28.2.3 关于原点对称的点的坐标 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“关于原点对称的点的坐标”核心知识点，通过复习关于x轴、y轴对称的点的坐标规律导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 此设计以“观察—猜想—验证—归纳”为主线，通过描点、三角形全等证明推导坐标特征，对比三种对称规律的表格强化区分，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（抽象能力、几何直观），分层作业满足不同需求，助力学生掌握规律，提升教师教学效率。

28.2.3 关于原点对称的点的坐标 教学设计 一、课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：在平面直角坐标系中，探索并掌握关于原点对称的点的坐标特征，能写出对称点的坐标并作出对称图形，体会数形结合思想和用代数方法研究几何问题的方法。 二、教材分析 本节课是新人教版九年级上册第二十八章“旋转”第二节第三课时，是在学生学习了中心对称和中心对称图形之后，从坐标角度对中心对称进行的量化研究。教材先通过复习关于轴、轴对称的点的坐标规律引入，再通过在坐标系中描点、观察、猜想、验证，归纳出关于原点对称的点的坐标特征——横、纵坐标都互为相反数，最后以作三角形关于原点对称的图形为例，落实坐标法作图技能。 本节课实现了几何变换与代数表示的沟通，是“数形结合”思想的典型载体，也为后续学习二次函数图象的对称性、函数图象的平移与对称等内容奠定基础。 三、学情分析 知识基础： 学生已掌握中心对称的概念和性质，能作一个图形关于某点的中心对称图形；在八年级学过关于轴、轴对称的点的坐标规律，具备在平面直角坐标系中描点作图的基本技能。 能力基础： 九年级学生具备一定的观察、归纳和推理能力，能在教师引导下开展探究活动，但从几何性质推导坐标特征需要教师搭建台阶。 困难预判： ①三种对称（关于轴、轴、原点）的坐标规律容易混淆，需要通过对比表格强化区分；②作对称图形时，学生可能在确定关键点坐标或描点连线环节出错；③含参数的关于原点对称问题（如两点坐标含字母，求参数值）对部分学生有一定难度。 四、教学目标 知识与技能： 掌握关于原点对称的点的坐标特征，即点关于原点的对称点为；能写出给定点关于原点的对称点坐标；能利用坐标关系作出图形关于原点对称的图形。 过程与方法： 经历描点、观察、猜想、验证、归纳的探究过程，体会从特殊到一般的研究方法和数形结合思想，在三种对称的坐标规律对比中发展归纳概括能力。 情感态度与价值观： 感受坐标与图形变换的内在联系，体会用代数方法研究几何问题的简洁美，增强数学学习的兴趣和信心。 五、教学重点与难点 教学重点： 关于原点对称的点的坐标特征，利用坐标关系作中心对称图形。 教学难点： 关于原点对称的点的坐标特征的探究与归纳，三种对称坐标规律的区分与综合应用。 六、教学准备 多媒体课件、三角板、平面直角坐标系学案、直尺。 七、教学过程 （一）复习回顾，引入新课 教师活动： 1. 课件出示复习题： 题1：点关于轴对称的点的坐标为（　　） A.　　B.　　C.　　D. 题2：点关于轴对称的点的坐标为______。 1. 学生回答后，引导归纳已学规律： · 关于轴对称的点：横坐标相等，纵坐标互为相反数。 · 关于轴对称的点：纵坐标相等，横坐标互为相反数。 1. 导入：我们已经知道关于轴、轴对称的点的坐标规律，那么关于原点对称的点，坐标之间又有什么关系呢？这就是我们今天要探究的内容。 学生活动： 独立完成复习题，集体回答；回顾关于轴、轴对称的点的坐标规律；明确本节课的研究方向。 设计意图： 从学生已有的坐标对称知识出发，以旧引新，为探究关于原点对称的点的坐标规律提供类比基础，同时帮助学生建立三种对称的完整知识结构。 （二）探究新知，归纳规律 教师活动： 1. 课件出示坐标系，标出点及其关于轴的对称点、关于轴的对称点。 提问：点与点的位置关系是怎样的？点与点呢？ 引导学生发现：点与点关于原点对称，点与点也关于原点对称。 1. 深入探究：如何确定平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标？ 课件出示点，作轴于，点为关于原点的对称点，作轴于。 引导学生利用中心对称的性质证明： 因为点是点绕原点旋转得到的，所以是线段的中点，即。 又，（对顶角相等）， 所以（AAS）。 因此，。 由于在第三象限，所以。 1. 课件出示五个点、、、、，让学生在坐标系中描出这些点，并写出它们关于原点的对称点坐标。 学生完成后，课件出示答案： · 的对称点 · 的对称点 · 的对称点 · 的对称点 · 的对称点 1. 引导学生观察表格，思考： （1）对称点的横坐标与原横坐标的绝对值有什么关系？纵坐标呢？ 答：横坐标的绝对值相等，纵坐标的绝对值也相等。 （2）坐标与坐标之间的符号有什么特点？ 答：横坐标的符号相反，纵坐标的符号也相反。 1. 归纳结论： 关于原点对称的两个点，横、纵坐标的符号都相反，绝对值都相等。 即：点关于原点对称的点为。 1. 对比三种对称的坐标规律，课件出示总结表格： 对称情况 坐标关系 表示 关于轴对称 横坐标相同，纵坐标互为相反数 关于轴对称 横坐标互为相反数，纵坐标相同 关于原点对称 横、纵坐标都互为相反数 学生活动： 观察坐标系中各点的位置，发现关于原点对称的点的坐标关系；跟随教师利用三角形全等验证坐标特征；在学案上描点并写出五个对称点的坐标；观察表格归纳坐标规律；对比三种对称规律，完成总结表格。 设计意图： 探究过程从具体的点出发，通过几何证明验证猜想，再由多个点归纳一般规律，体现“观察—猜想—验证—归纳”的数学探究路径。三角形全等的证明让学生不仅知其然，更知其所以然，培养了推理能力。 （三）典例精讲，坐标作图 教师活动： 1. 课件出示例2： 如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与关于原点对称的图形。 1. 分析：要作出关于原点对称的图形，关键是确定三个顶点、、关于原点的对称点、、的坐标，再描点连线即可。 1. 板演解题过程： 解：由图可知的三个顶点坐标分别为： ，，。 根据关于原点对称的点的坐标特征，它们的对称点分别为： ，，。 在平面直角坐标系中描出、、，依次连接、、，就得到与关于原点对称的。 1. 总结坐标法作中心对称图形的一般步骤： ① 找关键点：找出给定图形上有代表性的点（如顶点、端点等）； ② 写对称坐标：写出这些点关于原点的对称点的坐标； ③ 描点：在平面直角坐标系中描出对称点； ④ 顺次连接：按原图形的形状顺次连接对称点。 学生活动： 跟随教师分析作图思路，在学案上同步写出三个顶点的对称点坐标并描点作图，同桌互相检查图形是否规范，口述作图步骤。 设计意图： 例题完整展示了坐标法作中心对称图形的全过程，学生同步操作确保掌握方法。步骤总结将操作经验上升为一般方法，与上节课的“连接—找对称点—顺次连接”几何作图法形成对比，体现坐标法的简洁性。 （四）巩固练习，当堂检测 教师活动： 1. 课件出示教材第104页练习第1题： 下列各点中，哪两个点关于原点对称？ ，，，，，，。 解：和的横、纵坐标都互为相反数，因此和关于原点对称。 其余各点均不满足横、纵坐标同时互为相反数的条件。 1. 课件出示教材第104页练习第2题： 写出下列各点关于原点的对称点、、、的坐标： ，，，。 解：，，，。 1. 课件出示第3题（平行四边形与原点对称）： 如图，的对角线相交于原点，其顶点、的坐标分别为和。求顶点、的坐标。 分析：平行四边形的对角线互相平分，对角线交点（原点）是对称中心。因为关于原点中心对称，所以与关于原点对称，与关于原点对称。 解：因为关于原点的对称点为，所以。 因为关于原点的对称点为，所以。 1. 课件出示当堂检测： 题1：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______。 解：横、纵坐标都取相反数，。 题2：点与点关于原点对称，则______。 解：由关于原点对称的坐标特征，，，所以，。 题3：点绕原点旋转后到达的点的坐标是______。 解：绕原点旋转即关于原点对称，所以到达点为。 题4：若点与点关于原点对称，则的值是（　　） A.　　B.　　C.　　D. 解：，，，故选D。 题5：已知点与点关于原点对称，则直线经过第______象限。 解：由关于原点对称的坐标特征列方程组： ，即； ，即。 由得，代入： ，，，，。 所以直线为，，，直线经过第一、三、四象限。 学生活动： 独立完成练习和检测题，举手回答并说明解题依据；第5题在教师引导下列方程组求解参数，判断直线经过的象限。 设计意图： 练习设计层次分明，第1、2题考查基本坐标规律的直接应用，第3题结合平行四边形的中心对称性综合运用，当堂检测5道题由浅入深，第5题将原点对称与方程组、一次函数图象结合，有一定挑战性，满足不同层次学生的需求。 （五）课堂小结，布置作业 教师活动： 1. 引导学生回顾本节课知识： （1）关于原点对称的点的坐标特征：点关于原点的对称点为____________。 （2）三种对称的坐标规律对比： · 关于轴对称：______坐标不变，______坐标变号； · 关于轴对称：______坐标不变，______坐标变号； · 关于原点对称：______坐标和______坐标都变号。 （3）坐标法作中心对称图形的四步法：______→______→______→______。 1. 知识收获：关于原点对称的点的坐标特征和坐标法作图。 1. 数学思想：数形结合思想（用坐标表示几何变换）、从特殊到一般的归纳思想、类比思想（与关于轴、轴对称类比）。 学生活动： 集体回答填空，梳理本节课知识要点，记录作业。 设计意图： 以填空形式引导学生自主回顾，三种对称规律的对比强化是本节课核心，小结时再次强调以帮助学生形成清晰的知识结构。 八、分层作业 A组（基础题）： 1. 写出下列各点关于原点的对称点坐标： （1）；（2）；（3）；（4）。 1. 点关于轴、轴、原点的对称点坐标分别为______、______、______。 B组（提高题）： 1. 已知点与点关于原点对称，求的值。 1. 已知的三个顶点坐标分别为、、，在平面直角坐标系中作出关于原点对称的，并写出、、的坐标。 C组（拓展题）： 1. 已知点与点关于原点对称，求的值。 1. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转得到。 （1）求点的坐标； （2）求点关于原点的对称点的坐标； （3）判断的形状并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $