 (5)截：纵轴上的截距往往表示初始量 【例9】甲、乙两汽车在同一平直公路上同向行驶，甲在后乙在前。 个v/ms-1 =0时刻两车同时开始刹车，刹车后两车的运动图象如图所示，且运动中 发生了撞车事故。下列说法中正确的有() 甲 A.开始刹车时两车的距离一定小于87.5m 15 B.开始刹车时两车的距离一定小于100m C.撞车一定发生在t=20s以前的某时刻 O 202530t/s D.撞车可能发生在t=25s至t=30s之间的某时刻 【例10】甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置， ↑v/(ms) 15 乙 甲一 此时甲的速度为5ms,乙的速度为10ms,甲车的加速度大小恒为1.2m/s2。以此时作为计 10 时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知( A.乙车加速度先增大后减小 B.在前4s内，甲车运动位移为29.6m C.在t=4s时，甲车追上乙车 D.在t=10s时，乙车又回到起始位置 0246810/s 【例11】一辆摩托车的最大速度vm=30/s,要想用摩托车从静止开始用180s的时间正好追上前方300m处正以20m/s 的速度向前匀速行驶的汽车，且摩托车在加速阶段做匀加速直线运动，试求摩托车做匀加速直线运动的加速度。 (六)方程根的物理意义与相遇次数问题 一个物理问题，设定某个未知量后，根据物理原理或规律列方程，解这个方程，得到一个或几个根， 这些根可能符合物理事实，也可能与事实不符，我们必须作出正确的判断和取舍。 涉及匀变速运动时，位移x(或追及问题中的相对位移，或两物体的相隔距离)是关于时间t的二次 函数，速度位移公式也涉及到速度的二次方，因而与匀变速运动相关的问题，列出的方程往往为二次方 程。由数学知，二次方程可能有两个不同的根，甚至出现负根，我们更应注意分析每个根出现的原因和 条件及其物理含义，从而做出正确取舍，得到正确结论。 1.负根类 与匀变速运动相关的问题，以时间t或速度v为未知量列出的二次方程，其方程的根有三种可能： ①两个正根：②两个负根：③一正一负 一般来说，一个物理问题设定了记时起点，时间为负是无意义的；速度的正负表示方向，正负根可 能都有意义。 如果出现两个正根，两个正根可能都有意义，也可能只有一个根有意义（如果关于时间的方程有两 个正根，往往是小的那个有意义，大的应舍去)。 4 【例12】某星球（无大气层）上的重力加速度g=4m/s2,从高处以vo=12ms的初速度竖直上抛一小球，则小球运动 到离抛出点的高度差h=10m处（未落地)所经历的时间为( ) A.1s B.5s C.3-14)s D.(3+V14)s 【例13】如图所示，在一平直的轨道上，一质点A以vA=5m5的速度匀速运动。A的后方x0=6m处，另一质点B以 yg=3ms的初速度、a=lm/s2的加速度匀加速同向追赶。 (1)经多长时间B追上A? B VE AA (2)B追上A之前，B离A的最大距离为多少？ 2.往返类 一个物体做匀减速运动（或：一个物体相对于另一物体做匀减速运动），速度（相对速度）减到零后， 一般会出现两种情况： (1)再反向加速运动（往返类）：又分为往返对称类（加速度相同）和往返不对称类（加速度不同） (2)停止运动（刹车类）：解题中要特别注意在研究的时间范围内物体是否已经停止运动 【例14】如图所示，在平直的公路上，一人以v=6ms的速度沿人行道匀速跑步，当他离前方一辆小汽车的距离xo =16m时，小汽车从静止开始以a=1ms2的加速度同向做匀加速直线运动，则() A.人不能追上小汽车，人在车后的最小距离为2m 一一一一 车● B.人能追上小汽车，人超过车后，人在车前的最大距离为2m C.经时间t=4s人追上小汽车 人● D.经时间t=&人追上小汽车 3.刹车类 刹车类问题，主要有两种情况可能导致增根或错根： (1)在自身刹停前，已经追上并超过了前车（此根有意义），但自身减速快，且没有限定时间，速 度减到0后加速度仍存在，它会反向运动，仅按数学方程，反向后又会相遇，但实际不可能 (2)前车先刹停，后车才追上来与静止的前车相遇，但按原来的匀减速运动求得的结果是错误的： 或者先超过前车后刹停在前面，后又被后车反超，但按原方程求得的两根，往往大的是错根 【例15】如图所示，在平直公路的两车道上，A、B两车分别以vA=40ms、vB=10ms的速度同向行驶。当A在B的 后方离B的距离为o时，A车以大小a=1m/s2的加速度开始匀减速刹车。 (1)若xo=432m,求经多长时间A、B两车相遇： VA (2)若xo=250m,求经多长时间A、B两车相遇。 B●>VB 5 4.相遇次数问题 相遇次数问题，就是方程根是否有意义的问题，就是要分析方程有几个根与事实相符。 相遇次数问题，总体来说比较复杂，在此给出三种简单情况的结论： （1)共线的两个匀速直线运动，最多相遇一次 ①若A对B的相对速度指向B,则可相遇一次 ②若A对B的相对速度背向B,则不可相遇 ③间隔距离不存在最大值和最小值 ▲加速度相同的共线的两个匀变速直线运动，情况相同 (2)同时同地出发的两个共线匀变速直线运动（或其中一个为匀速直线运动），最多相遇一次 (因为二次方程最多只有两根，而出发点就是其中一个) (3)共线的两个匀变速直线运动（或一个匀变速直线运动与一个匀速直线运动)，最多相遇两次 【例16】甲、乙两物体同时同向运动，乙在甲前方xo处，甲做初速度为6ms,加速度为1ms2的匀加速直线运动，乙 做初速度为零，加速度为2s2匀加速直线运动，在运动过程中两个物体不会相碰，则( A.若知=18m,两车相遇1次 B.若xo=36m,两车相遇1次 C.若xo<18m,两车相遇2次 D.若o=54m,两车相遇1次 【作业】 班火 座次 姓名 1.在平直的公路上，汽车以16s的速度行驶。从某时刻开始，该汽车以大小恒定的加速刹车，开始刹车后经过8s 的位移为32m。则汽车刹车的加速度大小为ms2。 2.一辆汽车在平直的公路上行驶，从某一时刻开始紧急刹车而做匀减速直线运动。开始刹车后第1s内的位移为16m, 第3s内的位移为1m,则刹车的加速大小为 二，开始刹车时的初速度大小为」 3.汽车以10ms的速度在平直公路上前进，在它的前方S处有一自行车正以4m6的速度同向匀速行驶，汽车立即关 闭油门做a=-6m/s2的匀减速运动。若汽车恰好不碰上自行车，则S的大小为( ) A.9.67m B.3.33m C.3m D.7m 4.汽车A停在十字路口，绿灯亮起时以0.4ms2的加速度起动做匀加速运动，经30s后变为匀速直线运动。设在绿灯 亮起的同时，汽车B以8s的速度从A车旁边同向驶过做匀速直线运动，则从绿灯亮起时开始( ) A.A车在加速过程中与B车相遇 B.A、B相遇时速度相同 C.相遇时A车做匀速运动 D.两车不可能再次相遇 5.甲、乙两车在同一直道上同向行驶，甲在前乙在后。t=0时刻两车同时开始做 个lmgl 匀减速运动并安全停下，两车的一t图象如图所示，则下列说法中正确的有( 15 甲 A.t=4s时两车相距最远 10 B.t=6s时两车相距最远 C.两车之间的距离先减小后增大 4 6 8 t/s D.t=0时刻无论两车相距多远，它们以后的运动中都不会相撞 6.(2021年重庆卷)质量相同的甲、乙两小球（视为质点）以不同的初速度竖直 4 上抛，某时刻两球发生正碰。图中实线和虚线分别表示甲、乙两球位置随时间变化的 曲线，其中虚线关于t=1左右对称，实线两个顶点的纵坐标相同，若小球运动中除碰 撞外仅受重力，则() A.t=0时刻，甲的速率大于乙的速率B.碰撞前后瞬间，乙的动量不变 h C.碰撞前后瞬间，甲的动能不变 D.碰撞后甲的机械能大于乙的机械能 个x/m 7.在平直公路上行驶的a车和b车，其位移-时间(x-t)图象分别为图中直线a和曲线b, 己知b车的加速度恒定且等于-2m/s,t=3s时，直线a和曲线b刚好相切，则( ) A.a车做匀速运动且速度，二8 3m/了B.t=3s时a车和b车相海但此时速度不等 C.t=1s时b车的速度为10m/s D.t=0时a车和b车的距离xo=9m 8.一物体以5ms的初速度从光滑斜面上某处开始向上运动，其加速度恒为2ms2,设斜面足够长，经过时间t物体的 位移大小为4m,则时间t可能为（) A.Is B.3s C.4s D.5+V41 2 9.如图，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，v=20ms、 vz=30m。甲车长1=8.0m,乙车长lz=7.5m,车宽均为d=2.0m。当甲、乙两车车头到十字路口中心点O的距离分别 为s甲=31.0m、sz=41.0m时，乙车意识到有撞车的危险立即采取措施避让，而甲车仍保持原有运动状态向前行驶。 (1)若乙车立即刹车做匀减速直线运动让甲车先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？ (2)若乙车立即加速做匀加速直线运动让自己先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？ 10.汽车前方120m处有一自行车正以6ms的速度匀速前进，汽车以18ms的速度追赶自行车。若两车在同一条公路 的不同车道上做同向的直线运动。 (1)经多长时间，两车第一次相遇？ (2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2ms?,则再经多长时间两车第二次相遇？ 11.如图所示，足够长的斜面倾斜角8=37°，一小滑块从斜面底端以vo=16m的初速度冲上斜面，与斜面间动摩擦 因数u=0.25。取重力加速度g=10ns2,sn37°=0.6，cos37°=0.8。经多长时间物块在斜面上的位移大小x=12m? 7 12.在某铁路与公路交叉的道口处安装的自动栏木装置如下图所示。当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯， 警告未越过停车线的汽车迅速制动，而已越过停车线的汽车能在列车到达道口前全部安全通过道口。己知高速列车的速度 v1=120am/h,汽车过道口的速度v2=5am/h,汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是so=5m,道口宽度s=26m,汽车 长1=15m。若栏木关闭时间1=16s,为保障安全需多加时间t2=20s。问：列车从A点到道口的距离L应为多少才能确保 行车安全？ 道 火车 口 一栏木 So 不厂 停车线 汽车 13.甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲=16ms,加速度大小a甲=2m/s2, 做匀减速直线运动，乙以初速度yz=4m/s,加速度大小a,=1m/s,做匀加速直线运动，求： (1)两车再次相遇前二者间的最大距离： (2)到两车再次相遇所需的时间。 14.货车A正在公路上以20ms的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的 轿车B时，两车距离仅有75m。 (1)若此时B车立即以2ms2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞， 求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车司机发现B车开始到撞上B车的时间； (2)若A车司机发现B车，立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2ms2(两车均视为质点)， 为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问：B车加速度至少多大才能避免相撞。 (公路很窄，无法靠边让道) 8 §1.6 追及相遇与极值问题 （一）追及问题概述 追及问题是有关于两物体在同一直线上同向运动时（也有不在同一直线上运动的情况），后面的物体（设为A）追赶前面的物体（设为B），讨论①能否追上；②何时何处追上；③何时相距最近或最远；④相隔的最近或最远距离为多少；⑤为使能追上或不能追上的条件等等问题。 在共线追及问题中，只有当追及物A的速度大于被追及物B的速度时才有可能追上。即：当vA＞vB时，A、B间的距离在缩小；当vA＜vB时，A、B间的距离在拉大。 （二）相遇问题概述 相遇问题与追及问题类似，一般是讨论①能否相遇；②何时何处相遇；③能相遇的次数；④为使能相遇或不能相遇的条件等等问题。 从两物体的运动情况来看，有①同时与不同时出发；②同地与不同地出发；③运动方向同向、相向、背向、垂直；④运动轨迹为直线或环线；⑤运动状态为匀速或变速等各种情况。 （三）分析思路及注意事项 1．临界条件——共线时等速，不共线时垂直与瞄准 （1）共线时等速：两物体共线运动，两物体速度相等（vA＝vB），往往是物体间能否追上，或相距最近最远的临界条件，也是分析判断问题的切入点 （2）不共线时垂直与瞄准 【例1】如图所示，在禁渔区，一条渔船A正在进行非法捕鱼。岸边的渔政船B发现后立即做匀速直线运动前去拦截，渔船A则沿平行于岸边的直线MN以vA＝10m/s的速度匀速撤离禁渔区，开始时两船位置关系如图，sin37°＝0.6。 （1）为能追上渔船A，渔政船B的速度至少要多大？ ( A B v A M N d ＝ 600 m θ ＝ 37 ° 海岸线 )（2）在上述情况下，B经多长时间追上A？B行驶的路程为多少？ 【答案】（1）6m/s；（2）125s，750m 【解析】不共线运动的妙解方法：换参法 以A为参考系分析B的运动 为使B能追上A，应使B对A的相对速度指向A （不共线的临界条件：瞄准） ( A B v A M N d ＝ 600 m θ ＝ 37 ° 海岸线 v B v 相 - v A θ )（1）作B对A的相对速度矢量图 当垂直于B、A连线时最小，最小值 （不共线的临界条件：垂直） （2）上述情况下，相对速度 相对位移 则所用时间 B行驶的路 2．分析工具——两图三式 （1）两图：①运动过程示意图；②运动图像 （2）三式：三个等量关系①时间关系式；②位移关系式；③速度关系式 画出运动过程示意图，或运动图像（如v-t图、x-t图、a-t图等等，找出两物体运动的时间关系，位移关系，或速度关系，根据时间相等，位移相等，或速度及平均速度相等列方程 （我们所遇到的追及相遇各类习题，绝大部分可通过列位移关系方程求解，少数需要列时间关系方程，当然有些问题可能列速度关系方程更简便） 3．初始状态——注意是否三同：同时同地同向 4．终极状态——注意限速与刹停 （重要提醒：只要涉及物体做减速运动，一定要注意在所研究的过程中，物体的速度是否会减到0，以及速度减到0后是否会反向继续运动） ( x v A v B A B )【例2】如图所示，A、B两物体相距x＝7m，物体A以vA＝4m/s的速度向右 匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动， 加速度a＝-2m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为（ ） A．7s B．8s C．9s D．10s 【答案】B 【解析】 物体B从开始到停下来所用的时间 该过程中物体B前进的距离，物体A前进的距离 物体A、B相距 物体A需继续行驶一段时间才能追上物体B， 故物体A追上物体B所用的时间，B正确 （四）物理方法（即通常所说的分析法） 1．临界条件法（vA＝vB） “等速最距”规律：在物体A追赶B的追及或相遇问题中，vA＝vB往往是求解的关键性条件。根据运动的不同条件，vA＝vB往往是两物体相距最近、最远、或恰好追上而不相撞的临界条件。 【例3】物体A、B同时从同一地点、向同一方向开始运动。A以10m/s的速度匀速前进，B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。 【答案】25m 【解析】 分析：＜时，A、B间距变大；＞时，A、B间距变小。则＝时，A、B间距最大 已知＝10m/s，＝2m/s2，设经时间t时＝，则 A、B间的最大距离 【说明】用分析法，解题中应有简单的分析过程和分析结论，在分析得到的结论的基础上才便于进一步往下解题 2．相对运动法（换参法） 无论共线运动还是不共线运动，用相对运动法分析追及相遇极值问题，往往都比较方便。 【例4】军事演习中，在M点的正上方离地H＝2000m高处，一架蓝军飞机以水平向右的速度v1＝0.9km/s发射一颗炮弹1，欲轰炸地面目标P，红军的地面拦截系统同时在M点右方水平距离s＝1500m的地面上的N点，以速度v2发射拦截炮弹2，如图所示，若不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，。 （1）若炮弹1刚好能击中目标P，求目标P离M点的水平距离s0； （2）红军欲拦截成功，沿竖直向上发射拦截炮弹2的速度v2的大小应为多少？ （3）若v2的大小等于v1的大小，红军欲拦截成功，问发射拦截炮弹2的速度v2的方向应如何？ 【答案】（1）18km； （2）1.2km/s； （3）v2的方向斜向右上方，与水平方向的夹角为74° 【解析】 ( v 相 v 2 - v 1 H s 炮弹1 炮弹2 v 相 v 2 = v 1 - v 1 H s 炮弹1 炮弹2 53 ° θ )（1）设炮弹1下落时间为t，则 则s0＝v1t＝18km （2）以炮弹1为参考系，炮弹2相对于炮弹1做匀速直线运动 （因它们具有相同的加速度，抵消） 为使炮弹2能拦截到炮弹1，炮弹2对炮弹1的相对速度v相应指向炮弹1 （不共线的临界条件：瞄准） 由图形相似得： （3）同（2），相对速度指向炮弹1（不共线的临界条件：瞄准） 大小v2＝v1，则可知炮弹2的速度v2的方向应斜向右上方 v2与水平方向的夹角 【经验】特别是第（3）小题，如果以地为参考系，炮弹1做平抛运动， 炮弹2做斜抛运动，分析它们的相遇问题，处理起来将会非常麻烦 （五）数学方法 这种方法主要是运用数学工具来处理物理问题，用这种方法解题时要注意数学方法及结论的物理意义。用这种方法来处理追及与相遇问题，主要有方程法、函数法、不等式法和几何作图法。 1．方程法 A追上B及A与B相遇时，它们必处在同一位置，因而可利用它们的位移（或位置坐标）相等列方程求解，即利用位移公式求解。解题时可运用方程解的情况、根的判别式等工具进行处理。 涉及匀变速运动时，位移或相对位移x关于时间t的方程一般为一元二次方程，其根的判别式△： （1）若△＞0有两解，说明两物体可能相遇两次； （2）若△＝0有一解，说明两物体相遇一次； （3）若△＞0无解，说明两物体不能相遇。 【例5】如图所示，甲、乙两辆小汽车原来停在平直公路MN上相距为85m的A、B两处，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5m/s2；甲车运动6.0s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0m/s2。两车处在不同车道上，相遇时互不影响，求两辆汽车相遇时距A处的距离。 ( M N 甲车 乙车 A B )【答案】125m，或245m 【解析】 已知x0＝85m，t0＝6.0s 设乙车开始运动后经时间t甲、乙相遇，则： 分析知，两个结果都符合（即相遇两次） t＝4s相遇时离A处的距离 t＝8s相遇时离A处的距离 【例6】小球A从H高处自由落下，同时从A的正下方的地面上的P点以速度v0竖直上抛一小球B。 （1）为使B球在回到P点之前能与A球相遇，v0必须大于何值？ （2）为使B球能在上升过程中与A球相遇，v0必须大于何值？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 设开始运动后经时间t两球相遇，则 （相对以速度v0做匀速运动，相对位移为H） （1）B球运动的总时间，则要求 （2）B球上升的时间，则要求 ( v a 60 m )【例7】如图所示，一客运汽车在平直的公路上以a＝1m/s2的加速度由静止开始匀加速运动，同时，车后60m处一乘客以某一速度v匀速追赶汽车。乘客要喊住客运汽车，必须使乘客与汽车的距离不超过20m，且至少要保持2s，求乘客运动速度v至少要多大才能将客车喊住。 【答案】9m/s 【解析】 已知s0＝60m，d0＝20m，Δt＝2s 设经时间t乘客离汽车的距离为d0＝20m，则 ( t 0 20 60 d/m t 1 t 2 ) 解关于t的方程得两解： ， （其中t1表示进入20m时刻，t2表示重新离开20m时刻，如右图像所示） 至少要保持2s，则 即：v至少要9m/s 2．函数法 即利用相对位移函数式S相＝SA－SB（A相对于B的相对位移）或S相＝SB－SA（B相对于A的相对位移）求解。这种方法实际上也是利用位移公式求解。解题时可运用函数的性质，如极值等处理。 （1）函数性质法（对称轴方程求条件、顶点坐标求极值） （2）求导法（导数为0得极值） ( v 1 A B v 2 )【例8】如图所示，A、B两车在同一平直道路上同向行驶，速度分别为v1＝8m/s，v2＝20m/s。当它们相距x0＝28m时，由于前方出现紧急情况，B车立即刹车以大小a＝2m/s2的加速度做匀减速运动，A车一直做匀速运动。求： （1）A车追上B车之前，两车相距的最大距离； （2）从B车开始刹车后，A车追上B车所用的时间。 【答案】（1）64m；（2）16s 【解析】 （1）B车开始刹车经时间t，A、B两车的距离 由二次函数性质，得最大距离dm＝64m （2）B车刹车过程所用时间 此过程中A车的位移，B车的位移 因，则B车停下时A还未追上B 则所求时间 3．图象法 识图用图五要素：点、线、面、斜、截（图像各量的具体含义，根据推导出来的函数表达式确定） ( v A B T t O A B T v t O )（1）点：端点定范围（或极值），最高最低点定极值，转折点定运动状态变化，交点定关系（速度图像交点表示共速，位移图像交点往往表示相遇） （2）线：图线的形状反映运动类型 （3）面：v-t图，图线与t轴所夹图形面积表示位移； A、B共线运动时，在同一坐标系中作出它们的v-t图， 则两图线所夹“面积”表示相对位移。 （4）斜：x-t图斜率表示速度，v-t图斜率表示加速度 ( 甲 v / m · s − 1 15 25 O 20 25 30 t / s 乙 )（5）截：纵轴上的截距往往表示初始量 【例9】甲、乙两汽车在同一平直公路上同向行驶，甲在后乙在前。 t＝0时刻两车同时开始刹车，刹车后两车的运动图象如图所示，且运动中 发生了撞车事故。下列说法中正确的有（ ） A．开始刹车时两车的距离一定小于87.5m B．开始刹车时两车的距离一定小于100m ( 甲 v / m · s − 1 15 25 O 20 25 30 t / s 乙 x 相 m )C．撞车一定发生在t＝20s以前的某时刻 D．撞车可能发生在t＝25s至t＝30s之间的某时刻 【答案】BC 【解析】 AB：到时，甲追上乙的距离（甲对乙的相对位移）达到最大值 最大相对位移 两车发生了撞车事故，说明开始的距离一定小于100m，选项A错误，B正确 CD：以前，甲的速度大于乙，甲追乙，可能发生撞车事故 以后，甲的速度小于乙，若甲仍在乙的后方，则两车的距离逐渐拉大，不可能发生撞车事故 所以选项C正确，D错误 【例10】甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置， 此时甲的速度为5m/s，乙的速度为10m/s，甲车的加速度大小恒为1.2m/s2。以此时作为计 时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知（ ） A．乙车加速度先增大后减小 B．在前4s内，甲车运动位移为29.6m C．在t＝4s时，甲车追上乙车 D．在t＝10s时，乙车又回到起始位置 【答案】B 【解析】 A：图象的斜率表示加速度，据此判断乙的运动过程是加速度先减小再增大最后减小，选项A错误 C：图线与时间轴围成的面积表示位移，0～4s内，乙图象面积大于甲图象面积，所以乙的位移大于甲的位移 在t＝4s时甲不可能追上乙车，选项C错误 D：前10s，乙图象面积一直在增大，位移在增大，速度一直沿同一方向，所以乙不可能回到初始位置，选项D错误 B：在前4s的时间内，甲车运动位移，选项B正确 【例11】一辆摩托车的最大速度vm＝30m/s，要想用摩托车从静止开始用180s的时间正好追上前方300m处正以20m/s的速度向前匀速行驶的汽车，且摩托车在加速阶段做匀加速直线运动，试求摩托车做匀加速直线运动的加速度。 【答案】0.3m/s2 【解析】已知t0＝180s，v1＝30m/s，v2＝20m/s，x0＝300m ( t 1 0 t 0 t 20 30 v/m · s - 1 t 0 - t 1 摩托车 汽车 )据题意作出两车的v-t图像 设摩托车的加速时间为t1，则匀速时间为t-t1，追上x0＝300m，则有： 代入数据并解得t1＝100s 则摩托车的加速度 （六）方程根的物理意义与相遇次数问题 一个物理问题，设定某个未知量后，根据物理原理或规律列方程，解这个方程，得到一个或几个根，这些根可能符合物理事实，也可能与事实不符，我们必须作出正确的判断和取舍。 涉及匀变速运动时，位移x（或追及问题中的相对位移，或两物体的相隔距离）是关于时间t的二次函数，速度位移公式也涉及到速度的二次方，因而与匀变速运动相关的问题，列出的方程往往为二次方程。由数学知，二次方程可能有两个不同的根，甚至出现负根，我们更应注意分析每个根出现的原因和条件及其物理含义，从而做出正确取舍，得到正确结论。 1．负根类 与匀变速运动相关的问题，以时间t或速度v为未知量列出的二次方程，其方程的根有三种可能： ①两个正根；②两个负根；③一正一负 一般来说，一个物理问题设定了记时起点，时间为负是无意义的；速度的正负表示方向，正负根可能都有意义。 如果出现两个正根，两个正根可能都有意义，也可能只有一个根有意义（如果关于时间的方程有两个正根，往往是小的那个有意义，大的应舍去）。 【例12】某星球（无大气层）上的重力加速度g＝4m/s2，从高处以v0＝12m/s的初速度竖直上抛一小球，则小球运动到离抛出点的高度差h＝10m处（未落地）所经历的时间为（ ） A．1s B．5s C．s D．s ( t 3 t 4 t 1 t 2 抛出点 20 m 20 m )【答案】ABD 【解析】 取向上为正方向 ①上方10m，h1＝10m： ②下方10m，h2＝-10m： 分析知：t3为负，舍去；另3个结果都正确（如图所示） ( B A v B v A a x 0 )【例13】如图所示，在一平直的轨道上，一质点A以vA＝5m/s的速度匀速运动。A的后方x0＝6m处，另一质点B以vB＝3m/s的初速度、a＝1m/s2的加速度匀加速同向追赶。 （1）经多长时间B追上A？ （2）B追上A之前，B离A的最大距离为多少？ 【答案】（1）6s；（2）8m ( 8 6 - 2 0 2 4 6 t/s d/m t 1 t 2 图解 A 、 B 相对运动过程 d 表示 A 在 B 的前方的距离 )【解析】 （1）设经时间t追上，则 负根t1舍去，经过6s时B追上A （2）经时间t，B离A的距离 由二次函数性质，得最大距离dmax＝8m 2．往返类 一个物体做匀减速运动（或：一个物体相对于另一物体做匀减速运动），速度（相对速度）减到零后，一般会出现两种情况： （1）再反向加速运动（往返类）：又分为往返对称类（加速度相同）和往返不对称类（加速度不同） （2）停止运动（刹车类）：解题中要特别注意在研究的时间范围内物体是否已经停止运动 ( x 0 人 车 v a )【例14】如图所示，在平直的公路上，一人以v＝6m/s的速度沿人行道匀速跑步，当他离前方一辆小汽车的距离x0＝16m时，小汽车从静止开始以a＝1m/s2的加速度同向做匀加速直线运动，则（ ） A．人不能追上小汽车，人在车后的最小距离为2m B．人能追上小汽车，人超过车后，人在车前的最大距离为2m C．经时间t＝4s人追上小汽车 D．经时间t＝8s人追上小汽车 【答案】BC 【解析】 ( 16 - 2 0 8 t/s d/m 4 )车在人之前的距离 由二次函数性质得最小距离dmin＝-2m，为负值，说明人能超过车 取d＝0，解得t1＝4s，t2＝8s t1＝4s，表示人追上并超过车；t2＝8s，表示车追上并反超人 3．刹车类 刹车类问题，主要有两种情况可能导致增根或错根： （1）在自身刹停前，已经追上并超过了前车（此根有意义），但自身减速快，且没有限定时间，速度减到0后加速度仍存在，它会反向运动，仅按数学方程，反向后又会相遇，但实际不可能 （2）前车先刹停，后车才追上来与静止的前车相遇，但按原来的匀减速运动求得的结果是错误的； 或者先超过前车后刹停在前面，后又被后车反超，但按原方程求得的两根，往往大的是错根 ( x 0 A B v A v B )【例15】如图所示，在平直公路的两车道上，A、B两车分别以vA＝40m/s、vB＝10m/s的速度同向行驶。当A在B的后方离B的距离为x0时，A车以大小a＝1m/s2的加速度开始匀减速刹车。 （1）若x0＝432m，求经多长时间A、B两车相遇； （2）若x0＝250m，求经多长时间A、B两车相遇。 【答案】（1）24s与36s；（2）10s与55s 【解析】 ( v/m · s - 1 t/s 0 10 16 40 24 36 30 40 432 m )A的刹车总时间 设经时间t两车相遇，则 （1）x0＝432m时，代入数据整理得 ( v/m · s - 1 t/s 0 - 10 10 30 40 50 10 30 40 55 250 m )t1、t2都小于t0，都符合题意（如右图象所示） （2）x0＝250m时，代入数据整理得 t3小于t0，符合题意 但t4大于t0，A车早已停下，结果错误，需另行分析 A刹车的总位移 则B追上A的时间（如右图象所示） 4．相遇次数问题 相遇次数问题，就是方程根是否有意义的问题，就是要分析方程有几个根与事实相符。 相遇次数问题，总体来说比较复杂，在此给出三种简单情况的结论： （1）共线的两个匀速直线运动，最多相遇一次 ①若A对B的相对速度指向B，则可相遇一次 ②若A对B的相对速度背向B，则不可相遇 ③间隔距离不存在最大值和最小值 ▲加速度相同的共线的两个匀变速直线运动，情况相同 （2）同时同地出发的两个共线匀变速直线运动（或其中一个为匀速直线运动），最多相遇一次 （因为二次方程最多只有两根，而出发点就是其中一个） （3）共线的两个匀变速直线运动（或一个匀变速直线运动与一个匀速直线运动），最多相遇两次 【例16】甲、乙两物体同时同向运动，乙在甲前方x0处，甲做初速度为6m/s，加速度为1m/s2的匀加速直线运动，乙做初速度为零，加速度为2m/s2匀加速直线运动，在运动过程中两个物体不会相碰，则（ ） A．若x0＝18m，两车相遇1次 B．若x0＝36m，两车相遇1次 C．若x0＜18m，两车相遇2次 D．若x0＝54m，两车相遇1次 【答案】AC ( x 0 乙 甲 x 1 x 2 v 1 a 1 a 2 )【解析】已知，； 设经时间两者相遇，则 A：若，则，其根的判别式 有一个正实数解，甲、乙可相遇一次，选项A正确 B：若，则，其根的判别式 无实数解，甲、乙不会相遇，选项B错误 C：若，则根的判别式 有两个正实数解，甲、乙可相遇两次，选项C正确 D：若，则，其根的判别式 无实数解，甲、乙不会相遇，选项D错误 【作业】 班次 座次 姓名 1．在平直的公路上，汽车以16m/s的速度行驶。从某时刻开始，该汽车以大小恒定的加速刹车，开始刹车后经过8s的位移为32m。则汽车刹车的加速度大小为 m/s2。 【答案】4 【解析】 假设经8s还未停下，则平均速度，位移 位移大于32m，说明8s内已停下 由 2．一辆汽车在平直的公路上行驶，从某一时刻开始紧急刹车而做匀减速直线运动。开始刹车后第1s内的位移为16m，第3s内的位移为1m，则刹车的加速大小为 ，开始刹车时的初速度大小为 。 【答案】8m/s2，20m/s 【解析】 ( 0 1.0 3.0 0.5 2.0 t 0 t/s v/m · s - 1 v 1 =16 )t＝0.5s时的瞬时速度v1，等于第1s内的平均速度，即v1＝16m/s 假设t＝3s时刚好停下，则刹车的加速度大小 用逆程法得第3s内的位移 说明2s～3s过程中汽车已停下 设第3s内运动时间为t0，则加速度大小 第3s内的位移 故刹车的加速度大小 开始刹车时的初速度大小 【说明】本题易错等级：★★★★★ 难度等级：★★★★ 3．汽车以10m/s的速度在平直公路上前进，在它的前方S处有一自行车正以4m/s的速度同向匀速行驶，汽车立即关闭油门做a＝-6m/s2的匀减速运动。若汽车恰好不碰上自行车，则S的大小为（ ） A．9.67m B．3.33m C．3m D．7m 【答案】C 【解析】临界条件法，相对运动法 设经时间t达到共速，则10－6t＝4，解得t＝1s 相对初速度为10m/s－4m/s＝6m/s，共速时相对速度为0，相对平均速度为3m/s 则s＝3×1＝3（m），选项C正确 4．汽车A停在十字路口，绿灯亮起时以0.4m/s2的加速度起动做匀加速运动，经30s后变为匀速直线运动。设在绿灯亮起的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边同向驶过做匀速直线运动，则从绿灯亮起时开始（ ） A．A车在加速过程中与B车相遇 B．A、B相遇时速度相同 C．相遇时A车做匀速运动 D．两车不可能再次相遇 ( 0 8 12 30 45 t/s v/m ﹒ s －1 A B t 2 t 2 t 1 ＝ 30 s )【答案】CD 【解析】图解法 经A车获得的速度为12m/s 在A车的加速阶段，A车的位移总是小于B车的位移，不可能相遇 由此得选项A与B错误，C正确 第一次相遇时A车追上并超过B车，此后A车在前且速度大，不可能再次相遇，选项D正确 ( v / m · s -1 O 4 6 8 t / s 10 15 甲 乙 )5．甲、乙两车在同一直道上同向行驶，甲在前乙在后。t＝0时刻两车同时开始做 匀减速运动并安全停下，两车的v−t图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A．t＝4s时两车相距最远 B．t＝6s时两车相距最远 C．两车之间的距离先减小后增大 D．t＝0时刻无论两车相距多远，它们以后的运动中都不会相撞 【答案】AD 【解析】 ABC：0～4s，甲的速度大于乙的速度且甲在前，则甲、乙之间的距离逐渐增大 4s以后甲的速度小于乙的速度，甲、乙之间的距离逐渐增小 所以，t＝4s时两车相距最远（等速最距），选项A正确，B错误，C错误 D：甲运动的总位移 乙运动的总位移 乙车总位移小于甲车总位移，即使从同一位置出发，甲车也总是在乙车的前方，所以不会相撞，选项D正确 6．（2021年重庆卷）质量相同的甲、乙两小球（视为质点）以不同的初速度竖直 上抛，某时刻两球发生正碰。图中实线和虚线分别表示甲、乙两球位置随时间变化的 曲线，其中虚线关于t＝t1左右对称，实线两个顶点的纵坐标相同，若小球运动中除碰 撞外仅受重力，则（ ） A．t＝0时刻，甲的速率大于乙的速率 B．碰撞前后瞬间，乙的动量不变 C．碰撞前后瞬间，甲的动能不变 D．碰撞后甲的机械能大于乙的机械能 【答案】C 【解析】 A：图线的切线斜率表示速度，可知t＝0时刻，甲的速率小于乙的速率，选项A错误 B：乙球的速度，碰前向上，碰后向下，速度反向，因而动量也反向，选项B错误 CD：甲的图像（实线）顶点纵坐标相同，可知碰撞前、后瞬间甲的速度等大反向，设大小为，动能不变，选项C正确 乙的图像（虚线）关于t＝t1左右对称，可知碰撞前、后瞬间乙的速度等大反向，设大小为，动能不变 又因为甲、乙两球的质量相等，设为，碰撞过程总动量守恒，所以 由此可得碰撞后瞬间，两球的动能相等，重力势能也相等，机械能相等 而在以后的运动中各自机械能守恒，所以甲的机械能等于乙的机械能，选项D错误 7．在平直公路上行驶的a车和b车，其位移-时间（x-t）图象分别为图中直线a和曲线b， 已知b车的加速度恒定且等于-2m/s2，t＝3s时，直线a和曲线b刚好相切，则（ ） A．a车做匀速运动且速度 B．t＝3s时a车和b车相遇但此时速度不等 ( x/m t/s 0 2 8 2 3 1 ) C．t＝1s时b车的速度为10m/s D．t＝0时a车和b车的距离x0＝9m 【答案】D 【解析】 A：图象斜率表示速度，可知a车速度不变，做匀速直线运动，速度，故A错 B：t＝3s时，直线a和曲线b刚好相切，位置坐标相同，两车相遇，斜率相等，此时两车的速度相等，故B错 C：t＝3s时，b车速度vb＝va＝2m/s，设b车的初速度为v0，对b车： 则t＝1s时b车的速度：，故C错 D：t＝3s时：a车的位移，b车的位移 t＝3s时，a车和b车到达同一位置，得：，故D对 8．一物体以5m/s的初速度从光滑斜面上某处开始向上运动，其加速度恒为2m/s2，设斜面足够长，经过时间t物体的位移大小为4m，则时间t可能为（ ） A．1s B．3s C．4s D．s 【答案】ACD 【解析】 已知，， 经计时起点上方4m处： 经计时起点下方4m处： 选项ACD正确 9．如图，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，v甲＝20m/s、v乙＝30m/s。甲车长l甲＝8.0m，乙车长l乙＝7.5m，车宽均为d＝2.0m。当甲、乙两车车头到十字路口中心点O的距离分别为s甲＝31.0m、s乙＝41.0m时，乙车意识到有撞车的危险立即采取措施避让，而甲车仍保持原有运动状态向前行驶。 （1）若乙车立即刹车做匀减速直线运动让甲车先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？ （2）若乙车立即加速做匀加速直线运动让自己先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？ ( O s 乙 s 甲 甲 乙 )【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）若让甲先通过，甲从图示位置到通过路口的时间 设刹车加速度大小为a1，则在这的时间内乙的位移 （2）若让乙先通过，甲从图示位置行驶到路口的时间 设乙的加速度大小为a2，则在这的时间内乙的位移 10．汽车前方120m处有一自行车正以6m/s的速度匀速前进，汽车以18m/s的速度追赶自行车。若两车在同一条公路的不同车道上做同向的直线运动。 （1）经多长时间，两车第一次相遇？ （2）若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2m/s2，则再经多长时间两车第二次相遇？ 【答案】（1）10s；（2）13.5s 【解析】 已知x0＝120m，v1＝18m/s，v2＝6m/s；a＝2m/s2 （1）用相对运动法得所求时间 （2）汽车刹车的总时间，总位移 该过程中自行车的位移 说明汽车停下之后自行车才追上汽车与汽车第二次相遇 所求时间 11．如图所示，足够长的斜面倾斜角θ＝37°，一小滑块从斜面底端以v0＝16m/s的初速度冲上斜面，与斜面间动摩擦因数µ＝0.25。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。经多长时间物块在斜面上的位移大小x＝12m？ ( θ v 0 )【答案】与 【解析】 上滑：加速度大小 设经时间t位移大小为x＝12m，则 上滑的总时间，则t1＝1s符合题意，t2＝3s舍去 上滑的总位移 下滑：加速度大小 从最高点下滑的位移所用的时间设为t下，则 则从开始出发到达该状态的时间 结论：所求时间为与 ( 火车 道 L s s 0 口 汽车 停车线 栏木 A l )12．在某铁路与公路交叉的道口处安装的自动栏木装置如下图所示。当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯，警告未越过停车线的汽车迅速制动，而已越过停车线的汽车能在列车到达道口前全部安全通过道口。已知高速列车的速度v1＝120km/h，汽车过道口的速度v2＝5km/h，汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是s0＝5m，道口宽度s＝26m，汽车长l＝15m。若栏木关闭时间t1＝16s，为保障安全需多加时间t2＝20s。问：列车从A点到道口的距离L应为多少才能确保行车安全? 【答案】约2304m 【解析】 从一侧过来，车头刚好越过停车线的汽车，直接以原速度 匀速通过道口，待其车尾越过对侧栏木后，两侧栏木才同时开 始关闭。 汽车在上述过程中通过道口所用时间 此后，关闭栏木用时t1，再留出安全时间t2 则L至少应为 【总结】解本题的难点是读不懂题目，模糊等级：★★★★ 由于缺乏生活经验，平时缺少对相关问题的思考，不懂最基本的交通规则，遇到交通方面的运动学问题，很多学生都读不懂题目 本是很简单的物理问题，最终却不能正确解答，或者感觉难度很大，耗费大量的读题和分析时间 13．甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16m/s，加速度大小a甲＝2m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4m/s，加速度大小a乙＝1m/s2，做匀加速直线运动，求： （1）两车再次相遇前二者间的最大距离； （2）到两车再次相遇所需的时间。 【答案】（1）24m；（2）8s 【解析】 解法1：临界条件法 （1）两车同时同地同向出发，甲快乙慢，甲在前乙在后 但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，二者的间距先变大后变小 当两车速度相等时相距最远，则 两车间的最大距离 （2）两车相遇，则 代入数据解得：t2＝8s，t2′＝0（对应于出发时刻，舍去） 解法2：函数法 （1）两车间的距离 由一元二次函数性质，易得t＝4s时两者距离最大，最大值Δxm＝24m （2）两车相遇，则 解得：t＝8s，或t＝0（舍去） 14．货车A正在公路上以20m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75m。 （1）若此时B车立即以2m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车司机发现B车开始到撞上B车的时间； （2）若A车司机发现B车，立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2（两车均视为质点），为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问：B车加速度至少多大才能避免相撞。（公路很窄，无法靠边让道） 【答案】（1）两车会相撞，5s；（2）0.67m/s2 【解析】 已知vA＝20m/s，x0＝75m （1）aB＝2m/s2，设经过时间t两车速度相等时，则：vA＝vB ( t/s 5 10 15 0 20 v/m · s - 1 A B 75 m )A车的位移：，B车的位移： 因为，所以两车会相撞 设经过时间t1相撞，有： 分析知t1＝5s合理，另一解t1＝15s舍去 （2）A车的加速度大小aA＝2m/s2，B车的加速度大小设为aB 两车恰好不相撞的临界条件，是两车相遇时速度相等，设经历的时间为t2，则 联立解得： 4 学科网（北京）股份有限公司 $ §1.6 追及相遇与极值问题 （一）追及问题概述 追及问题是有关于两物体在同一直线上同向运动时（也有不在同一直线上运动的情况），后面的物体（设为A）追赶前面的物体（设为B），讨论①能否追上；②何时何处追上；③何时相距最近或最远；④相隔的最近或最远距离为多少；⑤为使能追上或不能追上的条件等等问题。 在共线追及问题中，只有当追及物A的速度大于被追及物B的速度时才有可能追上。即：当vA＞vB时，A、B间的距离在缩小；当vA＜vB时，A、B间的距离在拉大。 （二）相遇问题概述 相遇问题与追及问题类似，一般是讨论①能否相遇；②何时何处相遇；③能相遇的次数；④为使能相遇或不能相遇的条件等等问题。 从两物体的运动情况来看，有①同时与不同时出发；②同地与不同地出发；③运动方向同向、相向、背向、垂直；④运动轨迹为直线或环线；⑤运动状态为匀速或变速等各种情况。 （三）分析思路及注意事项 1．临界条件——共线时等速，不共线时垂直与瞄准 （1）共线时等速：两物体共线运动，两物体速度相等（vA＝vB），往往是物体间能否追上，或相距最近最远的临界条件，也是分析判断问题的切入点 （2）不共线时垂直与瞄准 【例1】如图所示，在禁渔区，一条渔船A正在进行非法捕鱼。岸边的渔政船B发现后立即做匀速直线运动前去拦截，渔船A则沿平行于岸边的直线MN以vA＝10m/s的速度匀速撤离禁渔区，开始时两船位置关系如图，sin37°＝0.6。 （1）为能追上渔船A，渔政船B的速度至少要多大？ ( A B v A M N d ＝ 600 m θ ＝ 37 ° 海岸线 )（2）在上述情况下，B经多长时间追上A？B行驶的路程为多少？ 2．分析工具——两图三式 （1）两图：①运动过程示意图；②运动图像 （2）三式：三个等量关系①时间关系式；②位移关系式；③速度关系式 画出运动过程示意图，或运动图像（如v-t图、x-t图、a-t图等等，找出两物体运动的时间关系，位移关系，或速度关系，根据时间相等，位移相等，或速度及平均速度相等列方程 （我们所遇到的追及相遇各类习题，绝大部分可通过列位移关系方程求解，少数需要列时间关系方程，当然有些问题可能列速度关系方程更简便） 3．初始状态——注意是否三同：同时同地同向 4．终极状态——注意限速与刹停 （重要提醒：只要涉及物体做减速运动，一定要注意在所研究的过程中，物体的速度是否会减到0，以及速度减到0后是否会反向继续运动） ( x v A v B A B )【例2】如图所示，A、B两物体相距x＝7m，物体A以vA＝4m/s的速度向右 匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动， 加速度a＝-2m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为（ ） A．7s B．8s C．9s D．10s （四）物理方法（即通常所说的分析法） 1．临界条件法（vA＝vB） “等速最距”规律：在物体A追赶B的追及或相遇问题中，vA＝vB往往是求解的关键性条件。根据运动的不同条件，vA＝vB往往是两物体相距最近、最远、或恰好追上而不相撞的临界条件。 【例3】物体A、B同时从同一地点、向同一方向开始运动。A以10m/s的速度匀速前进，B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。 2．相对运动法（换参法） 无论共线运动还是不共线运动，用相对运动法分析追及相遇极值问题，往往都比较方便。 【例4】军事演习中，在M点的正上方离地H＝2000m高处，一架蓝军飞机以水平向右的速度v1＝0.9km/s发射一颗炮弹1，欲轰炸地面目标P，红军的地面拦截系统同时在M点右方水平距离s＝1500m的地面上的N点，以速度v2发射拦截炮弹2，如图所示，若不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，。 （1）若炮弹1刚好能击中目标P，求目标P离M点的水平距离s0； （2）红军欲拦截成功，沿竖直向上发射拦截炮弹2的速度v2的大小应为多少？ （3）若v2的大小等于v1的大小，红军欲拦截成功，问发射拦截炮弹2的速度v2的方向应如何？ （五）数学方法 这种方法主要是运用数学工具来处理物理问题，用这种方法解题时要注意数学方法及结论的物理意义。用这种方法来处理追及与相遇问题，主要有方程法、函数法、不等式法和几何作图法。 1．方程法 A追上B及A与B相遇时，它们必处在同一位置，因而可利用它们的位移（或位置坐标）相等列方程求解，即利用位移公式求解。解题时可运用方程解的情况、根的判别式等工具进行处理。 涉及匀变速运动时，位移或相对位移x关于时间t的方程一般为一元二次方程，其根的判别式△： （1）若△＞0有两解，说明两物体可能相遇两次； （2）若△＝0有一解，说明两物体相遇一次； （3）若△＞0无解，说明两物体不能相遇。 【例5】如图所示，甲、乙两辆小汽车原来停在平直公路MN上相距为85m的A、B两处，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5m/s2；甲车运动6.0s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0m/s2。两车处在不同车道上，相遇时互不影响，求两辆汽车相遇时距A处的距离。 ( M N 甲车 乙车 A B ) 【例6】小球A从H高处自由落下，同时从A的正下方的地面上的P点以速度v0竖直上抛一小球B。 （1）为使B球在回到P点之前能与A球相遇，v0必须大于何值？ （2）为使B球能在上升过程中与A球相遇，v0必须大于何值？ ( v a 60 m )【例7】如图所示，一客运汽车在平直的公路上以a＝1m/s2的加速度由静止开始匀加速运动，同时，车后60m处一乘客以某一速度v匀速追赶汽车。乘客要喊住客运汽车，必须使乘客与汽车的距离不超过20m，且至少要保持2s，求乘客运动速度v至少要多大才能将客车喊住。 2．函数法 即利用相对位移函数式S相＝SA－SB（A相对于B的相对位移）或S相＝SB－SA（B相对于A的相对位移）求解。这种方法实际上也是利用位移公式求解。解题时可运用函数的性质，如极值等处理。 （1）函数性质法（对称轴方程求条件、顶点坐标求极值） （2）求导法（导数为0得极值） 【例8】如图所示，A、B两车在同一平直道路上同向行驶，速度分别为v1＝8m/s，v2＝20m/s。当它们相距x0＝28m时，由于前方出现紧急情况，B车立即刹车以大小a＝2m/s2的加速度做匀减速运动，A车一直做匀速运动。求： （1）A车追上B车之前，两车相距的最大距离； （2）从B车开始刹车后，A车追上B车所用的时间。 ( v 1 A B v 2 ) 3．图象法 识图用图五要素：点、线、面、斜、截（图像各量的具体含义，根据推导出来的函数表达式确定） ( v A B T t O A B T v t O )（1）点：端点定范围（或极值），最高最低点定极值，转折点定运动状态变化，交点定关系（速度图像交点表示共速，位移图像交点往往表示相遇） （2）线：图线的形状反映运动类型 （3）面：v-t图，图线与t轴所夹图形面积表示位移； A、B共线运动时，在同一坐标系中作出它们的v-t图， 则两图线所夹“面积”表示相对位移。 （4）斜：x-t图斜率表示速度，v-t图斜率表示加速度 （5）截：纵轴上的截距往往表示初始量 ( 甲 v / m · s − 1 15 25 O 20 25 30 t / s 乙 )【例9】甲、乙两汽车在同一平直公路上同向行驶，甲在后乙在前。 t＝0时刻两车同时开始刹车，刹车后两车的运动图象如图所示，且运动中 发生了撞车事故。下列说法中正确的有（ ） A．开始刹车时两车的距离一定小于87.5m B．开始刹车时两车的距离一定小于100m C．撞车一定发生在t＝20s以前的某时刻 D．撞车可能发生在t＝25s至t＝30s之间的某时刻 【例10】甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置， 此时甲的速度为5m/s，乙的速度为10m/s，甲车的加速度大小恒为1.2m/s2。以此时作为计 时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知（ ） A．乙车加速度先增大后减小 B．在前4s内，甲车运动位移为29.6m C．在t＝4s时，甲车追上乙车 D．在t＝10s时，乙车又回到起始位置 【例11】一辆摩托车的最大速度vm＝30m/s，要想用摩托车从静止开始用180s的时间正好追上前方300m处正以20m/s的速度向前匀速行驶的汽车，且摩托车在加速阶段做匀加速直线运动，试求摩托车做匀加速直线运动的加速度。 （六）方程根的物理意义与相遇次数问题 一个物理问题，设定某个未知量后，根据物理原理或规律列方程，解这个方程，得到一个或几个根，这些根可能符合物理事实，也可能与事实不符，我们必须作出正确的判断和取舍。 涉及匀变速运动时，位移x（或追及问题中的相对位移，或两物体的相隔距离）是关于时间t的二次函数，速度位移公式也涉及到速度的二次方，因而与匀变速运动相关的问题，列出的方程往往为二次方程。由数学知，二次方程可能有两个不同的根，甚至出现负根，我们更应注意分析每个根出现的原因和条件及其物理含义，从而做出正确取舍，得到正确结论。 1．负根类 与匀变速运动相关的问题，以时间t或速度v为未知量列出的二次方程，其方程的根有三种可能： ①两个正根；②两个负根；③一正一负 一般来说，一个物理问题设定了记时起点，时间为负是无意义的；速度的正负表示方向，正负根可能都有意义。 如果出现两个正根，两个正根可能都有意义，也可能只有一个根有意义（如果关于时间的方程有两个正根，往往是小的那个有意义，大的应舍去）。 【例12】某星球（无大气层）上的重力加速度g＝4m/s2，从高处以v0＝12m/s的初速度竖直上抛一小球，则小球运动到离抛出点的高度差h＝10m处（未落地）所经历的时间为（ ） A．1s B．5s C．s D．s ( B A v B v A a x 0 )【例13】如图所示，在一平直的轨道上，一质点A以vA＝5m/s的速度匀速运动。A的后方x0＝6m处，另一质点B以vB＝3m/s的初速度、a＝1m/s2的加速度匀加速同向追赶。 （1）经多长时间B追上A？ （2）B追上A之前，B离A的最大距离为多少？ 2．往返类 一个物体做匀减速运动（或：一个物体相对于另一物体做匀减速运动），速度（相对速度）减到零后，一般会出现两种情况： （1）再反向加速运动（往返类）：又分为往返对称类（加速度相同）和往返不对称类（加速度不同） （2）停止运动（刹车类）：解题中要特别注意在研究的时间范围内物体是否已经停止运动 【例14】如图所示，在平直的公路上，一人以v＝6m/s的速度沿人行道匀速跑步，当他离前方一辆小汽车的距离x0＝16m时，小汽车从静止开始以a＝1m/s2的加速度同向做匀加速直线运动，则（ ） ( x 0 人 车 v a )A．人不能追上小汽车，人在车后的最小距离为2m B．人能追上小汽车，人超过车后，人在车前的最大距离为2m C．经时间t＝4s人追上小汽车 D．经时间t＝8s人追上小汽车 3．刹车类 刹车类问题，主要有两种情况可能导致增根或错根： （1）在自身刹停前，已经追上并超过了前车（此根有意义），但自身减速快，且没有限定时间，速度减到0后加速度仍存在，它会反向运动，仅按数学方程，反向后又会相遇，但实际不可能 （2）前车先刹停，后车才追上来与静止的前车相遇，但按原来的匀减速运动求得的结果是错误的； 或者先超过前车后刹停在前面，后又被后车反超，但按原方程求得的两根，往往大的是错根 ( x 0 A B v A v B )【例15】如图所示，在平直公路的两车道上，A、B两车分别以vA＝40m/s、vB＝10m/s的速度同向行驶。当A在B的后方离B的距离为x0时，A车以大小a＝1m/s2的加速度开始匀减速刹车。 （1）若x0＝432m，求经多长时间A、B两车相遇； （2）若x0＝250m，求经多长时间A、B两车相遇。 4．相遇次数问题 相遇次数问题，就是方程根是否有意义的问题，就是要分析方程有几个根与事实相符。 相遇次数问题，总体来说比较复杂，在此给出三种简单情况的结论： （1）共线的两个匀速直线运动，最多相遇一次 ①若A对B的相对速度指向B，则可相遇一次 ②若A对B的相对速度背向B，则不可相遇 ③间隔距离不存在最大值和最小值 ▲加速度相同的共线的两个匀变速直线运动，情况相同 （2）同时同地出发的两个共线匀变速直线运动（或其中一个为匀速直线运动），最多相遇一次 （因为二次方程最多只有两根，而出发点就是其中一个） （3）共线的两个匀变速直线运动（或一个匀变速直线运动与一个匀速直线运动），最多相遇两次 【例16】甲、乙两物体同时同向运动，乙在甲前方x0处，甲做初速度为6m/s，加速度为1m/s2的匀加速直线运动，乙做初速度为零，加速度为2m/s2匀加速直线运动，在运动过程中两个物体不会相碰，则（ ） A．若x0＝18m，两车相遇1次 B．若x0＝36m，两车相遇1次 C．若x0＜18m，两车相遇2次 D．若x0＝54m，两车相遇1次 【作业】 班次 座次 姓名 1．在平直的公路上，汽车以16m/s的速度行驶。从某时刻开始，该汽车以大小恒定的加速刹车，开始刹车后经过8s的位移为32m。则汽车刹车的加速度大小为 m/s2。 2．一辆汽车在平直的公路上行驶，从某一时刻开始紧急刹车而做匀减速直线运动。开始刹车后第1s内的位移为16m，第3s内的位移为1m，则刹车的加速大小为 ，开始刹车时的初速度大小为 。 3．汽车以10m/s的速度在平直公路上前进，在它的前方S处有一自行车正以4m/s的速度同向匀速行驶，汽车立即关闭油门做a＝-6m/s2的匀减速运动。若汽车恰好不碰上自行车，则S的大小为（ ） A．9.67m B．3.33m C．3m D．7m 4．汽车A停在十字路口，绿灯亮起时以0.4m/s2的加速度起动做匀加速运动，经30s后变为匀速直线运动。设在绿灯亮起的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边同向驶过做匀速直线运动，则从绿灯亮起时开始（ ） A．A车在加速过程中与B车相遇 B．A、B相遇时速度相同 C．相遇时A车做匀速运动 D．两车不可能再次相遇 ( v / m · s -1 O 4 6 8 t / s 10 15 甲 乙 )5．甲、乙两车在同一直道上同向行驶，甲在前乙在后。t＝0时刻两车同时开始做 匀减速运动并安全停下，两车的v−t图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A．t＝4s时两车相距最远 B．t＝6s时两车相距最远 C．两车之间的距离先减小后增大 D．t＝0时刻无论两车相距多远，它们以后的运动中都不会相撞 6．（2021年重庆卷）质量相同的甲、乙两小球（视为质点）以不同的初速度竖直 上抛，某时刻两球发生正碰。图中实线和虚线分别表示甲、乙两球位置随时间变化的 曲线，其中虚线关于t＝t1左右对称，实线两个顶点的纵坐标相同，若小球运动中除碰 撞外仅受重力，则（ ） A．t＝0时刻，甲的速率大于乙的速率 B．碰撞前后瞬间，乙的动量不变 ( x/m t/s 0 2 8 2 3 1 )C．碰撞前后瞬间，甲的动能不变 D．碰撞后甲的机械能大于乙的机械能 7．在平直公路上行驶的a车和b车，其位移-时间（x-t）图象分别为图中直线a和曲线b， 已知b车的加速度恒定且等于-2m/s2，t＝3s时，直线a和曲线b刚好相切，则（ ） A．a车做匀速运动且速度 B．t＝3s时a车和b车相遇但此时速度不等 C．t＝1s时b车的速度为10m/s D．t＝0时a车和b车的距离x0＝9m 8．一物体以5m/s的初速度从光滑斜面上某处开始向上运动，其加速度恒为2m/s2，设斜面足够长，经过时间t物体的位移大小为4m，则时间t可能为（ ） A．1s B．3s C．4s D．s 9．如图，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，v甲＝20m/s、v乙＝30m/s。甲车长l甲＝8.0m，乙车长l乙＝7.5m，车宽均为d＝2.0m。当甲、乙两车车头到十字路口中心点O的距离分别为s甲＝31.0m、s乙＝41.0m时，乙车意识到有撞车的危险立即采取措施避让，而甲车仍保持原有运动状态向前行驶。 （1）若乙车立即刹车做匀减速直线运动让甲车先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？ （2）若乙车立即加速做匀加速直线运动让自己先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？ ( O s 乙 s 甲 甲 乙 ) 10．汽车前方120m处有一自行车正以6m/s的速度匀速前进，汽车以18m/s的速度追赶自行车。若两车在同一条公路的不同车道上做同向的直线运动。 （1）经多长时间，两车第一次相遇？ （2）若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2m/s2，则再经多长时间两车第二次相遇？ 11．如图所示，足够长的斜面倾斜角θ＝37°，一小滑块从斜面底端以v0＝16m/s的初速度冲上斜面，与斜面间动摩擦因数µ＝0.25。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。经多长时间物块在斜面上的位移大小x＝12m？ ( θ v 0 ) ( 火车 道 L s s 0 口 汽车 停车线 栏木 A l )12．在某铁路与公路交叉的道口处安装的自动栏木装置如下图所示。当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯，警告未越过停车线的汽车迅速制动，而已越过停车线的汽车能在列车到达道口前全部安全通过道口。已知高速列车的速度v1＝120km/h，汽车过道口的速度v2＝5km/h，汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是s0＝5m，道口宽度s＝26m，汽车长l＝15m。若栏木关闭时间t1＝16s，为保障安全需多加时间t2＝20s。问：列车从A点到道口的距离L应为多少才能确保行车安全? 13．甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16m/s，加速度大小a甲＝2m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4m/s，加速度大小a乙＝1m/s2，做匀加速直线运动，求： （1）两车再次相遇前二者间的最大距离； （2）到两车再次相遇所需的时间。 14．货车A正在公路上以20m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75m。 （1）若此时B车立即以2m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车司机发现B车开始到撞上B车的时间； （2）若A车司机发现B车，立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2（两车均视为质点），为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问：B车加速度至少多大才能避免相撞。（公路很窄，无法靠边让道） 4 学科网（北京）股份有限公司 $§1.6追及相遇与极值问题 (一)追及问题概述 追及问题是有关于两物体在同一直线上同向运动时（也有不在同一直线上运动的情况），后面的物体 (设为A)追赶前面的物体（设为B),讨论①能否追上：②何时何处追上：③何时相距最近或最远：④ 相隔的最近或最远距离为多少：⑤为使能追上或不能追上的条件等等问题。 在共线追及问题中，只有当追及物A的速度大于被追及物B的速度时才有可能追上。即：当4>s 时，A、B间的距离在缩小；当vA<B时，A、B间的距离在拉大。 (二)相遇问题概述 相遇问题与追及问题类似，一般是讨论①能否相遇；②何时何处相遇；③能相遇的次数；④为使能 相遇或不能相遇的条件等等问题。 从两物体的运动情况来看，有①同时与不同时出发；②同地与不同地出发；③运动方向同向、相向、 背向、垂直：④运动轨迹为直线或环线；⑤运动状态为匀速或变速等各种情况。 (三)分析思路及注意事项 1.临界条件一共线时等速，不共线时垂直与瞄准 (1)共线时等速：两物体共线运动，两物体速度相等(v4=),往往是物体间能否追上，或相距最 近最远的临界条件，也是分析判断问题的切入点 (2)不共线时垂直与瞄准 【例1】如图所示，在禁渔区，一条渔船A正在进行非法捕鱼。岸边的渔政船B发现后立即做匀速直线运动前去拦截， 渔船A则沿平行于岸边的直线N以v4=10m/s的速度匀速撤离禁渔区，开始时两船位置关系如图，sm37°=0.6。 (1)为能追上渔船A,渔政船B的速度至少要多大？ (2)在上述情况下，B经多长时间追上A?B行驶的路程为多少？ 【答案】(1)6m(2)125s,750m A VA M---- 【解析】不共线运动的妙解方法：换参法 、20=37 以A为参考系分析B的运动 d=600m 为使B能追上A,应使B对A的相对速度指向A (不共线的临界条件：瞄准) 海岸线 (1)作B对A的相对速度矢量图 A VA 当VB垂直于B、A连线时VB最小，最小值 M---- 、78=379 --------…N vg=v4sin0=10sin37°≈6(/s） d=600m B (不共线的临界条件：垂直) 海岸线 14 (2)上述情况下，相对速度V相=V4cos日=10cos37°≈8(/s) 相对位移x物=AB= 600 ≈1000(m) sin0sin37° 则所用时间t=粒=1000 V相8 =125) B行驶的路xB=vt=6×125=750(m) 1 2.分析工具一两图三式 （1)两图：①运动过程示意图；②运动图像 （2)三式：三个等量关系①时间关系式；②位移关系式；③速度关系式 画出运动过程示意图，或运动图像（如vt图、xt图、αt图等等，找出两物体运动的时间关系，位 移关系，或速度关系，根据时间相等，位移相等，或速度及平均速度相等列方程 (我们所遇到的追及相遇各类习题，绝大部分可通过列位移关系方程求解，少数需要列时间关系方 程，当然有些问题可能列速度关系方程更简便) 3.初始状态一注意是否三同：同时同地同向 4.终极状态—注意限速与刹停 （重要提醒：只要涉及物体做减速运动，一定要注意在所研究的过程中，物体的速度是否会减到0， 以及速度减到0后是否会反向继续运动) 【例2】如图所示，A、B两物体相距x=7m,物体A以v4=4ms的速度向右 VA VB 匀速运动，而物体B此时的速度v=10ms,只在摩擦力作用下向右做匀减速运动， 加速度a=-2m/s,那么物体A追上物体B所用的时间为() A A.7s B.8s C.9s D.10s 【答案】B 【解析】 物体B从开始到停下来所用的时间1二0-Y_0-10-5) -2 该过程中物体B前进的距离x2=B+0t=10+0×5=25m),物体A前进的距离xA=y4t=4×5=20(m) 2 2 物体A、B相距d=(x+x)-x4=(7+25)-20=12m) 物体A需继续行驶一段时间1才能追上物体B,1-d_12-3)】 V44 故物体A追上物体B所用的时间t总=t+t=5+3=8(心)，B正确 (四)物理方法（即通常所说的分析法） 1.临界条件法（vA=vB) “等速最距”规律：在物体A追赶B的追及或相遇问题中，v4=vB往往是求解的关键性条件。根据 运动的不同条件，4=ⅴ往往是两物体相距最近、最远、或恰好追上而不相撞的临界条件。 【例3】物体A、B同时从同一地点、向同一方向开始运动。A以10ms的速度匀速前进，B以2ms2的加速度从静止 开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。 【答案】25m 【解析】 分析：VB<V4时，A、B间距变大；VB>V4时，A、B间距变小。则VB=V4时，A、B间距最大 已知V4=10g,a=2m,设经时间1时VB=VA,则 VB=t=V4→t=5s 1 4、B间的最大距离dma=V4-20 at2=10×5- 2x52=25(m 2 【说明】用分析法，解题中应有简单的分析过程和分析结论，在分析得到的结论的基础上才便于进一步往下解题 2 2.相对运动法（换参法) 无论共线运动还是不共线运动，用相对运动法分析追及相遇极值问题，往往都比较方便。 【例4】军事演习中，在M点的正上方离地H=2000n高处，一架蓝军飞机以水平向右的速度v1=0.9a/s发射一颗炮 弹1，欲轰炸地面目标P,红军的地面拦截系统同时在M点右方水平距离s=1500m的地面上的W点，以速度2发射拦截 炮弹2如图所示，若不计空气阻力，重力加速度g=10m,m253°=4 39 (1)若炮弹1刚好能击中目标P,求目标P离M点的水平距离0； (2)红军欲拦截成功，沿竖直向上发射拦截炮弹2的速度2的大小应为多少？ (3)若2的大小等于1的大小，红军欲拦截成功，问发射拦截炮弹2的速度2的方向应如何？ 【答案】(1)18 (2)12kmx: (3)2的方向斜向右上方，与水平方向的夹角为74° 【解析】 1)设炮弹1下落时间为，则H=】g2→t= 2H =20 2 炮弹1 则sm=7t=18km (2)以炮弹1为参考系，炮弹2相对于炮弹1做匀速直线运动 (因它们具有相同的加速度，抵消) 为使炮弹2能拦截到炮弹1，炮弹2对炮弹1的相对速度v应指向炮弹1 (不共线的临界条件：瞄准) -1 1炮弹2 由图形相似箱：当=上三y,=1.2/5 HS 炮弹1 (3)同(2)，相对速度指向炮弹1（不共线的临界条件：瞄准） H 大小=M,则可知炮弹2的速度？的方向应斜向右上方 与水平方向的夹角0=180°-53°×2=74° 【经验】特别是第(3)小题，如果以地为参考系，炮弹1做平抛运动， 炮弹2 炮弹2做斜抛运动，分析它们的相遇问题，处理起来将会非常麻烦 (五)数学方法 这种方法主要是运用数学工具来处理物理问题，用这种方法解题时要注意数学方法及结论的物理 意义。用这种方法来处理追及与相遇问题，主要有方程法、函数法、不等式法和几何作图法。 1.方程法 A追上B及A与B相遇时，它们必处在同一位置，因而可利用它们的位移（或位置坐标）相等列方 程求解，即利用位移公式求解。解题时可运用方程解的情况、根的判别式等工具进行处理。 涉及匀变速运动时，位移或相对位移x关于时间t的方程一般为一元二次方程，其根的判别式△： (1)若△>0有两解，说明两物体可能相遇两次： (2)若△=0有一解，说明两物体相遇一次： (3)若△>0无解，说明两物体不能相遇。 【例5】如图所示，甲、乙两辆小汽车原来停在平直公路MN上相距为85m的A、B两处，现甲车先开始向右做匀加 速直线运动，加速度a1=2.5ms2;甲车运动6.0s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2=5.0m/s2。两车处在不同 车道上，相遇时互不影响，求两辆汽车相遇时距A处的距离。 【答案】125m,或245m 甲车 乙车 【解析】 M y 3 已知n=85m,=6.0s 设乙车开始运动后经时间1甲、乙相遇，则： 4-6-+1-4减1-8 分析知，两个结果都符合（即相遇两次） 1 F相遇时离A处的距高d=专4k+6护=125 1 =8x相遇时离4处的距离d,=号a(t+t)尸=245m 【例6】小球A从H高处自由落下，同时从A的正下方的地面上的P点以速度竖直上抛一小球B。 (1)为使B球在回到P点之前能与A球相遇，0必须大于何值？ (2)为使B球能在上升过程中与A球相遇，必须大于何值？ 路案①V2g,2)V迈 【解析】 设开始运动后经时间1两球相遇，则 一方上H一1-任〔湘对以速度n做与速运动：相对抢移为m 1 1 (1)B球运动的总时间1。= 2,则要求 1<20>22g7 1 t<t点→ 1o g (2)B球上升的时间L=山，则要求 g t<t上→ H<a→n>Vg vo g 【例7】如图所示，一客运汽车在平直的公路上以a=1ms2的加速度由静止开始匀加速运动，同时，车后60m处一乘 客以某一速度y匀速追赶汽车。乘客要喊住客运汽车，必须使乘客与汽车的距离不超过20m,且至少要保持2s,求乘客运 动速度v至少要多大才能将客车喊住。 【答案】9m5 【解析】 已知s0=60m,d和=20m,△1=2s ·60粒 设经时间t乘客离汽车的距离为d而=20m,则 1 at+50-vt=d→0.5t2-t+40=0 解关于t的方程得两解： 个d 60 t1=v-Vy2-80,t=v+Vy3-80 (其中1表示进入20m时刻，表示重新离开20m时刻，如右图像所示) 至少要保持2s,则 20 5-1≥水→2Wv2-80≥2=v≥9(m/s) 即：v至少要9x 4 2.函数法 即利用相对位移函数式S相=SA一SB(A相对于B的相对位移)或S相=SB一S4(B相对于A的相对位 移)求解。这种方法实际上也是利用位移公式求解。解题时可运用函数的性质，如极值等处理。 (1)函数性质法（对称轴方程求条件、顶点坐标求极值） (2)求导法（导数为0得极值） 【例8】如图所示，A、B两车在同一平直道路上同向行驶，速度分别为v1=8ms,v2=20ms。当它们相距xo=28m时， 由于前方出现紧急情况，B车立即刹车以大小a=2m/s2的加速度做匀减速运动，A车一直做匀速运动。求： (1)A车追上B车之前，两车相距的最大距离； V2 VI (2)从B车开始刹车后，A车追上B车所用的时间。 【答案】(1)64：(2)16s 【解析】 (1)B车开始刹车经时间A、B两车的距离 d=+过-7aryt=+121+28 由二次函数性质，得最大距离d=64m 2)B车利车过程所用时间6=上一0 =10s a 此过程中A车的位移x4=M。=801,B车的位移x9三号6=100m 因x4<xB+x,则B车停下时A还未追上B 则所求时间t=西+3=165 3.图象法 识图用图五要素：点、线、面、斜、截（图像各量的具体含义，根据推导出来的函数表达式确定） (1)点：端点定范围（或极值），最高最低点定极值，转折点定运动状态变化，交点定关系（速度 图像交点表示共速，位移图像交点往往表示相遇) (2)线：图线的形状反映运动类型 (3)面：-t图，图线与t轴所夹图形面积表示位移： A、B共线运动时，在同一坐标系中作出它们的-t图， 则两图线所夹“面积”表示相对位移。 (4)斜：x-t图斜率表示速度，-t图斜率表示加速度 (5)截：纵轴上的截距往往表示初始量 【例9】甲、乙两汽车在同一平直公路上同向行驶，甲在后乙在前。 个v/ms-1 t=0时刻两车同时开始刹车，刹车后两车的运动图象如图所示，且运动中 25 发生了撞车事故。下列说法中正确的有() 、甲 A.开始刹车时两车的距离一定小于87.5m 乙 B.开始刹车时两车的距离一定小于100m C.撞车一定发生在t=20s以前的某时刻 202530t/s D.撞车可能发生在t=25s至t=30s之间的某时刻 Avlm-s-1 【答案】BC 25 【解析】 、甲 15 AB:到t=205时，甲追上乙的距离（甲对乙的相对位移）达到最大值 &格 最大相对位移x三，25-15)x20=100m ○ 202530t/s 5 两车发生了撞车事故，说明开始的距离一定小于100m,选项A错误，B正确 CD:t二2O5以前，甲的速度大于乙，甲追乙，可能发生撞车事故 t=二20小以后，甲的速度小于乙，若甲仍在乙的后方，则两车的距离逐渐拉大，不可能发生撞车事故 所以选项C正确，D错误 【例10】甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置， ↑v/(ms1) 此时甲的速度为5ms,乙的速度为10ms,甲车的加速度大小恒为1.2ms2。以此时作为计 15 、乙 甲 时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知() 10 A.乙车加速度先增大后减小 B.在前4s内，甲车运动位移为29.6m 5 C.在t=4s时，甲车追上乙车 D.在t=10s时，乙车又回到起始位置 0246810/s 【答案】B 【解析】 A:图象的斜率表示加速度，据此判断乙的运动过程是加速度先减小再增大最后减小，选项A错误 C:图线与时间轴围成的面积表示位移，04s内，乙图象面积大于甲图象面积，所以乙的位移大于甲的位移 在t仁4s时甲不可能追上乙车，选项C错误 D:前10s,乙图象面积一直在增大，位移在增大，速度一直沿同一方向，所以乙不可能回到初始位置，选项D错误 1 在道的时间内，甲车运动位移X5x4+12×429.6m),选项 2 【例11】一辆摩托车的最大速度vm=30/5,要想用摩托车从静止开始用180s的时间正好追上前方300m处正以20m/s 的速度向前匀速行驶的汽车，且摩托车在加速阶段做匀加速直线运动，试求摩托车做匀加速直线运动的加速度。 【答案】0.3m 【解析】已知=180s,h=30s,2=20s,0=300m 据题意作出两车的图像 设摩托车的加速时间为，则匀速时间为1，追上x0=300m,则有： 面在 30 摩托车 -4--t= 20 汽车 代入数据并解得=100s 则摩托车的加速度a=片-0=0.3m/52 而 t (六)方程根的物理意义与相遇次数问题 一个物理问题，设定某个未知量后，根据物理原理或规律列方程，解这个方程，得到一个或几个根， 这些根可能符合物理事实，也可能与事实不符，我们必须作出正确的判断和取舍。 涉及匀变速运动时，位移x(或追及问题中的相对位移，或两物体的相隔距离)是关于时间的二次 函数，速度位移公式也涉及到速度的二次方，因而与匀变速运动相关的问题，列出的方程往往为二次方 程。由数学知，二次方程可能有两个不同的根，甚至出现负根，我们更应注意分析每个根出现的原因和 条件及其物理含义，从而做出正确取舍，得到正确结论。 1.负根类 与匀变速运动相关的问题，以时间t或速度ⅴ为未知量列出的二次方程，其方程的根有三种可能： ①两个正根：②两个负根；③一正一负 一般来说，一个物理问题设定了记时起点，时间为负是无意义的；速度的正负表示方向，正负根可 能都有意义。 如果出现两个正根，两个正根可能都有意义，也可能只有一个根有意义（如果关于时间的方程有两 个正根，往往是小的那个有意义，大的应舍去)。 6 【例12】某星球（无大气层）上的重力加速度g=4m/s2,从高处以o=12ms的初速度竖直上抛一小球，则小球运动 到离抛出点的高度差h=10m处（未落地)所经历的时间为( A.1s B.5s C.3-14)s D.(3+V14)s 【答案】ABD 【解析】 取向上为正方向 ①上方10m,1=10m 20m A=1--10=-1z24#-6=1l,6=58 抛出点 ②下方10m,2=-10 20u 么=4方g-10=12-方44-6-，么=6- 2 ◆4 分析知：为负，舍去；另3个结果都正确（如图所示） 【例13】如图所示，在一平直的轨道上，一质点A以vA=5ms的速度匀速运动。A的后方xo=6m处，另一质点B以 vB=3m/s的初速度、a=1m/s2的加速度匀加速同向追赶。 (1)经多长时间B追上A? 6÷ A●A (2)B追上A之前，B离A的最大距离为多少？ 【答案】(1)6s:(2)8m 【解析】 个dm (1)设经时间t追上，则 1 vgt+5at2=。+y4t→5t2-21-6=0→51=-2s,t,=6s 负根舍去，经过6s时B追上A (2)经时间，B离A的距离 -20246s d=(xo+vat)- +at 图解A、B相对运动过程 t2+2t+6 2 d表示A在B的前方的距离 由二次函数性质，得最大距离dm=8m 2.往返类 一个物体做匀减速运动（或：一个物体相对于另一物体做匀减速运动)，速度（相对速度)减到零后， 一般会出现两种情况： (1)再反向加速运动（往返类）：又分为往返对称类（加速度相同）和往返不对称类（加速度不同） (2)停止运动（刹车类)：解题中要特别注意在研究的时间范围内物体是否已经停止运动 【例14】如图所示，在平直的公路上，一人以v=6ms的速度沿人行道匀速跑步，当他离前方一辆小汽车的距离x0 =16m时，小汽车从静止开始以a=1m/s2的加速度同向做匀加速直线运动，则（ A.人不能追上小汽车，人在车后的最小距离为2m 车。 B.人能追上小汽车，人超过车后，人在车前的最大距离为2m C.经时间t=4s人追上小汽车 D.经时间t=&人追上小汽车 【答案】BC 【解析】 7 个d/m 车在人之前的距离d=+ 3a3 -vt= 12-6t+16 16 由二次函数性质得最小距离dm=-2m,为负值，说明人能超过车 取=0，解得=4，红=8s 0 =4s,表示人追上并超过车；=8，表示车追上并反超人 3.刹车类 刹车类问题，主要有两种情况可能导致增根或错根： (1)在自身刹停前，已经追上并超过了前车（此根有意义），但自身减速快，且没有限定时间，速 度减到0后加速度仍存在，它会反向运动，仅按数学方程，反向后又会相遇，但实际不可能 (2)前车先刹停，后车才追上来与静止的前车相遇，但按原来的匀减速运动求得的结果是错误的： 或者先超过前车后刹停在前面，后又被后车反超，但按原方程求得的两根，往往大的是错根 【例15】如图所示，在平直公路的两车道上，A、B两车分别以v4=40ms、vB=10ms的速度同向行驶。当A在B的 后方离B的距离为w时，A车以大小a=1ms2的加速度开始匀减速刹车。 (1)若xo=432m,求经多长时间A、B两车相遇； (2)若xo=250m,求经多长时间A、B两车相遇。 【答案】(1)24s与36s(2)10s与55s -xn 【解析】 A的刹车总时间6=y4一0三 -=40s 个wrsl 4 设经时间t两车相遇，则V4t一 al=vol 6 432h 10 (1)0=432m时，代入数据整理得 24303640t5 12-301+432=0→1=24s,或4，=369 、都小于，都符合题意（如右图象所示） (2)0=250m时，代入数据整理得 个vrsl 40 1-301+250=0→4，=10s,或，=50x 30 2 50形 小于，符合题意 10 但4大于，A车早已停下，结果错误，需另行分析 50 0 10 30 40 55t 1刹车的总位移无-'4+06 26=800m -10 则B追上A的时间飞，=X4-龙=555（如右图象所示） VR 4.相遇次数问题 相遇次数问题，就是方程根是否有意义的问题，就是要分析方程有几个根与事实相符。 相遇次数问题，总体来说比较复杂，在此给出三种简单情况的结论： （1)共线的两个匀速直线运动，最多相遇一次 ①若A对B的相对速度指向B,则可相遇一次 8 ②若A对B的相对速度背向B,则不可相遇 ③间隔距离不存在最大值和最小值 ▲加速度相同的共线的两个匀变速直线运动，情况相同 (2)同时同地出发的两个共线匀变速直线运动（或其中一个为匀速直线运动)，最多相遇一次 (因为二次方程最多只有两根，而出发点就是其中一个) (3)共线的两个匀变速直线运动（或一个匀变速直线运动与一个匀速直线运动），最多相遇两次 【例16】甲、乙两物体同时同向运动，乙在甲前方xo处，甲做初速度为6ms,加速度为1ms2的匀加速直线运动，乙 做初速度为零，加速度为2ms2匀加速直线运动，在运动过程中两个物体不会相碰，则() A.若xo=18m,两车相遇1次 B.若xo=36m,两车相遇1次 C.若xo<18m,两车相遇2次 D.若o=54m,两车相遇1次 【答案】AC 【解析】已知y=6m/s,a1=1m/s2,a,=2m/s2 设经时间t两者相遇，则 1 ,1 W17qF-af-60 。乾 A若x,=18,则1-61+18=0，其根的判别式△=（←6）3-4××18=0 2 t有一个正实数解，甲、乙可相遇一次，选项A正确 B:若x=36m,则)-61+36=0，其根的判别试△=(6}-4××36<0 2 t无实数解，甲、乙不会相遇，选项B错误 1 C:若，<18m,则根的判别式△=(6矿-4×2>0 t有两个正实数解，甲、乙可相遇两次，选项C正确 D:若x=54,则22-61+54=0，其根的判别式△=(6}-4××54<0 2 2 t无实数解，甲、乙不会相遇，选项D错误 【作业】 班次 座次 姓名 1.在平直的公路上，汽车以16m/s的速度行驶。从某时刻开始，该汽车以大小恒定的加速刹车，开始刹车后经过8s 的位移为32m。则汽车刹车的加速度大小为 m/s2。 【答案】4 【解析】 假设经8还未停下，则平均速度下>16m /5,位移x=vt>641m 位移大于32，说明8s内已停下 由-0=2a→a=4m/s2 2.一辆汽车在平直的公路上行驶，从某一时刻开始紧急刹车而做匀减速直线运动。开始刹车后第1s内的位移为16m, 第3s内的位移为1m,则刹车的加速大小为 ,开始刹车时的初速度大小为 【答案】8n,20m3 9 【解析】 =0.5s时的瞬时速度h,等于第1y内的平均速度，即h=16s 个rr1 假设t=3x时刚好停下，则刹车的加速度大小 a=Y-0、16 =6.4m/s2） 7=16 3-0.5 用逆程法得第3s内的位移 1 2 5=24= 2×6.4x1=32m>m 0051.0 2.0T 3.0灯 说明23s过程中汽车已停下 设第数内运动时间为，则加速度大小a一(2-0.5)十行1.5+石 4-016 第内龄2154-1户6=含去礼或-050 21.5+t 1-01616 故剩车的加速度大小a=2-0.5)+右15+1,1.5+0.5 =8m/s2)】 开始刹车时的初速度大小y=y+a×0.5s=(16+8×0.5/s=20m/s 【说明】本题易错等级：★★★★★难度等级：★★★★ 3.汽车以10ms的速度在平直公路上前进，在它的前方S处有一自行车正以4ms的速度同向匀速行驶，汽车立即关 闭油门做α=-6m/s2的匀减速运动。若汽车恰好不碰上自行车，则S的大小为() A.9.67im B.3.33m C.3m D.7m 【答案】C 【解析】临界条件法，相对运动法 设经时间t达到共速，则10一6t=4,解得t=1s 相对初速度为10s一4s=6s,共速时相对速度为0，相对平均速度为3g 则=3×1=3(m),选项C正确 4.汽车A停在十字路口，绿灯亮起时以0.4/s2的加速度起动做匀加速运动，经30s后变为匀速直线运动。设在绿灯 亮起的同时，汽车B以8s的速度从A车旁边同向驶过做匀速直线运动，则从绿灯亮起时开始( A.A车在加速过程中与B车相遇 B.A、B相遇时速度相同 C.相遇时A车做匀速运动 D.两车不可能再次相遇 【答案】CD wm.s-i 12 A 【解析】图解法 经t1=30sA车获得的速度为12ms 在A车的加速阶段，A车的位移总是小于B车的位移，不可能相遇 由此得选项A与B错误，C正确 0 =30s30白45ts 第一次相遇时A车追上并超过B车，此后A车在前且速度大，不可能再次相遇，选项D正确 5.甲、乙两车在同一直道上同向行驶，甲在前乙在后。t=0时刻两车同时开始做 vlm's1 15 匀减速运动并安全停下，两车的一t图象如图所示，则下列说法中正确的有() A.t=4s时两车相距最远 10 B.=6s时两车相距最远 乙 C.两车之间的距离先减小后增大 4 6 8 t/s D.t=0时刻无论两车相距多远，它们以后的运动中都不会相撞 10 【答案】AD 【解析】 ABC:0~4,甲的速度大于乙的速度且甲在前，则甲、乙之间的距离逐渐增大 4s以后甲的速度小于乙的速度，甲、乙之间的距离逐渐增小 所以，t=4s时两车相距最远（等速最距），选项A正确，B错误，C错误 1 D:甲运动的总位移x甲=一×15×6=45(m) 2 1 乙运动的总位移xz=一×10×8=40(m) 乙车总位移小于甲车总位移，即使从同一位置出发，甲车也总是在乙车的前方，所以不会相撞，选项D正确 6.(2021年重庆卷)质量相同的甲、乙两小球（视为质点）以不同的初速度竖直 上抛，某时刻两球发生正碰。图中实线和虚线分别表示甲、乙两球位置随时间变化的 曲线，其中虚线关于t=左右对称，实线两个顶点的纵坐标相同，若小球运动中除碰 撞外仅受重力，则( A.t=0时刻，甲的速率大于乙的速率B.碰撞前后瞬间，乙的动量不变 C.碰撞前后瞬间，甲的动能不变 D.碰撞后甲的机械能大于乙的机械能 【答案】C 【解析】 A:图线的切线斜率表示速度，可知仁0时刻，甲的速率小于乙的速率，选项A错误 B:乙球的速度，碰前向上，碰后向下，速度反向，因而动量也反向，选项B错误 CD:甲的图像（实线）顶点纵坐标相同，可知碰撞前、后瞬间甲的速度等大反向，设大小为V,动能不变，选项C正确 乙的图像（虚线）关于=1左右对称，可知碰撞前、后瞬间乙的速度等大反向，设大小为V,,动能不变 又因为甲、乙两球的质量相等，设为，碰撞过程总动量守恒，所以 1y-1v3=-1y1+v3→y=V3 由此可得碰撞后瞬间，两球的动能相等，重力势能也相等，机械能相等 而在以后的运动中各自机械能守恒，所以甲的机械能等于乙的机械能，选项D错误 个x/ 7.在平直公路上行驶的a车和b车，其位移-时间(x-t)图象分别为图中直线a和曲线b, 已知b车的加速度恒定且等于-2m2,t=3s时，直线a和曲线b刚好相切，则( 8 A.a车做匀速运动且速度V2=一m/SB.t仁3s时a车和b车相遇但此时速度不等 3 C.t=1s时b车的速度为10m/s D.t=0时a车和b车的距离xo=9m 【答案】D 【解析】 4图象斜率表示速度，可知。车速度不变，做匀速直线运动，速度y,=文-8,2-2m/）.故A错 B:t=3x时，直线“和曲线b刚好相切，位置坐标相同，两车相遇，斜率相等，此时两车的速度相等，故B错 C:t=3s时，b车速度%=a=2s,设b车的初速度为"，对b车：V。=V0十at→V0=8m/S 则=1w时b车的速度：=+at1三y=8-2×1=6(/s),故C错 11 D:后如时：0车的位移，=以=6,6车的位移6=出1=8斗2x3=15m 2 2 t=3x时，a车和b车到达同一位置，得：X=x,一X。=91,故D对 8.一物体以5ms的初速度从光滑斜面上某处开始向上运动，其加速度恒为2ms2,设斜面足够长，经过时间t物体的 位移大小为4m,则时间t可能为() A.1s B.3s C.4s D.5+41 2 【答案】ACD 【解析】 已知y=5m/s,a=2/s2,x=4m 经计时起点上方m绝，4=5-×2r→4=1K,1=4好 经计时起点下方4m处：-4=51-2×27→专中 5-41s舍去b5=5+√41s 2 2 选项ACD正确 9.如图，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，v=20ms、 vz=30ms。甲车长l甲=8.0m,乙车长1z=7.5m,车宽均为d=2.0m。当甲、乙两车车头到十字路口中心点0的距离分别 为s=31.0m、sz=41.0m时，乙车意识到有撞车的危险立即采取措施避让，而甲车仍保持原有运动状态向前行驶。 (1)若乙车立即刹车做匀减速直线运动让甲车先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？ (2)若乙车立即加速做匀加速直线运动让自己先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？ 【答案】(1)41≥10/s2,(2)a2≥4/s2 【解析】 (1)若让甲先通过，甲从图示位置到通过路口的时间 d 专= 4+5+2_8.0+31.0+1.0-2) V甲 20 设刹车加速度大小为，则在这t=2心的时间内乙的位移 d 戈=-a4s。号 1 →30×2- %2≤41.0-20 1 →a≥10(m/s2） 2 (2)若让乙先通过，甲从图示位置行驶到路口的时间 d 5p-2=31.0-1.0_36) t2= V甲 20 2 3 设乙的加速度大小为，则在这，=2了的时间内乙的位移 戈%5+2a4sL+5。 1 d 2 12 3,1 3 →30×2+24 ≥75+410+20→4≥40m/） 2 2 10.汽车前方120m处有一自行车正以6ms的速度匀速前进，汽车以18m/s的速度追赶自行车。若两车在同一条公路 的不同车道上做同向的直线运动。 (1)经多长时间，两车第一次相遇？ (2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2ms2,则再经多长时间两车第二次相遇？ 【答案】(1)10s;(2)13.5s 【解析】 已知x0=120m,h=18s,2=6m/=2m （1)用相对运动法得所求时间5=)一三120 =10s） 4-y318-6 2)汽车剩车的总时间6=上二0=18=96，总位移6=片=81m a 2 该过程中自行车的位移x角=V,,=541<x 说明汽车停下之后自行车才追上汽车与汽车第二次相遇 所求时间6，=五=81-13,56) 为6 11.如图所示，足够长的斜面倾斜角8=37°，一小滑块从斜面底端以vo=16m的初速度冲上斜面，与斜面间动摩擦 因数u=0.25。取重力加速度g=10m/s2,sn37°=0.6，cos37°=0.8。经多长时间物块在斜面上的位移大小x=12m? 【答案】1s与2+V25 【解析】 上滑：加速度大小a上=g(sin日+ucos0)=8m/s2 Q个8 设经时间t位移大小为x=12m,则 t-20:1=x1=1w,或，=30 1 上滑的总时间上=山-0=25，则A=6符合题意，6=34舍去 上滑的总位移飞1=白14=16 2 下滑：加速度大小a-=g(sin0-ucos0)=4/s2 从最高点下滑的位移x下=X上一x=4所用的时间设为t,则 1 2x=2负根舍去) a 13 则从开始出发到达该状态的时间5=1上+t-=(2+√②)为 结论：所求时间为1s与2+√瓦灯 12.在某铁路与公路交叉的道口处安装的自动栏木装置如下图所示。当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯， 警告未越过停车线的汽车迅速制动，而已越过停车线的汽车能在列车到达道口前全部安全通过道口。已知高速列车的速度 v1=120am/h,汽车过道口的速度v2=5am/h,汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是sm=5m,道口宽度s=26m,汽车 长1=15m。若栏木关闭时间1=16s,为保障安全需多加时间t2=20s。问：列车从A点到道口的距离L应为多少才能确保 行车安全？ 【答案】约2304m 道 以火车 【解析】 从一侧过来，车头刚好越过停车线的汽车，直接以原速度 匀速通过道口，待其车尾越过对侧栏木后，两侧栏木才同时开 口 始关闭。 。栏木 汽车在上述过程中通过道口所用时间 厂停车线 6=0+5+1 ≈33.12s 汽车 此后，关闭栏木用时，再留出安全时间 则L至少应为 L=yt+t1+t)=2304m 【总结】解本题的难点是读不懂题目，模糊等级：★★★★ 由于缺乏生活经验，平时缺少对相关问题的思考，不懂最基本的交通规则，遇到交通方面的运动学问题，很多学生 都读不懂题目 本是很简单的物理问题，最终却不能正确解答，或者感觉难度很大，耗费大量的读题和分析时间 13.甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲=16ms,加速度大小a甲=2m/s2, 做匀减速直线运动，乙以初速度v2=4ms,加速度大小a2=1ms2,做匀加速直线运动，求： (1)两车再次相遇前二者间的最大距离； (2)到两车再次相遇所需的时间。 【答案】(1)24(2)8s 【解析】 解法1：临界条件法 (1)两车同时同地同向出发，甲快乙慢，甲在前乙在后 但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，二者的间距先变大后变小 当两车速度相等时相距最远，则V甲-a=V吃+a吃→41=4s 两群网超影大离本之气-4方)个6+小2m 1 (2)两车相遇，则Vet,-一at2=v2t2+一azt 2 代入数据解得：2=8s,'=0(对应于出发时刻，舍去) 14 解法2：函数法 (1)两车间的距离众=x甲一 (w-jo)-(w-jar)- 由一元二次函数性质，易得=4时两者距离最大，最大值△xm=24m (2)两车相遇，则水=一 1这-0 解得：t=8s,或t=0(舍去) 14.货车A正在公路上以20m5的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的 轿车B时，两车距离仅有75m。 (1)若此时B车立即以2ms2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞， 求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车司机发现B车开始到撞上B车的时间； (2)若A车司机发现B车，立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2ms2(两车均视为质点)， 为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问：B车加速度至少多大才能避免相撞。 (公路很窄，无法靠边让道) 【答案】(1)两车会相撞，5s(2)0.67 【解析】 已知vA=20m/s,n=75m (1)=2m,设经过时间t两车速度相等时，则：v4=阳 vA=agt→t=10s 1车的位移：x4=V以=2001，B车的位移：X2= at2=100m wursl 2 因为x4>x,十xB,所以两车会相撞 20 5 设竖流时间4相置有v以=与+今f=5新或=15。 10 15 分析知1=5x合理，另一解1=15w舍去 (2)A车的加速度大小a4=2,B车的加速度大小设为团 两车恰好不相撞的临界条件，是两车相遇时速度相等，设经历的时间为，则 V4-a43=a4,→20-2t3=ag h04-6+56-204--5+ 1 联立解得：4g=6m/g2)067m/g 3 15