专题06 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）（几何模型讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学讲义以圆的八大辅助线模型为核心，通过“模型提炼与证明—典例运用—易错点总结”的框架系统梳理知识，用图文结合方式呈现垂径定理、切线性质等核心定理与辅助线作法的内在联系，突出构造直角三角形、转移等角的底层逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固模型应用，B组提升题强化综合运用，C组压轴题对接中考真题，如切线证明题结合“有点连半径证垂直”技巧，培养几何直观与推理意识，易错点总结和记忆口诀帮助学生规避误区，教师可据此实施精准分层教学，提升复习效率。

专题06 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 圆的八大辅助线模型是解决圆综合题的工具类模型，圆综合大题的难点不在于定理记忆，而在于何时添加哪条辅助线。八大模型覆盖圆基础性质、圆周角圆心角、切线、弦长、直径、圆内接四边形、最值等高频场景，是各地中考、模拟考几何压轴（圆综合）的核心知识。 核心底层逻辑：构造直角三角形、构造等角、转移角度 / 线段。圆里绝大多数辅助线，目标都是造出直角或者相等角。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 2 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 5 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 7 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 10 模型5、遇90°的圆周角连直径 12 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 14 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 16 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 19 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 32 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦（非直径）的直径垂直于弦； 2）圆周角定理：同弧所对圆周角相等；圆周角 =½ 圆心角；直径所对圆周角= 90°； 3）切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线判定定理； 4）圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角； 5）两圆位置关系：相交两圆连心线垂直平分公共弦；相切两圆连心线过切点。 模型1.遇弦连半径（构造等腰三角形） 【模型提炼与证明】 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【典例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，若，则的度数为 ． 【典例3】（2026·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 【典例4】（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 模型2.遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型提炼与证明】 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 【模型运用】 【典例1】（2025·广东·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【典例2】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【典例3】（2025·湖北·三模）如图，为的弦，．若点C为上一点，且，则的长为 ．（结果保留π） 【典例4】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 模型3.遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 【模型提炼与证明】 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 【模型运用】 【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·河南商丘·三模）如图，是的外接圆，，已知的半径的长为，则的长为（    ） A． B．6 C． D．3 【典例3】（2025·吉林·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π） 模型4.遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 【模型提炼与证明】 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【典例2】（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 【典例3】（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 模型5.遇90°的圆周角连直径 【模型提炼与证明】 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____．    【典例2】（2025·河南驻马店·一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分的面积为_________． 模型6.遇切线连圆心和切点（构造垂直） 【模型提炼与证明】 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 【模型运用】 【典例1】（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（2026·江西抚州·模拟预测）赣超比赛的圆形裁判区为，半径，是的直径，弦于点B．球员从点A出发沿赛场直线行进至点D，过点D作的切线交的延长线于点F． 赣超圆形裁判区几何示意图。(1)求证：；(2)若，求线段的长． 模型7.证明切线的辅助线（证垂直或直角） 【模型提炼与证明】 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 【模型运用】 【典例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． 【典例2】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长；(2)求证：是的切线． 模型8.遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 【模型提炼与证明】 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 【模型运用】 【典例1】（2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    【典例2】（2023年攀枝花中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 模型常见易错点 1）垂径定理，忘记 “平分弦（不是直径）” 前提 解决方案：看到弦，优先判断弦是否为直径；只有非直径弦才满足这个推论。做计算题，画图标注直角、中点。 2）证明切线，两种场景混淆 有交点，却作垂线证半径；无交点，强行连半径证垂直。 解决方案：有点就连半径证垂直，无点就作垂线证半径，做题第一步先看直线和圆有没有已知公共交点。 3）直径模型，只记住直角，但找不到圆周上那个点 解决方案：题目出现直径，主动找圆上动点，连接两端点构造直角三角形，是计算线段、三角函数首选。 4）两圆相交漏画公共弦；相切忘记连心线过切点 解决方案：题干出现两个圆相交 / 相切，第一反应先画公共弦（相交）或连心线（相切），公共弦是跨圆倒角桥梁。 5）圆周角定理，看错弧，找错对应的圆心角 解决方案：找角的时候，看角两边与圆的交点，锁定弧，不要凭肉眼估角。 解题方法总结 解题步骤： 1）读题圈关键词：弦 / 直径 / 切线 / 两圆相交 / 相切 / 圆内接四边形 2）匹配八大模型，确定辅助线类型； 3）画出辅助线，标记直角、等角、等线段； 4）利用圆定理倒角，得到相似 / 全等； 5）直角三角形内，勾股、三角函数列式计算。 记忆口诀： 见弦作垂径，见径构直角； 切线连半径，证切分两点； 相交公共弦，相切连心线； 圆周找同弧，内接对角补。 1．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026山东枣庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点，与y轴分别交于点与点，则的直径是（     ） A．10 B． C． D．20 3．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 4.（2025·浙江·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 7．（2026·湖南长沙·三模）如图，是的直径，弦于点，若，，则的直径为_________． 8．（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 1.（2025·山东青岛·模拟预测）将量角器按如图所示的方式放置在等腰直角三角板ABC上，使点B在半圆上，一条直角边AC与半圆相切于点D，斜边AB交半圆于点E，若B，E点的刻度分别是180°，30°，则点D处的刻度为（   ） A．58° B．59° C．60° D．61° 2.（2026·广西百色·三模）如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 3.（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 4.（2025·广东深圳·三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 ．（结果保留） 5.（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．(1)求证：直线是的切线；(2)已知，求的长（结果保留）． 6.（2025·河南郑州·三模）如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作,恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D，小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示，请你用尺规作图：作出点O与点D,并补全. （2）推理与计算：在（1）的条件下，若 ①求证：直线是的切线；②若则半径的长度为 。 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 3.（2026·广东佛山·三模）如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 4.（2025·成都·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为 ． 5.（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线；(2)若，求的半径． 6．（2026·广西·中考真题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点．(1)求证：平分；(2)如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 7．（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：；(2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 圆的八大辅助线模型是解决圆综合题的工具类模型，圆综合大题的难点不在于定理记忆，而在于何时添加哪条辅助线。八大模型覆盖圆基础性质、圆周角圆心角、切线、弦长、直径、圆内接四边形、最值等高频场景，是各地中考、模拟考几何压轴（圆综合）的核心知识。 核心底层逻辑：构造直角三角形、构造等角、转移角度 / 线段。圆里绝大多数辅助线，目标都是造出直角或者相等角。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 2 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 5 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 7 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 10 模型5、遇90°的圆周角连直径 12 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 14 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 16 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 19 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 32 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦（非直径）的直径垂直于弦； 2）圆周角定理：同弧所对圆周角相等；圆周角 =½ 圆心角；直径所对圆周角= 90°； 3）切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线判定定理； 4）圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角； 5）两圆位置关系：相交两圆连心线垂直平分公共弦；相切两圆连心线过切点。 模型1.遇弦连半径（构造等腰三角形） 【模型提炼与证明】 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，∴，∴劣弧，故答案为：． 【典例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【详解】解：如图：连接，∵，∴， ∵，∴．故答案为：． 【典例3】（2026·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，∵，∴，故选：D． 【典例4】（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵为等边三角形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴，故选：C． 在中，，．故选：B． 模型2.遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型提炼与证明】 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 【模型运用】 【典例1】（2025·广东·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，， 的半径为，圆心到的距离为，，， ，．故选C． 【典例2】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，，∵，∴，∴， 在中，，∴， 设半径为R，在中，， 由勾股定理得，，即，解得．故选：A． 【典例3】（2025·湖北·三模）如图，为的弦，．若点C为上一点，且，则的长为 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：连接，，作，垂足为H， 因为，，， 在等腰中，，，， 则的长为． 【典例4】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，∴，， ∴，∴，， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∴图中阴影部分的面积是．故选：B． 模型3.遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 【模型提炼与证明】 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 【模型运用】 【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解；如图所示，连接， ∵四边形为的内接四边形，， ∴，∴， ∵，∴，故选：A． 【典例2】（2025·河南商丘·三模）如图，是的外接圆，，已知的半径的长为，则的长为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】C 【详解】解：连接，则， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故选：C． 【典例3】（2025·吉林·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：连接、， ∵，∴，∴的长为．故答案为：． 模型4.遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 【模型提炼与证明】 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，是的直径，， 和所对的弧为，， 在中，，．故选：B． 【典例2】（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图： ∵是的直径，∴，∵，，∴， 在中，，∴，．故选：D． 【典例3】（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵是的直径，∴，即． ∵，∴，∴， ∵，∴的半径为1，∴劣弧的长．即劣弧的长为，故答案为：． 模型5.遇90°的圆周角连直径 【模型提炼与证明】 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____．    【答案】13 【详解】解：连接，∵，且是圆周角，∴是圆形镜面的直径，    由勾股定理得：，所以圆形镜面的直径为，故答案为：13． 【典例2】（2025·河南驻马店·一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，交于点，∵ ，∴是直径， ∴，∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ， ∴改建后门洞的圆弧长是，故选：C． 【典例3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【详解】解：连接，∵，∴是直径，根据同弧所对的圆周角相等得， ∵点B坐标为，∴，∴，，即圆的半径为4，∴．故答案为：． 模型6.遇切线连圆心和切点（构造垂直） 【模型提炼与证明】 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 【模型运用】 【典例1】（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，是的切线，，， ，，． 【典例2】（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵的半径为，∴的长为：． 【典例3】（2026·江西抚州·模拟预测）赣超比赛的圆形裁判区为，半径，是的直径，弦于点B．球员从点A出发沿赛场直线行进至点D，过点D作的切线交的延长线于点F． 赣超圆形裁判区几何示意图。(1)求证：；(2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明：如图，连接，， 是的切线，即，可得： ， 又（都是的半径），， 是的直径，直径所对圆周角为直角， ，即 ． （2）解：∵，∴， ∵半径，∴在中：， ∴，由（1）得， ∵，∴，∴， ∵，， ∴，即，设，则， 在中，由勾股定理，其中， 代入得：整理得， 解得（舍去），即． 模型7.证明切线的辅助线（证垂直或直角） 【模型提炼与证明】 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 【模型运用】 【典例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）方法一：证明：过点作于点，，， 与相切于点，，， ，，，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 方法二：证明：过点作于点，与相切于点，， ，是的平分线，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 【典例2】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长；(2)求证：是的切线． 【详解】（1）解：连接， ∵半径为，∴，∵，∴， ∵，为直径，∴，， 在中，，∴； (2)证明：连接，∵点在的垂直平分线上，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵是半径，∴是的切线。 模型8.遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 【模型提炼与证明】 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 【模型运用】 【典例1】（2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    【答案】6 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，故答案为：6． 【典例2】（2023年攀枝花中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，， 切于，，，，同理：，， ， ，，故选A 【典例3】（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，∴， ∴，， ∴，∴．故选：D． 模型常见易错点 1）垂径定理，忘记 “平分弦（不是直径）” 前提 解决方案：看到弦，优先判断弦是否为直径；只有非直径弦才满足这个推论。做计算题，画图标注直角、中点。 2）证明切线，两种场景混淆 有交点，却作垂线证半径；无交点，强行连半径证垂直。 解决方案：有点就连半径证垂直，无点就作垂线证半径，做题第一步先看直线和圆有没有已知公共交点。 3）直径模型，只记住直角，但找不到圆周上那个点 解决方案：题目出现直径，主动找圆上动点，连接两端点构造直角三角形，是计算线段、三角函数首选。 4）两圆相交漏画公共弦；相切忘记连心线过切点 解决方案：题干出现两个圆相交 / 相切，第一反应先画公共弦（相交）或连心线（相切），公共弦是跨圆倒角桥梁。 5）圆周角定理，看错弧，找错对应的圆心角 解决方案：找角的时候，看角两边与圆的交点，锁定弧，不要凭肉眼估角。 解题方法总结 解题步骤： 1）读题圈关键词：弦 / 直径 / 切线 / 两圆相交 / 相切 / 圆内接四边形 2）匹配八大模型，确定辅助线类型； 3）画出辅助线，标记直角、等角、等线段； 4）利用圆定理倒角，得到相似 / 全等； 5）直角三角形内，勾股、三角函数列式计算。 记忆口诀： 见弦作垂径，见径构直角； 切线连半径，证切分两点； 相交公共弦，相切连心线； 圆周找同弧，内接对角补。 1．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵∴∴ ∴ ∴∴． 2．（2026山东枣庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点，与y轴分别交于点与点，则的直径是（     ） A．10 B． C． D．20 【答案】D 【详解】解：如图，连接，作于H． ∵与x轴相切于点，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴，∵、，∴， ∵，∴， ∴，则的直径是20． 3．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， 直线与相切于点，，，，，， 的半径为，，， ，． 4.（2025·浙江·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E，∴，，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 5．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，，根据勾股定理得：， 即：，解得：；故圆形工件的半径为 ， 6．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·湖南长沙·三模）如图，是的直径，弦于点，若，，则的直径为_________． 【答案】20 【详解】解：连接，设的半径为，则，∵，∴， ∵是的直径，弦于点，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴，解得，∴的直径为. 8．（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵，∴ ∴∴ ∵∴ ∵点在上，∴为半径，∴直线是的切线． 1.（2025·山东青岛·模拟预测）将量角器按如图所示的方式放置在等腰直角三角板ABC上，使点B在半圆上，一条直角边AC与半圆相切于点D，斜边AB交半圆于点E，若B，E点的刻度分别是180°，30°，则点D处的刻度为（   ） A．58° B．59° C．60° D．61° 【答案】C 【详解】解：连接， 由题意，，，， ∵等腰直角形状的三角板ABC，，， ∵一条直角边AC与半圆相切于点D，， ，，．故选：C． 2.（2026·广西百色·三模）如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设圆的圆心为点，如图，连接， 由题意得，，， 设半径为，即，则， 在中，，即，解得，球的半径为：． 3.（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：连接、， ∵绳子分别与空竹相切于点C，D，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴弧的长度， ∴图中阴影部分的周长弧的长． 故答案为：． 4.（2025·广东深圳·三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：如图，连接，，交于O点， 由条件可知是直径，， 四边形是矩形，， ，，∴是等边三角形，， 门洞的圆弧所对的圆心角为， 改建后门洞的圆弧长是，故答案为：． 5.（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．(1)求证：直线是的切线；(2)已知，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， 且是的半径，∴直线是的切线； （2）解：在中，， ∴，设，∴，解得， ∵，∴的长为：． 6.（2025·河南郑州·三模）如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作,恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D，小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示，请你用尺规作图：作出点O与点D,并补全. （2）推理与计算：在（1）的条件下，若 ①求证：直线是的切线；②若则半径的长度为 。 【答案】（1）见解析（2）①见解析② 【详解】解：（1）点，点和即为所求作； （2）①如图，连接，由图可知，，∴，， ∵，∴，∴，∴直线是的切线； ②假设的半径为，则， 由①得，由勾股定理得，， 即，解得，∴半径的长度为，故答案为：． 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，交于点，过点O作，延长并延长交于点E， ∵四边形是矩形，∴，∴是直径， ，， ，，∴， ∴改建后门洞的高是，故选：B． 2．（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 【答案】 【详解】解：设与相切于点，连接并延长交于点，连接． 与相切于点，．四边形是正方形， ，，，，四边形为矩形， ，，为的中点，． 设的半径为，则，，． 在中，由勾股定理得，即， 整理得，解得，的半径为2.5． 3.（2026·广东佛山·三模）如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 【答案】4 【详解】解：过点作于点，延长交于点，，， ，，，即排水管内水的最大深度为4． 4.（2025·成都·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【详解】连接，∵，∴是直径，根据同弧对的圆周角相等得， ∵，∴，，即圆的半径为2， ∴．故答案为． 5.（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线；(2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，∵是的外接圆，是的直径， ∴，，∴，∵，∴， ∵的平分线交于点D，∴， ∴，∴，∴， ∵为的半径，∴是的切线； （2）解：设交于点，∵，，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴，，∴， 设的半径为，则：，， ∵，，∴，∴，∴，∴的半径为． 6．（2026·广西·中考真题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点．(1)求证：平分；(2)如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 【答案】(1)证明：连接，， ，，，， ，，，，，平分； （2）解：连接，，，过点作于点， ，，，为等腰直角三角形，， ，以为圆心，为半径的圆与相切于点，， ，均为等腰直角三角形，，， ，平分，， ，为等腰直角三角形，， ，，， ，，，， ，，． 7．（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：；(2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线，∴∵，∴∴ 又∵∴∴∴； (2)，证明：如图，连接，过点作于点， ∴；由（1）可得 又∵；∴；∴， ∵；∴，∴；∴ ∴，即 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $