专题12 整式的乘法相关压轴题分类训练（8种类型48道）2026-2027学年八年级数学上册高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦整式乘法8类压轴题型，48道题系统覆盖逆运算、公式变形、规律探究等，以题载知，构建从运算到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂运算逆运算|6道|已知指数式求代数式值|幂的运算性质逆向应用| |完全平方公式变形|6道|结合a±b与ab求多项式值|公式变形及整体代换思想| |规律性问题|6道|杨辉三角、数字规律探究|从特殊到一般的推理能力| |定义新运算|6道|新运算规则下整式化简|运算能力与符号意识| |无关问题|6道|多项式值与字母取值无关|合并同类项及系数分析| |代数操作题|6道|整式构造、整除判断|代数推理与逻辑思维| |多项式与图形面积|6道|用面积表示多项式乘积|几何直观与模型意识| |乘法公式与图形面积|6道|面积差验证乘法公式|数形结合与空间观念|

专题12 整式的乘法相关压轴题分类训练 （8种类型48道） 专题目录 【类型1 幂运算相关逆运算】 1 【类型2 完全平方公式变形】 1 【类型3 整式乘法相关规律性问题】 2 【类型4 整式乘法相关定义新运算】 3 【类型5 整式乘法相关无关问题】 4 【类型6 整式乘法相关代数操作题】 5 【类型7 多项式乘多项式与图形面积】 6 【类型8 乘法公式与图形面积】 8 【类型1 幂运算相关逆运算】 1．已知，则的值是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 3．已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 4．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（     ） A．8 B．16 C．6 D．4 6．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【类型2 完全平方公式变形】 7．已知，则的值为（     ） A．13 B．25 C．31 D．37 8．若，．则的值为（     ） A． B．4 C． D．3 9．若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 10．若，则（   ） A． B．2 C． D． 11．已知，则的值是（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 12．若，，则的值为（      ） A． B．7 C．14 D．50 【类型3 整式乘法相关规律性问题】 13．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 14．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． 根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为（   ） A．55 B．45 C．36 D．11 15．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）． 1 11 121 1331 14641… 根据上述规律，展开式中含项的系数为________． 16．观察下列各式的规律，回答问题：262=(26+6)×20+62；372=(37+7)×30+72；432=(43+3)×40+32； (1)请根据上述规律填空：682=____________________． (2)我们知道，任何一个两位数(个位上的数字为n，十位上的数字为m)都可以表示为10m+n，根据上述规律填出空：(10m+n)2=___________________．(并用所学知识说明结论的正确性) 17．观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 18．按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 【类型4 整式乘法相关定义新运算】 19．定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 20．定义新运算：，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 21．定义新运算符号“”：，则（    ） A． B． C． D．1 22．定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 23．对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（　　） A． B． C．1 D．4 24．定义一种新运算，规定：，则的结果化简后为（   ） A． B． C． D． 【类型5 整式乘法相关无关问题】 25．若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 26．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 27．已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 28．若多项式的值与的取值无关，则一定满足（    ） A． B． C． D． 29．若多项式的值与的取值无关，则和满足（    ） A． B．且 C． D． 30．若代数式的值与x的取值无关，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【类型6 整式乘法相关代数操作题】 31．已知整式，其中n，为正整数，，…，，为自然数，，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个； ③当，，时，； ④当时，存在，，，，，使得M可以写出的形式，其中p，q为正整数． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 33．已知整式：，，其中，，…，，为整数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有个； ②若，，则满足条件的整式共有个； ③若，，，则满足条件的整式共有个； ④若整式能被整除，的最大值为，其中，，…，，互不相等，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数有（    ） A．个   B．个   C．个   D．个 34．已知整式：，其中，，…，，为正整数，满足，且．下列说法： ①当，时，满足条件的整式有7个； ②若，，则满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意数时，其值一定为非负数的整式共有2个； 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 35．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 36．已知单项式串：，，，，…，，其中为非负整数，为正整数．规定：，下列说法： ①若，则，； ②从单项式，，，，，中任选4个，存在7种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取10个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中五个单项式的积等于另外五个单项式的积． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【类型7 多项式乘多项式与图形面积】 37．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式__________________． 38．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 39．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为5的小正方形（正方形和正方形），3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为______． 40．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 41．如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 42．如图，有一块长为，宽为的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为和，则绿化的空地面积为________．（用含a，b的式子表示） 【类型8 乘法公式与图形面积】 43．图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 44．如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 45．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．观察图形，请直接用一个等式表示图中阴影部分图形的面积：_______． 46．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 47．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．将一个边长为的正方形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，完成下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：_________； （2）如果图中的a、b满足，，则的值为_________． 48．四张正方形纸片，，，如图放置，使得D，C，K三点共线．设正方形，正方形的面积分别为，．若阴影部分的面积与的面积差为5，则__________． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 整式的乘法相关压轴题分类训练 （8种类型48道） 专题目录 【类型1 幂运算相关逆运算】 1 【类型2 完全平方公式变形】 2 【类型3 整式乘法相关规律性问题】 4 【类型4 整式乘法相关定义新运算】 9 【类型5 整式乘法相关无关问题】 11 【类型6 整式乘法相关代数操作题】 15 【类型7 多项式乘多项式与图形面积】 24 【类型8 乘法公式与图形面积】 28 【类型1 幂运算相关逆运算】 1．已知，则的值是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算，根据题意可得，，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：，，且 ∴ ， ， 故选：C． 2．已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 3．已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件即可求解． 【详解】解：，， ． 4．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则，只需将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 5．已知，，则的值为（     ） A．8 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【分析】利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 6．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件中的底数4和8转化为底数为2的幂，再利用幂的运算法则对所求式子变形，代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【类型2 完全平方公式变形】 7．已知，则的值为（     ） A．13 B．25 C．31 D．37 【答案】A 【分析】根据完全平方公式变形代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 8．若，．则的值为（     ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】将两个等式相加，利用完全平方公式构造出的形式，再根据平方根的定义求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得， 由完全平方公式得， 开平方得． 9．若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】B 【分析】将所求转化为含已知和的式子，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴． 10．若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两个已知等式按完全平方公式展开，两式相减消去无关项，即可计算出的值． 【详解】解：∵，， ∴①，②， ①②得：， ∴， ∴． 11．已知，则的值是（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由，可得，再对所求多项式进行因式分解，整体代入即可求解． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ∴． 12．若，，则的值为（      ） A． B．7 C．14 D．50 【答案】B 【分析】利用完全平方公式可得：，，两式相加即可得出答案． 【详解】解：， ①，②， ，得， ． 【类型3 整式乘法相关规律性问题】 13．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，首先确定含的项是的展开式中的第二项，再根据杨辉三角可得展开式中的第二项系数为n，据此可得答案． 【详解】解：由图中规律可知： 含的项是的展开式中的第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n， ∴的展开式中的第二项系数为， 故选：D． 14．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． 根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为（   ） A．55 B．45 C．36 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方公式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”．根据杨辉三角形的排列规律，续写到第10行，即可得到的展开式中第三项的系数． 【详解】解：根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为45． 故选：B． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 15．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）． 1 11 121 1331 14641… 根据上述规律，展开式中含项的系数为________． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，首先确定是展开式中第三项，先求出的第三项的系数，再把，代入计算即可． 【详解】解：∵是展开式中第三项， 且第三项系数为1，字母为， 第三项系数为，字母为， 第三项系数为，字母为， ∴第三项系数为，字母为， 当，时第三项系数为，字母为， 即展开式中含项为， 故答案为：． 16．观察下列各式的规律，回答问题：262=(26+6)×20+62；372=(37+7)×30+72；432=(43+3)×40+32； (1)请根据上述规律填空：682=____________________． (2)我们知道，任何一个两位数(个位上的数字为n，十位上的数字为m)都可以表示为10m+n，根据上述规律填出空：(10m+n)2=___________________．(并用所学知识说明结论的正确性) 【答案】（1）（68+8）×60+82；（2）（10m+n+n）×10m+n2． 【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出结果即可； （2）根据已知算式得出规律填空，再用完全平方公式证明即可． 【详解】解：（1）682＝（68+8）×60+82； 故答案为：（68+8）×60+82； （2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2． 证明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2， （10m+n+n）×10m+n2＝100m2+20mn+n2， ∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2． 故答案为：（10m+n+n）×10m+n2． 【点睛】本题考查了数字的变化类规律和完全平方公式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 17．观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 【答案】 （n为非负整数） 【详解】解：∵， ， ， ， ∴，（n为非负整数） ∴． 18．按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】解题思路为将数据对应其序号，通过对比已知数据归纳规律，再验证规律是否符合所有已知项，从而得到第个数的表达式． 【详解】解：设第个数对应序号为，为正整数， 将已知数据按序号整理： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此可得第个数的表达式为，即为． 【类型4 整式乘法相关定义新运算】 19．定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，整式的乘法，根据定义的新运算，运用整式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 20．定义新运算：，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算．根据新运算的定义，直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 21．定义新运算符号“”：，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ． 22．定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简待求式的第一个运算项，再按照新运算规则代入展开，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 23．对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的除法与一元一次方程的求解，根据新运算的定义，结合同底数幂的除法法则将原式转化为关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，又 ∴ ，可得 整理得 ， 解得 ． 24．定义一种新运算，规定：，则的结果化简后为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式，先理解，则，结合完全平方公式以及合并同类项计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 故选：B． 【类型5 整式乘法相关无关问题】 25．若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解一元一次方程，正确理解多项式与取值无关的意义是解题的关键．先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简已知的代数式，再根据代数式的值与无关，则的系数必须为零，列方程并解方程即可得解． 【详解】解： ， 代数式的值与无关， ， 解得． 故选：C． 26．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 27．已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，， 故选：B． 28．若多项式的值与的取值无关，则一定满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式除以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式的值与的取值无关，可知含x的项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式的值与的取值无关， ∴， ∴， 故选B． 29．若多项式的值与的取值无关，则和满足（    ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式除以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式的值与x的取值无关，可知含x的项的系数为0，据此求解即可． 【详解】 ∵多项式的值与的取值无关， ∴ ∴． 故选：A． 30．若代数式的值与x的取值无关，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，先化简整式，根据代数式的值与x无关，求出m、n得值，再逆用积的乘方法则和同底数幂公式求出代数式的值． 【详解】解：原式 ． 代数式的值与x的取值无关， ，． ，． ． 故选：C． 【类型6 整式乘法相关代数操作题】 31．已知整式，其中n，为正整数，，…，，为自然数，，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个； ③当，，时，； ④当时，存在，，，，，使得M可以写出的形式，其中p，q为正整数． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据题意确定系数和与次数和的表达式，，，再结合条件，逐个判断四个说法即可． 【详解】解：① 当时，，，即． 为正整数，为自然数，， 只有，是单项式，①正确． ② 当时，，，即． 二次三项式要求，且，列举得： ，共3个，②正确． ③ 当时，，，即． 当时，，整理得． 联立两式得：，解得，③正确． ④ 当时，，． 展开， ∴． ∴系数和， ，由得， ． 取，得，满足，符合所有条件，④正确． 四个说法都正确，故正确个数为． 32．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据整式乘除与多项式整除的性质，对三个结论逐一计算验证即可． 【详解】①由题意， ， ， ∵乘积不含项，∴，解得，故①错误． ②已知， 令，得：左边，右边， ∴，整理得 ， 令，左边，右边， ∴，代入得，故②正确． ③若多项式能被整除， 根据多项式整除性质，时．代入得， 整理得，故③正确． 综上，正确的结论共2个． 33．已知整式：，，其中，，…，，为整数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有个； ②若，，则满足条件的整式共有个； ③若，，，则满足条件的整式共有个； ④若整式能被整除，的最大值为，其中，，…，，互不相等，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数有（    ） A．个   B．个   C．个   D．个 【答案】C 【分析】根据整式定义，利用分类讨论思想逐一验证每个说法． 【详解】解：① 若，，系数均为整数． ∵ 时，满足条件，共1个； 时，，仅满足，共1个； 时，最小系数和为，无符合条件的整式； ∴ 总共有个， 故①正确． ② 由题意可得， 当时，得，此时符合条件整式C为，有1个； 当时，得， ，且为整数， 当时，，此时整式C为， 当时，，此时整式C为， 当时，，此时整式C为， 当时，不符合题意题中条件， 故时，符合条件整式C有3个； 当时，可得， 当，时，，此时整式C为， 当，时，，此时整式C为， ，时，不符合题意题中条件， 当，时，，此时整式C为， 时，不符合题意题中条件， 故时，符合条件整式C有3个； 当时，得， 当，，时，，此时整式C为， ，时，不符合题意题中条件， 故时，符合条件整式C有1个， 所以符合条件的整式C为个，故②正确； ③ 由题意可得， ， 的值为或或， 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，，，有3个； 当，时，，则，此时整式C有，，，有3个； 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，有2个； 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，此时，而已知，则有0个； 所以满足条件的整式C共有12个， 故③错误； ④ 时，无法被整除，不成立； 当时，被整除， 的最大值为2，且互不相等， 时，被整除，那么，此时整式为成立， 时，被整除，那么，此时整式为成立， 时，与上面两种情况重复， 故时，满足条件的整式C有个， 当时，被整除， 设商为， ， ，即，且互不相等， 当时，， 只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个； 当时，， 只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个； 当时，， 只能是两个数字，此时不满足的最大值为2的情况，即符合条件的整式C有0个； 当时，， 只能是两个数字，此时不满足的最大值为2的情况，即符合条件的整式C有0个； 故时，满足条件的整式C有4个， 当时，被整除， 设商为， ， ，即，互不相等， 当时，， 只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 当时，， 有三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 当时，， 有三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 当时，， 只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 故时，满足条件的整式C有个， 所以符合条件的整式C有， 故④错误， 综上，正确的说法共3个． 34．已知整式：，其中，，…，，为正整数，满足，且．下列说法： ①当，时，满足条件的整式有7个； ②若，，则满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意数时，其值一定为非负数的整式共有2个； 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据条件列举所有可能的情况，结合不等式和二次多项式的非负性判断，逐一验证每个说法即可． 【详解】解：①当，时，， 根据题意得，为正整数，且，即， 故可取4，5，6，7，8，9，10，共7个满足条件的，故①正确． ②当，时，， 根据题意，且，即， 列举所有符合条件的组合为：，共7组； 系数和为7，系数和为，系数和为，常数项和为， 故所有整式的和为，与②说法不符，故②错误． ③二次三项式即，， 要使对任意都非负，需满足， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， 故仅符合条件，共1个满足条件的，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 35．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据“和谐数”的定义推导得出任意正的“和谐数”都是的正整数倍，再分别对三个结论逐一化简验证即可． 【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数， 化简：， 任意“和谐数”都是的正整数倍， 验证结论：， 是正整数， 是的倍数，故正确； 验证结论： ， ， ，是的倍数， 是“和谐数”，故错误； 验证结论：设，是正整数， 是“和谐数”， ，得， “和谐数”是的倍数， 是的倍数，， 是的倍数， 是奇数，即是奇数， 是“和谐数”， 是的倍数，得是奇数； 是奇数，是奇数， ，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数）， ，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确； 综上，正确的结论有，共个． 36．已知单项式串：，，，，…，，其中为非负整数，为正整数．规定：，下列说法： ①若，则，； ②从单项式，，，，，中任选4个，存在7种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取10个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中五个单项式的积等于另外五个单项式的积． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式乘法与代数式求值，根据单项式乘法的性质，两个单项式乘积相等等价于对应指数和相等，据此逐个判断三个说法即可． 【详解】解：①当时， ，为正整数， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 存在多组解，因此不能推出，，故①错误． ②若满足，由可得， 问题转化为：在（）中，找出所有不重复的不同数对，使得数对的和相等， 列举计算得： 和为：共1种情况； 和为：共1种情况； 和为：共3个不同数对，任选2组，共3种情况； 和为：共1种情况； 和为：共1种情况； 总计种，故②正确． ③若五个单项式的乘积等于另外五个单项式的乘积，则所有10个指数的总和为偶数，（因为总和等于两倍的五个指数的和）， 设10个相邻单项式的指数为， 总和为， 是偶数，是奇数， 总和是奇数，不可能是偶数，因此不存在满足条件的情况，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 【类型7 多项式乘多项式与图形面积】 37．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式__________________． 【答案】 【分析】根据所给的图形可知，四个小图形的面积和与拼成大图形的面积相等； 分别按整体和各部分表示出大图形的面积，可使问题得解． 【详解】解：图形整体面积为， 四部分面积之和可表示为， ∴ ． 38．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】 36 【分析】设，，利用a，b表示出图中的阴影部分面积与长方形面积，然后根据可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 39．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为5的小正方形（正方形和正方形），3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为______． 【答案】77 【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积. 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为. 40．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 【答案】19 【分析】根据一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，计算出长为、宽为的长方形的面积，确定面积中的系数即可 【详解】解：根据题意，得一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为， 且， 故需要19张C类纸片 41．如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算等知识，根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形，分别求出新长方形长和宽，再计算面积即可． 【详解】根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形， 新长方形的长为， 新长方形的宽为， 则阴影部分的面积为 故答案为：． 42．如图，有一块长为，宽为的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为和，则绿化的空地面积为________．（用含a，b的式子表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了平方差公式的应用， 根据长方形的面积计算方法先列出算式，再根据平方差公式的法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【类型8 乘法公式与图形面积】 43．图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【答案】 【分析】理解题意，由大正方形的面积小正方形的面积图2的图形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：依题意，图1的图形的面积=大正方形的面积小正方形的面积， 图2的图形的面积， 故． 44．如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 17 【分析】设正方形边长为，正方形边长为，根据面积差得出，观察图形可知阴影部分面积等于与面积之和，利用三角形面积公式及平方差公式求解. 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，即； ∵四边形和均为正方形， ∴，，，， ∴点在同一直线上，且； ∵点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为， ∴点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为. ∴ ； ∵， ∴. 45．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．观察图形，请直接用一个等式表示图中阴影部分图形的面积：_______． 【答案】 【详解】解：由第一个图形知，阴影部分图形的面积为， 由第二个图形知，阴影部分图形的面积为， ∴． 46．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】16 【分析】结合图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，将，代入求出即可． 【详解】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积， 即， ∵，， ∴． 47．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．将一个边长为的正方形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，完成下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：_________； （2）如果图中的a、b满足，，则的值为_________． 【答案】 【分析】（1）依据该图形的总面积为或，即可得出答案； （2）将，代入（1）中公式计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：该图形的总面积为或， ∴可得如下公式； （2）∵，， ∴， 解得（负值舍去）． 48．四张正方形纸片，，，如图放置，使得D，C，K三点共线．设正方形，正方形的面积分别为，．若阴影部分的面积与的面积差为5，则__________． 【答案】20 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的边长为，得出，，根据阴影部分的面积与的面积差为5，得出，根据，整体代入求出结果即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的边长为， ∴，， ∴ ， ， ∵阴影部分的面积与的面积差为5， ∴， 整理得：， ∴ ． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $