上海市回民中学2025-2026学年高三上学期12月份月考数学试题

上海市回民中学高三上学期12月份月考 数学 一、填空题：本题共12小题，共54分。 1.直线为的一个法向量是        ． 2.直线的倾斜角为        ． 3.已知有相同两焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是        ． 4.若椭圆内有圆，该圆的切线与椭圆交于，两点，且满足其中为坐标原点，则的最小值是        ． 5.若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为，则球的表面积为        ． 6.已知斜率为的直线交双曲线于，两点，线段的中点为，直线的斜率等于        ． 7.已知，其中，若函数有两个不同零点，则的取值范围为          ． 8.若函数存在最小值，则实数的取值范围为          ． 9.已知，则           ． 10.已知，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为        ． 11.已知函数，对任意实数，，，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为           ． 12.定义表示不大于的最大整数，例如已知，，若对任意的，存在大于的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为          ． 二、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 13.“”是“”的(    ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14.已知函数的定义域为，且，，若，有以下个命题： 是周期为的周期函数； 是奇函数； 的图像关于点对称； ， 其中正确命题的个数是(    ) A. B. C. D. 15.设抛物线：的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交于，过点作准线的垂线，垂足为，则错误的是(    ) A. B. C. D. 16.定义在上的函数，集合，对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是(    ) 存在是偶函数； 存在在处取到最小值； 存在在上是减函数； 存在在处取到最大值． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，且，分别是，的中点． 证明：平面； 求三棱锥的体积； 求直线与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 已知到原点和的距离之比为的点的轨迹为曲线． 求曲线的方程； 点是曲线上任意一点，点到直线的距离为，求的最小值； 点是：上的一个动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值． 19.本小题分 双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点． 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 设，若的斜率存在，求证：为定值． 20.本小题分 已知，椭圆． 若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为的三角形，求椭圆的方程和离心率； 设点的坐标为，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 21.本小题分 已知抛物线的焦点为． 若点在抛物线上，求的值； 设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； 设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $上海市回民中学高三上学期12月份月考数学 参考答案 1·(-2,3)答案不唯一。 2.号 3.直角三角形 4.49 5.16元 6,月 7.(0,1U-1 8.-1,0 10. 1.(3u3u号+m 12.4,7 13.B 14.C 15.B 16.D 17.由题易知AC/iC1A1,AC=C1A1 又因为D,E分别是AC,AC的中点， 故EC▣1/UAD,EC1=AD, 故四边形ADC,E为平行四边形，则AE/iDC1, 又因为DC1面ABE,AEC面ABE, 故可以证得DC,/面ABE? 33 第1页，共3页 18.c452 52 19.y=±V2x-1 20(由椭圆方程c:×+y-1'a>1得b=1 设焦点为F,R,短抽顶点为B,则S=×2c×b=2,即C=2,所以=V+c=5,所以椭圆方 动+y-1离心年：-日后2 a8ox,gy广ryi号eaa iPQi=i 令f1-r-4x*5xe-a,al 因为a>1所以1->0，所以(x为开口朝上的抛物线，对称轴为x=2。 a2-1 因为Q为椭圆C右顶点时，(PQV(取到最小值，所以当x=a时，f(x)有最小值； 所以as2d,即ad-2a-1s0 a≤ a2-1 因为a>1,所以a2-2a-1≤0，解得1-V2≤a≤1+√2， 因为a>1所以1<0≤1+V2所以。的取值范围是1,1+V2 21.()点DX,25在抛物线y=4x上，代入得(2V5=4XX,=5 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，故就DFV元x,+1=5+1=6. (2)抛物线的焦点为F(1,0),由A+FB+F元=0， 第2页，共3页 得：x1-1+x,-1+Xg-1,y+y+y=(0,0),x+x+x=3,yty2+y=0 联立直线AB:x=my+n与抛物线y2=4x,得y2-4my-4n=0, y,+y2=4mx+x=mly1+y2 +2n=4m+2n 因此x,=3-xtx=3-4m2-2ny=-yty2=-4m 因CKy,在物线上，放yg=4x,16m=43-4m2-2m,n=3-4m2. 直线AB与抛物线有两交点，判别式△=16m+16n>0, 代入得：16m+16号-4m小0，-48m2+240,m< 又x,=4m,故x=4m<4×2。 (3设Mx4y4,Nxy M o3,0y P 设直线MN的方程为x=m MN y+1, 由x=mwy+1消去x并化简得y2-4mmy-4=0' y2=4x 4=16mn+16>0则y4y,=-4 第3页，共3页 直线MP过(3,0)，联立x=y+3与抛物线y2=4x,得y2-4ky-12=0, 故yy。=-12,y=12.X,=9,即p9,12 同理.直线NQ过3,0得y,y。=-12,yg=3y4x0=9x即Q9x3y小 -12 直线pQ的斜率：k 3y4\y4 4y4 9% 。3y2-4 令=vi-4x22e8则35 4 令u=i∈V2,22, k三 函数u-4在v2,2v2上递增： 当ek2.2u即，eue-2.o故c,2 当e222园，eue0回故e2g2+j 第4页，共3页