精品解析：上海市上海中学东校2026-2027学年高三上学期9月考试数学试题

高三数学随堂练习01 （时间：120分钟 满分：150分） 2026.9 一、填空题 1. 已知集合 ，，则___________. 2. ，则______________． 3. 不等式的解集为______. 4. 对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________________. 5. 一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面半径为______. 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______． 7. 已知是偶函数，则的最大值为______. 8. 已知关于x的不等式有且仅有一解,则实数a的值是____________； 9. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 10. 已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是，则______. 11. 设，其中，，如果函数与函数都有零点且它们的零点完全相同，则为________________． 12. 若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为______________． 二、选择题 13. 下列命题中，正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若直线与平面上的无数条直线都垂直，则 D. 若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上 14. 若，则 A. B. C. D. 15. 已知且，若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 三、解答题 17. 已知函数. （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，，求的取值范围. 18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，是的中点． （1）求与所成的角； （2）求平面与平面所成二面角的大小． 19. 已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． （1）求实数的取值范围； （2）当的面积最大时，求的直线方程． 20. 设函数（且）是定义域为的奇函数． （1）求的值； （2）若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； （3）若，且在上的最小值为，求的值． 21. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）设函数， ①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； ②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值． 附加题 22. 设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________． 23. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学随堂练习01 （时间：120分钟 满分：150分） 2026.9 一、填空题 1. 已知集合 ，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式得集合，然后由交集定义计算． 【详解】，又， 所以． 故答案为： 2. ，则______________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】由诱导公式可知，所以，直接代入公式即可求出结果. 【详解】因为， 所以. 3. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】分x大于等于0和x小于0两种情况,根据绝对值的代数意义化简原不等式,得到大于0或大于0,求出相应的两解集的并集,即为原不等式的解集. 【详解】当时,, 原不等式变形为:, 可化为或, 解得:, 不等式的解集为; 当时,, 原不等式变形为:, 解得, 不等式的解集为, 综上,原不等式的解集为. 故答案为: 【点睛】本题考查了其他不等式的解法,利用了转化及分类讨论的思想,是高考中常考的题型，属于中档题. 4. 对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由题意得出，解出该不等式组，即可得出实数的取值范围. 【详解】对于任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立， 令，则， 解得或，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及主元思想的应用，将问题转化为一次函数不等式恒成立是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 5. 一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，根据可解得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，则底面周长为，底面积为， 侧面展开图扇形的半径为，弧长为，扇形的面积为， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥的表面积，考查了扇形的面积公式，属于基础题. 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可 【详解】则又 故切线方程为y=x+1 故答案为y=x+1 【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题 7. 已知是偶函数，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得，再由利用导数求得函数单调性可得其最大值. 【详解】因为函数为偶函数，所以其定义域关于原点对称， 易知定义域为，即，因此的解集为； 即可得，所以； 此时， 经检验满足，符合题意； 此时的定义域为，且， 易知当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 可知在处取得极大值，也是最大值，即； 所以的最大值为. 故答案为： 8. 已知关于x的不等式有且仅有一解,则实数a的值是____________； 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的特点可以直接求解出来实数a的值. 【详解】因为关于x的不等式有且仅有一解,所以必有有唯一解,因此一元二次方程的判别式为零.即,此时不等式 成立. 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次不等式解集的特征,考查了数学运算能力. 9. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 【答案】 【解析】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 10. 已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得到，求得，再由1与2的中点必为函数的最大值点，求得，即可求解. 【详解】因为函数与直线的三个相邻交点的横坐标依次是， 可得函数的最小正周期为，解得， 结合三角函数的性质，可得1与2的中点必为函数的最大值点， 且2与4的中点必为函数的最小值点， 可得，解得， 因为，所以 故答案为：. 11. 设，其中，，如果函数与函数都有零点且它们的零点完全相同，则为________________． 【答案】， 【解析】 【详解】根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根， 如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x， 方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点， 则有 解可得x=0， 即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0， 则f（x）=x2+2a•x， 可得x1=0或x2=﹣2a， 可得a=0或a=1， 则（a，b）为（0，0）或（1，0）； 故答案为（0，0）或（1，0）． 点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式： (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题； (2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题． 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用． 12. 若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为______________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据解析式，可得，分别根据、、、的正负求得对应区间，可得的定义域，与区间进行交集运算，即可得答案. 【详解】要使原式有意义，则， 当时，，所以恒成立， 所以， 若，可得，解得， 令，可得， 若，可得， 解得， 令，可得， 所以只需和在上同号，在上异号即可， 若，可得，解得， 令，可得，令，可得， 同理，若，可得， 若，可得，解得， 令，可得，令，可得， 同理若，可得或， 综上，的定义域与区间的交集为，共4个区间，所以的值为4. 【点睛】解题的关键是熟练掌握对数函数定义域、三角函数定义域的求法，并灵活应用，考查分类讨论，综合分析的思想. 二、选择题 13. 下列命题中，正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若直线与平面上的无数条直线都垂直，则 D. 若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断. 【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误； B.由墙角模型，显然B错误； C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C错误； D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确； 故选：D. 14. 若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，再由半角公式和辅助角公式结合去绝对值，化简求值即可 【详解】因为，所以，，.于是 ， 故选C. 【点睛】本题考查半角公式的使用，去绝对值，辅助角公式的使用，属于基础题型 15. 已知且，若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案． 【详解】由得， ①若，则，且，， 根据穿根法可知或时不符合题意，舍去； ②若，要满足题意则，符合题意，如图所示； ③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾； ④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意； 综上可知满足在恒成立时，只有满足题意. 故选：C ． 16. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论． 【详解】由题意不等式的解集为， 即的解集是， 则不等式的解是或，不等式的解集是， 设，，， 所以，， 和是方程的两根， 则，， 又， 所以是的一根， 所以存在无数对，使得． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论． 三、解答题 17. 已知函数. （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）当时；（2）由 等价于 ，解之得. 试题解析： （1）当时，. 解不等式，得. 因此，的解集为. （2）当时，， 当时等号成立， 所以当时，等价于. ① 当时，①等价于，无解. 当时，①等价于，解得. 所以的取值范围是. 考点：不等式选讲. 18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，是的中点． （1）求与所成的角； （2）求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】（1）； （2）与（前者是锐二面角）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解异面直线所成的角； （2）分别求出两个平面的法向量，利用法向量所成角求得平面所成角. 【小问1详解】 以为坐标原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则各点坐标为． 因 故， 所以． 设与所成的角为，则， 所以， 所以与所成的角为； 【小问2详解】 设平面的法向量为， ∴，令可得，，， ∴为平面的一个法向量 设平面的法向量为； ∴，令可得，，， ∴为平面的一个法向量， ∴， 所以平面与平面所成二面角的大小为与（前者是锐二面角）． 19. 已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． （1）求实数的取值范围； （2）当的面积最大时，求的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，消元得出一元二次方程，利用判别式求出的范围； （2）由（1）求及点O到直线的距离，表示的面积，基本不等式求最值，得直线l的方程. 【小问1详解】 由题意直线的方程为， 由，消去y得， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以， 解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 设，， 则， 原点O到直线的距离， ， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以面积最大时，， 此时直线的方程为或. 20. 设函数（且）是定义域为的奇函数． （1）求的值； （2）若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； （3）若，且在上的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得值； （2）由（且），，求得，在上单调递减，不等式化为，即恒成立，由求得的取值范围； （3）由求得的值，可得 的解析式，令，可知为增函数，，令，分类讨论求出的最小值，再由最小值等于，求得的值. 【小问1详解】 ∵是定义域为的奇函数， ∴，∴，∴， 经检验，，是奇函数，故； 【小问2详解】 （且）， ∵，∴，又且，所以， ∵单调递减，单调递增，故在上单调递减． 不等式化为，∴， 即恒成立，∴，解得 所以的取值范围为； 【小问3详解】 ∵，∴，即，解得或（舍去）， ∴， 令，由（1）可知为增函数， ∵，∴， 令， 若，当时，，解得， 若，当时，，解得(舍去)， 综上所述：． 21. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）设函数， ①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； ②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式即可； （2）①将不等式恒成立转化为，利用换元法得到的最小值即可得到，然后分，，三种情况讨论即可； ②将，都存在以为三角形的三条边长转化为为所包含的任意子区间，然后通过求最值得到，最后根据定义计算即可. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数， ，且， 当时， ， 综上，的解析式为：. 【小问2详解】 ①， 令，， 在上单调递增， ∴当时，， ∴不等式恒成立，转化为：， i当时，恒成立， ii当时，恒成立， iii当时，，则， 由i，ii，iii知： 不等式恒成立的m的取值范围是. ②不妨设 依题意中的“，都存在以为三角形的三条边长”， 等价于， 等价于所包含的任意子区间． 由（2）知，，令，则． 又，当时，有， ∴所有符合条件的区间D上，满足， 即为：，等价于，等价于， 综上，，有. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： ①恒成立； ②恒成立. 附加题 22. 设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，根据古典概型求相应的概率，进而可得期望. 【详解】由题意可知：， 且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 依题意，可得， ， ，， ，， 所以. 23. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $