14导数与函数的单调性、极值和最值题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与函数单调性、极值、最值高考核心考点，按知识梳理-题型突破-考点应用逻辑架构，通过知识梳理明确导数与单调性的充要条件等概念关系，方法指导提炼求单调区间步骤，真题训练覆盖含参单调性、极值点判断等题型，帮助学生系统构建知识网络和解题体系。 资料采用分层训练与题型分类策略，基础题巩固概念辨析，能力题提升综合应用，如含参单调性问题通过分类讨论标准指导培养数学思维。设置解题步骤示范与即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，有效提升学生应考能力。

导数与函数的单调性、极值和最值 一、知识梳理 1. 导数与函数的单调性 设函数 在区间 内可导, 是 的导数,则 在 上单调递增 在 上单调递减 在 上为常数函数 ① 注意 是 在区间 上单调递增 (减) 的充分不必要条件. 2. 是 在区间 内单调递增 (减) 的必要不充分条件. 3. 若 在区间 的任意子区间内都不恒等于零, 则 是 在区间 内单调递增 (减) 的充要条件. 2. 导数与函数的极(最)值 函数的极值 极值 满足条件 极小值点与极小值 函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点处的函数值都小， ; 在点 附近的左侧 , 右侧 ,就把 叫做函数 的极小值点, 叫做函数 的极小值 极大值点与极大值 函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点处的函数值都大, ; 在点 附近的左侧 , 右侧 ,就把 叫做函数 的极大值点, 叫做函数 的极大值 极值与极值点 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点 注意 1. 在函数的整个定义域内, 函数的极值不一定唯一,在整个定义域内可能有多个极大值和极小值; 2. 极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小; 3. 导数等于零的点不一定是极值点 (例如: ,当 时, ,但 不是函数的极值点); 4. 对于处处可导的函数, 极值点处的导数必为零. 函数的最值 一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值, 函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 二、练习题 1. 判断正误. (对的打“ ”，错的打“ ”) (1)如果函数 在 内单调递增，那么一定有 . ( ) (2)若函数 在定义域上都有 ,则 在定义域上一定单调递增. ( ) (3)若在 内 ,且 的根为有限个,则 在 内单调递减. ( ) 2. 函数 的导函数 的图象如图所示, 则 ( ) A. 在区间 上, 单调递增 B. 在区间 上, 单调递减 C. 在区间 上, 单调递增 D. 在区间 上, 单调递增 3. 已知函数 ,则 的单调递减区间为___. 4.函数 的单调递增区间为___. 题型一 利用导数解决函数的单调性问题 角度 1 利用导数求不含参函数单调性问题 利用导数求函数 单调区间的步骤: (1)确定函数 的定义域; (2)求导数 ； (3)解不等式 ，其解集与定义域的交集为单调递增区间； (4)解不等式 ，其解集与定义域的交集为单调递减区间. 5. 设函数 ,曲线 在点 处的切线方程为 . (1)求 的值； (2)设函数 ，求 的单调区间. 角度 2 利用导数求含参函数单调性问题 6. 已知函数 . (1)求函数的单调区间； (2)求 的零点个数. 含参函数的单调性问题主要以两种形式呈现，一是判断含参函数的单调性，二是求含参函数的单调区间. 这两种形式实质上是一致的. 解决此类问题时，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对于含有参数的不等式，要针对具体情况进行分类讨论，但始终要注意定义域及分类讨论的标准. 7. 已知函数 . 当 时,讨论 的单调性. 角度 3 利用函数的单调性求参数 8. 设函数 ,其中 为常数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)讨论函数 的单调性. 由函数 在区间 内单调递增 (或递减),可得 (或 ) 在该区间恒成立,而不是 (或 )恒成立, “=”不能少.必要时还需对“=”进行检验. 9. 设 , 若函数 在 单调递增, 则 的取值范围是___. 10. 已知函数 在定义域内是增函数,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 11. 若函数 在区间 上不单调,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 题型二 利用导数解决函数极(最)值问题 角度 1 利用导数解决函数极值问题 1.解决函数极值问题的一般思路 2. 可导函数 的极值点存在问题可转化为导函数 的变号零点存在问题. 12. 设 ,若 为函数 的极大值点,则 ( ) A. B. C. D. 角度 2 利用导数解决函数最值问题 13. 已知函数 有两个不同的极值点 ,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 求函数 在区间 上的最大 (小) 值的步骤如下: (1)求函数 在区间 上的极值； (2)将函数 的各极值与端点处的函数值 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 14. 当 时,函数 取得最大值-2,则 ( ) A. -1 B. C. D. 1 15. 当 时，函数 取得极值，则 在区间上的最大值为 ( ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 考点 1 导数与函数的单调性 16. 已知函数 在区间 单调递增,则 的最小值为 ( ) A. B. e C. D. 17. 设 ,则 ( ) A. B. C. D. 18. 已知函数 (1)讨论 的单调性; (2)证明:当 时， . 19. 已知函数 (1)当 时，讨论 的单调性; ( 2 )若 ，求 的取值范围. 考点 2 导数与函数的极 (最) 值 20. 已知函数 (1)当 时,求曲线 在点 , 处的切线方程; (2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围. 21. (多选) 设函数 ,则 ( ) A. 是 的极小值点 B. 当 时， C. 当 时， D. 当 时， 22. (多选) 已知函数 ,则 ( ) A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切线 23. (多选) 若函数 既有极大值也有极小值, 则 ( ) A. B. C. D. ac<0 24. 函数 的最小值为___. 25. 已知 和 分别是函数 的极小值点和极大值点. 若 ,则 的取值范围是___. 26. 已知函数 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 在 处取得极值，求 的单调区间，并求其最大值与最小值. 27. 已知函数 (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围. 28.(1)证明:当 时， ； (2)已知函数 ，若 是 的极大值点,求 的取值范围. 基础夯实 29. 已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为 ( ) A. 1 B. 2 C. D. 30. 函数 的单调递减区间为 ,则 A. B. 1 C. e D. 31. 已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 32. 已知函数 在 上存在单调递增区间,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 33. 已知函数 有两个极值点,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 34. 已知函数 是定义在 上的增函数,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 35. 若函数 在 时取得极小值，则 的极大值为___. 能力提升 36. 若函数 有两个不同的极值点,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 37. 已知函数 ,若 ,则 的最小值为 ( ) A.2 B. 3 C. 2 D. 38. 已知 ,当 时, 恒成立，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 1 39. (多选) 已知函数 ，则 ( ) A. 当 时， 是 上的减函数 B. 当 时, 是 的极小值点 C. 当 时， 取到最小值 D. 当 时， 恒成立 40. 已知函数 为 的导函数, 在 上单调递减,则正实数 的取值范围为___. 41. 已知函数 ，则 的最大值是___. 42. 已知函数 . (1)求函数 的单调区间； (2)当 时，求函数 在区间 上的最大值. 43. 已知函数 (1)求 的极值; (2)讨论 的单调性; (3)若 存在两个极值点 ， 讨论 和 的大小关系. 参考答案与解析 1. 2. 选 C. 3. 填 4. 填 5. 解析： 点 在切线 上,且切线斜率为 , 而 ,即 ①, 又 , ②, 由①②得 . (2)由(1)知 ， , 令 ,得 或 . 随 的变化情况如表: (-∞, 0) 0 (3- , ) + 0 - 0 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 和 . 6. 解析：(1) 由题可得 , 令 ,解得 ; 令 ,解得 或 , 所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , . (2)由(1)知 的单调递减区间为(0，ln2)，单调递增区间为 , 因为 ,所以 在 上无零点; 因为 ,所以 在 上无零点; 因为 ,所以 在 上存在唯一零点. 综上,函数 在 上存在唯一零点. 7. 解析： , 则 , 令 , 当 时, ,(先讨论二次项系数为 0 ) 当 时, ,函数 单调递减; 当 时, ,函数 单调递增. 当 时,由 ,即 , 解得 . 当 时, 恒成立,此时 ,函数 单调递减; (再讨论两根相等) 当 时, 时, ,函数 单调递减; (最后讨论两根不相等,注意抛物线开口方向) 时, ,函数 单调递增; 时, ,函数 单调递减. 当 时, 时, ,函数 单调递减; 时, ,函数 单调递增. 综上所述: 当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增; 当 时，函数 在 上单调递减； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增,在 上单调递减. 8. 解析：(1) 当 时, . 则 ,则 , 又 切点为 所求切线方程为 . ( 2 )函数的定义域为 , 当 时， ，则函数 在 上单调递增； 当 时,令 , 当 时, ,则函数 在 , 上单调递减, 当 时, ,即 ,则函数 在 上单调递减, 当 时, , 设方程 的两根分别为 ,且 , 则 , 因为 , 所以 时, ,函数 单调递减, 时, ,函数 单调递增, 时, ,函数 单调递减. 综上,当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. 9. 填 解析 由题意得 在 上恒成立, 即 在 上恒成立, , 与 在 上均为增函数, 在 上单调递增, ,即 ,即 , 解得 或 , 又 . 10. 选 B. 因为函数 在 内是增函数,所以 在 内恒成立, 所以 在 内恒成立, 只需 即可. 因为 , 当 ,即 时, , 所以 ,即 的取值范围为 . 故选 B. 11. 选 B. 对 求导得 , 由题意得 在区间 上有解,由 得 ,则 . 故选 B. 12. 选 D. 解法一: , 令 ,得 . (i) 若 ,要使函数 在 处取得极大值,则需 在 上单调递增,在 上单调递减,此时需 , 得 . (ii) 若 ,要使函数 在 处取得极大值,则需 在 上单调递增,在 上单调递减,此时需满足 ,得 . 综上可知, ,故选 D. 解法二: 令 , 因为 时, 时, , 又因为 时,函数取得极大值,故只需 , 即 ,得 ,故选 D. 13. 选 C. 由 得 , 若函数 有两个不同的极值点 ,则方程 有两个不相等的正实根, 即 解得 . . 令 , 则 ,所以 在 上单调递增, 所以 ,所以 . 故选 C. 14. 选 B. 因为函数 定义域为 ,所以依题可知, ,而 ,所以 ,即 ,所以 ,因此函数 在 , 1) 上单调递增,在 上单调递减, 时取最大值,满足题意,即有 . 故选 B. 15. 选 C. 在 处取得极值, ,由 ,得 在 上单调递增,在 上单调递减，在 上单调递增，又 ,故选 C. 16. 选 C. 在 内单调递增, 在 内恒成立,即 . 令 ,则 , 在 内单调递增, , ,即 的最小值为 ,故选 C. 17. 选 B. 设 ,则 . 易得 . 当 时, ,所以 . 所以 在 上单调递减,所以 ,故 . 设 ,则 ,易得 ,当 时, ,所以 . 故 在 上单调递增, 所以 . 故 . 综上, . 故选 B. 18. 解析：(1) 由已知得函数 的定义域为 , ① 当 时， ， 在 上单调递减； ② 当 时，令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， 单调递增. 综上所述,当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. (2)证明:由(1)知，当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增,则 要证明 ,只需证明 , 即证 . 令 ,则 . 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增, , 在 上恒成立, 即 . 19. 解析：(1) 当 时, , , 所以函数 在 上单调递减. (2)令 . 则 , 因为 ,所以 , 则 ,所以函数 在 上单调递增, ,当 时, , 因为 恒成立,所以 在 上恒成立, 即直线 在 时恒在 的图象下方,如图所示, 由图及 可得 , 即 的取值范围为 . 20. 解析：(1) 当 时, , 则 ,且 , 故 ,所以所求切线方程为 , 即 . (2) ，且 在 上单调递增， 在 上恒成立,即 在 上恒成立, 其等价于 在 上恒成立, 令 , 则 ,令 ,则 , 令 ,则 , 故 在 上为增函数, 因此 在 上恒成立. ① 当 ,即 时, 在 上恒成立, 此时 在 上为增函数,又 , 在 上恒成立,故 在 上为增函数, 因此 ,即 在 上恒成立,从而 在 上单调递增. ② 当 ,即 时,必存在 ,使 , 因此,当 时, ,所以 在 上为减函数, 又 ,从而有当 时, 恒成立, 此时 在 上为减函数,又 ,故有 在 上恒成立,从而有 在 上恒成立,与 在 上单调递增不符,从而 不合题意. 综上所述, . 21. 选 ACD. 由题意知 . 对于 ,令 ,得 或 ,令 ,得 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,所以 是 的极小值点,故 正确; 对于 ,当 时, ,由 在 上单调递增,得 ,故 B 错误; 对于 ,由 ,得 ,由 在 上单调递减,得 ，即 ，故 C 正确； 对于 ,当 时, ,则 ,故 D 正确. 故选 ACD. 22. 选 AC. ,令 ,得 ,当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,当 时, 单调递增, 有两个极值点,故选项 正确. 的极小值大于 0, 仅有一个零点. 故选项 B 错误. 由于函数 的图象是由奇函数 的图象向上平移 1 个单位长度得到的,故 的图象关于点 对称,即点 是曲线 的对称中心,故选项 正确. 曲线 的切线斜率为 2,即 ,得 ,故曲线 的斜率为 2 的切线方程为 或 ,故选项 D 错误. 故选 AC. 23. 选 BCD. 由题意得 , 既有极大值也有极小值, 在 上有两个变号零点. 设方程 的两根分别为 , . 故选 BCD. 24. 填 1 解析 的定义域为 , 当 时, 单调递减; 当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增. 又 在各分段的分界点处连续, 时, 单调递减, 时, 单调递增, . 故 的最小值为 1. 25. 填 解析 . 根据题意,得 是 的两个不相等的实根. 由 得, . 由题意得函数 与 的图象有两个不同的交点. 当 时,画出函数 与 的图象,如图①所示,当 时, , 在 上单调递增; 当 时, , 在 上单调递减; 当 时, , 在 上单调递增. 和 分别是 的极大值点和极小值点,这与已知矛盾. 当 时,不满足题意,舍去. 图① 图② 当 时,画出函数 与 的图象,如图②所示, 设过原点的直线 与 的图象相切于点 ,而 ,此时切线 的斜率 , ,可得 . ,要使函数 与 的图象有两个不同的交点,则 ,即 ,即 . 又 . 综上所述, 的取值范围是 . 26. 解析：(1) 当 时, , ,故 , 故曲线 在点 处的切线方程为 , 即 . (2)由题意得 ,且 , 故 ,解得 ,故 , 则 , 令 ,得 或 ; 令 ,得 , 故函数 的单调增区间为 和 ,单调减区间为 . 所以 的极大值为 的极小值为 . 又当 时, ,故 ; 当 时, ,故 , . 27. 解析：(1) 当 时， ， ,则切线斜率为 , 又 , 切线方程为 ,整理得 . (2) . ① 当 时， 恒成立， 单调递增， 无极值，不符合题意，故 时不成立. ②当 时，令 ，得 ， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增. 时 有极小值, 极小值为 . 又 极小值小于 , 又 , 设 , 单调递减, 又 时, , 即极小值 . 综上所述, 的取值范围为 . 28. 解析：(1) 证明: 令 ,则 ,令 ,得 在区间 上恒成立,所以 在区间 上单调递减,因为 ,所以 在区间 上恒成立，所以 在区间 上单调递减，所以 ，即当 时， . 令 ,则 在区间 上恒成立,所以 在区间 上单调递减,所以 ,即当 时, . 综上,当 时, . (2)函数 的定义域为 . 当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增, 不是 的极大值点,所以 . 当 时, . (i) 当 时,取 ,则 , 由 (1) 可得 , 因为 ,所以 , 所以 在 上单调递增,不合题意. (ii) 当 时,取 ,则 , 由 (1) 可得 , 设 , 则 , 因为 ,且 的图象是开口向下的抛物线,所以 ,均有 ,所以 在 上单调递增. 因为 ,所以 在 内存在唯一的零点 . 当 时, ,又因为 . 则 . 即当 时, ,则 在 上单调递减. 又因为 是偶函数，所以 在 上单调递增， 所以 是 的极大值点. 综合 (i) (ii) 知 . 当 时，由于将 中的 换为 所得解析式不变，所以 符合要求. 故 的取值范围为 . 29. 选 C. 由题意得 在区间 上恒成立, 所以 , 设函数 ,易得 在 上单调递减, 故 ,即 的最小值为 . 故选 C. 30. 选 B. 由题意得 的定义域为 因为 的单调递减区间为 , 所以 的一个极值点为 1, 所以 ,解得 . (接下来验证 时 的单调递减区间为 ) 令 ,解得 , 所以 的单调递减区间为 ,符合题意. 综上, . 故选 B. 31. 选 D. 令 , 因为 在 上单调递增, 单调递增,所以 在 上单调递增, 所以 恒成立,则 恒成立, 又 ,所以 , 又因为 ,(不要忘记真数大于 0 ) 所以 ,故 ,所以 . 故选 D. 32. 选 C. 由题意知 ,问题等价于 在区间 上有解,即 有解, , 由二次函数的性质知 ,即 . 故选 C. 33. 选 A. 因为 ,所以 , 由函数 有两个极值点可得 有两个解, 即直线 和函数 的图象有两个交点. 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， 故 , 而 时, 时, , 故 的大致图象如图, 由图知 . 故选 A. 34. 选 B. 由 ,得 , 因为函数 是定义在 上的增函数, 所以 在 上恒成立, 即 恒成立, 令 ,易知 为偶函数, ,令 , 所以 ,当 时, , 即 在 上单调递增,则 , 则 在 上单调递增, 由 为偶函数知 在 上单调递减, 故 ,故 ,故选 B. 35. 填 解析 ,由题意得 ,解得 ,所以 , 故当 或 时, ,当 时, , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 , 上单调递增,所以 的极大值为 . 36. 选 C. 由题意得 , 问题等价于关于 的方程 在 上有两个不同的实数根, 即关于 的方程 在 上有两个不同的实数根, 令 ,则 ,所以关于 的方程 在 上有两个不同的实数根, 令 , 作出 的图象如图, 由图可知 . 故选 C. 37. 选 A. 因为 ,所以 . 当 时, ,所以 在 上单调递增. 所以由 ,所以 . 所以 ,当且仅当 时等号成立,则 的最小值为 . 故选 A. 38. 选 B. 当 = 0 时不等式显然成立, 时,即 恒成立, 设 ,则 在 上单调递减，在 上单调递增， 时 时 ,故 在 上有两个零点,记为 ,显然 或 时 时 , 要使 恒成立,则 也是 的两个零点,故 又 , 令 则 , 易知 在 上单调递减,在 上单调递增, 的最小值为 ，即 的最小值为 . 故选 B. 39. 选 ACD. 的定义域为 . 对于 ,当 时, ,则函数 在 上单调递减,故 A 正确. 对于 ,当 时,令 ,解得 , 当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减, 所以 为 的极小值点,故 错误. 对于 ,当 时,令 ,解得 , 当 时, 在 上单调递增; 当 时， 在 上单调递减， 所以函数 的最小值为 ,故 正确. 对于 ,由 选项知,函数 在 处取得最小值, 则 , 若 恒成立,则 , 即 时, 恒成立, 令 ,则 , 令 ,则 在 上单调递增, 令 ,则 在 上单调递减, 所以 , 所以 恒成立, 所以当 时, 恒成立,故 D 正确. 故选 ACD. 40. 填 解析 由题意得, , 由 ,则 , 若 在 上单调递减,只需 , 又 ,所以 . 41. 填 解析 ,则 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减, 则 时, 有最大值, 最大值为 42. 解析： 的定义域为 , 若 ,则 ,此时 在 上单调递增, 若 ,则由 得 ,当 时, 在 上单调递减, 当 时, 在 上单调递增. 综上,当 时, 的单调递增区间为 ,无单调递减区间， 当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 , . (2)由(1)知，当 时， 在区间 上为增函数， 函数 的最大值为 , 当 时, 在区间 上为减函数, 函数 的最大值为 , 当 时, 在区间 上为减函数,在 上为增函数,所以函数 的最大值为 , 由 ,得 , 当 时, 的最大值为 , 当 时, 的最大值为 . 综上,当 时,函数 的最大值为 当 时,函数 的最大值为 . 43. 解析：(1) 由题意得 的定义域为 , . 时, 时, 在 , 1) 上单调递减,在 上单调递增, 在 处取到极小值 ,没有极大值. (2) . 若 ,则 时, 单调递减, 时, 单调递增. 若 ,则 ,当且仅当 时取等号, 单调递增. 若 ,则 时, 单调递减; 和 时, , 单调递增. 综上,若 ,则 时, 单调递减, 时, 单调递增; 若 ,则 单调递增; 若 ,则 时, 单调递减; 和 时, 单调递增. (3)由(2)知，只能是 . 由 有 且 时, ,由 在 上单调递减可知 时, ,由 在 上单调递增可知 . 综上所述,当 时, ; 当 时, 学科网（北京）股份有限公司 $