4.3 导数与函数的极值和最值讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与函数的极值和最值高考核心考点，涵盖由图象判断极值、求极值、已知极值求参数、求最值、已知最值求参数及优化问题六大题型，按“定义-求法-应用”逻辑架构梳理知识，通过考点梳理、方法提炼、真题训练等环节帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料突出数学思维与模型意识培养，如题型1结合导函数图象分析极值点，训练几何直观与推理能力；题型6优化问题引导建立实际模型。方法提炼步骤化（如求极值四步法）配合分层练习，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

§4.3 导数与函数的极值和最值 目录 题型1：由图象判断函数的极值 3 题型2：求函数的极值（极值点） 5 题型3：已知极值（点）求参数 5 题型4：利用导数求函数的最值 6 题型5：已知最值求参数 7 题型6：利用导数研究生活中的优化问题 8 1. 极值的定义 设函数在点及附近有定义： (1) 极大值：如果对点附近其他点都有，且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极大值点，是函数的一个极大值，记作. (2) 极小值：如果对点附近其他点都有，且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极小值点，是函数的一个极小值，记作. 提醒 极小值和极大值统称为极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 2. 极值与导数的关系 (1) 如果在处可导且取得极值，则. (2) 是为可导函数的极值点的必要不充分条件.例如：，，但 不是极值点. 3. 最值的定义 如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 4. 极值与最值的区别与联系 (1) 区别：极值是局部概念，最值是整体概念；极值只在区间内部取得，最值可能在端点处取得. (2) 联系：若函数在开区间内只有一个极值点，则该极值就是最值；闭区间上连续函数的最值在极值点或端点处取得. 题型1：由图象判断函数的极值 方法提炼 由图象判断函数的极值要抓住两点： (1) 由的图象与轴的交点，可得函数的可能极值点； (2) 由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性. 两者结合可得极值点： 由正变负（左正右负） 极大值点； 由负变正（左负右正）极小值点； 不变号不是极值点. 【例1.1.】 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ）    A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 【例1.2.】 （多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有三个极大值点 D．函数在内可能没有零点 【例1.3.】 （多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【例1.4.】 （多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【例1.5.】 若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 题型2：求函数的极值（极值点） 方法提炼 求函数极值或极值点的步骤： 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求导数,解方程; 第3步，判断在的根两侧的符号； 第4步，求极值并下结论. 含参数讨论时，需对参数分类讨论，分析的根是否存在、是否在定义域内、以及根两侧的符号变化. 【例2.1.】 函数的极大值点为（   ） A．0 B． C． D． 【例2.2.】 若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 【例2.3.】 （多选）下列函数中存在极值的是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3：已知极值（点）求参数 方法提炼 1. 已知函数极值点或极值求参数的2个要领： (1) 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程（组），利用待定系数法求解； (2) 验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性（验证导数变号）. 2. 极值点的个数问题，可转化为的变号零点个数问题. 3. 若函数在内有极值，则在内不单调. 【例3.1.】 若是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．-1 B． C． D．0 【例3.2.】 已知是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．0 B． C． D．2 【例3.3.】 已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知函数.若在存在极值，求a的取值范围. 【例3.6.】 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 【例3.7.】 若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4：利用导数求函数的最值 方法提炼 利用导数求给定区间上最值的步骤： 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求函数的导数; 第3步，利用求在给定区间内所有可能的极值点； 第4步，求函数在区间端点处的函数值； 第5步，将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 注意 （1）若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则最值可能不存在. （2） 开区间上的单调连续函数无最值（除非在区间内部有极值）. 【例4.1.】 已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【例4.2.】 试求函数在上的最大值与最小值． 【例4.3.】 函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例4.4.】 函数的最大值为______． 【例4.5.】 设函数在区间上有最大值23，最小值3，则（    ） A． B．17 C． D．18 【例4.6.】 设，． (1)若，讨论的单调性； (2)若，求的最大值（用表示）． 题型5：已知最值求参数 方法提炼 已知函数最值求参数的方法： (1) 先求出函数在给定区间上的极值及端点处的函数值； (2) 通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值/最小值； (3) 结合已知条件列出方程（或不等式），求出参数； (4) 注意验证参数取值是否满足题意. 注意 含参最值问题通常需要分类讨论极值点是否在给定区间内. 【例5.1.】 已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【例5.3.】 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 【例5.5.】 若函数有最大值，则的取值范围为__________． 题型6：利用导数研究生活中的优化问题 方法提炼 (1) 利用导数解决生活中优化问题的方法: 求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合，不符合实际情况的值应舍去. (2) 常见模型：利润最大化、用料最省、体积最大、效率最高等. 【例6.1.】 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．6万斤 B．8万斤 C．3万斤 D．5万斤 【例6.2.】 某食品加工厂生产食品，已知年利润（万元）与投资成本（万元）间的函数关系为，现该厂家计划下一年新推出食品，且估计其利润为投资成本的，若投资万元同时生产两种食品，则预计年利润的最大值为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（    ）（参考数据：，） A．0.32元． B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元 【例6.4.】 某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.3 导数与函数的极值和最值 目录 题型1：由图象判断函数的极值 3 题型2：求函数的极值（极值点） 8 题型3：已知极值（点）求参数 11 题型4：利用导数求函数的最值 18 题型5：已知最值求参数 23 题型6：利用导数研究生活中的优化问题 29 1. 极值的定义 设函数在点及附近有定义： (1) 极大值：如果对点附近其他点都有，且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极大值点，是函数的一个极大值，记作. (2) 极小值：如果对点附近其他点都有，且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极小值点，是函数的一个极小值，记作. 提醒 极小值和极大值统称为极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 2. 极值与导数的关系 (1) 如果在处可导且取得极值，则. (2) 是为可导函数的极值点的必要不充分条件.例如：，，但 不是极值点. 3. 最值的定义 如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 4. 极值与最值的区别与联系 (1) 区别：极值是局部概念，最值是整体概念；极值只在区间内部取得，最值可能在端点处取得. (2) 联系：若函数在开区间内只有一个极值点，则该极值就是最值；闭区间上连续函数的最值在极值点或端点处取得. 题型1：由图象判断函数的极值 方法提炼 由图象判断函数的极值要抓住两点： (1) 由的图象与轴的交点，可得函数的可能极值点； (2) 由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性. 两者结合可得极值点： 由正变负（左正右负） 极大值点； 由负变正（左负右正）极小值点； 不变号不是极值点. 【例1.1.】 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ）    A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C 【例1.2.】 （多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有三个极大值点 D．函数在内可能没有零点 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】对AB，设的根为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可；对C，根据导数确定原函数的极值点即可；对D，利用特殊值判断即可. 【详解】对于AB，设的根为，且， 则由图可知，当时，当时，当时， 当时， 所以函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 在内单调递减， 所以函数在区间内有极小值， 当时，是函数在区间内的最小值， 所以A错误，B正确； 对于C，函数在区间内有极大值， 即函数在内有两个极大值点，所以C错误； 对于D，当时，函数在内没有零点，所以D正确． 故选：BD． 【例1.3.】 （多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【难度】0.63 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、利用导数研究函数图象及性质 【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断． 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确； 对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误； 对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确； 对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确． 【例1.4.】 （多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由有，结合图像逐项去分析即可判断. 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 【例1.5.】 若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D. 【详解】由导函数的图像可得： 的变号零点共3个：，，； 处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点. 其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点. 因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确； 选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性， 因此在上单调递增. 因为，所以，故B错误； 选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值； 在单调递减：由，可知，故D错误. 题型2：求函数的极值（极值点） 方法提炼 求函数极值或极值点的步骤： 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求导数,解方程; 第3步，判断在的根两侧的符号； 第4步，求极值并下结论. 含参数讨论时，需对参数分类讨论，分析的根是否存在、是否在定义域内、以及根两侧的符号变化. 【例2.1.】 函数的极大值点为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】对函数 求导，通过导数判定的单调性，进而可求出极值. 【详解】由题意得， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极大值点为0． 故选：A. 【例2.2.】 若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 对求导得，， 于是，所以， 于是， 所以的极小值为． 【例2.3.】 （多选）下列函数中存在极值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求已知函数的极值 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断函数是否存在极值.. 【详解】A.，现在考虑的情况， 在区间上单调递减，因为，，所以存在唯一的实数，使得， 因此函数在处取得极大值，故A正确； B.令，解得，当时，，当时，，因此函数在处取得极小值，故B正确； C.， 因此函数单调递减，不存在极值，故C错误； D.恒成立，因此函数不存在极值，故D错误. 【例2.4.】 已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】求已知函数的极值点、利用导数研究函数的零点 【分析】对函数求导，运用导数的零点来判断函数的极值点. 【详解】 化简得，令 ， 即 ，令， ， 令，则， 令，则，故在定义域内单调递增； 又因为，； 因此，使， 故在内单调递减，在内单调递增， 当时，，故时，， ， 同理得时，， ， 且 ， 故， 因此，在内，单调递增，在内，单调递减，在内单调递增， ， ， ， ， 故在，，区间分别有一个零点， 因此函数的极值点个数有3个. 题型3：已知极值（点）求参数 方法提炼 1. 已知函数极值点或极值求参数的2个要领： (1) 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程（组），利用待定系数法求解； (2) 验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性（验证导数变号）. 2. 极值点的个数问题，可转化为的变号零点个数问题. 3. 若函数在内有极值，则在内不单调. 【例3.1.】 若是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【详解】 函数的定义域为. ， 由，解得， 则，定义域为， ，令，解得， x -1 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知函数的极大值点为-1，极大值为. 【例3.2.】 已知是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】利用给定极值点求出，再利用导数求出极大值. 【详解】函数，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 由，得或；由，得， 因此函数在处取得极大值. 【例3.3.】 已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据导数结合已知得出根的情况，令，通过导数求出其在上的最值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】，， 则 ， 函数存在唯一的极值点，由， 可知函数在上有一个零点， ①在没有变号零点， 即在没有变号零点， 令，， 则， 当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减； 则，则； ②在有两个变号零点，其中一个为2，，由①可得该情况不成立. 故实数a的取值范围为. 故选：B. 【例3.4.】 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【详解】因为，. 所以. 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数唯一的极小值点为. 由且为函数定义域的子集. 【例3.5.】 已知函数.若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 化简得， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， ，令，则 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，即时，由于， 所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时，， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 【例3.6.】 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.38 【知识点】根据极值求参数、根据极值求参数、由函数在区间上的单调性求参数、由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数、根据极值点求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，转化为和图象上有两个交点问题. 【详解】的定义域为，且，，令，则， 令，，则，， 因为有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，即有两个不同的实根， 设，，当，，为增函数；当，，为减函数； ，而当，，当，，故图象如下图所示： 结合和的图象，易得m的取值范围是. 【例3.7.】 若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 题型4：利用导数求函数的最值 方法提炼 利用导数求给定区间上最值的步骤： 第1步，确定函数的定义域; 第2步，求函数的导数; 第3步，利用求在给定区间内所有可能的极值点； 第4步，求函数在区间端点处的函数值； 第5步，将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 注意 （1）若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则最值可能不存在. （2） 开区间上的单调连续函数无最值（除非在区间内部有极值）. 【例4.1.】 已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】， 因为在处取得极值为2， 所以 ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在处取得极值， 当时，单调递增，所以. 【例4.2.】 试求函数在上的最大值与最小值． 【答案】①当时，，； ②当时，，； ③当时，，； ④当时，，； ⑤当时，，． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先求导得，令，得，根据与的关系、与的关系进行分类讨论. 【详解】，令，得． ①当时，在上单调递增， ，． ②当时，,,，， 由于在内成立，故在上单调递增， ，又， 故，． ③当时，则，，． 此时，． ④当时，，，，又， 此时，． ⑤当时，则，在上是减函数， 故，． 【例4.3.】 函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.77 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】因为，所以， 令，得， 令，得或；令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，上单调递增，则. 【例4.4.】 函数的最大值为______． 【答案】. 【难度】0.94 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】显然需要求导，判断函数的单调性即可求出最大值. 【详解】，，即函数是单调递增的， ∴当时取得最大值. 故答案为：. 【例4.5.】 设函数在区间上有最大值23，最小值3，则（    ） A． B．17 C． D．18 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【详解】， 令，解得，令，解得或， 因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此函数的最大值为， 函数的最小值为， 因为，则，即， 所以， 则，解得， 因此. 【例4.6.】 设，． (1)若，讨论的单调性； (2)若，求的最大值（用表示）． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【难度】0.31 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）对求导后分析导数符号即可得的单调性； （2）法一：将的解析式变为，令，通过分析单调性得到使得，再利用得到，且可在处取得等号，从而最大值即为，也可以通过分析的单调性，得到其只有一个零点，进而得到在取得最大值并结合求出最大值表达式；法二：直接求导，构造函数，通过导数，确定其函数值符号，得到单调性，确定极值，再通过同构得到，进而结合单调性可求解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则. 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即； 当时，，即， 故在上单调递增，在上单调递减． （2）解法一：， 令，若，则在上单调递增， 又时，；当时，， 所以，使得，接下来证明一个不等式： 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值也即最小值， 所以恒成立，当且仅当时等号成立， 于是有（当且仅当时等号成立）， 所以，时等号成立， 所以． 解法二：， 令， 若，则，在上单调递减， 又时，，， 所以在上存在唯一的()使得， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，且有， 即，变形得. 设，则，在上单调递增， 又，所以，得， 故． 题型5：已知最值求参数 方法提炼 已知函数最值求参数的方法： (1) 先求出函数在给定区间上的极值及端点处的函数值； (2) 通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值/最小值； (3) 结合已知条件列出方程（或不等式），求出参数； (4) 注意验证参数取值是否满足题意. 注意 含参最值问题通常需要分类讨论极值点是否在给定区间内. 【例5.1.】 已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】求导研究函数的单调性，结合即可得出范围. 【详解】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，， 得， 则实数的取值范围是. 故选：B 【例5.2.】 已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.59 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 【例5.3.】 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.56 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、求已知函数的极值 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值，求参数的取值范围. 【详解】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 【例5.4.】 已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 【答案】1 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】分三种情况，利用导数分析的单调性及最值，从而得到的取值范围，求得的最大值. 【详解】函数， 当时，. 若，则，，所以在上单调递增， 在上的最小值为，符合题意； 若，则，，所以在上单调递减， 在上的最小值为，不符合题意； 若，则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 所以的最大值为. 【例5.5.】 若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】分段函数的性质及应用、分段函数的值域或最值、根据极值点求参数、已知函数最值求参数 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以， 所以的取值范围为. 题型6：利用导数研究生活中的优化问题 方法提炼 (1) 利用导数解决生活中优化问题的方法: 求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合，不符合实际情况的值应舍去. (2) 常见模型：利润最大化、用料最省、体积最大、效率最高等. 【例6.1.】 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．6万斤 B．8万斤 C．3万斤 D．5万斤 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利润最大问题 【分析】销售利润为,根据得．可得，利用导数研究其单调性即可得出． 【详解】设销售利润为，得，， 当时，，解得． ， ， 函数在上单调递增，在上单调递减． 时，函数取得极大值即最大值， 故选：A 【例6.2.】 某食品加工厂生产食品，已知年利润（万元）与投资成本（万元）间的函数关系为，现该厂家计划下一年新推出食品，且估计其利润为投资成本的，若投资万元同时生产两种食品，则预计年利润的最大值为（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利润最大问题 【分析】根据题意写出总的年利润和投资两款食品的函数表达式，然后利用导数求函数的最值. 【详解】设投资食品万元，同时生产两种食品的年利润为万元， 则，， 所以， 令，解得；，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则． 故选：C 【例6.3.】 网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（    ）（参考数据：，） A．0.32元． B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】成本最小问题、柱体体积的有关计算、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设该纸箱底面边长为a米，侧棱长为h米，写出成本表达式，利用导数即可求出其最小值. 【详解】该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为a米，侧棱长为h米， 则纸箱的体积，表面积， 成本为， 则，令，得， 则．当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，P有最小值， 所以（元）， 故选：C． 【例6.4.】 某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用料最省问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设，求出修建费用关于的函数解析式，根据单调性得出求出函数极值点，得出结论． 【详解】设海里，在陆地上修建管道没海里费用为，修建总费用为， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 当时，取得最小值，故而取得最小值． 故选：B． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $