28.2.3 关于原点对称的点的坐标 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“关于原点对称的点的坐标关系”核心知识点，通过复习中心对称概念与性质搭建学习支架，自然衔接至坐标系中坐标关系的探究，梳理从几何到代数的知识脉络。 以探究性学习为主线，学生通过作图观察归纳出点P(x,y)关于原点对称点为P'(-x,-y)，体现几何直观与空间观念，结合旋转、轴对称综合应用培养推理意识，例1及中考真题强化应用能力，分层作业兼顾巩固与拓展，助力学生数学思维发展和教师高效教学。

28.2.3 关于原点对称的点的坐标 教学设计 课题 28.2 中心对称 28.2.3 关于原点对称的点的坐标（第3课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第3课时 课型 新授课 教学目标 （1）掌握在直角坐标系中关于原点对称点的坐标关系（点 P（x，y）关于原点的对称点为 P′（－x，－y））； （2）学生通过操作、观察、猜想的实践过程，积累用数形结合解决问题的数学活动经验； （3）从直角坐标系的角度揭示关于原点中心对称的关系，增强数形结合思想，培养科学严谨的求实态度，增强动手能力，发展空间观念。 教学重点 直角坐标系中关于原点对称的点的坐标间的关系及应用。 教学难点 关于原点中心对称的综合应用（与旋转、轴对称结合，由坐标关系判断中心对称）。 教学方法 讲授法、演示法、动手操作、合作交流、数形结合 教学准备 多媒体课件、方格纸、直尺 课后练习 必做：习题28.2第3、4题；探究性作业：习题28.2第9题。 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景 引入新课 【创设情景，引入新课】 复习：1.中心对称的概念（把一个图形绕着某一点旋转 180°，能与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称）；2.中心对称的性质（对应点所连线段经过对称中心且被对称中心平分，两个图形全等）。 教师过渡：前面我们用几何方法研究了中心对称。今天我们把中心对称放到平面直角坐标系中，从坐标的角度研究关于原点对称的点的坐标之间的关系。（板书课题） (设计意图：复习中心对称性质，为从坐标角度研究关于原点对称的点的坐标作铺垫，自然引出新课。) 复述中心对称的概念、性质，明确本课将从直角坐标系的角度研究关于原点对称的点的坐标关系。 通过复习中心对称知识，数形结合引出坐标视角下的中心对称，沟通几何与代数，激发探究动机。 二、探究点1 关于原点对称的点的坐标 【探究点1】关于原点对称的点的坐标 探究：如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点 O 的对称点，并写出它们的坐标，这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 已知点：A（4，0）、B（0，－3）、C（2，1）、D（－1，2）、E（－3，－4）。 追问1：点 A、B、C、D、E 关于原点 O 的对称点怎样画出？它们的坐标分别是什么？ 过点分别作与原点的连线，并在其延长线上截取相等长度（保距），即得各对称点；它们的坐标分别是 A′（－4，0）、B′（0，3）、C′（－2，－1）、D′（1，－2）、E′（3，4）。 追问2：点 A、B、C、D、E 关于原点 O 的对称点与已知点的坐标之间有什么关系？ 这些对称点的坐标和已知点的坐标的符号相反——两个对称点的横坐标的绝对值相等、符号相反，纵坐标的绝对值也相等、符号也相反。 归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P′（－x，－y）。 (设计意图：在直角坐标系中通过作图观察归纳出关于原点对称的点的坐标关系，体验数形结合。) 在坐标系中画出 A、B、C、D、E 关于原点 O 的对称点并写出坐标，观察归纳出对称点坐标均变号，得出坐标关系 P（x，y）→P′（－x，－y）。 以具体点的坐标作图切入，通过观察、猜想、归纳抽象出关于原点对称的点的坐标规律，渗透数形结合思想，突破规则归纳这一重点。 三、典型例题 例1（坐标对称与旋转） 【典型例题】例1 例1. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（－1，4）、B（－4，0）、C（－1，0）。 (1) △ABC 与关于原点对称，写出点 A′、B′、C′ 的坐标； (2) 是绕原点顺时针旋转 90° 得到的，写出 A″、B″、C″ 的坐标。 【分析】本题考查了作图——旋转变换与中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键。 【详解】(1) 关于原点中心对称的各点，坐标变为相反数：A′＝（1，－4），B′＝（4，0），C′＝（1，0）； (2) 绕原点顺时针旋转 90°（坐标由（x，y）变为（y，－x））：A″＝（4，1），B″＝（0，4），C″＝（0，1）。 按“坐标变号”写出 A、B、C 关于原点的对称点坐标，按顺时针旋转 90° 的坐标变换写出旋转后的点坐标，并填入作答横线。 以例1落实关于原点对称的坐标规则与旋转坐标变换，在填空中巩固“P（x，y）→P′（－x，－y）”的应用。 四、探究点2 作关于原点对称的图形 【探究点2】应用直角坐标系解决中心对称问题 从上面的问题中，归纳在平面直角坐标系中作关于原点中心对称的图形的步骤： ① 写出各点关于原点对称的点坐标；② 在坐标系中描出这些对称点的位置；③ 顺次连接各点即为所作的对称图形。 例2. 如图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与 △ABC 关于原点对称的图形。 【分析】先写出各点关于原点对称的点坐标；在坐标系中描出这些对称点的位置；顺次连接各点即为所作的对称图形。 【详解】解：点 P（x，y）关于原点的对称点为 P′（－x，－y），因此 △ABC 的三个顶点 A（－4，1）、B（－1，－1）、C（－3，2）关于原点的对称点分别为 A′（4，－1）、B′（1，1）、C′（3，－2），依次连接 A′B′、B′C′、C′A′，就得到与 △ABC 关于原点对称的 △A′B′C′（如图）。 例3. 如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位的网格中，△ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上。 (1) 画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A₁B₁C₁（点 A₁、B₁、C₁ 分别为点 A、B、C 的对应点）； (2) 将 △ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90° 得到 △A₂B₂C₂，画出 △A₂B₂C₂（点 A₂、B₂、C₂ 分别为点 A、B、C 的对应点）。 【详解】(1) 利用轴对称变换的性质分别作出 A、B、C 的对应点 A₁、B₁、C₁ 并顺次连接即可；(2) 利用旋转变换的性质（逆时针 90°，坐标由（x，y）变为（－y，x））分别作出各点的对应点并顺次连接即可（图略）。 (设计意图：通过例2、例3归纳并应用“作关于原点对称图形”的三步，与轴对称、旋转综合。) 归纳“写出对称点坐标—描点—顺次连接”三步作图；按坐标变号画出 △A′B′C′，并按轴对称、旋转坐标变换完成例3网格作图。 从实例归纳作关于原点对称图形的规范步骤，并与轴对称、旋转综合，提升坐标与图形变换互化的能力。 五、当堂检测 【当堂检测】 1. 如图，这是 3×3 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）。 (1) 在图 1 中将 △ABC 绕点 P 顺时针旋转得到 △A₁B₁C₁（点 A₁、B₁、C₁ 分别为点 A、B、C 的对应点）； (2) 在图 2 中作四边形 AB′C′D′，且四边形为中心对称图形。 【详解】(1) 如图，△A₁B₁C₁ 即为所求；(2) 所作四边形为平行四边形，因为平行四边形的对角线互相平分、关于对角线交点中心对称，故为中心对称图形，满足题意。 2. 下列各点中哪两个点关于原点 O 对称？ A（－5，0）、B（0，2）、C（2，－1）、D（2，0）、E（0，5）、F（－2，1）、G（－2，－1）。 答案：C（2，－1）和 F（－2，1）关于原点 O 对称。 3. 写出下列各点关于原点的对称点 A′、B′、C′、D′ 的坐标： A（3，1）、B（－2，3）、C（－1，－2）、D（2，－3）。 答案：A′（－3，－1）、B′（2，－3）、C′（1，2）、D′（－2，3）。 4. 如图，已知点 A 的坐标为（－2，2），点 B 的坐标为（－1，－），菱形 ABCD 的对角线交于坐标原点 O。求 C、D 两点的坐标。 【详解】因为菱形的对角线交于原点 O，所以 A 与 C、B 与 D 都关于原点对称，故 C（，－2），D（1，）。 (设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，强化对坐标对称关系的记忆与理解，及时反馈查漏补缺。) 完成网格中旋转 90° 与作中心对称四边形作图；判断各点中哪两个点关于原点对称；写出各点关于原点的对称点坐标；由菱形对角线交于原点求 C、D 坐标。 以作图与填空练习检测关于原点对称的坐标关系及应用，反馈薄弱点、查漏补缺。 六、中考真题 能力提升 【中考真题】能力提升 1.（2025·淮南期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A（－1，4）、B（－4，2）、C（－3，5）（每个方格的边长均为 1 个单位长度）。 (1) 作 △A₁B₁C₁ 与 △ABC 关于原点 O 成中心对称，写出坐标； (2) 求 △A₁B₁C₁ 的面积。 【详解】(1) 作图如下：因为 △A₁B₁C₁ 和 △ABC 关于原点成中心对称，所以各点坐标互为相反数，得 A₁（1，－4）、B₁（4，－2）、C₁（3，－5）。 （2）用面积差法（外围矩形面积减去三个小直角三角形面积）或利用方格数格求解： S = ×|| = ×|－2－20－12＋16＋6＋5| = ×7 = 。即 △ABC 的面积为 。 2.（2025·商洛期中）如图，在正方形网格中构建平面直角坐标系，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求解答下列问题。 (1) 若 △A₁B₁C₁ 与 △ABC 关于坐标原点 O 成中心对称，且点 A、B、C 的对应点分别为点 A₁、B₁、C₁，请在图中画出 △A₁B₁C₁，其中点 A₁ 的坐标为（________，________）； (2) 将 △A₁B₁C₁ 绕某点逆时针旋转 90° 后，点 A₁、B₁、C₁ 的对应点分别为 A₂、B₂、C₂，则旋转中心的坐标为（________，________）。 【详解】(1) 由中心对称坐标互为相反数，作图并读出点 A₁ 的坐标为（2，2）；故填：2，2。 （2）如图，连接 A₁A₂、B₁B₂，再分别作线段 A₁A₂、B₁B₂ 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心 M，得旋转中心的坐标为（0，－1）；故填：0，－1。 (设计意图：引入中考真题，强化关于原点中心对称的作图与面积计算，明确考试方向、提升应考能力。) 作关于原点的中心对称图形并写出坐标；用“鞋带公式/数方格”求对称三角形的面积；画关于原点中心对称图形并读出 A₁ 坐标，用垂直平分线交点确定旋转中心坐标。 以中考真题为载体，综合运用关于原点中心对称的坐标关系、面积计算与旋转中心确定，提升综合解题与应考能力。 七、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1. 关于原点对称的点的坐标关系：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P′（－x，－y）。 2. 作关于原点中心对称的图形的步骤：① 写出各点关于原点对称的点坐标；② 在坐标系中描出这些对称点的位置；③ 顺次连接各点即为所作的对称图形。 3. 方法：把关于原点中心对称的问题转化为坐标符号相反的关系，体现数形结合的思想。 (设计意图：对本课的知识进行系统总结，帮助学生建立清晰的方法结构，增强学习的主动性与连贯性。) 复述关于原点对称的点的坐标关系与作对称图形的三步步骤，总结数形结合的方法，梳理本课知识脉络。 系统小结坐标对称关系与作图方法，强调数形结合思想，帮助学生构建完整知识结构。 八、布置作业 【布置作业】 必做题：习题28.2第3、4题； 探究性作业：习题28.2第9题。 (设计意图：对本节课的知识进行巩固训练。) 记录分层作业内容。 分层作业，必做题巩固中心对称的坐标关系，拓展探究题提升应用与综合能力。 板书设计 28.2.3 关于原点对称的点的坐标 探究点1　关于原点对称的点的坐标 P（x，y） → P′（－x，－y） 探究点2　作关于原点对称的图形 步骤：写坐标→描点→顺次连接 典型　面积：数形结合（鞋带公式） 例1（对称+旋转）、例2、例3 课堂小结：坐标关系 + 作图三步 板演区 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $