2027届高三物理一轮复习讲义：1.4 运动图象及其应用

该高中物理高考复习讲义聚焦运动图像及其应用核心考点，系统梳理物理图像“四种斜率”“两种面积”的数理解析及v-t、x-t等六类图像的物理意义，通过考点分层解析、方法规律总结、高考真题精讲、分层作业巩固的教学流程，帮助学生构建从数学工具到物理应用的思维链条，突破图像问题难点。 讲义突出“数形结合秒杀法”创新教学，针对相对运动、分段运动等问题，引导学生通过图像斜率与面积分析物理过程，培养科学思维与模型建构能力。如例11用v-t图像分析分段运动加速度关系，例6结合a-x图像推导星球密度，融入高考真题强化实战，助力教师高效把控复习节奏，提升学生解题速度与准确率。

§1.4运动图像及其应用 (一)物理图像“四种斜率”（纵横坐标相除为斜率)数理解析 1.图线斜率（图像为直线时，图线本身的斜率） 数学意义：线性函数y=+b,函数图象为直线，k为整个图线的斜率，表示图线的倾斜程度 物理意义：当图像为直线时，切线斜率、割线斜率，和图线的实际斜率都相同（若图像是过原点的 直线，径线斜率也相同)，具体表示什么物理意义，要看函数关系中物理量的具体含义 2.切线斜率 数学意义：k=y(△x0) △x 、互 物理意义：只与一个点有关，表示状态量，如表示瞬时速度、瞬时加速度 3.割线斜率（图线上两点连线斜率） 数学意义：斤=y △x 物理意义：与两点间的过程有关，表示过程量，如表示平均速度、平均加速度 4.径线斜率（图线上某点与原点连线斜率） 数学意义：飞？=上（图线上某点的纵横坐标值直接求比值） 物理意义：分两种情况 ①只与图线上那个点有关，与原点无关，一般表示属性，如U一I图线，这种斜率表示电阻； ②如果图线过原点，则表示的意义有可能与(2)相同表示过程量，当然也有可能表示属性量 (二)物理图像“两种面积”（纵横坐标相乘为面积）数理解析 1.累积面积（图线与横轴所夹图形面积） 数学意义：相当于积分（「k) 累积 物理意义：“累积”与过程中的每个状态都有关，表示过程量 O 如：-t图中这种面积表示位移x(x=t) 1 a-t图中这种面积表示速度变化△v 2.乘积面积（以图线上的点与原点为对角顶点的矩形面积） 数学意义：S=y,是某坐标点与原点为对角顶点的矩形面积 乘积 物理意义：“乘积”只与图线上某个点表示的状态有关，表示状态量 如：U-I图中这种面积表示功率(P=I) (三)速度-时间图像（一t图像） 1.-t图线与t轴所夹图形的“面积”表示位移；两条一t图线所夹图形的“面积”表示相对位移 2.-t图线的斜率表示加速度。(1)切线斜率：表示瞬时加速度；(2)割线斜率：表示平均加速度 ▲匀变速直线运动的，t图像为一条倾斜的直线 【例1】甲、乙两个质点在并排的两条直轨道上运动，它们的速度随时间变化规律 如图所示，甲的图线是直线，乙的图线是抛物线，0~时间内两条图线与横轴围成的 、甲 面积相等，抛物线顶点的横坐标为2，则下列说法正确的是（) V2 1 A.t3时刻，甲、乙一定相遇 B.02时间内，甲、乙的位移大小之比为3：2 C.0~t1时间内乙的平均速度大于甲的平均速度 t1 t2 D.0~t2时间内甲的加速度一直小于乙的加速度 1 (四)位移-时间图像（xt图像) 1.匀速直线运动的xt图像为一条倾斜的直线：匀变速直线运动的xt图像为一条抛物线 2.xt图线的斜率表示速度。(1)切线斜率：表示瞬时速度：(2)割线斜率：表示平均速度 【例2】如图所示为一质点做直线运动的位移-时间图像，其中P9为图线在P点处的 P 切线。下列说法正确的有( A.0~如时间内质点的平均速度为店 B.0~如时间内质点的平均速度为七一 C,时刻质点的瞬时速度为当一上 D.时刻质点的瞬时速度为占一 to 【例3】一个物体从静止开始做匀加速直线运动的 x/m 位移-时间图像如图所示，下列说法正确的有( s/m A,物体的运动轨迹为抛物线 20 B.物体运动的加速度大小为1m/s2 C.t=4s时物体运动的速度为2m/s 0 4t病 D.前2s内物体的位移大小为4m 【例4】（上海高考题）质点做直线运动，其s-t关系如图所示，质点在0~20s内的 平均速度大小为m,质点在 时的瞬时速度等于它在620s内的平均速度。 0 10 20 t/s (五)加速度图像（心t图像、心x图像） 【例5】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动 ↑alms) 的加速度随时间变化的图像如图。关于两车的运动，下列说法正确的是( ) 3.0 A.在0~4s内甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动 B.在0~2s内两车间距逐渐增大，24s内两车间距逐渐减小 1.5 C.在t=2s时甲车速度为3ms,乙车的速度为4.5m/s D.在t=4s时甲车恰好追上乙车 0 4 t/s 【例6】（高考全国I卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻 放在弹簧上端，P由静止向下运动，加速度α与弹簧压缩量x间的关系如图中实线所示。在 另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其α-x关系如图中虚线所 示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是N的3倍，则( ) A.M与N的密度相等 B.Q的质量是P的3倍 20-.X C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍 (六)平均速度-时间图像（下-1图像，Y-1图像） a=2k 匀变速直线运动：=以+am→下-产=%十)am,由此时见： 1 2 2 阴影面积表示 1.匀变速直线运动的v-t图像为一条倾斜的直线 时间t和内的位移 2.(1)纵轴截距：表示初速度w (2)图线斜率k:表示加速度a的一半，即=2k -0 (3)矩形面积：表示前面过程中的位移 【例7】甲、乙两质点在同一平直轨道上同时(t=0)同地向同一方向做直线运动， 个1ms-1 它们的位移x与时间t的比值随t的变化规律如图所示，则在前2s过程中( ) A.t=0.5s时，甲在乙的前面最远处 B.t=2s时，甲在乙的前面最远处 C.t=1s时，甲、乙相遇 D.t=2s时，甲、乙相遇 2 t/s 【例8】一辆汽车在平直的公路上行驶，从t=0时刻开始刹车而做减速直线运动， 通过传感器在电脑上自动描绘出其位移x与运动时间t的比值'随t变化的一t图像 个芝1(mg-) t t 如图所示，则下列分析正确的是() A.刚要刹车时速度为40m/s B.开始刹车后经4s停下来 C.刹车过程中的加速度大小为5m/s? D.刹车过程的总位移为20m (七)2一x图像 匀变速直线运动：2-2=2→v2=2ax+002,由此可见： a=k2 1.匀变速直线运动的o2图像为一条倾斜的直线 2.（1)纵轴截距：表示2 (2)图线斜率k:表示加速度a的2倍，即=k2 【例9】如图所示为某汽车关闭油门后沿直线减速滑行的2一x图像（其中y为运动速度， 1 x为位移)，下列关于该汽车从x=0处运动至x=0处的过程分析，正确的有( A.加速度大小为o22xo B.运动的总时间为2xovo C.在位移中点的速度为vo2 D.在中间时刻的速度大于vo2 【例10】一辆汽车由静止开始沿直线运动，速度和加速度方向始终向右，速度v的 二次方2随位移x变化的图象如图所示，则汽车从开始运动到前进x1的过程中() A.受到的合外力越来越大 B.受到的合外力越来越小 C.平均速度大于v2 D.平均速度小于/2 (八)数形结合秒杀法 图象法解题具有简单直观的特点，我们平时应养成使用图象解决问题的习惯。 图像法解题，特别适合三类问题：相对运动问题、分段运动问题、变加速运动问题。 【例11】（分段运动)用A、B两辆相同的汽车在同种平直公路上进行性能测试。A车以最大加速度a1加速到最大速 度后匀速运动一段时间，再以最大加速度2匀减速制动，直到停止；B车以最大加速度a1加速到同样的最大速度后，立 即以加速度2/2制动，直到停止。测得A、B两车运动时间相等，而位移之比为5：4，则加速度大小之比a1:a2为() A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:4 【例12】（变加速）汽车从静止开始以恒定功率沿直线启动，经5mm速度达到20ms,则这段时间内汽车的位移() A.小于3am B.等于3an C.大于3am D.无法确定 【例13】（相对运动）如图所示，水平速度为、质量为m的子弹击中并穿过放在光 滑水平地面上的木块，若木块对子弹的阻力大小恒定，则下面说法正确的有( A.m越大，则木块获得的动能越大 B.m越小，则木块获得动能越大 C.v越大，则木块获得动能越大 D.v越小，则木块获得的动能越大 【例14】（浙江福建高考题）一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合， 如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为1，盘与桌面间的动摩擦因数为2。现突然以恒定加速度α将桌布抽离桌面，加速 度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度α满足的条件是什么？（以g表示重力加速度） A e 【作业】 班次 座号 姓名 1.物体以某一初速度o沿斜面上滑，其v-t图象在下图中不可能的有( A.oF B.O 2.A、B两物体同时同地向同一方向运动，其速度与位移变化关系图像如图所示， A物体做匀速直线运动、速度大小为。B物体的速度与位移关系图像为过原点开口向 右的抛物线。两图像交点坐标为(x1,v),下列说法正确的是（） A.出发后，A、B两物体在x处相遇B.A、B相遇时B物体的速度为20 C.B物体在x1处的加速度a=vox1 D.B物体做加速度减小的加速运动 个x/m 3.某质点沿x轴方向做匀变速直线运动，其位置坐标x随时间t变化的关系如右图像所示， 则在0一4s内，下列说法正确的是( A.质点的加速度大小为4ms2 B.在t=ls时，质点的速度最大 C.在t=0时，质点的速度大小为2msD.在0~4s内，质点的平均速度大小为2.5m5 0 1234t5 4.某同学用传感器探究一玩具车做直线运动的性质，得到了一段过程中的上-t的图象如图 ↑/(ms) 所示，由此可知该玩具车在这段过程中() 2 A.做速度为-3ms的匀速直线运动B.做变加速直线运动 C.做匀加速直线运动，初速度大小为2msD.做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2 -30 s 5.一物体由静止开始做直线运动，其加速度随位移变化的图象如图所示，则() A.位移为如时物体已运动的时间为√2x。/a,B.位移为o时物体的速度为√aox如 C.位移为2o时物体速度为0 D.位移为2n时物体速度为√3ax0 2x0 6.一个固定在水平面上的物块，其左侧面是光滑斜面AB,右侧面是光滑曲面 AC,且AB和AC长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开 始下滑，则它们到达水平面的先后情况是() A.p球先到 B.g球先到 C.两球同时到D.无法确定 B 7,(全国高考I卷)汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0~60s内汽车的 加速度随时间变化的图线如图所示。 alm's-2 (1)画出汽车在0~60s内的v-t图线； (2)求在这60内汽车行驶的路程。 30 60 -1 个v/ms-1 30 60t的 8.一滑块（视为质点）以不同的初速度o从长为4m的斜面顶端沿斜面下滑， 其下滑距离x随v2变化的x-2图象如图所示。 Ax/m (1)求滑块下滑的加速度大小： (2)若滑块下滑的初速度为5m,则它在斜面上下滑的时间为多长？ 4 812o2(ms-1)2 4 §1.4 运动图像及其应用 （一）物理图像“四种斜率”（纵横坐标相除为斜率）数理解析 1．图线斜率（图像为直线时，图线本身的斜率） 数学意义：线性函数，函数图象为直线，为整个图线的斜率，表示图线的倾斜程度 物理意义：当图像为直线时，切线斜率、割线斜率，和图线的实际斜率都相同（若图像是过原点的直线，径线斜率也相同），具体表示什么物理意义，要看函数关系中物理量的具体含义 2． ( y x O k 1 k 3 k 2 )切线斜率 数学意义： 物理意义：只与一个点有关，表示状态量，如表示瞬时速度、瞬时加速度 3．割线斜率（图线上两点连线斜率） 数学意义： 物理意义：与两点间的过程有关，表示过程量，如表示平均速度、平均加速度 4．径线斜率（图线上某点与原点连线斜率） 数学意义：（图线上某点的纵横坐标值直接求比值） 物理意义：分两种情况 ①只与图线上那个点有关，与原点无关，一般表示属性，如U-I图线，这种斜率表示电阻； ②如果图线过原点，则表示的意义有可能与（2）相同表示过程量，当然也有可能表示属性量 ( y x O 累积 ) （二）物理图像“两种面积”（纵横坐标相乘为面积）数理解析 1．累积面积（图线与横轴所夹图形面积） 数学意义：相当于积分（） 物理意义：“累积”与过程中的每个状态都有关，表示过程量 ( O x y 乘积 )如：v-t图中这种面积表示位移x（x＝vt） a-t图中这种面积表示速度变化Δv 2．乘积面积（以图线上的点与原点为对角顶点的矩形面积） 数学意义：S＝xy，是某坐标点与原点为对角顶点的矩形面积 物理意义：“乘积”只与图线上某个点表示的状态有关，表示状态量 如：U-I图中这种面积表示功率（P＝UI） （三）速度-时间图像（v-t图像） 1．v-t图线与t轴所夹图形的“面积”表示位移；两条v-t图线所夹图形的“面积”表示相对位移 2．v-t图线的斜率表示加速度。（1）切线斜率：表示瞬时加速度；（2）割线斜率：表示平均加速度 ▲匀变速直线运动的v-t图像为一条倾斜的直线 ( O t 1 t 2 t 3 t v 1 v 2 v 0 v 乙 甲 )【例1】甲、乙两个质点在并排的两条直轨道上运动，它们的速度随时间变化规律 如图所示，甲的图线是直线，乙的图线是抛物线，0～t3时间内两条图线与横轴围成的 面积相等，抛物线顶点的横坐标为t2，则下列说法正确的是（ ） A．t3时刻，甲、乙一定相遇 B．0～t2时间内，甲、乙的位移大小之比为3:2 C．0～t1时间内乙的平均速度大于甲的平均速度 D．0～t2时间内甲的加速度一直小于乙的加速度 （四）位移-时间图像（x-t图像） 1．匀速直线运动的x-t图像为一条倾斜的直线；匀变速直线运动的x-t图像为一条抛物线 2．x-t图线的斜率表示速度。（1）切线斜率：表示瞬时速度；（2）割线斜率：表示平均速度 ( O t 0 t x 1 x 2 x 3 x P Q )【例2】如图所示为一质点做直线运动的位移-时间图像，其中PQ为图线在P点处的 切线。下列说法正确的有（ ） A．0～t0时间内质点的平均速度为 B．0～t0时间内质点的平均速度为 C．t0时刻质点的瞬时速度为 D．t0时刻质点的瞬时速度为 ( 0 10 20 10 20 t/s s/m ) ( 0 4 8 t / s x / m )【例3】一个物体从静止开始做匀加速直线运动的 位移-时间图像如图所示，下列说法正确的有（ ） A．物体的运动轨迹为抛物线 B．物体运动的加速度大小为1m/s2 C．t＝4s时物体运动的速度为2m/s D．前2s内物体的位移大小为4m 【例4】（上海高考题）质点做直线运动，其s-t关系如图所示，质点在0～20s内的 平均速度大小为 m/s，质点在 时的瞬时速度等于它在6~20s内的平均速度。 （五）加速度图像（a-t图像、a-x图像） ( 3.0 1.5 0 2 4 t /s a /(m · s -2 ) 甲 乙 )【例5】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动 的加速度随时间变化的图像如图。关于两车的运动，下列说法正确的是（ ） A．在0～4s内甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动 B．在0～2s内两车间距逐渐增大，2~4s内两车间距逐渐减小 C．在t＝2s时甲车速度为3m/s，乙车的速度为4.5m/s D．在t＝4s时甲车恰好追上乙车 【例6】（高考全国I卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻 放在弹簧上端，P由静止向下运动，加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图中实线所示。在 另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所 示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是N的3倍，则（ ） A．M与N的密度相等 B．Q的质量是P的3倍 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍 ( t O v 0 a ＝ 2 k t 0 阴影面积表示 时间 t 0 内的位移 )（六）平均速度-时间图像（图像，图像） 匀变速直线运动：，由此可见： 1．匀变速直线运动的图像为一条倾斜的直线 2．（1）纵轴截距：表示初速度v0 （2）图线斜率k：表示加速度a的一半，即a＝2k ( t /s O 1 1 2 甲 乙 )（3）矩形面积：表示前面过程中的位移 【例7】甲、乙两质点在同一平直轨道上同时（t＝0）同地向同一方向做直线运动， 它们的位移x与时间t的比值随t的变化规律如图所示，则在前2s过程中（ ） A．t＝0.5s时，甲在乙的前面最远处 B．t＝2s时，甲在乙的前面最远处 C．t＝1s时，甲、乙相遇 D．t＝2s时，甲、乙相遇 ( 0 20 4 t /s )【例8】一辆汽车在平直的公路上行驶，从t＝0时刻开始刹车而做减速直线运动， 通过传感器在电脑上自动描绘出其位移x与运动时间t的比值随t变化的图像 如图所示，则下列分析正确的是（ ） A．刚要刹车时速度为40m/s B．开始刹车后经4s停下来 C．刹车过程中的加速度大小为5m/s2 D．刹车过程的总位移为20m ( v 2 v 0 2 O x v 1 2 x 1 a ＝ k/ 2 ) （七）v2－x图像 匀变速直线运动：v2－v02＝2ax⇒v2＝2ax+v02，由此可见： 1．匀变速直线运动的v2-x图像为一条倾斜的直线 2．（1）纵轴截距：表示v02 ( v 2 v 0 2 O x 0 x )（2）图线斜率k：表示加速度a的2倍，即a＝k/2 【例9】如图所示为某汽车关闭油门后沿直线减速滑行的v2－x图像（其中v为运动速度， x为位移），下列关于该汽车从x＝0处运动至x＝x0处的过程分析，正确的有（ ） A．加速度大小为v02/2x0 B．运动的总时间为2x0/v0 C．在位移中点的速度为v0/2 D．在中间时刻的速度大于v0/2 ( O x 1 v 1 2 v 2 x ) 【例10】一辆汽车由静止开始沿直线运动，速度和加速度方向始终向右，速度v的 二次方v2随位移x变化的图象如图所示，则汽车从开始运动到前进x1的过程中（ ） A．受到的合外力越来越大 B．受到的合外力越来越小 C．平均速度大于v1/2 D．平均速度小于v1/2 （八）数形结合秒杀法 图象法解题具有简单直观的特点，我们平时应养成使用图象解决问题的习惯。 图像法解题，特别适合三类问题：相对运动问题、分段运动问题、变加速运动问题。 【例11】（分段运动）用A、B两辆相同的汽车在同种平直公路上进行性能测试。A车以最大加速度a1加速到最大速度后匀速运动一段时间，再以最大加速度a2匀减速制动，直到停止；B车以最大加速度a1加速到同样的最大速度后，立即以加速度a2/2制动，直到停止。测得A、B两车运动时间相等，而位移之比为5:4，则加速度大小之比a1:a2为（ ） A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 【例12】（变加速）汽车从静止开始以恒定功率沿直线启动，经5min速度达到20m/s，则这段时间内汽车的位移（ ） A．小于3km B．等于3km C．大于3km D．无法确定 ( v )【例13】（相对运动）如图所示，水平速度为v、质量为m的子弹击中并穿过放在光 滑水平地面上的木块，若木块对子弹的阻力大小恒定，则下面说法正确的有（ ） A．m越大，则木块获得的动能越大 B．m越小，则木块获得动能越大 C．v越大，则木块获得动能越大 D．v越小，则木块获得的动能越大 【例14】（浙江福建高考题）一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度） ( A B a ) 【作业】 班次 座号 姓名 ( v t O A ． v t O B ． v t O C ． v t O D ． )1．物体以某一初速度v0沿斜面上滑，其v–t图象在下图中不可能的有（ ） 2．A、B两物体同时同地向同一方向运动，其速度与位移变化关系图像如图所示， A物体做匀速直线运动、速度大小为v0。B物体的速度与位移关系图像为过原点开口向 右的抛物线。两图像交点坐标为（x1，v0），下列说法正确的是（ ） A．出发后，A、B两物体在x1处相遇 B．A、B相遇时B物体的速度为2v0 C．B物体在x1处的加速度a＝v02/x1 D．B物体做加速度减小的加速运动 3．某质点沿x轴方向做匀变速直线运动，其位置坐标x随时间t变化的关系如右图像所示， 则在0～4s内，下列说法正确的是（ ） A．质点的加速度大小为4m/s2 B．在t＝1s时，质点的速度最大 C．在t＝0时，质点的速度大小为2m/s D．在0～4s内，质点的平均速度大小为2.5m/s 4．某同学用传感器探究一玩具车做直线运动的性质，得到了一段过程中的的图象如图 所示，由此可知该玩具车在这段过程中（ ） A．做速度为−3m/s的匀速直线运动 B．做变加速直线运动 C．做匀加速直线运动，初速度大小为2m/s D．做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2 ( a x O x 0 2x 0 a 0 )5．一物体由静止开始做直线运动，其加速度随位移变化的图象如图所示，则（ ） A．位移为x0时物体已运动的时间为 B．位移为x0时物体的速度为 C．位移为2x0时物体速度为0 D．位移为2x0时物体速度为 6． ( p A q B C )一个固定在水平面上的物块，其左侧面是光滑斜面AB，右侧面是光滑曲面 AC，且AB和AC长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开 始下滑，则它们到达水平面的先后情况是（ ） A．p球先到 B．q球先到 C．两球同时到 D．无法确定 ( O 30 60 -1 1 2 a / m · s − 2 t/s O 30 60 v / m · s − 1 t/s )7．（全国高考Ⅰ卷）汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60s内汽车的 加速度随时间变化的图线如图所示。 （1）画出汽车在0～60s内的v-t图线； （2）求在这60s内汽车行驶的路程。 ( O 4 8 12 1 2 3 x / m v 0 2/ ( m · s − 1 ) 2 )8．一滑块（视为质点）以不同的初速度v0从长为4m的斜面顶端沿斜面下滑， 其下滑距离x随v02变化的x‒v02图象如图所示。 （1）求滑块下滑的加速度大小； （2）若滑块下滑的初速度为5m/s，则它在斜面上下滑的时间为多长？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $§1.4运动图像及其应用 (一)物理图像“四种斜率”（纵横坐标相除为斜率)数理解析 1.图线斜率（图像为直线时，图线本身的斜率） 数学意义：线性函数y=+b,函数图象为直线，k为整个图线的斜率，表示图线的倾斜程度 物理意义：当图像为直线时，切线斜率、割线斜率，和图线的实际斜率都相同（若图像是过原点的 直线，径线斜率也相同)，具体表示什么物理意义，要看函数关系中物理量的具体含义 2.切线斜率 数学意义：k=y(△x0) △x 、互 物理意义：只与一个点有关，表示状态量，如表示瞬时速度、瞬时加速度 3.割线斜率（图线上两点连线斜率） 数学意义：斤=y △x 物理意义：与两点间的过程有关，表示过程量，如表示平均速度、平均加速度 4.径线斜率（图线上某点与原点连线斜率） 数学意义：飞？=上（图线上某点的纵横坐标值直接求比值） 物理意义：分两种情况 ①只与图线上那个点有关，与原点无关，一般表示属性，如U一I图线，这种斜率表示电阻； ②如果图线过原点，则表示的意义有可能与(2)相同表示过程量，当然也有可能表示属性量 (二)物理图像“两种面积”（纵横坐标相乘为面积）数理解析 1.累积面积（图线与横轴所夹图形面积） 数学意义：相当于积分（「k) 累积 物理意义：“累积”与过程中的每个状态都有关，表示过程量 O 如：-t图中这种面积表示位移x(x=t) 1 a-t图中这种面积表示速度变化△v 2.乘积面积（以图线上的点与原点为对角顶点的矩形面积） 数学意义：S=y,是某坐标点与原点为对角顶点的矩形面积 乘积 物理意义：“乘积”只与图线上某个点表示的状态有关，表示状态量 如：U-I图中这种面积表示功率(P=I) (三)速度-时间图像（一t图像） 1.-t图线与t轴所夹图形的“面积”表示位移；两条一t图线所夹图形的“面积”表示相对位移 2.-t图线的斜率表示加速度。(1)切线斜率：表示瞬时加速度；(2)割线斜率：表示平均加速度 ▲匀变速直线运动的，t图像为一条倾斜的直线 【例1】甲、乙两个质点在并排的两条直轨道上运动，它们的速度随时间变化规律 如图所示，甲的图线是直线，乙的图线是抛物线，0~时间内两条图线与横轴围成的 、甲 面积相等，抛物线顶点的横坐标为2，则下列说法正确的是（) V2 1 A.t3时刻，甲、乙一定相遇 B.02时间内，甲、乙的位移大小之比为3：2 C.0~t1时间内乙的平均速度大于甲的平均速度 t1 t2 D.0~t2时间内甲的加速度一直小于乙的加速度 1 【答案】B 【解析】 A:由于不知甲、乙两个质点的出发点是否相同，所以不能判断6时刻甲、乙是否一定相遇，故选项A错误 B:0~6时间内图线a、五与横轴围成的面积相等，所以两质点通过的位移相等，设为x 根据题意，是0~有的时间中点，由数学知识可得，甲车在0一4时间内的位移=4X 3 1 乙车在0时间内的位移x吃=一x 3 所以甲、乙两车的位移之比上二 -3 1 ,故选项B正确 C:图像的“面积”表示位移，0~时间内乙的“面积”小于甲的“面积”，即乙的位移小于甲的位移 则乙的平均速度小于甲的平均速度，故选项C错误 D:在时刻，乙的加速度为零，所以0一时间内甲的加速度不是一直小于乙的加速度，故选项D错误 (四)位移-时间图像（t图像) 1.匀速直线运动的xt图像为一条倾斜的直线：匀变速直线运动的xt图像为一条抛物线 2.xt图线的斜率表示速度。(1)切线斜率：表示瞬时速度：(2)割线斜率：表示平均速度 【例2】如图所示为一质点做直线运动的位移-时间图像，其中PQ为图线在P点处的 切线。下列说法正确的有( ) X3 A.0~o时间内质点的平均速度为 B.0~时间内质点的平均速度为一当 to C.如时刻质点的瞬时速度为一七 D,如时刻质点的瞬时速度为占一生 【答案】BC 【解析】切线PQ的斜率表示瞬时速度，割线Px1的斜率表示平均速度 【例3】一个物体从静止开始做匀加速直线运动的 位移-时间图像如图所示，下列说法正确的有( ) x/m A.物体的运动轨迹为抛物线 P B.物体运动的加速度大小为1ms2 C.t=4s时物体运动的速度为2ms 0 D.前2s内物体的位移大小为4m 4 【答案】B 【解析】 A:匀加速直线运动，轨迹为直线(xt图像为抛物线)，选项A错误 B:由图可知，巨时位移=8山则由x)a令a=子-。=m/小P选项B正确一 C:=4w时的速度v=at=1×4=4/S),选项C错误 D:=2内的位移x=ar2=×12=2(m）,选项D错误 2 2 2 【例4】（上海高考题）质点做直线运动，其s-t关系如图所示，质点在0~20s内的20 s/im 平均速度大小为ms,质点在 时的瞬时速度等于它在6~20s内的平均速度。 10 【答案】0.8,10s和14s 【解析】 20内位移为16m则平均速度的大小7=16 0 10 =0.8m/s 20t 20s s/m 20 割线斜率表示平均速度，连接图线上6r和20s的两点得到一条割线 切线斜率表示瞬时速度，速度相等则作切线与割线平行 通过作图，得到两个切点对应于t=10s和t=1s 10 则10x和14s时的瞬时速度等于6~20内的平均速度 1 101420t3 (五)加速度图像(t图像、x图像) 【例5】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动 ↑alms2） 的加速度随时间变化的图像如图。关于两车的运动，下列说法正确的是( 3.0 A.在0~4s内甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动 、乙 分 B.在0~2s内两车间距逐渐增大，2~4s内两车间距逐渐减小 1.5 C.在t=2s时甲车速度为3ms,乙车的速度为4.5ms D.在t=4s时甲车恰好追上乙车 0 2 4 t/s 【答案】C 【解析】 A:由原☑-t图像可见，甲的加速度恒定，做匀加速运动 乙做加速度均匀减小的变加速运动 0~4s内虽然乙的加速度逐渐减小，但速度一直增大，不是做减速运动，选项A错误 6.0 图像的切线斜率表示加速度，据此可作出两车的一1图像如右图所示 4.5 a-t图线与t轴所夹面积表示速度增量，据此可知=4s时两车速度相同 3.0 B:两车的一t图像所夹图形面积表示相对位移 0~4内两车的图像所夹图形面积一直增大，则两车间距也一直增大，选项B错误 C:a-t图线与t轴所夹面积表示速度增量 据此可知t=2s时甲车速度为3s,乙车速度为4.5s,选项C正确 D:在t=4s时乙车位移大于甲车位移，未追上，选项D错误 【例6】（高考全国I卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻 放在弹簧上端，P由静止向下运动，加速度α与弹簧压缩量x间的关系如图中实线所示。在 另一星球W上用完全相同的弹簧，改用物体2完成同样的过程，其α-x关系如图中虚线所 示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是W的3倍，则( ) A.M与N的密度相等 B.Q的质量是P的3倍 C.2下落过程中的最大动能是P的4倍D.2下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍 【答案】AC 【解析】 A:由-x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向 3 损牛顿第二定律将加速度Q="m8-“=g- m,则图象的斜率为-飞 ，纵轴截距为重力加速度g 1n2 m 根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比8丛=3凸_3 8w41 R2=mg→M=8 又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：G加_ G M 则星球密度P=4 3g 8 C R 34πRGR 3 故两星球的密度之比PL-84By=1,故A正确 PN gNRM B:当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力平衡，即g=:→m=。x上 gg 结合。图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比2=名=】 xo 2x 2 故物体P和物体Q的质量之比”2=2.S=1 故B错误： me xe gu 6 C:物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置(a=0)时，它们的动能最大： 根据v2=2ax,结合：x图象面积的物理意义可知： 1 物体P的最大速度满足：Vp=2·一·3aX 物体Q的最大速度满足：Vg=24 1 2 则两物体的最大动能之比： 2m。v54,C正确 -mpVp D:物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置(a=0)可知，P和Q振动的振幅分别为x,和2x, 即物体P所在弹簧最大压缩量为2x,物体Q所在弹簧最大压缩量为4x, 则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误。 (六)平均速度-时问图像（下一t图像，X-t图像） a=2k/ 匀变速直线运动：xV十)a1三币-，=o+号 2a,由此可见： 阴影面积表示 1.匀变速直线运动的v-t图像为一条倾斜的直线 时间和内的位移 10 2.(1)纵轴截距：表示初速度o (2)图线斜率k:表示加速度a的一半，即=2k t (3)矩形面积：表示前面过程中的位移 4 【例7】甲、乙两质点在同一平直轨道上同时(t=0)同地向同一方向做直线运动 个x(ms-1) 它们的位移x与时间t的比值随t的变化规律如图所示，则在前2s过程中( 乙 A.t=0.5s时，甲在乙的前面最远处 B.t=2s时，甲在乙的前面最远处 甲 C.t=1s时，甲、乙相遇 D.t=2s时，甲、乙相遇 【答案】AC 1 2 t/s 【解析】表示前面时间1内的平均速度 甲的平均速度恒为1s,则甲以v单=1ms的速度做匀速运动 乙的平均速度均匀增大，猜想做初速度为0的匀加速运动，设加速度为，则 t三at三x1 函数形式与图像相符，猜想正确，且加速度：等于图线斜率的2倍，即=2s AB:开始运动后甲在前，甲、乙间距增大 t=0.5x时，乙的速度V吃=at=2×0.5=1/s)=yp,此后甲、乙间距变小 所以=05x时甲在乙的前面最远处，选项A正确，B错误： CD:=1w时，甲、乙的平均速度相同，位移相同，甲、乙相遇，选项C正确，D错误 【例8】一辆汽车在平直的公路上行驶，从t=0时刻开始刹车而做减速直线运动， 通过传感器在电脑上自动描绘出其位移x与运动时间：的比值随：变化的上-t图像 个x1(ms-) t t 如图所示，则下列分析正确的是( A.刚要刹车时速度为40m/s B.开始刹车后经4s停下来 C.刹车过程中的加速度大小为5ms2 D.刹车过程的总位移为20m 【答案】D 【解析】 设刹车初速度大小为Y。,加速度大小为a,则经时间t的位移 1 1 x=vl-a=voa 2 据该函数式可知 纵轴截距表示初速度y。,即y。=20m/S,选项A错误 斜率的绝时值表示)4，即4=20-0 1 2 4-0 5→a=10(m/s2）,选项c错误 从开始刹车至停下所用时间f=白一0_20 =2(s),选项B错误 a10 剂车过程的总位移x=下1=么f仁20× ×2=20(1m),选项D正确 2 2 1 (七)v2-x图像 '1 a=k/2 匀变速直线运动：v2-m2=2c→v2=2x+n2,由此可见： 10 1.匀变速直线运动的v2图像为一条倾斜的直线 2.（1)纵轴截距：表示2 (2)图线斜率k:表示加速度的2倍，即=k2 【例9】如图所示为某汽车关闭油门后沿直线减速滑行的2x图像（其中v为运动速度， 个v2 x为位移)，下列关于该汽车从x=0处运动至x=x和处的过程分析，正确的有() % A.加速度大小为加2xo B.运动的总时间为2xoo C.在位移中点的速度为o2 D.在中间时刻的速度大于o2 【答案】AB 【解析】 设加速度大小为，据匀变速直线运动的速度一位移公式得 2-v2=2ar→v2=%2-2a A由图像知x=时v=0,代入上式得a=6,选项A正确 2X0 B运动的总时间1=6-0=，2马-2，选项B正确（成：1==名_21） as63 v Vo vo 个y2 C如右图，中点速度满足V中位2=。→y位 一√2V1,选项C错误 2 2 D:据匀变速直线运动规律知，中间时刻的速度等于平均速度，即 o/2 V=下=十0-，选项D错误 2 2 【例10】一辆汽车由静止开始沿直线运动，速度和加速度方向始终向右，速度ⅴ的 二次方随位移x变化的图象如图所示，则汽车从开始运动到前进x的过程中() A.受到的合外力越来越大 B.受到的合外力越来越小 C.平均速度大于v2 D.平均速度小于/2 【答案】AD 【解析】 A:解析由2=2ar和F=M,结合图像可知加速度a增大，合力F增大，选项A正确 B:汽车受到的合力越来越大，则相同的距离内合力对汽车做的功不相等，选项B错误 CD:汽车做加速度增大的加速运动，可作出t图像如图所示 将1图像（曲线）与图线两端点的连线（直线）对比，可知平均速度小于 2 0 选项C错误，D正确 (八)数形结合秒杀法 图象法解题具有简单直观的特点，我们平时应养成使用图象解决问题的习惯。 图像法解题，特别适合三类问题：相对运动问题、分段运动问题、变加速运动问题。 【例11】（分段运动）用A、B两辆相同的汽车在同种平直公路上进行性能测试。A车以最大加速度a1加速到最大速 度后匀速运动一段时间，再以最大加速度2匀减速制动，直到停止；B车以最大加速度α1加速到同样的最大速度后，立 即以加速度a/2制动，直到停止。测得A、B两车运动时间相等，而位移之比为5：4，则加速度大小之比1：2为() A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:4 A 【答案】B 41 【解析】 12/2 4 根据题意，根据位移之比为5：4，可作出两车的1图像如右所示 Z.st B 据一t图像易得B正确 2而 3to 4扬 【例12】（变加速）汽车从静止开始以恒定功率沿直线启动，经5mm速度达到20ms,则这段时间内汽车的位移() A.小于3am B.等于3am C.大于3am D.无法确定 【答案】C 个rl 【解析】 20 汽车以恒定功率启动，根据P=Fv可知，随着v增大，牵引力F减小 因而汽车做加速度减小的变加速运动，一1图像如右所示 图线与所夹图形面积表示位移，易得选项C正确 0 300tg 【例13】（相对运动）如图所示，水平速度为v、质量为m的子弹击中并穿过放在光 滑水平地面上的木块，若木块对子弹的阻力大小恒定，则下面说法正确的有( A.m越大，则木块获得的动能越大B.m越小，则木块获得动能越大 C.y越大，则木块获得动能越大 D.v越小，则木块获得的动能越大 【答案】BD 【解析】 一t图像分析法 根据牛顿第二定律及题意，易作出各情况下的1图像如右所示 雅大 大 因木块长度一定，子弹与木块的图线所夹面积也一定 小 v小 AB:由图(1)可见，子弹质量m越大，射出木块时木块速度越小 则木块动能也越小，选项A错误，B正确 木块 木块 CD:由图(2)可见，子弹速度越大，射出木块时木块速度越小 (1) (2) 则木块动能也越小，选项C错误，D正确 【例14】（浙江福建高考题）一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合， 如图。己知盘与桌布间的动摩擦因数为41，盘与桌面间的动摩擦因数为42。现突然以恒定加速度α将桌布抽离桌面，加速 度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度α满足的条件是什么？（以g表示重力加速度） 【答案】a≥凸+24 A L18 u B 【下面是当年高考题给出的解答】 解：设圆盘的质量为m,桌长为L,在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为，有 L1g=1a1① 桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以表示加速度的大小，有 u,1mg=11a2② 设盘刚离开桌布时的速度为，移动的距离为1，离开桌布后在桌面上再运动距离2后便停下，有 y=2a1x1③y=2a2x3④ 盘没有从菜面上掉下的条件是七，≤L一方回 设桌布从盘下抽出所经历时间为，在这段时间内桌布移动的距离为x,有 x= za x=20⑦ x=三L+x1⑧ 由以上各式解得a≥凸十2地41g(由8个方程构成的方程组，还是很不好解的) 7 【一图秒解】 圆盘在桌布上和桌面上滑动时的加速度大小分别为g、g 设桌面边长为L,圆盘在桌布上滑动时间为1 则在桌面上滑动时间6，=45=凸6 2g%3 L 如右图。X=?生≤气，由两阴影图形面积满足 相 91 gx盘% 1 +444s(4-4既片→a≥+2匹4g 2 u =2 【作业】 班次 座号 姓名 1.物体以某一初速度o沿斜面上滑，其v-t图象在下图中不可能的有( A.0 B.O 【答案】C 【解析】 A:斜面光滑的情况，上滑与下滑加速度相同，整个图线为直线，选项A正确 BC:斜面粗糙有摩擦的情况，上滑速度减到0后能返回下滑 上滑的加速度大小a上=8in8+ucos0) =g(sine+ucose) 下滑的加速度大小a-=m(6i8-4cos0) =g(sine-ucos0) n g上>a下，选项B正确，C错误 D:斜面粗糙有摩擦的情况，上滑速度减到0后停在斜面上不再下滑，选项D正确 2.A、B两物体同时同地向同一方向运动，其速度与位移变化关系图像如图所示， A物体做匀速直线运动、速度大小为。B物体的速度与位移关系图像为过原点开口向 B 右的抛物线。两图像交点坐标为(x1,v),下列说法正确的是() A.出发后，A、B两物体在x1处相遇 B.A、B相遇时B物体的速度为2v0 C.B物体在x1处的加速度a=vox1 D.B物体做加速度减小的加速运动 【答案】B 【解析】 D:假设B物体做初速度为0加速度为☑的匀加速直线运动，据速度一位移公式 v2-0=2ax三v=√2a·x2 得到的函数式与题中已知的图像类型相符，假设正确，B物体是做初速为0的匀加速直线运动 运动到5处：4物体所用时间14-三，B物体所用时间。=占=2三 Va vVo 这说明A、B两物体不是同时到达X处，所以并不是在X处相遇，选项A错误 B:设出发后经时间t相遇，则V,t= _0+y21→yg=2%,选项B正确 2 8 C:据速度-位移公式y,-0=2cx1→a= ,选项c帽误 2x, 3,某质点沿x轴方向做匀变速直线运动，其位置坐标x随时间t变化的关系如右图像所示， 个x/m 则在0~4s内，下列说法正确的是( A.质点的加速度大小为4ms2 B.在t=1s时，质点的速度最大 C.在t=0时，质点的速度大小为2m/sD.在0~4s内，质点的平均速度大小为2.5m6 【答案】C 0 1234ts 【解析】 B:X一t图像的切线斜率表示速度，则=1s时质点的速度为0，选项B错误 A:设加速度为a,1s~4s的时间t2=35,位移x2=9m 位移公式，=)西，2一a=2空=29=2m1,',选项A箭识 6232 C:0~1s的时间t1=1S,用逆程法可得=0时质点的速度大小y,=☑t1=2×1=2/S),选项C正确 D:0~4s的总时间△t=4s,总位移大小△x=8-0=8(m) 则平均速度大小下=△x-8-2m/),选项D错误 △t-4 4.某同学用传感器探究一玩具车做直线运动的性质，得到了一段过程中的上-t的图象如图 ↑/m:s) 所示，由此可知该玩具车在这段过程中() A.做速度为-3s的匀速直线运动B.做变加速直线运动 C.做匀加速直线运动，初速度大小为2msD.做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2 -30 t/s 【答案】C 【解析】 餐设小车做匀变速直线运动，则位移x=6+)Q㎡→，6十 1 x1 2 2 函数式与图像相符，假设正确 图像纵轴截距表示初速度，即v。=2m/s 1 m12-0 4 图线斜率表示二a，即二a= 2 2 0-(3Pa=3m1w2) 3 据上分析得选项C正确 5.一物体由静止开始做直线运动，其加速度随位移变化的图象如图所示，则( A.位移为o时物体已运动的时间为，√2x。/aB.位移为xo时物体的速度为VQox。 C.位移为2o时物体速度为0 D.位移为2xo时物体速度为V3aoxo 2x0 x 【答案】AD 【解析】 A:0~和过程，物体做初速为0的匀加速直线运动，据位移公式 1 x=at'→t 2X0 选项A正确 B:对0~m匀加速过程用速度一位移公式，得 y,-0=24x→Y=√24，选项B错误 C①：从静止开始的匀加速直线运动获海的速度y满足v2-0=2一二 则口-X图线与x轴所夹图形面积表示2 仓位移为2时物体速度设为，则号6+2片一，=45，选项C结误D正确 6.一个固定在水平面上的物块，其左侧面是光滑斜面AB,右侧面是光滑曲面 AC,且AB和AC长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开 始下滑，则它们到达水平面的先后情况是() A.p球先到 B.q球先到 C.两球同时到D.无法确定 B 【答案】B 【解析】图解法 v(速率) 据机械能守恒可知卫、q到达同一水平面上的B、C两点时速率相等 作两物体运动的速率一时间图象如右所示 因两条轨道长度相同，则图线与横轴所围成的面积相同 0 据此易得运动时间t。<t2,选项B正确 个alm's-2 7.(全国高考I卷)汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0~60s内汽车的 加速度随时间变化的图线如图所示。 30 60 (1)画出汽车在0~60s内的v-t图线： (2)求在这60s内汽车行驶的路程。 -1 个v/ms-1 【答案】(1)见解析：(2)900m 【解析】 (1)0~10s:1=2ms2,1=10s时汽车的速度1=1=20m8 30 60t/s 10s~40s:匀速运动 个v/hms1 40s~60s:=-1公，6=60s时汽车的速度内=M+(t-4)=0 据此可作出汽车的图像如右所示 (2)rt图线与t轴所夹图形面积表示位移，求得为900m 30 60 t/s x/m 8.一滑块（视为质点）以不同的初速度vo从长为4m的斜面顶端沿斜面下滑， 其下滑距离x随v变化的x-w2图象如图所示。 (1)求滑块下滑的加速度大小； (2)若滑块下滑的初速度为5ms,则它在斜面上下滑的时间为多长？ 【答案】(1)2m;(2)1y 4812w2(ms-1)2 【解析】 10 (1)据题意知，滑块在斜面上匀减速下滑 设加速度大小为，取数据点2二12(s)三、x=3m,则： y,2=2ax→a=2m/s2 (2)斜面长L=4m,由图像的比例关系易得： 当%2=16(m/s)2即w=4ms时，=4FL,滑块正好能滑到斜面底端 则%'=5ms时，滑块将滑过斜面 设在斜面上滑行时间为，则 L=%t-二at2→t=1s或t=4s 2 分析知，卡4s不合题意，则所求时间为1y 11 §1.4 运动图像及其应用 （一）物理图像“四种斜率”（纵横坐标相除为斜率）数理解析 1．图线斜率（图像为直线时，图线本身的斜率） 数学意义：线性函数，函数图象为直线，为整个图线的斜率，表示图线的倾斜程度 物理意义：当图像为直线时，切线斜率、割线斜率，和图线的实际斜率都相同（若图像是过原点的直线，径线斜率也相同），具体表示什么物理意义，要看函数关系中物理量的具体含义 2． ( y x O k 1 k 3 k 2 )切线斜率 数学意义： 物理意义：只与一个点有关，表示状态量，如表示瞬时速度、瞬时加速度 3．割线斜率（图线上两点连线斜率） 数学意义： 物理意义：与两点间的过程有关，表示过程量，如表示平均速度、平均加速度 4．径线斜率（图线上某点与原点连线斜率） 数学意义：（图线上某点的纵横坐标值直接求比值） 物理意义：分两种情况 ①只与图线上那个点有关，与原点无关，一般表示属性，如U-I图线，这种斜率表示电阻； ②如果图线过原点，则表示的意义有可能与（2）相同表示过程量，当然也有可能表示属性量 ( y x O 累积 ) （二）物理图像“两种面积”（纵横坐标相乘为面积）数理解析 1．累积面积（图线与横轴所夹图形面积） 数学意义：相当于积分（） 物理意义：“累积”与过程中的每个状态都有关，表示过程量 ( O x y 乘积 )如：v-t图中这种面积表示位移x（x＝vt） a-t图中这种面积表示速度变化Δv 2．乘积面积（以图线上的点与原点为对角顶点的矩形面积） 数学意义：S＝xy，是某坐标点与原点为对角顶点的矩形面积 物理意义：“乘积”只与图线上某个点表示的状态有关，表示状态量 如：U-I图中这种面积表示功率（P＝UI） （三）速度-时间图像（v-t图像） 1．v-t图线与t轴所夹图形的“面积”表示位移；两条v-t图线所夹图形的“面积”表示相对位移 2．v-t图线的斜率表示加速度。（1）切线斜率：表示瞬时加速度；（2）割线斜率：表示平均加速度 ▲匀变速直线运动的v-t图像为一条倾斜的直线 ( O t 1 t 2 t 3 t v 1 v 2 v 0 v 乙 甲 )【例1】甲、乙两个质点在并排的两条直轨道上运动，它们的速度随时间变化规律 如图所示，甲的图线是直线，乙的图线是抛物线，0～t3时间内两条图线与横轴围成的 面积相等，抛物线顶点的横坐标为t2，则下列说法正确的是（ ） A．t3时刻，甲、乙一定相遇 B．0～t2时间内，甲、乙的位移大小之比为3:2 C．0～t1时间内乙的平均速度大于甲的平均速度 D．0～t2时间内甲的加速度一直小于乙的加速度 【答案】B 【解析】 A：由于不知甲、乙两个质点的出发点是否相同，所以不能判断t3时刻甲、乙是否一定相遇，故选项A错误 B：0～t3时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，所以两质点通过的位移相等，设为x 根据题意，t2是0～t3的时间中点，由数学知识可得，甲车在0～t2时间内的位移 乙车在0～t2时间内的位移 所以甲、乙两车的位移之比，故选项B正确 C：v-t图像的“面积”表示位移，0～t1时间内乙的“面积”小于甲的“面积”，即乙的位移小于甲的位移 则乙的平均速度小于甲的平均速度，故选项C错误 D：在t2时刻，乙的加速度为零，所以0～t2时间内甲的加速度不是一直小于乙的加速度，故选项D错误 （四）位移-时间图像（x-t图像） 1．匀速直线运动的x-t图像为一条倾斜的直线；匀变速直线运动的x-t图像为一条抛物线 2．x-t图线的斜率表示速度。（1）切线斜率：表示瞬时速度；（2）割线斜率：表示平均速度 ( O t 0 t x 1 x 2 x 3 x P Q )【例2】如图所示为一质点做直线运动的位移-时间图像，其中PQ为图线在P点处的 切线。下列说法正确的有（ ） A．0～t0时间内质点的平均速度为 B．0～t0时间内质点的平均速度为 C．t0时刻质点的瞬时速度为 D．t0时刻质点的瞬时速度为 【答案】BC 【解析】切线PQ的斜率表示瞬时速度，割线Px1的斜率表示平均速度 ( 0 4 8 t / s x / m )【例3】一个物体从静止开始做匀加速直线运动的 位移-时间图像如图所示，下列说法正确的有（ ） A．物体的运动轨迹为抛物线 B．物体运动的加速度大小为1m/s2 C．t＝4s时物体运动的速度为2m/s D．前2s内物体的位移大小为4m 【答案】B 【解析】 A：匀加速直线运动，轨迹为直线（x-t图像为抛物线），选项A错误 B：由图可知，t＝4s时位移x＝8m，则由，选项B正确 C：t＝4s时的速度，选项C错误 D：t＝2s内的位移，选项D错误 ( 0 10 20 10 20 t/s s/m )【例4】（上海高考题）质点做直线运动，其s-t关系如图所示，质点在0～20s内的 平均速度大小为 m/s，质点在 时的瞬时速度等于它在6~20s内的平均速度。 【答案】0.8，10s和14s 【解析】 ( 20 10 0 10 20 14 t/s s/m )20s内位移为16m，则平均速度的大小 割线斜率表示平均速度，连接图线上6s和20s的两点得到一条割线 切线斜率表示瞬时速度，速度相等则作切线与割线平行 通过作图，得到两个切点对应于t＝10s和t＝14s 则10s和14s时的瞬时速度等于6～20s内的平均速度 （五）加速度图像（a-t图像、a-x图像） ( 3.0 1.5 0 2 4 t /s a /(m · s -2 ) 甲 乙 )【例5】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动 的加速度随时间变化的图像如图。关于两车的运动，下列说法正确的是（ ） A．在0～4s内甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动 B．在0～2s内两车间距逐渐增大，2~4s内两车间距逐渐减小 C．在t＝2s时甲车速度为3m/s，乙车的速度为4.5m/s D．在t＝4s时甲车恰好追上乙车 【答案】C 【解析】 ( 0 2 4 t / s 6.0 4.5 3.0 v / m · s －1 甲 乙 )A：由原图像可见，甲的加速度恒定，做匀加速运动 乙做加速度均匀减小的变加速运动 0～4s内虽然乙的加速度逐渐减小，但速度一直增大，不是做减速运动，选项A错误 v-t图像的切线斜率表示加速度，据此可作出两车的v-t图像如右图所示 a-t图线与t轴所夹面积表示速度增量，据此可知t＝4s时两车速度相同 B：两车的v-t图像所夹图形面积表示相对位移 0～4s内两车的v-t图像所夹图形面积一直增大，则两车间距也一直增大，选项B错误 C：a-t图线与t轴所夹面积表示速度增量 据此可知t＝2s时甲车速度为3m/s，乙车速度为4.5m/s，选项C正确 D：在t＝4s时乙车位移大于甲车位移，未追上，选项D错误 【例6】（高考全国I卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻 放在弹簧上端，P由静止向下运动，加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图中实线所示。在 另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所 示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是N的3倍，则（ ） A．M与N的密度相等 B．Q的质量是P的3倍 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍 【答案】AC 【解析】 A：由a-x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向 据牛顿第二定律得加速度，则图象的斜率为，纵轴截距为重力加速度 根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比 又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即： 则星球密度 故两星球的密度之比，故A正确； B：当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力平衡，即 结合a-x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比 故物体P和物体Q的质量之比，故B错误； C：物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a＝0）时，它们的动能最大； 根据，结合a-x图象面积的物理意义可知： 物体P的最大速度满足： 物体Q的最大速度满足： 则两物体的最大动能之比：，C正确； D：物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a＝0）可知，P和Q振动的振幅分别为和 即物体P所在弹簧最大压缩量为，物体Q所在弹簧最大压缩量为 则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误。 ( t O v 0 a ＝ 2 k t 0 阴影面积表示 时间 t 0 内的位移 )（六）平均速度-时间图像（图像，图像） 匀变速直线运动：，由此可见： 1．匀变速直线运动的图像为一条倾斜的直线 2．（1）纵轴截距：表示初速度v0 （2）图线斜率k：表示加速度a的一半，即a＝2k （3）矩形面积：表示前面过程中的位移 ( t /s O 1 1 2 甲 乙 )【例7】甲、乙两质点在同一平直轨道上同时（t＝0）同地向同一方向做直线运动， 它们的位移x与时间t的比值随t的变化规律如图所示，则在前2s过程中（ ） A．t＝0.5s时，甲在乙的前面最远处 B．t＝2s时，甲在乙的前面最远处 C．t＝1s时，甲、乙相遇 D．t＝2s时，甲、乙相遇 【答案】AC 【解析】表示前面时间内的平均速度 甲的平均速度恒为1m/s，则甲以v甲＝1m/s的速度做匀速运动 乙的平均速度均匀增大，猜想做初速度为0的匀加速运动，设加速度为a，则 函数形式与图像相符，猜想正确，且加速度a等于图线斜率的2倍，即a＝2m/s2 AB：开始运动后甲在前，甲、乙间距增大 t＝0.5s时，乙的速度，此后甲、乙间距变小 所以t＝0.5s时甲在乙的前面最远处，选项A正确，B错误； CD：t＝1s时，甲、乙的平均速度相同，位移相同，甲、乙相遇，选项C正确，D错误 ( 0 20 4 t /s )【例8】一辆汽车在平直的公路上行驶，从t＝0时刻开始刹车而做减速直线运动， 通过传感器在电脑上自动描绘出其位移x与运动时间t的比值随t变化的图像 如图所示，则下列分析正确的是（ ） A．刚要刹车时速度为40m/s B．开始刹车后经4s停下来 C．刹车过程中的加速度大小为5m/s2 D．刹车过程的总位移为20m 【答案】D 【解析】 设刹车初速度大小为，加速度大小为，则经时间的位移 据该函数式可知 纵轴截距表示初速度，即，选项A错误 斜率的绝对值表示，即，选项C错误 从开始刹车至停下所用时间，选项B错误 刹车过程的总位移，选项D正确 ( v 2 v 0 2 O x v 1 2 x 1 a ＝ k/ 2 ) （七）图像 匀变速直线运动：v2－v02＝2ax⇒v2＝2ax+v02，由此可见： 1．匀变速直线运动的v2-x图像为一条倾斜的直线 2．（1）纵轴截距：表示v02 （2）图线斜率k：表示加速度a的2倍，即a＝k/2 ( v 2 v 0 2 O x 0 x )【例9】如图所示为某汽车关闭油门后沿直线减速滑行的v2－x图像（其中v为运动速度， x为位移），下列关于该汽车从x＝0处运动至x＝x0处的过程分析，正确的有（ ） A．加速度大小为v02/2x0 B．运动的总时间为2x0/v0 C．在位移中点的速度为v0/2 D．在中间时刻的速度大于v0/2 【答案】AB 【解析】 设加速度大小为，据匀变速直线运动的速度－位移公式得 A：由图像知时，代入上式得，选项A正确 ( v 2 v 0 2 O x 0 x x 0 /2 v 中 )B：运动的总时间，选项B正确（或：） C：如右图，中点速度满足，选项C错误 D：据匀变速直线运动规律知，中间时刻的速度等于平均速度，即 ，选项D错误 ( O x 1 v 1 2 v 2 x ) 【例10】一辆汽车由静止开始沿直线运动，速度和加速度方向始终向右，速度v的 二次方v2随位移x变化的图象如图所示，则汽车从开始运动到前进x1的过程中（ ） A．受到的合外力越来越大 B．受到的合外力越来越小 C．平均速度大于v1/2 D．平均速度小于v1/2 【答案】AD ( v t O t 1 v 1 )【解析】 A：解析由v2＝2ax和F＝ma，结合图像可知加速度a增大，合力F增大，选项A正确 B：汽车受到的合力越来越大，则相同的距离内合力对汽车做的功不相等，选项B错误 CD：汽车做加速度增大的加速运动，可作出v−t图像如图所示 将v−t图像（曲线）与图线两端点的连线（直线）对比，可知平均速度小于 选项C错误，D正确 （八）数形结合秒杀法 图象法解题具有简单直观的特点，我们平时应养成使用图象解决问题的习惯。 图像法解题，特别适合三类问题：相对运动问题、分段运动问题、变加速运动问题。 ( O 2 t 0 3 t 0 4 t 0 t v v m AB A A B a 1 a 2 a 2 /2 s 0 2s 0 2s 0 )【例11】（分段运动）用A、B两辆相同的汽车在同种平直公路上进行性能测试。A车以最大加速度a1加速到最大速度后匀速运动一段时间，再以最大加速度a2匀减速制动，直到停止；B车以最大加速度a1加速到同样的最大速度后，立即以加速度a2/2制动，直到停止。测得A、B两车运动时间相等，而位移之比为5:4，则加速度大小之比a1:a2为（ ） A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 【答案】B 【解析】 根据题意，根据位移之比为5:4，可作出两车的v-t图像如右所示 据v-t图像易得B正确 【例12】（变加速）汽车从静止开始以恒定功率沿直线启动，经5min速度达到20m/s，则这段时间内汽车的位移（ ） ( t/s O v/m · s - 1 300 20 )A．小于3km B．等于3km C．大于3km D．无法确定 【答案】C 【解析】 汽车以恒定功率启动，根据可知，随着v增大，牵引力F减小 因而汽车做加速度减小的变加速运动，v-t图像如右所示 图线与所夹图形面积表示位移，易得选项C正确 ( v )【例13】（相对运动）如图所示，水平速度为v、质量为m的子弹击中并穿过放在光 滑水平地面上的木块，若木块对子弹的阻力大小恒定，则下面说法正确的有（ ） A．m越大，则木块获得的动能越大 B．m越小，则木块获得动能越大 C．v越大，则木块获得动能越大 D．v越小，则木块获得的动能越大 【答案】BD ( （ 1） t O v m 大 m 小 木块 t O v v 大 v 小 木块 （ 2） )【解析】 v-t图像分析法 根据牛顿第二定律及题意，易作出各情况下的v-t图像如右所示 因木块长度一定，子弹与木块的图线所夹面积也一定 AB：由图（1）可见，子弹质量m越大，射出木块时木块速度越小 则木块动能也越小，选项A错误，B正确 CD：由图（2）可见，子弹速度v越大，射出木块时木块速度越小 则木块动能也越小，选项C错误，D正确 【例14】（浙江福建高考题）一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度） ( A B a )【答案】 【下面是当年高考题给出的解答】 解：设圆盘的质量为m，桌长为L，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为a1，有 ① 桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有 ② 设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下，有 ③ ④ 盘没有从桌面上掉下的条件是 ⑤ 设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有 ⑥ ⑦ ⑧ 由以上各式解得 （由8个方程构成的方程组，还是很不好解的） ( v t μ 1 gt 1 O at 1 a μ 1 g μ 2 g x 相 x 盘 t 1 t 2 = μ 1 t 1 / μ 2 )【一图秒解】 圆盘在桌布上和桌面上滑动时的加速度大小分别为μ1g、μ2g 设桌面边长为，圆盘在桌布上滑动时间为 则在桌面上滑动时间 如右图，，，由两阴影图形面积满足 【作业】 班次 座号 姓名 ( v t O A ． v t O B ． v t O C ． v t O D ． )1．物体以某一初速度v0沿斜面上滑，其v–t图象在下图中不可能的有（ ） 【答案】C 【解析】 A：斜面光滑的情况，上滑与下滑加速度相同，整个图线为直线，选项A正确 BC：斜面粗糙有摩擦的情况，上滑速度减到0后能返回下滑 上滑的加速度大小 下滑的加速度大小 a上＞a下，选项B正确，C错误 D：斜面粗糙有摩擦的情况，上滑速度减到0后停在斜面上不再下滑，选项D正确 2．A、B两物体同时同地向同一方向运动，其速度与位移变化关系图像如图所示， A物体做匀速直线运动、速度大小为v0。B物体的速度与位移关系图像为过原点开口向 右的抛物线。两图像交点坐标为（x1，v0），下列说法正确的是（ ） A．出发后，A、B两物体在x1处相遇 B．A、B相遇时B物体的速度为2v0 C．B物体在x1处的加速度a＝v02/x1 D．B物体做加速度减小的加速运动 【答案】B 【解析】 D：假设B物体做初速度为0加速度为的匀加速直线运动，据速度－位移公式 得到的函数式与题中已知的图像类型相符，假设正确，B物体是做初速为0的匀加速直线运动 A：运动到处：A物体所用时间，B物体所用时间 这说明A、B两物体不是同时到达处，所以并不是在处相遇，选项A错误 B：设出发后经时间相遇，则，选项B正确 C：据速度－位移公式，选项C错误 3．某质点沿x轴方向做匀变速直线运动，其位置坐标x随时间t变化的关系如右图像所示， 则在0～4s内，下列说法正确的是（ ） A．质点的加速度大小为4m/s2 B．在t＝1s时，质点的速度最大 C．在t＝0时，质点的速度大小为2m/s D．在0～4s内，质点的平均速度大小为2.5m/s 【答案】C 【解析】 B：图像的切线斜率表示速度，则t＝1s时质点的速度为0，选项B错误 A：设加速度为，1s～4s的时间，位移 据位移公式，选项A错误 C：0～1s的时间，用逆程法可得t＝0时质点的速度大小，选项C正确 D：0～4s的总时间，总位移大小 则平均速度大小，选项D错误 4．某同学用传感器探究一玩具车做直线运动的性质，得到了一段过程中的的图象如图 所示，由此可知该玩具车在这段过程中（ ） A．做速度为−3m/s的匀速直线运动 B．做变加速直线运动 C．做匀加速直线运动，初速度大小为2m/s D．做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2 【答案】C 【解析】 假设小车做匀变速直线运动，则位移 函数式与图像相符，假设正确 图像纵轴截距表示初速度，即 图线斜率表示，即 据上分析得选项C正确 ( a x O x 0 2x 0 a 0 )5．一物体由静止开始做直线运动，其加速度随位移变化的图象如图所示，则（ ） A．位移为x0时物体已运动的时间为 B．位移为x0时物体的速度为 C．位移为2x0时物体速度为0 D．位移为2x0时物体速度为 【答案】AD 【解析】 A：0～x0过程，物体做初速为0的匀加速直线运动，据位移公式 ，选项A正确 B：对0～x0匀加速过程用速度－位移公式，得 ，选项B错误 CD：从静止开始的匀加速直线运动获得的速度满足 则图线与轴所夹图形面积表示 位移为2x0时物体速度设为，则，选项C错误，D正确 6． ( p A q B C )一个固定在水平面上的物块，其左侧面是光滑斜面AB，右侧面是光滑曲面 AC，且AB和AC长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开 始下滑，则它们到达水平面的先后情况是（ ） A．p球先到 B．q球先到 C．两球同时到 D．无法确定 【答案】B ( v (速率) O t q t p t p q )【解析】图解法 据机械能守恒可知p、q到达同一水平面上的B、C两点时速率相等 作两物体运动的速率－时间图象如右所示 因两条轨道长度相同，则图线与横轴所围成的面积相同 据此易得运动时间，选项B正确 ( O 30 60 -1 1 2 a / m · s − 2 t/s O 30 60 v / m · s − 1 t/s ) 7．（全国高考Ⅰ卷）汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60s内汽车的 加速度随时间变化的图线如图所示。 （1）画出汽车在0～60s内的v-t图线； （2）求在这60s内汽车行驶的路程。 【答案】（1）见解析；（2）900m 【解析】 （1）0～10s：a1＝2m/s2，t1＝10s时汽车的速度v1＝a1t1＝20m/s ( O 30 60 v / m · s − 1 t/s 20 )10s～40s：匀速运动 40s～60s：a3＝-1m/s2，t3＝60s时汽车的速度v3＝v1+a3（t3-t1）＝0 据此可作出汽车的v-t图像如右所示 （2）v-t图线与t轴所夹图形面积表示位移，求得为900m ( O 4 8 12 1 2 3 x / m v 0 2/ ( m · s − 1 ) 2 ) 8．一滑块（视为质点）以不同的初速度v0从长为4m的斜面顶端沿斜面下滑， 其下滑距离x随v02变化的x‒v02图象如图所示。 （1）求滑块下滑的加速度大小； （2）若滑块下滑的初速度为5m/s，则它在斜面上下滑的时间为多长？ 【答案】（1）2m/s2；（2）1s 【解析】 （1）据题意知，滑块在斜面上匀减速下滑 设加速度大小为a，取数据点v02=12（m/s）2、x=3m，则： （2）斜面长L=4m，由图像的比例关系易得： 当v02=16（m/s）2即v0=4m/s时，x=4m=L，滑块正好能滑到斜面底端 则v0′=5m/s时，滑块将滑过斜面 设在斜面上滑行时间为t，则 分析知，t=4s不合题意，则所求时间为1s 2 学科网（北京）股份有限公司 $