2.1圆-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

圆 （一）圆的标准方程 1、圆的定义：圆是到一个定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹，这个定点就是圆心，定长就是圆的半径. 2、圆的标准方程：已知圆C的圆心是，半径是，设是圆上一动点，根据圆得定义，即化简可得，，我们把它叫做圆的标准方程.（圆的标准方程也可以通过圆的性质：直径所对圆周角是直角，对应数量积为零） 特别地，当，即圆心在原点时，圆的标准方程为. 【例1】（1）已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】因为和，故可得中点为，又，故所求圆的半径为，则所求圆的标准方程是：.故答案为：. （2）圆C过点，且圆心在直线上． ①求圆C的方程； ②P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程． 【难度】★★★ 【答案】①； ② 【解析】（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1． 的中点，因此，直线m的方程为．即． 联立方程组，解得．所以圆心坐标为，又半径， 则所求圆的方程是． （2）设线段的中点，则，解得 代入圆C中得， 即线段中点M的轨迹方程为． 【例2】（1）已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（ ）． A．， B．，10 C．， D．，10 【难度】★★ 【答案】C 【解析】解：将圆的一般式方程化为标准方程得， 所以圆心为，半径为.故选：C （2）圆关于直线称的圆是__________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】圆心关于直线的对称点为，半径不变， 所求圆的方程为. 【例3】如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个图的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2＝_____（参考数据：5.478，5.744，精确到0.01m）. 【难度】★★ 【答案】3.86m 【解析】解：以O为原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，则圆心在y轴， 设圆心坐标（0，a），P（0，4），A（﹣10，0），则圆拱所在圆的方程为x2+（y﹣a）2＝r2，∴，即（a﹣4）2＝a2+100，解得a＝﹣10.5， ∴圆方程为x2+（y+10.5）2＝14.52 . 将x＝﹣2代入圆方程，得：y＝A2P2≈3.86（m）.故答案为：3.86m. 【巩固训练】 1、点与圆的位置关系是（ ）． A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【解析】解：因为，所以点在圆外.故选：B 2、设直线经过圆的圆心和点，则的一个方向向量的坐标可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心为，则的斜率为， 故的一个方向向量的坐标可以为．故选：D 3、圆心在轴上，半径为2，且过点的圆的方程为______________. 【答案】 【解析】根据题意，设圆心的坐标为，则有，解可得， 则圆的方程为； 4、若圆C与直线和：都相切，且圆心在直线上，则圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆心在直线上，可设圆心为，又因为圆C与直线和：都相切，两直线间距离为，则半径， 又由圆心到直线距离得，化简得，故， 则圆的标准方程为：.故选：B 5、求符合下列条件圆的方程： （1）圆心为点，面积为. （2）与圆关于y轴对称． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）解：设所求圆的半径为，因为圆的面积为，即，解得， 又由圆心为，所以所求圆的方程为. （2）解：由圆可化为， 可得圆心坐标为，可圆心关于轴的对称点为，所以圆关于轴的对称圆的方程为. （二）圆的一般方程 1、圆的一般方程：任何一个圆的方程都能写出形如（可将圆的标准方程展开整理可得），其中D，E，F均是常数； ( 可称为圆的一般式方程的判别式 )反过来：对于方程 （1）， 将其配方得： 　　（2） 当时，方程表示圆心为，半径为的圆； 当时，方程表示一个点； 当时，方程没有任何图形。 因此，当时，方程（1）才表示圆。此方程称为圆的一般方程。 2、一个二元二次方程要成为圆的一般方程，必须满足： （1）与项的系数相同且不为零，即； （2）不含项，即. （3）（当把平方项系数A,C化为1时） 【例4】（1）已知方程表示圆，则实数的取值范围是__________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】由圆的一般式方程可得即，解得. （2）已知圆的方程为，则当该圆面积最小时，圆心的坐标为___________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】依题意，圆的方程化为：，于是得该圆圆心，半径， 因此，该圆面积，当且仅当时取“=”， 所以当该圆面积最小时，圆心的坐标为.故答案为： 【例5】已知，则的外接圆的一般方程为（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C 【解析】设外接圆的方程为：， 由题意可得：，解得