高一数学上学期第一次月考（沪教版必修第一册第1章～第2章集合与逻辑+等式与不等式，高效培优·提升卷）

**基本信息** 沪教版高一数学第一次月考卷，以集合与逻辑、等式与不等式为核心，通过《九章算术》古文情境（填空11题）及笛卡尔积创新概念（解答21题），融合文化传承与抽象思维，适配月考对基础巩固与能力提升的检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合运算、充分必要条件、不等式解集|第11题结合《九章算术》，考查数学眼光观察传统文化| |选择题|4/18|充要条件判断、不等式应用、集合新定义|第16题积集概念，检测数学思维的逻辑推理| |解答题|5/78|集合综合运算、方程根的分布、不等式证明|第21题笛卡尔积探究，体现数学语言表达现实世界的创新应用|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第2章集合与逻辑+等式与不等式。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则的值为___________． 2．若全集，，则______． 3．“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的____________________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”填空） 4．若集合，，求______ 5．已知方程的两根分别为，求的值_____________. 6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 7．不等式的解集为___________． 8．已知，则______时，的值最小． 9．已知集合，，且，则实数的取值范围是__________. 10．已知实数 满足，则的取值范围是________． 11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为__________里（注：1里=300步）． 12．已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知正数 满足 ，则下列说法中正确的是（         ） A． 的最大值为 B． 的最小值为 2 C． 的最小值为4 D． 的最小值为 15．设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（    ） A．当时，集合的积集 B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个 C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个 D．存在4个正实数构成的集合，使其积集 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）设全集，已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 18．（14分）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 19．（14分）已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)若均为正根，求实数的取值范围； (2)求使的值为整数的的整数值； 20．（18分）设为正实数， (1)试比较的大小，并说明理由； (2)当时，求的最大值； (3)若对任意的正实数，以 为三边长均可构成三角形，求实数的取值范围. 21．（18分）数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第2章集合与逻辑+等式与不等式。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则的值为___________． 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 2．若全集，，则______． 【答案】 【详解】全集，，所以. 故答案为： 3．“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的____________________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”填空） 【答案】充分不必要 【详解】若四边形ABCD是正方形，则其对角线相等，故充分性成立， 若四边形ABCD的两条对角线相等，则四边形可能是等腰梯形或者矩形等，故必要性不成立， 因此“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的充分非必要条件， 故答案为：充分非必要 4．若集合，，求______ 【答案】 【详解】由，解得或， 故， 故答案为：. 5．已知方程的两根分别为，求的值_____________. 【答案】 【详解】已知方程的两根分别为， 由韦达定理可得，. 所以. 故答案为： 6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 7．不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】由，得，所以， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．已知，则______时，的值最小． 【答案】0 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 即当时，的值最小为1. 故答案为： 9．已知集合，，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为集合，，且，故. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 10．已知实数 满足，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为， 则原方程变形为， 因为，当且仅当时取等号， 即时，等号成立． 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为__________里（注：1里=300步）． 【答案】 【详解】设该小城的长宽分别为，，步里，步里， 则，即， 故周长为，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 12．已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】对任意的，不等式恒成立， 则等价于求的最小值， 由， 所以 ， 当且仅当，即等式成立， 所以有， 解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，满足，但是此时； 当，满足，但此时； 故“是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 14．已知正数 满足 ，则下列说法中正确的是（         ） A． 的最大值为 B． 的最小值为 2 C． 的最小值为4 D． 的最小值为 【答案】D 【详解】对于A项，因为，所以， 当且仅当等号成立；A项错误 对于B项，由A项知，， 令，则， 由对勾函数性质知，函数在上单调递减， 所以，则 的最小值不为2，故B项错误； 对于C项，， 等号成立，，即，故C项错误； 对于D项，由，得，则， 则， 当时，上式取得最小值为，故D项正确， 故选：D 15．设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式，因式分解得：， 因为，所以不等式的解集为， 又因为解集恰有3个整数，所以， 解得， 故选：B. 16．设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（    ） A．当时，集合的积集 B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个 C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个 D．存在4个正实数构成的集合，使其积集 【答案】C 【详解】对于A，因为，故集合中所有可能的元素有， 即，故A错误； 对于B，设，不妨设， 因为， 所以中元素个数小于等于10个， 如设，则， 所以积集中元素个数的最大值为10个，故B错误； 对于C，因为， 所以中元素个数大于等于7个， 如设， 此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故C正确； 对于D，假设存在4个正实数构成的集合，使其积集， 不妨设，则集合的积集， 则必有，其4个正实数的乘积， 又或，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合， 使其生成集，故D错误. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）设全集，已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）若，则，又因为， 故，.……（7分） （2）因为，故或. 因为恒成立，故. 因此，若，则有或， 解得或， 即的取值范围为.……（14分） 18．（14分）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【详解】(1)证明：因为，所以， 因为，所以， 因为，所以；……（7分） (2)证明：，， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是.……（14分） 19．（14分）已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)若均为正根，求实数的取值范围； (2)求使的值为整数的的整数值； 【详解】（1）由题意，一元二次方程有两个正根， 故，得， 且，解得：.……（6分） （2）由题意，， 又当，即时，且， 故， 由于为整数，故只能取，又， 故整数的值为.……（14分） 20．（18分）设为正实数， (1)试比较的大小，并说明理由； (2)当时，求的最大值； (3)若对任意的正实数，以 为三边长均可构成三角形，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 即.……（4分） （2）若，则， 则， 所以， 由，知，则， 所以 的最大值为.……（10分） （3）若a，b，c为三边可构成三角形，由（1）知，则，且成立， 即，且成立， 即，且成立， 设， 令，则，令， 则，易知在上递减， 所以，所以，则； 设，而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以，则. 综上，.……（18分） 21．（18分）数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件. 【详解】（1）依题意，， .……（4分） （2）证明：若，设， 由定义知：且， 因此“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性知，则， 因此“”是“”的充分条件， 所以“”是“”的充要条件.……（11分） （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围； 若取到最值，则，即，于是，即， 所以.……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 充分不必要 4. 5. 6. 7. 8 . 0 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D D B C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）若，则，又因为， 故，.……（7分） （2）因为，故或. 因为恒成立，故. 因此，若，则有或， 解得或， 即的取值范围为.……（14分） 18．（14分） 【详解】(1)证明：因为，所以， 因为，所以， 因为，所以；……（7分） (2)证明：，， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由题意，一元二次方程有两个正根， 故，得， 且，解得：.……（6分） （2）由题意，， 又当，即时，且， 故， 由于为整数，故只能取，又， 故整数的值为.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）因为， 所以， 即.……（4分） （2）若，则， 则， 所以， 由，知，则， 所以 的最大值为.……（10分） （3）若a，b，c为三边可构成三角形，由（1）知，则，且成立， 即，且成立， 即，且成立， 设， 令，则，令， 则，易知在上递减， 所以，所以，则； 设，而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以，则. 综上，.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）依题意，， .……（4分） （2）证明：若，设， 由定义知：且， 因此“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性知，则， 因此“”是“”的充分条件， 所以“”是“”的充要条件.……（11分） （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围； 若取到最值，则，即，于是，即， 所以.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $