第29章 数学活动（九） 探究四点共圆的条件-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测配套课件PPT（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册第二十九章“四点共圆的条件”，从圆内接四边形对角互补的性质出发，引导学生提出“对角互补的四边形四个顶点共圆”的猜想，通过反证法分点在圆外、圆内两种情况验证，搭建从性质到判定的探究支架。 其亮点在于以问题链驱动深度学习，用反证法培养推理意识，结合作图操作发展几何直观，应用环节通过角度计算、动点最值等问题体现模型观念。学生能提升逻辑思维与探究能力，教师可借助分层练习和拓展延伸优化教学效果。

九年级 数学 (上册) 第二十九章 　圆 数学活动（九）　探究四点共圆的条件 30 【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点“共圆”，简称“四点共圆”．学习了性质“圆内接四边形的对角互补”后，某学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】已知：在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°. 求证：A，B，C，D四点共圆． 证明：过点A，B，D作⊙O，假设点C不在⊙O上，则点C在⊙O外或⊙O内，如图①，若点C在⊙O外，设BC交⊙O于点C′，连接DC′，则∠DC′B>∠C. ∵四边形ABC′D是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠DC′B＝180°. ∵∠A＋∠C＝180°，∴∠DC′B＝∠C，与∠DC′B>∠C矛盾，故点C不可能在圆外． 若点C在圆内…… (1)在图②中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】得出“对角互补的四边形的四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究． (2)如图③，在线段AB同侧有C，D两点，连接AC，BC，AD，BD.如果∠C＝∠D，那么A，B，C，D四点共圆，请完成证明(如需辅助圆，画出示意图即可)； 【结论应用】应用以上结论，解决下列问题： (3)如图④，在四边形ABCD中，∠1＝∠4，∠2＝30°，则∠3＝____°； (4)如图⑤，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝50°，点E在AB上，连接CE，作点B关于CE的对称点B′，连接B′C，B′E，BB′，∠B′CE＝18°，求∠B′EA的度数； 【拓展延伸】 (5)如图⑥，AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，D为平面内的一个动点，连接DA，DB，若始终有∠ADB＝60°，则当四边形ABCD的周长最大时，求DC与BD的数量关系(直接写出答案). 图①　　 图②　　　 　图③　　 　 　图④　　　　　图⑤　　　　 　图⑥ 解：(1)如答图①，作经过点A，B，D的⊙O，若点C在⊙O内，延长BC.设BC交⊙O于点C′，连接DC′，则∠DCB>∠C′. ∵四边形ABC′D是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C′＝180°. ∵∠A＋∠DCB＝180°，∴∠C′＝∠DCB，与∠DCB>∠C′矛盾，故点C不可能在圆内． 答图① (2)如答图②，作经过点A，B，D的⊙O，在劣弧 eq \o(AB,\s\up21(︵))上取一点E(不与点A，B重合)，连接AE，BE，则∠E＋∠D＝180°. ∵∠C＝∠D，∴∠E＋∠C＝180°，∴点A，B，C，E在同一个圆上，∴点C在点A，B，D所确定的⊙O上，∴A，B，C，D四点共圆． 答图② (4)由对称可知∠CB′E＝∠CBE，∠BCB′＝2∠B′CE＝36°. ∵∠CAB＝∠CBA＝50°， ∴∠CAB＝∠CB′E＝50°， ∴A，B′，E，C四点共圆， ∴∠B′CA＝∠B′EA. 在△ABC中，∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝80°， ∴∠ACB′＝∠ACB－∠BCB′＝80°－36°＝44°， ∴∠B′EA＝44°. (5)如答图③，连接AC. ∵AB＝BC＝5，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠BAC＝60°. ∵∠ADB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠BDC＝∠BAC＝60°. ∵四边形ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝10＋CD＋AD， ∴当BD是直径时，CD＋AD有最大值，即四边形ABCD的周长有最大值， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DBC＝30°，∴DC＝ eq \f(1,2)BD. 答图③ $