第01讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率、直线的方程”核心知识点，从倾斜角（范围[0°,180°)，形的刻画）到斜率（tanα，数的刻画，与两点坐标关系），再到直线方程五种形式（点斜式等及适用范围），构建从形到数再到方程的完整学习支架。 资料亮点在于易错点表格精准辨析（如倾斜角范围、斜率存在性），结合上海期中期末真题设计题型，强调分类讨论思维（斜率是否存在、截距是否为零），体现数学眼光（形数结合）与数学思维（逻辑推理），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第01讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 【知识点01】直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，将 x 轴（正方向）绕交点按逆时针方向旋转，直到与直线 l 的向上方向重合，所转的角叫作直线 l 的倾斜角，记为 α。 倾斜角的范围是 0° ≤ α < 180°（即 0 ≤ α < π）；直线与 x 轴平行或重合时，规定其倾斜角为 0°。 记忆抓手：倾斜角从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，平面内任何直线都有唯一确定的倾斜角。 【知识点02】直线的斜率 当倾斜角 α ≠ 90° 时，α 的正切值叫作直线的斜率，记作 k：k = tan α（α ≠ 90°） 已知直线上两点 P₁(x₁, y₁)、P₂(x₂, y₂)（x₁ ≠ x₂），则斜率为： k＝. 倾斜角 α 斜率 k 直线走向 α = 0° k = 0 水平（与 x 轴平行或重合） 0° < α < 90° k > 0，随 α 增大从 0 增到 +∞ 右上方向（一、三象限走向） α = 90° 斜率不存在 竖直（垂直于 x 轴） 90° < α < 180° k < 0，随 α 增大从 −∞ 增到 0 左上方向（二、四象限走向） 与向量联系：设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 重要结论：倾斜角与斜率在 α ≠ 90° 时一一对应；但斜率随倾斜角增大并非整体单调——它在 α = 90° 处断裂。比较斜率大小时必须分区间讨论。 【知识点03】直线的方程 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 特殊直线方程：x 轴：y = 0；y 轴：x = 0；平行于 x 轴的直线：y = b；平行于 y 轴的直线：x = a；过原点的直线：y = kx（或 Ax + By = 0，其中 B ≠ 0）。 求直线方程的一般步骤：①定条件——弄清已知的点、斜率、截距及平行、垂直关系；②选形式——按条件选择最合适的形式（一般优先设点斜式或斜截式）；③求参数——代入条件解出未知参数；④化一般式——最终统一化为 Ax + By + C = 0。 序号 易错点 正确理解 1 倾斜角能取到 180° 倾斜角范围是 [0°, 180°)，取不到 180°；与 x 轴平行时是 0° 而非 180° 2 “斜率不存在”＝直线不存在 斜率不存在指的是 α = 90° 的竖直直线，它照样有方程 x = a 3 任意倾斜角都有 k = tan α 只有 α ≠ 90° 时才有 k = tan α，90° 时不写 tan 90° 4 倾斜角增大 ⇒ 斜率增大 错误。k 在 90° 处断裂：α 从 0° 到 90°，k 从 0 到 +∞；α 从 90° 到 180°，k 从 −∞ 到 0。比较斜率大小必须分区间 5 点斜式、斜截式能表示所有直线 不能，它们都排除竖直直线；凡遇“斜率是否存在”要分类讨论 6 截距是“距离” 截距是直线与坐标轴交点的坐标，可正、可负、可为零，不是距离 7 截距式 ＝1 中的 a、b 可以为 0 必须 a ≠ 0、b ≠ 0；且它表示不了过原点的直线 8 求“截距相等”的直线只设 ＝1 漏掉截距均为 0（过原点）的情形，必须分两类讨论 9 两点式求斜率不分 x₁ = x₂ 当 x₁ = x₂ 时斜率公式失效，直线垂直于 x 轴，方程为 x = x₁ 10 一般式 Ax + By + C = 0 中 A、B 可同时为 0 必须满足 A² + B² ≠ 0，否则退化为 C = 0，不表示直线 【题型一】求倾斜角与斜率 【典例1-1】（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 【典例1-2】（24-25高二下·上海杨浦·阶段检测）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为______．    【答案】 【详解】设直线、、的倾斜角分别为、、，由图可得，则，也即． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26高二下·上海·期中）若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 【答案】 【详解】因为直线的一个法向量为， 可得直线的其中一个方向向量为， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，， 可得，所以． 【变式1-3】（25-26高二下·上海·期中）直线与的夹角的大小为_______． 【答案】 【详解】因为直线的斜率不存在，故它的倾斜角为， 又的斜率为，故它的倾斜角为， 故这两条直线的夹角的大小为． 【题型二】求斜率范围 【典例2】已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式2-1】已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 【变式2-2】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 【变式2-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 如图：所以要使直线与线段有公共点，的取值范围为． 故答案为： 【题型三】倾斜角与斜率含参问题 【典例3】（24-25高二下·上海·阶段检测）若倾斜角为的直线过点和，则实数__________. 【答案】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率，则，解得. 故答案为：. 【变式3-1】经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是__________. 【答案】 【详解】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）过点，的直线的倾斜角为，则实数t的值为__________． 【答案】 【详解】因为直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 解得. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【答案】或 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为， 所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 【题型四】直线方程的求法（多形式互化） 【典例4】（24-25高二下·上海·阶段检测）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 【答案】D 【详解】将方程化简为，此为点斜式方程，故A错误； 将方程化简为，此为斜截式方程，故B错误； 将方程化简为，此为一般式方程，故C错误； 由一般式方程可知直线的方向向量为，则法向量为， 又直线过点， 设直线上任意一点,则， 又，则，故D正确. 故选：D 【变式4-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）直线过，且的一个法向量，则直线的方程为__________. 【答案】 【详解】由的一个法向量，可设， 则有，解得，即直线的方程为. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 【变式4-3】（25-26高二上·上海·期末）已知直线，若过点的直线与直线的夹角大小为，则直线的方程为________. 【答案】或 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率不存在时，其倾斜角为，此时与直线的夹角大小为， 因为，符合题意，此时直线的方程为， 当直线的斜率存在时，设直线的倾斜角为， 则，解得，即直线的斜率为， 此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式4-4】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为______________. 【答案】或 【详解】    如图所示，当、到直线的距离相等时有两种情况， 情况一，直线经过中点，由点，可知点, 则直线为，化简得； 情况二，直线和直线平行，由点，可知， 则直线为，化简得； 故答案为：或 【题型五】截距问题（分类讨论） 【典例5】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【详解】(1)将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 【变式5-1】已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 【详解】（1）由直线过点，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）直线过点，在轴和轴上的截距相等， 设直线的方程为，， 令得，令得，则， 解得或， 所以直线的方程为或. 【变式5-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 【变式5-3】（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【详解】(1)证明:直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【题型六】直线与面积最值综合 【典例6】（24-25高二下·上海·阶段检测）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 【详解】（1）设直线的方程为，则，， 所以， 由，得，解得， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 将点代入得，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，. 所以的面积最小值为12. 【变式6-1】已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 【变式6-2】设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【详解】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 【变式6-3】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【详解】（1）由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （3）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 一、知识框架 倾斜角 α ∈ [0°, 180°)　→（tan α，α ≠ 90°）→　斜率 k = tan α = . 直线的方程：点斜式 → 斜截式 → 两点式 → 截距式 → 一般式 Ax + By + C = 0 倾斜角从“形”刻画倾斜程度，斜率从“数”刻画倾斜程度，二者在 α ≠ 90° 时一一对应；直线方程的五种形式由已知条件决定，最终都统一于一般式。 二、三条主线 一个核心关系：α 与 k 分段一一对应，90° 是“断裂点”，比较斜率大小必须分段； 一条选择链：求直线方程 = 定条件 → 选形式（优先点斜、斜截）→ 解参数 → 化一般式； 两个必讨论：斜率是否存在（遇竖直直线）、截距是否为零（遇过原点直线）。 ___ 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 2．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率，， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：A. 二、填空题 3．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 【答案】 【详解】过、两点的直线的倾斜角为， 说明的横坐标相同，且纵坐标不同，即. 4．（24-25高二上·上海·阶段检测）若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是________. 【答案】 【详解】由直线的倾斜角为，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的点斜式方程是. 故答案为： 5．（25-26高二上·上海·期末）直线的一个法向量为______． 【答案】（答案不唯一，） 【详解】直线的斜率， 所以该直线的一个方向向量为，其法向量为可以为. 故答案为： 6．（25-26高二下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若直线上的任何向量都与向量平行，则倾斜角的大小为______． 【答案】 【详解】因为直线上的任何向量都与向量平行，所以向量是直线的一个方向向量， 所以直线上的斜率，设直线的倾斜角为，则，且， 所以，故直线倾斜角的大小为. 7．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线，，则与的夹角大小是________． 【答案】 【详解】直线的斜率为1，则倾斜角； 直线的斜率为，倾斜角， 所以与的夹角. 故答案为： 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为_____. 【答案】 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 9.．（24-25高二下·上海·阶段检测）若直线与直线的夹角为，则__________. 【答案】 【详解】因轴，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，由图知，， 则. 故答案为：. 10．（25-26高二下·上海·阶段检测）若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_____ 【答案】 【详解】由已知设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为. 因为，所以 又直线l经过点， 因此，所求直线方程为，即. 故答案为： 11．（25-26高二上·上海·期中）设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限， 则，故直线， 由题意得，解得. 故答案为： 12.．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 13．设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 【答案】或 【详解】当截距为0时，设l方程为，代入点，可得，解得， 所以方程为，即； 当截距不为0时，因为截距相等，所以设方程为， 代入点，可得，解得， 所以方程为，即， 综上，直线l的一般方程为或. 故答案为：或. 14．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    15．（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 【答案】或 【详解】设，，， 则，， 由题意知，即， 解得或， 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为； 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为或. 故答案为：或. 三、解答题 16．若，且，，三点共线，求的最小值． 【答案】16． 【详解】根据，利用直线的两点式方程可求得直线AB的方程为． 又因为在该直线上，所以．又因为，故，． 根据基本不等式，从而（舍去）或， 故，当且仅当时取等号，即的最小值为16． 17．（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 18．设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）当时，直线平行于轴，在轴上无截距，不合题意， 则，直线在轴上的截距分别为， 依题意，，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 所以直线的方程为或． （2）假设存在实数，使直线不经过第二象限， 而直线的方程化为， 则有，解得， 所以存在实数使直线不经过第二象限，的取值范围为． 19.已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【详解】(1)证法一：由，得． 当，即时，直线恒过定点． 法二：由，得， 表示过点的点斜式，即直线恒过定点． （2）存在实数，由（1）知：直线恒过第一象限的点． 所以与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交． ． 因为，所以． 当，即时，的面积取得最小值8． 20．（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 【详解】(1)证明：整理直线方程得 ， 由 可得 ，， 故直线恒过定点 . （2）由（1）知，如图，作轴于M，轴于N， 且直线与轴的正半轴分别交于两点，设直线倾斜角为，， 因为，所以，， ，，，， 令 ， 由 得 ，，则 ，在 上单调递增， 当 即 时，上式取最小值 ，此时直线方程为 化简得直线方程为 . 21．已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【详解】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； (3)不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 【知识点01】直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，将 x 轴（正方向）绕交点按逆时针方向旋转，直到与直线 l 的向上方向重合，所转的角叫作直线 l 的倾斜角，记为 α。 倾斜角的范围是 0° ≤ α < 180°（即 0 ≤ α < π）；直线与 x 轴平行或重合时，规定其倾斜角为 0°。 记忆抓手：倾斜角从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，平面内任何直线都有唯一确定的倾斜角。 【知识点02】直线的斜率 当倾斜角 α ≠ 90° 时，α 的正切值叫作直线的斜率，记作 k：k = tan α（α ≠ 90°） 已知直线上两点 P₁(x₁, y₁)、P₂(x₂, y₂)（x₁ ≠ x₂），则斜率为： k＝. 倾斜角 α 斜率 k 直线走向 α = 0° k = 0 水平（与 x 轴平行或重合） 0° < α < 90° k > 0，随 α 增大从 0 增到 +∞ 右上方向（一、三象限走向） α = 90° 斜率不存在 竖直（垂直于 x 轴） 90° < α < 180° k < 0，随 α 增大从 −∞ 增到 0 左上方向（二、四象限走向） 与向量联系：设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 重要结论：倾斜角与斜率在 α ≠ 90° 时一一对应；但斜率随倾斜角增大并非整体单调——它在 α = 90° 处断裂。比较斜率大小时必须分区间讨论。 【知识点03】直线的方程 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 特殊直线方程：x 轴：y = 0；y 轴：x = 0；平行于 x 轴的直线：y = b；平行于 y 轴的直线：x = a；过原点的直线：y = kx（或 Ax + By = 0，其中 B ≠ 0）。 求直线方程的一般步骤：①定条件——弄清已知的点、斜率、截距及平行、垂直关系；②选形式——按条件选择最合适的形式（一般优先设点斜式或斜截式）；③求参数——代入条件解出未知参数；④化一般式——最终统一化为 Ax + By + C = 0。 序号 易错点 正确理解 1 倾斜角能取到 180° 倾斜角范围是 [0°, 180°)，取不到 180°；与 x 轴平行时是 0° 而非 180° 2 “斜率不存在”＝直线不存在 斜率不存在指的是 α = 90° 的竖直直线，它照样有方程 x = a 3 任意倾斜角都有 k = tan α 只有 α ≠ 90° 时才有 k = tan α，90° 时不写 tan 90° 4 倾斜角增大 ⇒ 斜率增大 错误。k 在 90° 处断裂：α 从 0° 到 90°，k 从 0 到 +∞；α 从 90° 到 180°，k 从 −∞ 到 0。比较斜率大小必须分区间 5 点斜式、斜截式能表示所有直线 不能，它们都排除竖直直线；凡遇“斜率是否存在”要分类讨论 6 截距是“距离” 截距是直线与坐标轴交点的坐标，可正、可负、可为零，不是距离 7 截距式 ＝1 中的 a、b 可以为 0 必须 a ≠ 0、b ≠ 0；且它表示不了过原点的直线 8 求“截距相等”的直线只设 ＝1 漏掉截距均为 0（过原点）的情形，必须分两类讨论 9 两点式求斜率不分 x₁ = x₂ 当 x₁ = x₂ 时斜率公式失效，直线垂直于 x 轴，方程为 x = x₁ 10 一般式 Ax + By + C = 0 中 A、B 可同时为 0 必须满足 A² + B² ≠ 0，否则退化为 C = 0，不表示直线 【题型一】求倾斜角与斜率 【典例1-1】（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高二下·上海杨浦·阶段检测）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 【变式1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为______．    【变式1-2】（25-26高二下·上海·期中）若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 【变式1-3】（25-26高二下·上海·期中）直线与的夹角的大小为_______． 【题型二】求斜率范围 【典例2】已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是______． 【题型三】倾斜角与斜率含参问题 【典例3】（24-25高二下·上海·阶段检测）若倾斜角为的直线过点和，则实数__________. 【变式3-1】经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是__________. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）过点，的直线的倾斜角为，则实数t的值为__________． 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【题型四】直线方程的求法（多形式互化） 【典例4】（24-25高二下·上海·阶段检测）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 【变式4-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）直线过，且的一个法向量，则直线的方程为__________. 【变式4-2】（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【变式4-3】（25-26高二上·上海·期末）已知直线，若过点的直线与直线的夹角大小为，则直线的方程为________. 【变式4-4】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为______________. 【题型五】截距问题（分类讨论） 【典例5】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【变式5-1】已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 【变式5-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【变式5-3】（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【题型六】直线与面积最值综合 【典例6】（24-25高二下·上海·阶段检测）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 【变式6-1】已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【变式6-2】设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【变式6-3】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 一、知识框架 倾斜角 α ∈ [0°, 180°)　→（tan α，α ≠ 90°）→　斜率 k = tan α = . 直线的方程：点斜式 → 斜截式 → 两点式 → 截距式 → 一般式 Ax + By + C = 0 倾斜角从“形”刻画倾斜程度，斜率从“数”刻画倾斜程度，二者在 α ≠ 90° 时一一对应；直线方程的五种形式由已知条件决定，最终都统一于一般式。 二、三条主线 一个核心关系：α 与 k 分段一一对应，90° 是“断裂点”，比较斜率大小必须分段； 一条选择链：求直线方程 = 定条件 → 选形式（优先点斜、斜截）→ 解参数 → 化一般式； 两个必讨论：斜率是否存在（遇竖直直线）、截距是否为零（遇过原点直线）。 ___ 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 4．（24-25高二上·上海·阶段检测）若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是________. 5．（25-26高二上·上海·期末）直线的一个法向量为______． 6．（25-26高二下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若直线上的任何向量都与向量平行，则倾斜角的大小为______． 7．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线，，则与的夹角大小是________． 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为_____. 9.．（24-25高二下·上海·阶段检测）若直线与直线的夹角为，则__________. 10．（25-26高二下·上海·阶段检测）若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_____ 11．（25-26高二上·上海·期中）设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________． 12.．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 13．设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 14．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 15．（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 三、解答题 16．若，且，，三点共线，求的最小值． 17．（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 18．设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19.已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 20．（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 21．已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $