专题01 三角形相关压轴题分类训练（6种类型48道）2026-2027学年人教版八年级数学上册 （重庆专用）

**基本信息** 聚焦三角形压轴题6大类型48道题，以折叠、动点等动态问题为核心，构建从具体操作到抽象探究的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|8道|考查轴对称性质及角转化|从图形翻折操作切入，建立折叠前后边角关系| |综合性问题|8道|多结论判断，涉及角平分线、中线等|综合应用三角形三线性质，强化知识整合| |最值问题|8道|动点路径与最短路径模型|结合将军饮马等模型，培养空间观念| |动点问题|8道|运动过程中等腰三角形、面积变化|动态分析变量关系，发展数学思维| |角平分线相关|8道|探究内外角数量关系|从三角形到四边形拓展，深化角的转化推理| |折叠角数量关系|8道|不同折叠位置（内/外部）角关系|进阶探究折叠情境下角的抽象规律|

专题01 三角形相关压轴题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 三角形相关折叠问题】 1 【类型2 三角形相关综合性问题】 6 【类型3 三角形相关最值问题】 17 【类型4 三角形相关动点问题】 25 【类型5 角平方线相关探究角的数量关系】 33 【类型6折叠相关探究角的数量关系】 52 【类型1 三角形相关折叠问题】 1．如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 2．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，点、点的对应点分别为点、点，连接、，平分，平分，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理和角平分线的概念得到，然后由折叠得到，求出，得，再由折叠的性质得，从而得出答案． 【详解】∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ 由折叠可得， ∴ ， ， 把沿对折， ， ． 故选：D． 3．将三角形纸片沿边折叠，使点A落在边上，交边于点E，再将边沿边折叠，此时刚好与完全重合，得到如图所示的图形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得到，结合平角的定义即可得到答案； 【详解】解：∵沿边折叠，使点A落在边上，交边于点E，边沿边折叠刚好与完全重合， ∴， ∵， ∴， 故选：B； 【点睛】本题考查折叠有关计算，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的角． 4．如图，在中，，将图形沿着折叠，点C落在上的点F处，再将图形沿折叠，点A正好落在的点G处，此时，则的度数为（    ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】设∠A=x°，利用等腰三角形性质以及折叠得到∠AGF=∠A=x°，∠GFB=∠GBF=90-，然后利用三角形外角性质列方程求解. 【详解】解：设∠A=x°， 由折叠知∠AGF=∠A=x°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC= ， 又折叠知∠BFC=∠C=90- ， ∴∠CBF=180°-∠C-∠BFC=x°， ∴∠GBF=∠ABC-∠FBC=90--x=90-, 又∵GB=GF， ∴∠GFB=∠GBF=90-, 又∵∠AGF=∠GFB+∠GBF， ∴x=2（90-）， 解得x=45， 故选择C. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及折叠性质，确定折叠前后的对应角相等是解决问题的关键. 5．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形内角和求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 6．如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的性质得到根据题意，得到再由图形翻折变换的性质得到，根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵ ，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ， ∴ ． 7．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得出 ，再根据平角的性质求出 ，利用角度的和差关系计算即可． 【详解】解：折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得出，，利用平角的定义推导出，从而求出的度数，最后根据三角形内角和定理及求解即可. 【详解】解：∵把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部点处， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴， ∴． 【类型2 三角形相关综合性问题】 9．如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（     ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到，再变形即可判断④． 【详解】解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵平分， ∴，即 ∵， ∴，故③正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ 又， 代入得 ∴， ∴，故④正确． ∴正确的为②③④． 10．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据，可得，据此可判断①；根据三角形内角和定理可得，再由平角的定义可得，则可得到，再根据，可得，据此可判断③；过点E作，则，由平行线的性质可得，则，即可得到，同理可得，则，据此可判断④；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解；∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故结论中正确的有①③④． 11．如图，等腰中，，是外角的平分线，的平分线交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由角平分线与外角的性质证明，可得，可判断②③符合题意，进一步可判断①符合题意，由题干现有条件无法得到可判断④不符合题意． 【详解】解：∵是外角的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②③符合题意； ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①符合题意； 题干现有条件无法得到，故④不符合题意． 12．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 13．如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，垂直于，交于点G，交于点H．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据垂直的定义、对顶角相等及直角三角形两锐角互余判断①；根据三角形外角的性质及角平分线的定义判断②；根据三角形内角和定理、角平分线及高线的性质推导角度关系判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ，， ，． ，． ， ，故①正确； 平分， ． 是的外角， ． ． 是的外角， ． ． ，故②正确； ，， ，故③正确； ， 在中，， ． ， ． ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个． 14．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，逐项判断，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵分别为的外角， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵为的外角， ∴， 即，故③正确； ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①②③④，共4个． 15．如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 16．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点．下列结论①；②；③平分．其中正确的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①错误；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分，故③不正确； 综上，正确的结论为②，共1个． 【类型3 三角形相关最值问题】 17．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 18．如图，，，，，点P是直线上一个动点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，的值最小，利用等积法即可求出的长． 【详解】解：点到直线的距离，垂线段最短， 当时，线段的值最小， 在中，，，，， ， 即， ． 19．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 21．如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短，角平分线的性质． 作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 12 ∴ ∴，即的最小值为6， 故选D． 22．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度． 由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 【详解】的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 23．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三元一次方程组的应用，过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 设，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 联立， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小为． 故选：D． 24．如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∵，． ∴, ∴的最小值为6， 故选B． 【类型4 三角形相关动点问题】 25．如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 26．如图，在中，，动点以的速度从向移动，（不与重合），动点以的速度从向移动，（不与重合），现同时出发，则经过_______秒后，是等腰三角形． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等腰三角形的定义；可用表示出，，，由于，当是等腰三角形，则只有一种可能，据此列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设秒后是等腰三角形，则，，， 解得： 故答案为：． 27．如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：4． 28．如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是______s．    【答案】或 【分析】分点P在O点左边及右边两类讨论，根据等腰列式求解即可得到答案； 【详解】解：①当点P在O点左边时，设时间为t，    ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，解得， 当点P在O点右边时，设时间为t，    ∵，是等腰三角形， ∴， ∴，解得： 故答案为：或； 【点睛】本题考查动点围城等腰三角形问题，解题的关键是注意分类讨论列等式求解． 29．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 【答案】4或11 【分析】根据中线的性质可得，然后分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． 30．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 31．如图，在中，，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质．设，由折叠的性质可求，，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：设， ∵沿直线翻折得到， ∴，，， ∴， 当，则， ∴， ∴， 当，则， ∴， ∴； 如图， 由折叠可知，， 此时，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 综上，的度数或或． 故答案为：或或． 32．如图，在中，，点D，E分别为边，上的动点，，，当取最小值时，写出与满足的关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决最短路径问题、垂线段的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 如图：作点E关于的对称点，又，则点E的轨迹为以为腰、为高的等腰三角形的另一边上，连接，进而说明当时最小，连接交于则关于的对称点在上，再根据直角三角形的性质说明，再根据轴对称的性质得到，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图：作点E关于的对称点，连接， ∵， ∴点E的轨迹为以为腰、为高的等腰三角形的另一边上， ∴，， ∴， 由垂直线段最短可知：当时，最小，即最小， 如图：连接交于，则关于的对称点在上， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于的对称点， ∴， ∴， ∴当取最小值时，写出与满足的关系式． 故答案为：． 【类型5 角平方线相关探究角的数量关系】 33．【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 (1)如图，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是________，并加以证明； ②若，的平分线，相交于点，直接写出与之间的数量关系是________； 【迁移拓展】 (2)如图，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是________； ②如图，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是________． 【答案】(1)①； 证明：∵，是的两个外角． ∴ ∴； ② (2)①；② 【分析】（1）①根据三角形外角的性质以及三角形的内角和定理可得，即可得出； ②根据角平分线的定义得出，，结合①的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①连接，根据三角形的外角的性质可得，，进而可得 ②根据①的结论得出，，即可求解． 【详解】（1）①略 ②. 证明如下： ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴. （2）①如图，连接， ∵，是，的外角 ∴， ∴； 故答案为：． ②∵，， ∴ ∵，的平分线，相交于点， ∴ 由①可得， ∴ 34．【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题： 如图①，在中，，平分，于点D，猜想与，之间的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 a 15 20 30 上表中______，于是得到与，之间的数量关系为____________． 【变式应用】 (2)小明继续研究，在图②中，，，其他条件不变，若把“于点D”改为“F是线段上一点，于点D”，求的度数，并直接写出与，之间的数量关系． 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B，C两个字母的位置，在图③中，若把（2）中的“F是线段上一点”改为“F是的延长线上一点”，其余条件不变，请画出图形，并直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)20，； (2)， (3)画图如下： ． 【分析】（1）求出和的大小即可得出的值，再通过找规律的形式得出三者的关系； （2）分别用和表示出和，即可得出答案； （3）分别用和表示出和，即可得解． 【详解】（1）解：∵于点D， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 于是得到与，之间的数量关系为； （2）解：如图，过点作于点．      ，， ． ．      ，， ，．      平分， ．      ， ，．      （3）解：如图，过点作于点． ，， ． ． 由（2）同理可得， ． 35．综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①30，45； ②，理由： 由①得； （2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）①根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可解答；②由①即可解答； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，则； 若，则； 故答案为：，； ②略 （2）的平分线及一个外角的平分线相交于点， ，． ， ． ， ． ， ． ． ； （3），理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 36．探究题：已知在中，．的平分线与的外角的平分线相交于点D，与边相交于点E，直线与直线相交于点F． (1)，如图1． ①当∠时，求和的大小； ②当∠时，直接写出和的大小； ③根据以上结论，发现当的大小改变时，和之间的数量关系保持不变．和之间的数量关系可用等式表示为 ． (2)，如图2，和之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)①，；② ， ；③ (2)． 理由如下： 设 因为， 所以， ； 因为， 所以， 因为 所以． 所以． 【分析】（1）根据角平分线的意义和三角形内角和定理求解即可； （2）设，求出；再求出 ，故可得出． 【详解】（1）解：①当 时， 因为 所以， 因为 是 的一个外角， 所以； 因为， 所以， 因为 所以， ②当 时， 因为 所以， 因为 是 的一个外角， 所以； 因为， 所以， 因为 所以， ③由上可得：； （2）略 37．求解下列各题： (1)【初步认识】如图1，在中，平分，平分．若，则____________；如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是_________． (2)【继续探索】如图3，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图4、是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，，交于点．请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)    ； (2) (3) 【分析】（1）如图1，由角平分线可得，，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图2，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由（1）、（2）的结论即可得出． 【详解】（1）解：如图1，，分别平分，， ，． 如图2，∵平分，平分外角， ∴，． ，， ． ∴ （2）解：，， ，， ． （3）解：由（1）得，， 由（2）得，， ∴， ∴． 38．【综合与探究】 (1)如图1，是和的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，是和外角的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为的平分线，为外角的平分线，它们相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵在中，， ∴； ∵是和的平分线且相交于点， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵是和外角的平分线且相交于点， ∴， ∴， ∴； (3) 解：，理由如下： 由三角形外角的性质可得， ∵为的平分线，为外角的平分线， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义和平角的定义推出，则由三角形内角和定理可得答案； （3）由三角形外角的性质和角平分线的定义可推出，据此可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 39．（1）如图1，在中，，分别是，的平分线，，相交于点．探究与之间的数量关系．（需要写出证明过程） （2）如图2，，分别是的外角，的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （3）如图3，在中，是的平分线，是外角的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （4）如图4，，相交于点，，分别是，的平分线，，相交于点．直接写出与，之间的数量关系．（不需写出证明过程） 【答案】 （1），证明如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）由角平分线的定义可得：，，再根据三角形的内角和求解即可； （2）由角平分线的定义可得：，，根据平角的定义得到：，，推出，，最后根据三角形的内角和求解即可； （3）由角平分线的定义可得：，，根据平角的定义得到：，推出，进而得到，最后根据，即可求解； （4）由角平分线的定义可得：，，根据三角形的外角性质可得： ，，即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2），证明如下： ，分别是的外角，的平分线， ，，，， ，， ， ， ， ， ， , ； （3），证明如下： 是的平分线，是外角的平分线， ，， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4），证明如下： ，分别是，的平分线， ，， 由题意得：，， ， 又，， ， ． 40．已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 【答案】 解：，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于，设与交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ，， 又， ， 即：， 整理，得：， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： ，为与的平分线， 可设，， 由可知：， 即：， ， 根据四边形的内角和等于，得：， 即：， 将代入上式，得：， ， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于， ，是与的平分线， 可设，， 在中，， 即：， ， 由可知：， 即：， 由邻补角互补可得：， 是的一个外角， ， ， 将代入上式，得：， 即：， 答：，与之间的数量关系是：． 【分析】延长交于，设与交于点，由三角形外角的性质可得，，进而可得，再根据角平分线的定义可得，，由三角形的内角和定理可得，据此即可得出结论； 根据，是与的平分线，可设，，由可知，即，则，根据四边形的内角和等于可得，即，将代入整理即可得出结论； 延长交于，根据，是与的平分线，可设，，在中，利用三角形的内角和定理可得，由可知，即，由邻补角互补可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，将代入整理即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的有关计算，三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，等式的性质，利用邻补角互补求角度等知识点，准确识图，理解角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理及三角形外角的性质进行计算是解题的关键． 【类型6折叠相关探究角的数量关系】 41．已知是一张三角形的纸片． (1)如图①，沿折叠，使点落在边上点的位置，与的之间存在怎样的数量关系？为什么？ (2)如图②所示，沿折叠，使点落在四边形的内部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？ (3)如图③，沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据翻折的性质，可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解答即可； （2）根据翻折的性质和平角的定义，用、表示出和，再根据三角形的内角和定理，列式整理，即可得解； （3）根据翻折的性质，可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式整理，即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点沿折叠落在点的位置， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：，理由见如下： ∵点沿折叠落在点的位置， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 整理得：； （3）解：，理由如下： 如图，    ∵点沿折叠落在点的位置， ∴， ∵，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了翻折的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在理清图形中角之间的数量关系． 42．（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 由由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵，，，， ∴， 同理：，， ∴， （3）； （4）． 【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可； （2）根据折叠性质和三角形内角和即可； （3）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可； （4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可． 【详解】（1）由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：， （2）略 （3）根据(2)可知：，， 如图3，∵，， ∴， ∴， 故答案为：， （4）根据（2）（3）可知：，，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 43．如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠得出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，即可求解； （2）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，推得，故，即可求解； （3）根据折叠的性质可得，交于点，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，，推得，即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得， 在中，， 即； （2）解：， 理由：根据折叠的性质可得，，， ∵， 故， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：． 理由：根据折叠的性质可得， 交于点，如图： 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 44．如图，一个等腰三角形纸片，其中． (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1) 解：∵在中，， ∴． 由折叠，可知， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． (2) 解：． 理由如下：如图，连接， 则，分别是和的外角， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴． (3) 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形外角的性质，平行线的判定知识，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）由折叠的性质得，由已知得出，推出，即可得到结论； （2）连接，由三角形外角的性质可得，， 再由翻折的性质即可得出结果； （3）设与相交于点O，由三角形外角的性质可得，，再由翻折的性质即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）． 如图，设与相交于点O， 则是的外角，是的外角， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 45．【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 【答案】（1）45，40； （2）， ． 是的外角， ， ． 又由折叠可知，， ． 同理：． ． ， 即． （3）①；② 【分析】（1）利用三角形外角，等腰三角形的判定与性质进行计算即可； （2）利用三角形和轴对称图形的知识进行证明即可； （3）①由三角形外角得，，故，即，再换算即可． ②由三角形外角得，，故，又，再换算即可． 【详解】解：问题解决（1），若点恰好与点重合， 为等腰直角三角形， ； ， ， ， 故答案为：45，40； （2）略 迁移应用（3）①， 理由： ，， ， ， 即， ， ． ②如图： ，， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称图形，三角形外角性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，利用对称是解答关键． 46．发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【答案】 （1），理由如下： 由折叠可知， ，，． ， ，， ． ， ， ． 故与的关系是：． （2） （3）， 证明：，， ，． ， ， ， ， 即． 又， ， 即． 【分析】本题主要考查三角形的折叠问题，熟知三角形的内角和定理的折叠的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，结合整体思想即可解决问题． （2）根据（1）中结论求出的度数，再根据三角形内角和定理得出的度数，最后用整体思想即可解决问题． （3）根据与及与的关系即可解决问题． 【详解】解：略 ，， ， ， ． 平分，平分， ，， ， ． 略 47．在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在上，将沿着折叠，点A落在点处，记为，为． (1)如图1，当点在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】(1) 解：，理由如下： 连接 ∵∠1是的外角， ∴． 同理，． ∴． 由折叠性质得． ∴． (2) 解：，证明如下： 连接， ∵∠1是的外角， ∴． 同理，． ∴． 由折叠性质得． ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，折叠的性质： （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，，故，再由折叠可得：即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 48．综合与探究 一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点． (1)如图1，若，则______°，______°． (2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系． 【答案】(1)45，135 (2) 解：，理由如下： 由折叠的性质可得，，， 由题意知，，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； (3)不成立， 【分析】（1）如图1，记与的交点为，由折叠的性质可得，由，可得，，则，，计算求解即可； （2）由折叠的性质可得，，，由题意知，，，由，可得，整理得，； （3）由折叠的性质可得，，，由题意知，，，由，可得，整理得，． 【详解】（1）解：如图1，记与的交点为， 由折叠的性质可得， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：45，135； （2）略 （3）解：不成立，； 由折叠的性质可得，，， 由题意知，，， ∵， ∴， 整理得，， ∴． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形相关压轴题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 三角形相关折叠问题】 1 【类型2 三角形相关综合性问题】 3 【类型3 三角形相关最值问题】 5 【类型4 三角形相关动点问题】 8 【类型5 角平方线相关探究角的数量关系】 10 【类型6折叠相关探究角的数量关系】 15 【类型1 三角形相关折叠问题】 1．如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，点、点的对应点分别为点、点，连接、，平分，平分，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 3．将三角形纸片沿边折叠，使点A落在边上，交边于点E，再将边沿边折叠，此时刚好与完全重合，得到如图所示的图形，则（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，，将图形沿着折叠，点C落在上的点F处，再将图形沿折叠，点A正好落在的点G处，此时，则的度数为（    ） A．25 B．35 C．45 D．55 5．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【类型2 三角形相关综合性问题】 9．如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（     ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 10．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 11．如图，等腰中，，是外角的平分线，的平分线交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 12．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 13．如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，垂直于，交于点G，交于点H．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 16．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点．下列结论①；②；③平分．其中正确的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【类型3 三角形相关最值问题】 17．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 18．如图，，，，，点P是直线上一个动点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 20．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 21．如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 22．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 23．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 24．如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【类型4 三角形相关动点问题】 25．如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 26．如图，在中，，动点以的速度从向移动，（不与重合），动点以的速度从向移动，（不与重合），现同时出发，则经过_______秒后，是等腰三角形． 27．如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 28．如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是______s．    29．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 30．如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 31．如图，在中，，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______． 32．如图，在中，，点D，E分别为边，上的动点，，，当取最小值时，写出与满足的关系式__________． 【类型5 角平方线相关探究角的数量关系】 33．【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 (1)如图，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是________，并加以证明； ②若，的平分线，相交于点，直接写出与之间的数量关系是________； 【迁移拓展】 (2)如图，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是________； ②如图，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是________． 34．【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题： 如图①，在中，，平分，于点D，猜想与，之间的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 a 15 20 30 上表中______，于是得到与，之间的数量关系为____________． 【变式应用】 (2)小明继续研究，在图②中，，，其他条件不变，若把“于点D”改为“F是线段上一点，于点D”，求的度数，并直接写出与，之间的数量关系． 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B，C两个字母的位置，在图③中，若把（2）中的“F是线段上一点”改为“F是的延长线上一点”，其余条件不变，请画出图形，并直接写出与，之间的数量关系． 35．综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 36．探究题：已知在中，．的平分线与的外角的平分线相交于点D，与边相交于点E，直线与直线相交于点F． (1)，如图1． ①当∠时，求和的大小； ②当∠时，直接写出和的大小； ③根据以上结论，发现当的大小改变时，和之间的数量关系保持不变．和之间的数量关系可用等式表示为 ． (2)，如图2，和之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由． 37．求解下列各题： (1)【初步认识】如图1，在中，平分，平分．若，则____________；如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是_________． (2)【继续探索】如图3，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图4、是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，，交于点．请直接写出，与之间的数量关系． 38．【综合与探究】 (1)如图1，是和的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，是和外角的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为的平分线，为外角的平分线，它们相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 39．（1）如图1，在中，，分别是，的平分线，，相交于点．探究与之间的数量关系．（需要写出证明过程） （2）如图2，，分别是的外角，的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （3）如图3，在中，是的平分线，是外角的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （4）如图4，，相交于点，，分别是，的平分线，，相交于点．直接写出与，之间的数量关系．（不需写出证明过程） 40．已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 【类型6折叠相关探究角的数量关系】 41．已知是一张三角形的纸片． (1)如图①，沿折叠，使点落在边上点的位置，与的之间存在怎样的数量关系？为什么？ (2)如图②所示，沿折叠，使点落在四边形的内部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？ (3)如图③，沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？ 42．（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； 43．如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 44．如图，一个等腰三角形纸片，其中． (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． 45．【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 46．发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 47．在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在上，将沿着折叠，点A落在点处，记为，为． (1)如图1，当点在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 48．综合与探究 一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点． (1)如图1，若，则______°，______°． (2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $