精品解析：上海市陆行中学2025-2026学年高一上学期10月阶段性测试数学试题

陆行中学高一数学阶段性测试试卷 （时间90分钟，满分100分） 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 0________N（选填“”或“”）． 2. 若，则实数_________. 3. 设集合，集合，则_________. 4. 下列各命题中正确的序号为_________. （1）；（2），； （3），；（4）. 5. 不等式的解为________ 6. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 7. 设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 8. 若，，则与的关系为________ 9. 某校高中一年级学生中，参加数学兴趣小组的有85人，参加物理小组的有80人.其中既参加数学小组又参加物理小组的有35人，两个小组都不参加的有入160，则该校一年级共有_________名学生. 10. 已知方程的两个根为，，则________ 11. 对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 12. 设，表示不大于的最大整数，例如，，则使得成立的的取值范围是________． 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知集合和集合，那么的充要条件是（ ） A. B. C. D. 15. 不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 16. 对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，给出下列三个命题，其中真命题个数为（ ） ①若点C在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题 17. （1）已知都是实数，比较与的大小． （2）求解不等式组 18. 已知全集，集合，. （1）求集合； （2）若集合或，且，求实数的取值范围． 19. 某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 20. 已知方程与方程分别有两个不相等实根，若它们的解集分别为，，且，求，的值及集合，． 21. 法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． （1）已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． （2）已知实数，满足，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陆行中学高一数学阶段性测试试卷 （时间90分钟，满分100分） 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 0________N（选填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】. 2. 若，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，结合集合元素特性求解即得. 【详解】集合中，，即，解得且， 则，由，得，所以. 故答案为： 3. 设集合，集合，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】 结合交集的概念，直接求出两个集合的交集即可. 【详解】∵集合，， ∴. 故答案为：. 4. 下列各命题中正确的序号为_________. （1）；（2），； （3），；（4）. 【答案】（2）（3） 【解析】 【分析】对（1）（4）举反例即可；对（2）根据幂函数性质和不等式性质即可判断；对（3）利用不等式性质即可判断. 【详解】对于（1），当时，不成立，故（1）错误； 对于（2），若，则或，所以，故（2）正确； 对于（3），若，则，则； 若，，则，则，故（3）正确； 对于（4），当时，，故（4）错误； 故答案为：（2）（3）. 5. 不等式的解为________ 【答案】 【解析】 【详解】令，则变为，解得， 则求的解即可，解得. 6. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 7. 设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 8. 若，，则与的关系为________ 【答案】 （或真包含于） 【解析】 【分析】通过配方分别求解两个二次函数的值域得到集合和，再判断二者的包含关系。 【详解】由， 因为，所以，因此, 由 ，因为，所以，因此, 因此是的真子集，即 . 9. 某校高中一年级学生中，参加数学兴趣小组的有85人，参加物理小组的有80人.其中既参加数学小组又参加物理小组的有35人，两个小组都不参加的有入160，则该校一年级共有_________名学生. 【答案】290 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的容斥原理，列式计算得答案. 【详解】依题意，至少参加一个兴趣小组的人数为， 而两个小组都不参加的有入160，所以该校一年级共有（名）. 故答案为：290 10. 已知方程的两个根为，，则________ 【答案】 【解析】 【详解】由题设，则. 11. 对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【详解】由绝对值的几何意义知，当且仅当时等号成立， 对于任意的实数，不等式恒成立， 所以，即的取值范围为. 12. 设，表示不大于的最大整数，例如，，则使得成立的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据所给的定义可将转化为，解此绝对值不等式即可求出的取值范围 【详解】由题意，则 或 解得或 所以使成立的的取值范围是. 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 14. 已知集合和集合，那么的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，符合，但不能得到，故B错误； 对于C，若，则，所以是的必要条件； 若，则，所以是的充分条件； 所以的充要条件是，故C正确； 对于D，若，可得，当是真子集时，不能得到，故D错误. 15. 不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解. 【详解】当，即时，恒成立， 当时，因为对恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故选：C 16. 对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，给出下列三个命题，其中真命题个数为（ ） ①若点C在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析题目任意两点，定义它们之间的一种“距离”： ，对于①若点在线段上，设点坐标为然后代入验证显然成立．成立故正确．对于②在中，若，则；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在中，用坐标表示然后根据绝对值不等式可得到大于等于不成立，故可得到答案． 【详解】解：对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：． 对于①，若点在线段上，设，不妨设，， 则 ，故①正确． 对于②，在中，若，设， 则， ， 这两式明显不相等，②错误； 对于③在中， ，③不正确． 命题①成立， 故选：B． 三、解答题 17. （1）已知都是实数，比较与的大小． （2）求解不等式组 【答案】（1）当时， ;当或时， . （2） 【解析】 【小问1详解】 由 ，当且仅当时，等号成立， 所以当时， . 所以当或时， . 【小问2详解】 由 得 所以 或 ； 由 ，移项通分得 即 ，所以，解得， 由， 所以不等式组的解是. 18. 已知全集，集合，. （1）求集合； （2）若集合或，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 根据并集的定义，所有属于集合或属于集合的元素构成集合，因此. 根据补集的定义，是全集中不属于的元素构成的集合，因此. 【小问2详解】 已知或，且. 根据子集的定义，中的所有元素均属于，分两种情况讨论： ① 若完全包含于 ，则区间右端点满足，解得； ② 若完全包含于 ，则区间左端点满足，解得. 综上，实数的取值范围为. 19. 某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据“附加税=年销售额×税率”的等量关系建立关于的不等式，结合实际意义求解一元二次不等式即可得到结果。 【详解】由题意： ，且年销售量为正，即，解得， 此时附加税， 由题意，解得：，满足， 即的取值范围是. 20. 已知方程与方程分别有两个不相等实根，若它们的解集分别为，，且，求，的值及集合，． 【答案】 ，，， 【解析】 【分析】根据两集合的元素个数及并集元素个数推出两二次方程有唯一公共根，联立方程得到公共根与参数的关系，逐一验证公共根的可能取值，结合韦达定理和判别式求解即可. 【详解】已知两个一元二次方程均有两个不相等的实根，故集合各含2个元素， 又共3个元素，由集合容斥原理， 得，即两方程有且仅有1个公共根. 将代入两个方程得 ， ①②得，即. 下面逐一验证公共根的取值： （i）若，则，将代入①得，解得. 此时第一个方程为，解得或，即； 第二个方程为，解得或， 即，满足. 检验判别式：第一个方程， 第二个方程，均满足有两个不等实根的条件； （ii）若，则，将代入①得， 解得，第一个方程两根之积为，故另一根为，不符合要求，舍去； （iii）若，则，将代入①得， 解得，第一个方程两根之积为，故另一根为，不符合要求，舍去. 综上，. 21. 法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． （1）已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． （2）已知实数，满足，，求的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）将看作方程的两个不等实根，利用韦达定理求、后代入目标式计算； （2）换元设、，构造方程求解的两组值，代入完全平方公式并验证判别式合理性即可得结果. 【小问1详解】 由题意，不相等的实数满足、， 因此是一元二次方程的两个不等实根. 根据韦达定理得，， 因此. 【小问2详解】 令，，将已知条件变形可得 . 根据韦达定理逆定理，是一元二次方程的两个实根， 解方程得，，即有两组解和. 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时； 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时. 综上，的值为46或65. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $