专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学讲义以“圆中的翻折模型”为核心，通过历史演进与核心性质梳理构建知识体系，用框架图呈现轴对称性质、垂径定理等基础知识点，结合模型提炼与证明步骤，突出“弧翻折必出等腰”等重难点及与圆周角定理的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与“六步解题法”指导，A组基础题巩固性质应用，C组压轴题如弧翻折过圆心求半径（典例3），培养推理意识与几何直观。易错点总结帮助学生规避误区，教师可据此实施分层教学，支持不同层次学生提升。

专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 圆翻折模型是圆中轴对称类问题的核心载体，承接圆周角、垂径定理基础知识点，侧重考查几何变换思想。它常和四点共圆、圆内接四边形综合嵌套，出现在圆综合压轴的小问中。掌握圆翻折的不变量，学会转化折叠后的弧、角、弦，能够快速挖掘隐藏等角、等腰三角形，套用解题模板结合勾股计算线段长度。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 23 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 1）轴对称性质：折叠前后图形全等，对应弧相等，对应圆周角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2）圆周角定理：同弧 / 等弧所对圆周角相等； 3）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的弧 4）勾股定理：在半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形中列式计算 5）圆内接四边形对角互补、外角等于内对角 6）等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 7）弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 【模型提炼与证明】 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接．若，，则的长为 ． 【典例3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将弧沿弦翻折过圆心点，交弦于，，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【典例4】（25-26·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D．若，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 【典例5】（25-26·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（    ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【典例6】（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点，若，的度数为，则 ． 【典例7】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【典例8】（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 模型常见易错点 1）只看到线段折叠，忽略 “弧相等” 这一核心条件 错误：把翻折只当成三角形全等，看不到圆弧相等，无法进行圆周角转化。 正解：圆中的翻折，第一优先级是：等弧 ⇒ 等圆周角。 2）分不清折叠后的弧的位置，混淆内外圆周角 错误：依旧用原来的圆外角圆周角公式，没有替换成折叠后圆内的等角。 正解：翻折之后，弧进入圆内部，对应圆周角在弦的同侧，注意角度位置。 3）不会作弦心距，无法构造直角三角形 很多圆翻折计算题，必须作圆心向弦的垂线，依靠垂径定理建立直角三角形，学生缺少辅助线意识，只会观察原图。 4）翻折过圆心题型，错误判断弦心距长度 在弧折叠过圆心的题型中，弦心距不等于半径，而是半径的一半，极易代错数值，导致勾股方程出错。 5）大题只写结论，缺少弧相等的推导过程 几何书写扣分点：直接写角度相等，没有先说明 “由折叠得弧相等，故圆周角相等”，逻辑链条断裂。 解题方法总结 步骤 1：找折痕，定等弧：观察翻折的弦，写出：由折叠可知，两段弧相等。 步骤 2：角转化，做倒角：由等弧推得圆周角相等，完成角度代换，寻找等腰三角形。 步骤 3：作垂线，构造直角三角形：过圆心向折痕弦作垂线段，利用垂径定理平分弦、平分弧。 步骤 4：设未知数，表示边长：设圆半径为 r，用 r 表示弦心距、半弦长。 步骤 5：勾股定理列方程，求解计算：在 Rt△中列出方程，解出半径或者弦长。 步骤 6：整理作答，补齐几何书写过程。 1.（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 5.（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 6．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的直径为_________． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图，是的直径，，沿弦 折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 小鹿说：取弦和弦的中垂线的交点即可； 小鸣说：如图，只需作点关于弦的对称点，点即为所求； 小鹿说：这样看来，折叠后，切点E在直径上运动，可以看成'在直径上滚动； 小鸣说：所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是 ； 【拓展】如图，若切点为的中点，求弦的长． 1.（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 3．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，以为直径的半圆沿弦BC折叠后，与相交于点D．若，则 ． 4．（24-25九年级下·山东威海·期中）如图，在中，直径，C是圆上一点，将弧沿折叠，折叠后的弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为_______． 5.（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为 ． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，在中，点C、D在优弧上，将弧沿折叠后，点D的对应点E刚好落在弦上，连接． (1)证明：；(2)连接，若，求的半径． (3)用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图2，点P为内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕，使折叠后圆弧经过点O、P（保留痕迹，给出必要的文字说明）． 7.（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________． 2.（2026·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 3．（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为__________． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小明通过近期的学习发现，与圆有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个系列探究活动． (1)【初步尝试】如图1，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，已知，求的度数； 小明在解决这个问题时发现：解决圆的翻折问题有一个关键是翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆．这样一来，图1中易得． 请在小明的“发现”的提示下，求出的度数； (2)【深入探究】如图2，在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，若已知的半径为5，且． ①求此时的长；②直径上方半圆的中点为P，弧的中点为Q，连接，则的长为 ______； (3)【思维进阶】如图3，在（2）的条件下，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，请直接写出的最小值． 5．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，半的直径为10，点C、D是半弧上的两点，将弧沿翻折．    (1)如图1，连接交翻折后的弧于点Q，连接、．判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，当时，求的长； (3)如图3，已知，连接交翻折后的弧于点Q，当点Q为的中点时，求长． 6.（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 7.（25-26九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 圆翻折模型是圆中轴对称类问题的核心载体，承接圆周角、垂径定理基础知识点，侧重考查几何变换思想。它常和四点共圆、圆内接四边形综合嵌套，出现在圆综合压轴的小问中。掌握圆翻折的不变量，学会转化折叠后的弧、角、弦，能够快速挖掘隐藏等角、等腰三角形，套用解题模板结合勾股计算线段长度。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 23 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 1）轴对称性质：折叠前后图形全等，对应弧相等，对应圆周角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2）圆周角定理：同弧 / 等弧所对圆周角相等； 3）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的弧 4）勾股定理：在半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形中列式计算 5）圆内接四边形对角互补、外角等于内对角 6）等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 7）弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 【模型提炼与证明】 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折可得，，，∴， ∴．故选：C． 【典例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】7 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， 和是圆周角所对的弧，，， 是直径，，， ，， ，，， ，．故答案为：7． 【典例3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，将弧沿弦翻折过圆心点，交弦于，，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】过点作于，过点作于，连接、、、， ，，，， ，，为等边三角形， ，，，， 故选：B． 【典例4】（25-26·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D．若，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设折叠后的所在的圆心是，连接，， ∴，连接，，同理，，∴． ∵和是等圆，∴．设的半径是r，过点O作于点G． ∵，，∴，， ∴，∴．过点A作于点M， ∵，设，则． ∵D是的中点，∴，∴． ∵，，∴．在中，， ∴，解得，∴，． 在中，．∵，∴．故选：D． 【典例5】（25-26·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（    ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，，设， ，，， ，，， ， ∵是直径，，， ，，，故选：C． 【典例6】（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点，若，的度数为，则 ． 【答案】 【详解】解：作点O关于的对称点，作点D关于的对称点，连接， 根据题意，得，故为所在圆的圆心， 又的度数为，故，∴，∴，∴， ∴，∴，∴的长为：，故答案为：． 【典例7】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，∵是的中点，∴，故A正确， ∵∴，故B正确，∴， ∵∴又∵，∴是等腰直角三角形， ∴，∴矩形是正方形，∴， 又∵，∴∴∴ ∴是等腰直角三角形，∴，故C正确∴，故D不正确故选：D． 【典例8】（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）设点D关于弦的对称点为F，连接，交于点E，则， 因为，所以，设，则， 根据勾股定理，得，解得，故圆的半径r为1． （2）设点D关于弦的对称点为F，连接，， 根据题意，得，，所以，所以； 因为为直径，所以， 所以． （3）如图，连接，，过点C作于点G，根据（2）得到，所以， 因为，，所以，， 所以，所以，， 所以，， 所以． 模型常见易错点 1）只看到线段折叠，忽略 “弧相等” 这一核心条件 错误：把翻折只当成三角形全等，看不到圆弧相等，无法进行圆周角转化。 正解：圆中的翻折，第一优先级是：等弧 ⇒ 等圆周角。 2）分不清折叠后的弧的位置，混淆内外圆周角 错误：依旧用原来的圆外角圆周角公式，没有替换成折叠后圆内的等角。 正解：翻折之后，弧进入圆内部，对应圆周角在弦的同侧，注意角度位置。 3）不会作弦心距，无法构造直角三角形 很多圆翻折计算题，必须作圆心向弦的垂线，依靠垂径定理建立直角三角形，学生缺少辅助线意识，只会观察原图。 4）翻折过圆心题型，错误判断弦心距长度 在弧折叠过圆心的题型中，弦心距不等于半径，而是半径的一半，极易代错数值，导致勾股方程出错。 5）大题只写结论，缺少弧相等的推导过程 几何书写扣分点：直接写角度相等，没有先说明 “由折叠得弧相等，故圆周角相等”，逻辑链条断裂。 解题方法总结 步骤 1：找折痕，定等弧：观察翻折的弦，写出：由折叠可知，两段弧相等。 步骤 2：角转化，做倒角：由等弧推得圆周角相等，完成角度代换，寻找等腰三角形。 步骤 3：作垂线，构造直角三角形：过圆心向折痕弦作垂线段，利用垂径定理平分弦、平分弧。 步骤 4：设未知数，表示边长：设圆半径为 r，用 r 表示弦心距、半弦长。 步骤 5：勾股定理列方程，求解计算：在 Rt△中列出方程，解出半径或者弦长。 步骤 6：整理作答，补齐几何书写过程。 1.（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴，∴，在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心，∴，故选：A． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设点的对称点为点，连接，则：， ∵是的直径，∴，∵，∴， ∵四边形为圆内接四边形，∴，∴；故选C． 3.（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点O作，如图所示，由折叠性质可知，∴， 在中，∵，∴，∵，∴， ∵，经过圆心，∴，故选：A． 4.（25-26九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 【答案】 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形， ∵，∴，∴． 5.（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，；∴，∵是直径，∴； ∵四边形是圆内接四边形，∴， ∴，故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的直径为_________． 【答案】 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， 和是圆周角所对的弧，，， 是直径，，．故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图，是的直径，，沿弦 折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 小鹿说：取弦和弦的中垂线的交点即可； 小鸣说：如图，只需作点关于弦的对称点，点即为所求； 小鹿说：这样看来，折叠后，切点E在直径上运动，可以看成'在直径上滚动； 小鸣说：所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是 ； 【拓展】如图，若切点为的中点，求弦的长． 【答案】；平行； 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∵是折叠得到，∴与的半径相等，即半径为，故答案为：； 探究：连接，则， ∵的半径为，∴， 即到的距离始终为， ∴点的运动路线和直径的位置关系是平行，故答案为：平行； 拓展：设与交于点，连接，，如图，则，， 根据轴对称可得，，∴， ∵是的中点，，∴， ∴， ∵，∴在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵，∴，∵，∴在直角三角形中， 由勾股定理得：，∴． 1.（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作点关于直线的对称轴点，连接，，如图，  为直径，，，， 四边形是圆内接四边形，， ，，故选：A． 2.（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形， ∵是的中点，，∴，故A选项正确， ∵，∴，故C选项正确，∴， ∵，∴，又∵，，∴是等腰直角三角形， ∴，，∴矩形是正方形，∴， 又∵，∴，∴∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，故D选项正确， 则无法证明点为的中点，故B选项错误，故选：B． 3．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，以为直径的半圆沿弦BC折叠后，与相交于点D．若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为，连接，．则，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴故答案为： 4．（24-25九年级下·山东威海·期中）如图，在中，直径，C是圆上一点，将弧沿折叠，折叠后的弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】/ 【详解】解：过点作于点，交于点，连接， 则点是的中点，由折叠的性质可得点为的中点，， 在中，，，，即， ，，， 连结，由折叠可知，又，是等边三角形， ，， ，，故答案为：． 5.（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，，作于点，由折叠的性质得，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∵E是的中点，∴， ∵为半圆O的直径，∴，∴， ∵恰好经过圆心O，∴，是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，在中，点C、D在优弧上，将弧沿折叠后，点D的对应点E刚好落在弦上，连接． (1)证明：；(2)连接，若，求的半径． (3)用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图2，点P为内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕，使折叠后圆弧经过点O、P（保留痕迹，给出必要的文字说明）． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，垂直平分，， ，，； （2）解：连接交于，连接，如图： 设的半径为，由（1）得：，，， ，，，， 在中，由勾股定理得：，解得：，即的半径为； （3）解：如图，折痕，即为所求， 7.（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【答案】(1)，；(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合，∴， 在中，，即，解得； ∴，即，∵， ∴，∴弧的长为． （2）解：如图2，连接，∵是直径，∴ ∵，∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴，∴，∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、，∵，∴的半径为， 由（2）知：，∵，∴， ∴，∴，∴ 在中，， 在中，． 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________． 【答案】 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， 如图，连接、，作于， ， ∴，∴， ∵的度数为，∴，∵，∴、都是等腰直角三角形， ∴，设，则， ∴，∴，故答案为：． 2.（2026·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 【答案】 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接， 则，∵ 的度数为，∴，∴， ∴，∴， ∴的长度为，∴ 的长度为．故答案为：． 3．（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为__________． 【答案】2 【详解】解：过点O作于点E，连接， ∴，∵，∴在中，． 连接，则，∴的最小值为．连接，， ∵和所对圆周角都是，∴，∴， ∵点C是的中点，∴，∴，∴的最小值为． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小明通过近期的学习发现，与圆有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个系列探究活动． (1)【初步尝试】如图1，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，已知，求的度数； 小明在解决这个问题时发现：解决圆的翻折问题有一个关键是翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆．这样一来，图1中易得． 请在小明的“发现”的提示下，求出的度数； (2)【深入探究】如图2，在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，若已知的半径为5，且． ①求此时的长；②直径上方半圆的中点为P，弧的中点为Q，连接，则的长为 ______； (3)【思维进阶】如图3，在（2）的条件下，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)①的长为；②；(3) 【详解】（1）解：在找出点对应的原位置，连接、、、，如下图所示： 由翻折的性质，，， ∵，∴， ∴， ∴，∴． （2）解：①过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵，∴，又∵，∴点为中点， ∵，∴，∵圆的半径为5，故，∴， ∵，由勾股定理得，， 即的长为． ②过点作，作，关于的对称点，，连接，交于点，连接，过点作交于点，如下图所示：∵，∴， ∵为弧的中点，故为弧的中点，即垂直平分， ∵，，由勾股定理得， ∴，∴，，， ∵，，为半圆的中点，∴， ∴四边形为矩形，∴，，∴， 由勾股定理得，故答案为：． （3）解：由（1）中翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，可得，连接、、，如下图所示： ∵，∴，故为等腰三角形，又∵为中点，∴，即， ∴点运动轨迹为以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形，由勾股定理得， ∴，∴， ∴，故的最小值为． 5．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，半的直径为10，点C、D是半弧上的两点，将弧沿翻折．    (1)如图1，连接交翻折后的弧于点Q，连接、．判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，当时，求的长； (3)如图3，已知，连接交翻折后的弧于点Q，当点Q为的中点时，求长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2)(3) 【详解】（1）解：是等腰三角形． 理由如下：，且弧与弧是等圆中的弧，，∴是等腰三角形． （2）解：作出点O关于的对称点M，则与是等圆， 连接，设与交点为N， 由翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，则，， ∴四边形是菱形，∴， ∵∴，∴， ∴，∴，∴．    （3）解：过点作垂足为，过点作垂足为，连接，，    ∵，点Q为的中点，∴，， ∴，∵，，， ∴四边形矩形，∴， ∵，，∴，∴， ∴正方形，， ∴，∴，∴． 6.（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）①；； ②成立；理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，连接，交于点N，则则， ∴，故答案为：； （2）①如图2，，设翻折前点C对应的点为T，连接、， ∵折叠，∴，∵， 即， ∵四边形是的内接四边形，∴，∴， 即；故答案为：，； ②成立，理由如下：设折叠前点C的对应点为点，连接，．由折叠可知，， ∵四边形是的圆内接四边形，，∴， ∵，∴，∴； （3）补出第一次折叠后上面的弧所在圆，补出第二次折叠后从A到E到C的N所在圆， 由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的之间， 故设圆直径均为10，半径均为5，过B作于H， 由（2）知，∴，∴，， 则，，则，， ∵，∴， ∴，即，∴， 则（负值已舍去），∴，则（负值已舍去）， 作圆的直径，则，在圆中，，则， ∵，则，则． 7.（25-26九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；或；(2)；(3)． 【详解】（1）解：根据折叠了2次，则， 如图（1）所示，当点C在优弧上时，， 当点C在上时，，故答案为：；或．       （2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，， 由折叠可知，，， ，，， ，和是等边三角形，， ∴弓形的面积等于弓形的面积，∴扇形的面积等于扇形的面积， ∴阴影部分的面积即为的面积；，则，， ，∴阴影部分面积，故答案为：； （3）解：如图（3），连接，过点C作于H，   ， ，，， ∵E是的中点，，，， 设，则，， 是直径，，，，， ，，，则是等腰直角三角形， ，，， ， ，∴弓形，的面积相等， ∴阴影部分面积为． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $