第28章 旋转 数学活动（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦旋转及平移、轴对称变换，通过知识回顾梳理变换特征，结合生活精美图案欣赏导入，引导学生拆解复杂图案为基本图形与变换组合，搭建“基本图形+重复变换”的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光（几何直观），通过图案拆解分析与设计步骤归纳发展数学思维（推理意识），小组合作实操活动强化数学语言（应用意识）。如典例用等腰直角三角形设计中心对称图案，助力学生提升图形变换应用能力与审美素养，教师可依托系统流程和实例高效教学。

数 学 活 动 第二十八章 旋转 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 熟练区分平移、轴对称、旋转变换的特征，能精准拆解复杂图案的基本图形与变换方式.掌握图案设计的完整流程，能独立利用旋转单一变换或“旋转+轴对称”“旋转+平移”组合变换设计几何图案.规范掌握图案作图技巧，保留变换痕迹，保证图案规整、对称、美观. 通过图案赏析、小组拆解分析，经历复杂图形简化、变换规律归纳的过程，提升图形拆解与归纳推理能力.通过自主设计、互评优化的实操活动，掌握图形变换的应用方法，培养动手实操与创意设计能力. 在对称图案赏析与创作中，感受几何图形的变换美、对称美，提升数学审美素养.在小组合作探究与创意实践中，培养合作意识、创新思维与严谨的数学作图习惯，体会几何变换在生活设计中的实用价值. 知识回顾 我们学过几种图形变换？各有什么特征？ 平 移 图形平行移动，形状、大小、方向均不变； 轴 对 称 沿直线翻折重合，对应点连线垂直对称轴； l 旋转 绕定点旋转定角，旋转180°为中心对称，图形全等. 3 生活中我们会看到许多精美的图案一起来欣赏一下吧 欣赏 导入新课 导入新课 欣赏 导入新课 欣赏 导入新课 （1）这些精美复杂的图案，是手绘随意创作的吗？ （2）它们都是由一个简单的基础图形，通过哪些几何变换重复得到的？ 本节课我们走进几何创意课堂，拆解图案奥秘、掌握设计方法、自主创作图案——利用图形变化设计图案. 议一议 新知探究 右面的图案是由一个基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的. 你能指出这个基本图形吗？ 探究点1 图案的拆解与变换分析 新知探究 探究点1 图案的拆解与变换分析 活动1 我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用它们的组合进行图案设计， 图1 （1）观察图1中的图案，变换中基本图形是什么？ 基本图形 构成复杂对称图案的最小、不可再拆分的基础几何图形 （线段、三角形、扇形、正方形等）. 新知探究 探究点1 图案的拆解与变换分析 活动1 我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用它们的组合进行图案设计， 图1 （2）观察图1中的图案，通过哪些变换得到？ 一个基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的 图案形成原理 复杂对称图案 = 1个基本图形 + 多次重复几何变换（单一/组合）. 旋转 轴对称 平移 基本图形为：单叶扇形 议一议 我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用它们的组合进行图案设计， 新知探究 探究点1 图案的拆解与变换分析 （3）该图案的基本图形是什么？用到了什么变换？旋转中心与旋转角是多少？ 核心变换：旋转变换. 变换方式： 以中心点为旋转中心，每次旋转90°，连续旋转3次得到完整图案， ►左右、上下对称图案： 以轴对称变换为主. ►规整环形、放射状图案 以旋转变换为主 ►重复排列长条图案： 以平移变换为主 旋 转 平移 轴对称 图案的变换解析： 新知探究 探究点2 图案设计一般步骤 图1怎样由图2得到？试着画一画 议一议 图1 如图2 第一步，确定基本图形和主导变换 O 如图3 作法： 以点O为旋转中心，将图形逆时针旋转90°三次作出图3， 新知探究 议一议 l 探究点2 图案设计一般步骤 以l为对称轴作出图4 图4怎样由图3得到？试着画一画 图1 图3 图4 新知探究 议一议 探究点2 图案设计一般步骤 平移图4就可以得到图1中的图案. 图1 14 新知探究 探究点2 图案设计一般步骤 图案设计作图步骤 1. 定基础：选取简单几何图形（三角形、扇形、半圆等）作为基本图形； 2. 定变换：确定主导变换（优先90°、180°旋转），搭配辅助变换； 充分运用平移、轴对称和旋转等知识分析，确定由“基本图形”得到 整个图案的变换方式. 3. 定参数：确定旋转中心、旋转角度、平移距离、对称轴位置； 4. 作变换：依次作出变换后的所有图形，保留作图痕迹； 5. 修规整：统一图案风格，擦除多余线条，完成完整图案. 归一归 典例分析 例1.请以等腰直角三角形为基本图形，以直角顶点为旋转中心，通过旋转变换设计一个中心对称规整图案，写出设计过程并画出图案. 解：1. 确定要素 基本图形：等腰直角三角形； 旋转中心：三角形直角顶点； 主导变换：旋转变换，旋转角90°. 2. 分步设计作图 ① 画出初始基本等腰直角三角形； ② 将图形绕直角顶点顺时针旋转90°，画出第二个图形 典例分析 例1.请以等腰直角三角形为基本图形，以直角顶点为旋转中心，通过旋转变换设计一个中心对称规整图案，写出设计过程并画出图案. 解：1. 确定要素 基本图形：等腰直角三角形； 旋转中心：三角形直角顶点； 主导变换：旋转变换，旋转角90°. 2. 分步设计作图 l ③以l为对称轴作出第三个图 典例分析 例1.请以等腰直角三角形为基本图形，以直角顶点为旋转中心，通过旋转变换设计一个中心对称规整图案，写出设计过程并画出图案. 2. 分步设计作图 ④将第三个图形平移得出图案 l 例1.请以等腰直角三角形为基本图形，以直角顶点为旋转中心，通过旋转变换设计一个中心对称规整图案，写出设计过程并画出图案. 4.设计小结： （1）图案设计优先选用90°、180°旋转，成品更规整、对称性更强； （2）所有变换必须定点、定角、有序作图，杜绝随意手绘； （3）复杂图案可在旋转基础上，搭配轴对称、平移优化构图. 典例分析 例1.请以等腰直角三角形为基本图形，以直角顶点为旋转中心，通过旋转变换设计一个中心对称规整图案，写出设计过程并画出图案. 3.变换总结： 本图案以旋转变换为单一变换，四次旋转360°闭环，既是旋转对称图形，也是中心对称图形，构图规整、对称均匀 实践活动 小组合作学习任务单： 自选基本图形（线段、扇形、正方形），设计1幅原创对称图案，小组内互评：变换合理、构图规整、美观简洁. 如图所示的图案是由八个“ ”组成的，请你简述该图案的设计过程. 5.学生实操活动 探究点2 图案设计一般步骤 实践活动 答案不唯一 （1）将“ ”向上平移， （2）然后以点O为旋转中心将图中的图案顺时针旋转90°，连续旋转三次作出所求的图案. O 方法一 5.学生实操活动 探究点2 图案设计一般步骤 实践活动 （1）将“ ”向上平移， O （2）然后以点 O 为旋转中心顺时针旋转 90°， （3）再以图中的直线 l 为对称轴作出所求图案. l 5.学生实操活动 探究点2 图案设计一般步骤 答案不唯一 方法二 巩固练习 10.如图，有一张纸片，若连接 EB，则纸片被分为矩形FABE 和菱形 EBCD.你能画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分吗？画一画，并说明理由. 解：如图，连接BF，OE交于点O1，连接BD，EC交于点O2，作直线O1，O2，则直线O1，O2即为所求. 理由： 矩形和菱形都是中心对称图形，过对称中心的直线能把它们分成全等的两部分，这两部分面积相等. O1 O2 A B C D E F 复习题 课本p112页 28 拓展提升 1．【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线a和b，作线段关于直线a对称的线段，再作关于直线b对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点P、Q． 【问题探究】如图①，当直线a与直线b平行时 (1)可看作是沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段 的长度； (2)若，则 ； 【类比探究】如图②，当直线a与直线b相交于点O时 (3)可看作是绕着点 旋转而成的，与的数量关系为 ； (4)当直线a与直线b垂直时，与关于 成 对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明） 拓展提升 1．【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线a和b，作线段关于直线a对称的线段，再作关于直线b对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点P、Q． 【问题探究】如图①，当直线a与直线b平行时 (1)可看作是沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段 的长度； (2)若，则 ； （1）解：当直线与直线平行时：可看作是沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度； 射线 线段 （2）解：根据题意得，，， ∴ ； 拓展提升 1．【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线a和b，作线段关于直线a对称的线段，再作关于直线b对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点P、Q． 【类比探究】如图②，当直线a与直线b相交于点O时 (3)可看作是绕着点 旋转而成的， 与的数量关系为 ； (4)当直线a与直线b垂直时，与关于 成 对称； （3）解：当直线与直线相交于点时 ： 可看作是绕着点旋转而成的， 由对称可得，，， ∴， ∴与的数量关系为； （4）解：当直线与直线垂直时， 与的对称关系是关于点O成中心对称； 点O 中心 点 拓展提升 1．【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线a和b，作线段关于直线a对称的线段，再作关于直线b对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点P、Q． 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明） （5）如图： 以直线为对称轴作的对称图形， 连接，作线段的垂直平分线， 以直线为对称轴作的对称图形， 连接，作线段的垂直平分线 真题感知 1．（2026.陕西咸阳·阶段检测）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形． (1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有________ ，是中心对称图形的有________ ．（将对应字母填在横线上） (2)假设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是________，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是________，则花瓣图形仅是轴对称图形．（填“奇数”或“偶数”） A、B、C、D、E A、C、E 偶数 奇数 真题感知 2．（2026深圳·期末）如图，长方形的顶点都在方格纸的格点上． (1)如图，将长方形平移，使得点与点重合，请画出平移后的长方形，并判断平移前后的两个长方形构成________图形（填写“轴对称”或“中心对称”）； (2)如图，请作出一个与长方形关于某条直线成轴对称的图形，且所有顶点均在格点上．（画出一种即可） 中心对称 课堂小结 （1）核心知识： 掌握平移、轴对称、旋转三大图形变换的特征，能精准拆解复杂图案的基本图形与变换方式； （2）核心方法： 熟记图案设计五步流程，熟练运用旋转单一变换、变换组合设计对称图案； （3）核心技能： 能规范完成图案作图，保留变换痕迹，精准判断图案的主导变换类型. 知识与技能 课堂小结 （1）转化思想：将复杂图案转化为简单基本图形的重复变换，化繁为简； （2）模型思想：归纳“基本图形+重复变换”的图案通用模型，实现一通百通； （3）数形结合思想：依托图形变换的几何特征，构建规整对称的视觉图形. 思想与方法 课堂小结 （1）变换辨析易错：混淆图案主导变换，环形图案误判为平移、对称变换； （2）参数错误：旋转中心、旋转角度选取不当，导致图案不对称、不规整； （3）作图易错：缺少作图痕迹、变换次数不足、图形大小不一致； （4）设计误区：盲目堆砌变换方式，图案杂乱无章，无核心对称规律. 易错点提醒 课后练习 9.观察图（1）中各图的阴影部分构成的图案，这些图案具有怎样的对称性？它们的面积有什么共同特征？在图（2）中设计图案，使它也具备上述特征. 解：（1）中的图案即是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积相等均为4.设计图案如图（2）所示（答案不唯一）. 复习题 课本p111页 28 课后练习 复习题 课本p112页 28 11.如图，直线 l1，l2 相交于点 O，图形 G1 与图形 G 关于直线 l1 对称，图形 G2 与图形 G1 关于直线 l2 对称.图形 G2 可以由图形 G 旋转得到吗？如果能，指出旋转中心和旋转角. 解：如图，在图形G，G1，G2中任取一组对应点P，P1，P2，连接OP，OP1，OP2. 由轴对称的性质可知， OP=OP1=OP2，∠POM=∠P1O∠P1ON=∠P2ON， 所以∠POP2=∠POP1+∠P1OP2 =2(∠P1OM+∠P1ON)=2∠MON. 因为∠MON为定值，所以图形G2可以由图形G旋转得到，旋转中心为点O，旋转角为∠POP2，其大小为l1和l2所夹锐角的两倍. P2 P1 P 谢谢聆听 $