上海市2026-2027学年高三数学10月阶段检测预测卷（B卷）
2026-09-03
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摘要：
**基本信息**
2026-2027学年上海高三数学10月预测卷（B卷）立足月考阶段性检测，以“基础巩固-能力提升-创新应用”为梯度，通过解三角形（17题）、立体几何（18题）考查数学思维，概率统计（19题）培养数据意识，新定义“增速函数”（21题）发展创新意识，适配高三初期知识整合需求。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|填空题|12/54|函数定义域、复数轨迹、向量投影等|基础知识点全面，如第3题复数轨迹结合几何直观|
|选择题|4/18|立体几何命题、不等式性质、概率计算|第16题“偏移量”定义考查抽象能力，体现数学眼光|
|解答题|5/78|解三角形、空间距离、椭圆综合、新定义函数|20题椭圆综合三问梯度递进，21题“增速函数”论证培养推理能力，符合高考命题趋势|
内容正文：
2026-2027学年上海高三数学10月阶段检测预测卷（B卷）
满分：150分 考试时间：120分钟
考生注意：
1. 本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟。
1. 作答必须写在答题纸上，试卷上作答一律不得分。
1. 答卷前，务必在答题纸上填写姓名、班级。
姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 函数 的定义域为__________。
2. 过点 ，且到坐标原点的距离为 的直线方程为__________。
3. 复数 满足 ，则该轨迹的圆心坐标为__________，半径为__________。
4. 已知向量 ， 满足 ， 在 上的投影为 ，则 __________。
5. 从4名男生、3名女生中选出3人参加志愿服务，要求至少选出1名女生，则不同选法总数为__________。
6. 已知正实数 满足 ，则 的最大值为__________。
7. 数列 满足 ，，则 __________。
8. 椭圆 ， 为椭圆上一点， 为左焦点，若 ，则点 到右准线的距离为__________。
9. 若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是__________。
10. 已知 ，不等式 的解集为__________。
11. 双曲线 （），过右焦点作斜率为 的直线交双曲线于 两点，若 ，则 __________。
12.某观测点 测得对岸两处目标 ， 米， 米，， 在线段 上，且 ，则 的长度为 __________ 米。
二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）
13. 已知 是两个不同平面， 为两条不同直线，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
14. 已知实数 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
15. 随机变量 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
16. 定义：函数 的“偏移量” ， 为定义域。已知 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）
17.（本题满分14分）
在 中，内角 对边 ，已知 ，。
（1）若 ，求 与 ；
（2） 为 的角平分线， 在 上， 可以变化，求线段 长度的取值范围。
18.（本题满分14分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是边长为 的正方形，，点 分别为 的中点。
（1）（6分）证明：；
（2）（8分）求点 到平面 的距离。
19.（本题满分14分）
抽取 名用户统计浏览时长：男性 人，其中 人浏览时长超过 小时；女性 人，其中 人浏览时长超过 小时。
（1）随机抽取一人，求该用户浏览时长超过 小时的概率；
（2）已知抽到用户浏览时长超过 小时，求该用户是男性的条件概率；
（3）不放回随机抽取 人，记 为浏览时长超过 小时的人数，求 的数学期望。
20.（本题满分18分）
椭圆 ， 为左右顶点。
（1）求椭圆 的离心率；
（2）过点 的直线 与椭圆交于 两点，求 的取值范围；
（3）设 ，是否存在实数 ，使得对任意过 的直线 ，都满足 ；若存在求 ，不存在说明理由。
21.（本题满分18分）
函数 定义域 ，若：，，恒有 ，称 为 增速函数。已知 存在。
（1）判断 是否为 增速函数，并说明理由；
（2）已知 是 增速函数，求实数 的取值范围；
（3）若 均为 增速函数，且 ；若对任意 有 ，求证：。
参考答案与评分细则
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.【答案】
解析： 。
2.【答案】 或
解析： 设直线 ，原点距离 ，解得 或 。
3.【答案】 ；
解析： 复平面圆方程 。
4.【答案】
解析： 投影 。
5.【答案】
解析： 。
6.【答案】
解析： ，等号 。
7.【答案】
解析： 取倒数 ，，。
8.【答案】
解析： ，，，由第二定义 。
9.【答案】
解析： 圆心到直线距离 。
10.【答案】
解析： 当 时，；当 时，。合并得 。
11.【答案】
解析： 联立直线与双曲线，由韦达定理和弦长公式，。
12.【答案】
解析：由 可知， 为 的角平分线。
在 中，由余弦定理：
故 。
由角平分线长公式：
故 。
二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）
13.【答案】 C
解析： 线面垂直性质；A、B、D均可举反例。
14.【答案】 C
解析： 在 单调递增。
15.【答案】 A
解析： 。
16.【答案】 D
解析： ，，最大值为 。
三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）
17.（本题满分14分）
（1）解：
由余弦定理：，。......（3分）
，由正弦定理 ，......（2分）
。......（1分）
（2）解：
角平分线长公式 ，......（2分）
代入 ，化简得 。......（2分）
，......（2分）
。......（2分）
18.（本题满分14分）
（1）证明：
由题意可知 两两垂直。以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 。............（2分）
则各点坐标：
......（2分）
......（1分）
......（1分）
故 ，即 。......（1分）
（2）解：
设平面 的法向量为 。
由
......（2分）
得
取 ，得 。......（3分）
点 到平面 的距离：
......（3分）
故点 到平面 的距离为 。
19.（本题满分14分）
（1）解：
总人数 ，超过 小时人数 ，......（2分）
。......（2分）
（2）解：
条件概率 。......（4分）
（3）解：
服从超几何分布，总体 ，成功数 ，抽取 。......（3分）
。......（3分）
20.（本题满分18分）
（1）解：
，，，，......（2分）
。......（2分）
（2）解：
当直线 斜率存在时，设 ，......（1分）
联立 ，消去 整理得：
......（1分）
判别式：
对任意实数 恒成立。韦达定理：
......（1分）
弦长公式：
......（1分）
令 ，则
该函数在 上单调递减。
· 当 （即 ）时，；
· 当 时，。
当直线斜率不存在时，，代入椭圆得 ，。
综上， 的取值范围为 。......（2分）
（3）解：
设 ，，直线 。
由 ：
代入 ，约去 （ 时显然成立），得：
......（2分）
通分展开化简：
......（2分）
代入韦达定理，两边同乘 ：
合并同类项， 项全部抵消：
......（3分）
检验斜率不存在时，直线 ，，，：
满足条件。
故存在实数 。............（1分）
21.（本题满分18分）
（1）解：
，，......（2分）
，满足定义，......（1分）
故 是 增速函数。......（1分）
（2）解：
，......（2分）
，下界为 ，需 ，......（2分）
。......（2分）
（3）证明：
令 ，，......（2分）
对任意 ，，......（2分）
已知 存在，......（2分）
由极限保号性，，得证。......（2分）
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