专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学讲义以“四点共圆模型”为核心，通过分类梳理四大模型（定点定长、定边对双直角、定边对定角、对角互补）构建知识体系，用框架图呈现各模型的条件、结论及证明过程，清晰展现与直角三角形、旋转全等、相似等考点的内在联系，突出角度转化、等量代换等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计（A组基础、B组提升、C组压轴）和解题方法总结，如定边对定角模型结合圆的性质求最值，培养学生推理意识与几何直观。典例涵盖旋转、折叠等综合题型，帮助不同层次学生掌握构造共圆的技巧，为教师实施精准分层教学提供支持。

专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆：同一平面内的四个点落在同一个圆上，核心价值是利用圆的圆周角、圆内接四边形性质，实现角度自由转化、等量代换。多数几何难题角度杂乱、线段分散，常规全等、相似难以突破，通过构造四点共圆，可快速倒角、证垂直、证等角、求最值，是初中几何最实用的“隐形解题工具”。本模型兼容性极强，高频联动考点：直角三角形性质、旋转三大全等模型（手拉手/半角/对角互补）、相似三角形、圆的基本性质、几何最值、动点几何、折叠问题。命题趋势：基本不直接考查共圆证明，而是将共圆作为隐藏条件，需要学生自主判定、主动构造，简化压轴题推导过程。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 2 模型2.定边对双直角共圆模型 5 模型3.定边对定角共圆模型 8 模型4.对角互补共圆模型 10 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型 1）圆的基础性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对圆周角为直角； 2）圆内接四边形性质：对角互补、外角等于内对角； 3）直角三角形特性：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 4）基础几何能力：角度倒角、等角代换、垂直判定、几何模型识别。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型提炼与证明】 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，即确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26·安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【典例3】（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 【典例4】（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 模型2.定边对双直角共圆模型 【模型提炼与证明】 图1（同侧型） 图2（ 异侧型） 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图1，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【典例2】（2026·山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【典例3】（25-26广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 模型3定边对定角共圆模型 【模型提炼与证明】 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级·福建福州·期中）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆． 【典例2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    【典例3】（2026·湖南·模拟预测）综合与实践：“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段同侧有两点B，D，连接如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1） ∵，∴． ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳：(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________．依据2：________________． (2)如图3，在四边形中，，则的度数为________． 拓展探究：(3)如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：A，D，B，E四点共圆． 模型4. 对角互补共圆模型 【模型提炼与证明】 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 图1 图2 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·成都·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 【典例2】（2026·河南·校考一模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ． 【典例3】（25-26九年级上·重庆·期中）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．          探究展示：如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合）， 连接，，则，（依据 ，， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补；②对角互补的四边形四个顶点共圆；③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______． 模型常见易错点 1）定弦定角混淆同侧、异侧 2）误用对角互补判定条件 3）共圆后不会用性质倒角 4）共斜边直角三角形漏共圆结论 5）忽略动点轨迹圆的取值范围 6）大题直接写“四点共圆”无推导 解题方法总结 1）直角共圆快速判定（共斜边型） 步骤1：观察图形，找到共斜边的两个直角三角形； 步骤2：取斜边中点，证明四点到中点距离相等； 步骤3：判定四点共圆，利用圆周角相等、直径性质倒角求值； 步骤4：规范作答。 2）定弦定角轨迹圆解题（最值专用） 步骤1：锁定固定线段（定弦），确认动点定角； 步骤2：判定动点轨迹为圆弧，四点共圆； 步骤3：结合圆的半径、弦高，判断最值位置； 步骤4：计算最值、边长、角度。 3）对角互补共圆解题 步骤1：梳理四边形四个内角，证明一组对角和为180°； 步骤2：判定四点共圆； 步骤3：利用圆内接四边形性质：对角互补、外角=内对角、同弧等角； 步骤4：完成角度、线段、面积推导。 1．（25-26·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是 ． ①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 3．（2026·湖北·校考二模）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    4．（25-26九年级上·浙江金华·校考期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 5．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）实践与探究 探究课题：四点共圆的条件 课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆 (1)发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果该结论正确，请你说明理由．(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理．(3)由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是什么？ 6．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）请阅读下列材料，完成相应任务．我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，C，D是线段同侧两点，且．求证：A，B，C，D四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点D在外或在内． 如图②，若点D在外，设与交于点E，连接，则（依据1） 又，（依据2）所以． 所以．这与已知条件“”矛盾，故点D在外不成立． 如图③，若点D在内，…… 综上所述，作的外接圆，点D在上，即A，B，C，D四点共圆． 任务：(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1：______；依据2：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． 7．（25-26浙江杭州·九年级期中）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆； （3）若点，，三点共线，且，求的长． 8．（25-26·江苏·九年级校考期末）如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．(1)点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． (2)若，，求外接圆的半径长．    9．（2026·重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； 10．（2026·安徽·模拟预测）如图，在中，的边经过点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏淮安·校考一模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．    12．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 14．（2025·陕西渭南·一模）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． (1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上； (2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积．(3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？ 15．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是 ． 16．（2026·四川成都·校考一模）如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 17．（2026·陕西西安·校考二模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    18．（24-25九年级上·湖北鄂州·期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证；(2)请直接写出______度，_____度；(3)若，求证． 19．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形，． ，与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内，…… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】（5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 　　 得，即A，B，C，D共圆； (2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） (4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆：同一平面内的四个点落在同一个圆上，核心价值是利用圆的圆周角、圆内接四边形性质，实现角度自由转化、等量代换。多数几何难题角度杂乱、线段分散，常规全等、相似难以突破，通过构造四点共圆，可快速倒角、证垂直、证等角、求最值，是初中几何最实用的“隐形解题工具”。本模型兼容性极强，高频联动考点：直角三角形性质、旋转三大全等模型（手拉手/半角/对角互补）、相似三角形、圆的基本性质、几何最值、动点几何、折叠问题。命题趋势：基本不直接考查共圆证明，而是将共圆作为隐藏条件，需要学生自主判定、主动构造，简化压轴题推导过程。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 2 模型2.定边对双直角共圆模型 5 模型3.定边对定角共圆模型 8 模型4.对角互补共圆模型 10 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型 1）圆的基础性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对圆周角为直角； 2）圆内接四边形性质：对角互补、外角等于内对角； 3）直角三角形特性：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 4）基础几何能力：角度倒角、等角代换、垂直判定、几何模型识别。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型提炼与证明】 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，即确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26·安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，∴点A，B，C，D到点O的距离相等， ∴点A，B，C，D在以O为圆心的圆上，即四边形为的圆内接四边形，∴．故选：D 【典例2】（25-26九年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，在中，，， ， 点分别是和的中点，，，，， ，，=AG， ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴，∵， ∴，是直角三角形，且， ，， 在和中，，，， ，∴．∴故答案为：． 【典例3】（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析； 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形，∴，∵E、C关于对称，∴， 【典例4】（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①连接、，如图所示：    ∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到， ∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，， ∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，故①正确； ②∵，，∴， ∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确； ③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴， ∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A． 模型2.定边对双直角共圆模型 【模型提炼与证明】 图1（同侧型） 图2（ 异侧型） 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图1，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角， ，，，，，，共圆， ，，，平分， 平分，为的内心，， ，， ，，当为该圆直径时，最大， 的最小值为，故答案为：． 【典例2】（2026·山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，作射线， 是等边三角形，，， ，点，点，点，点四点共圆，， 点在的角平分线上运动，当时，的长度有最小值， ，，的最小值为，故选：B． 【典例3】（25-26广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，如图，∵且为中点，∴，，∴，        ∵为中点，∴，∵∠，∴，，，四点共圆， ∵，，∴，∴， ∴，∴，在中，，， ∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴，故选：． 模型3定边对定角共圆模型 【模型提炼与证明】 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级·福建福州·期中）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆． 【答案】（1）10°；（2）见解析 【详解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°， ∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上， ∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°， ∴∠BAD＝50°－40°＝10° 证明（2）∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE， ∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四点共圆． 【典例2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证：∵，∴，∵，∴， ∴、、、四点共圆，∴； （2）解：∵，∴， ∵，平分，∴， ∴在中，， ∵，∴，， ∵、、、四点共圆，∴， ∴在中，，∴． 【典例3】（2026·湖南·模拟预测）综合与实践：“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段同侧有两点B，D，连接如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1） ∵，∴． ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳：(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________．依据2：________________． (2)如图3，在四边形中，，则的度数为________． 拓展探究：(3)如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：A，D，B，E四点共圆． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)(3)见解析 【详解】（1）解：依题意，结合上下证明过程得： 依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）解：，点，，，四点在同一个圆上，， ，，故答案为：； （3）证明：，， 点与点关于的对称，，， ，，， ，，，，四点共圆． 模型4. 对角互补共圆模型 【模型提炼与证明】 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 图1 图2 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·成都·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 【答案】见解析 【详解】证明：连接，如图，∵所对的圆周角是,所对的圆周角是， ，，，，， ，，， ，，，，，四点共圆； 【典例2】（2026·河南·校考一模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ． 【答案】/ 【详解】解析：过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：∵∴点A,M,B,C四点共圆 ∵∴∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴ 【典例3】（25-26九年级上·重庆·期中）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．          探究展示：如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合）， 连接，，则，（依据 ，， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补；②对角互补的四边形四个顶点共圆；③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______． 【答案】（1）①，③（2） 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补； 点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：①，③； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：    ，，，， ，，，共圆，即在过，，的上， 在过，，的上，，，，，共圆， ，，故答案为：． 模型常见易错点 1）定弦定角混淆同侧、异侧 2）误用对角互补判定条件 3）共圆后不会用性质倒角 4）共斜边直角三角形漏共圆结论 5）忽略动点轨迹圆的取值范围 6）大题直接写“四点共圆”无推导 解题方法总结 1）直角共圆快速判定（共斜边型） 步骤1：观察图形，找到共斜边的两个直角三角形； 步骤2：取斜边中点，证明四点到中点距离相等； 步骤3：判定四点共圆，利用圆周角相等、直径性质倒角求值； 步骤4：规范作答。 2）定弦定角轨迹圆解题（最值专用） 步骤1：锁定固定线段（定弦），确认动点定角； 步骤2：判定动点轨迹为圆弧，四点共圆； 步骤3：结合圆的半径、弦高，判断最值位置； 步骤4：计算最值、边长、角度。 3）对角互补共圆解题 步骤1：梳理四边形四个内角，证明一组对角和为180°； 步骤2：判定四点共圆； 步骤3：利用圆内接四边形性质：对角互补、外角=内对角、同弧等角； 步骤4：完成角度、线段、面积推导。 1．（25-26·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是 ． ①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等． 【答案】②③④ 【详解】解∶如图1，设AC、BD交于点F，连接OC、OD， ∵，点O为A B的中点，∴OD=OC=OA=OB=AB， ∴点A、C、D到点O的距离相等，故④正确； ∵OD=OC=OA=OB=AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC， ∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC， ∴∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC=，故③正确； ∵，∴，， ∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正确； 在四边形ABCD中，， AB中点O，连接OD、OC， 则OD=OC=OA=OB=AB， 若AD=BD，则OD⊥AB，∴， 若，则△BOC是等边三角形，∴，， 但是△ODC与△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正确的是②③④，故答案为∶②③④． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接并延长，如图，，，，    ，，，，四点共圆，为等腰直角三角形，， ，，点的轨迹为的平分线上， 垂线段最短，当时，取最小值，的最小值为，故答案为：． 3．（2026·湖北·校考二模）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    【答案】102.5° 【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，    根据旋转的性质得到：AC=AF，，，， ∴点A、N、F、C共圆，∴， 又∵点A、N、F、C共圆，∴，∴（平角的性质）， 故答案为：102.5° 4．（25-26九年级上·浙江金华·校考期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】在中，由勾股定理得：． 如图所示，在下方作等腰直角，过点作于点， 则点在以点为圆，为半径的圆上． 又，∴点四点共圆．∴． ∴． 在中，由勾股定理得，，即，解得：． 在中，由勾股定理得： 当点共线时，最大，则的最大值为．故答案为． 5．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）实践与探究 探究课题：四点共圆的条件 课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆 (1)发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果该结论正确，请你说明理由．(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理．(3)由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是什么？ 【答案】(1)这个结论正确，理由见解析；(2)没有上述关系，理由见解析； (3)这个四边形相对的两个内角互补． 【详解】（1）解：这个结论正确，理由如下： ∵如图1，经过四边形的四个顶点A、B、C、D， ∴的度数等于度数的一半，的度数等于度数的一半， ∵与的度数和为，∴， ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角互补． （2）解：没有上述关系，理由如下：图2：连接，∵，，∴； ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系． 图5：连接，∵，，∴． ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系． （3）解：根据（1）（2）可得： 如图2：判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是这个四边形相对的两个内角互补． 6．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）请阅读下列材料，完成相应任务．我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，C，D是线段同侧两点，且．求证：A，B，C，D四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点D在外或在内． 如图②，若点D在外，设与交于点E，连接，则（依据1） 又，（依据2）所以． 所以．这与已知条件“”矛盾，故点D在外不成立． 如图③，若点D在内，…… 综上所述，作的外接圆，点D在上，即A，B，C，D四点共圆． 任务：(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1：______；依据2：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)见解析 【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等；依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接，则， 又，．． 这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立； 7．（25-26浙江杭州·九年级期中）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆； （3）若点，，三点共线，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）根据旋转的性质可得，， ∵，∴，∵，∴，∴； （2）∵，∴，∵点，，三点共线，∴， ∴，∴，，，四点共圆； （3）∵，，∴为等腰直角三角形，∴， 以点为圆心，为半径作， ∵，，∴，∴点在圆上，∴． 8．（25-26·江苏·九年级校考期末）如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．(1)点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． (2)若，，求外接圆的半径长．    【答案】(1)点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由见解析(2)5 【详解】（1）解：点，，，在以点为圆心的同一个圆上，理由：连接，，       ，，， 是的中点，，，， 点，，，在以点为圆心的同一个圆上； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，， ，是的高，，相交于点，， 是的直径，，，，， ，，四边形是平行四边形，， 在中，，，外接圆的半径长为5． 9．（2026·重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)(2)，理由见详解 【详解】（1）解：设，则，∵，∴， ∴，解得：，∴，则（负值舍去）； （2）解：过点C作的平行线交于点G， ∵ ，， ∴A、C、E、B四点共圆， ∴，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，， ∴，，，∴，， 又∵，∴，∴，∵，∴； 10．（2026·安徽·模拟预测）如图，在中，的边经过点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法1：在中，， ∴，， ，∴，又，， ， ，，当取最大值时，取最大值． ，，四点共圆，最大值为直径长． ，∴是直径，的最大值为， 的最大值为． 解法2：同解法1得，作的外接圆，连接，过圆心作，垂足为点． ，．， ．当为的直径时，取得最大值为．故选：A 11．（2026·江苏淮安·校考一模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．    【答案】 【详解】解：连接与，与相交于点O，连接， ∵四边形形是矩形，∴，，O是的中点，， 又∵于E，即是直角三角形， ∴，∴，∴点五点共圆，作出这个圆如图所示：       则有，由旋转的性质可知：， 又∵，，∴，在中，，， ∴，∴．故答案为：30． 12．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________． 【答案】     80     【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA， 在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS），∴∠EAC=∠DBC， ∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图： ∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC， ∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上， ∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3， ∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE， 过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==， ∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵，∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，，， ∴，∵，∴， 又∵是直角三角形，，∴，∴ 又∵，∴即∴． 14．（2025·陕西渭南·一模）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． (1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上； (2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积．(3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？ 【答案】(1)在(2)(3) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质得：， ∴，∴四点B、C、E、F共圆， ∴点B在点C、E、F确定的圆上，故答案为：在； （2）解：∵四边形是圆内接四边形，∴， ∵，∴， 由勾股定理，， ； （3）解：如图，过点C作于E，过点B作，交的延长线于点F， 则，， ∵，，∴， ∵，∴，∴； ∵，， ∴． 15．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， 在和中，，∴，∴①正确； ∵的面积的面积，∴的面积的面积，∴②不正确； ∵，∴，∴， ∴、、、四点共圆，∴，∴③正确； ∵、、、四点共圆，如图所示： 延长交矩形的外接圆于，连接，则， ∵，∴，∴④正确；正确的代号是①③④；故答案为：①③④． 16．（2026·四川成都·校考一模）如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，取中点，以为直径作，连接并延长交于点，作于，作于，交、于点、，是梯形中位线， ，， 是中点，到、的距离均为4，一定是以为边的正方形的中心点， 一定在以为直径的圆上运动，当过点圆心时，最大， ，，，， ，，，，， ，，，．故答案为：． 17．（2026·陕西西安·校考二模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：连接，  四边形是正方形，是等腰直角三角形， ，，四点共圆， 恒等于，点P在正方形对角线上运动， ，，， ，为定值， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为， ，的周长的最小值为：，故答案为：． 18．（24-25九年级上·湖北鄂州·期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证；(2)请直接写出______度，_____度；(3)若，求证． 【答案】(1)证明过程见详解(2)，(3)证明过程见详解 【详解】（1）证明：∵，∴，即， 在和中，，∴，∴． （2）解：由（1）可知，，∴， 在，， ∴在中，，∴； ∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示， ∵，，∴是等腰直角三角形，即， ∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同，∴，故答案为：，． （3）解：如图所示，取的中点，连接， 由（2）可知，，，∴在中，点是的中点， ∴根据定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且， ∵是外角，∴， 在中，，∴， ∴是等腰三角形，即，∴，∴． 19．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形，． ，与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内，…… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】（5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30；（4）；（5） 【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形，， ，与矛盾，故点C不可能在圆内， ∴点C在圆上，∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，，则， ，． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上，点A、B、C、D四点共圆； （3）∵，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴，故答案为：30； （4）由对称可知，， ，， 由（2）可知，点A、、E、C四点共圆．， 中，，； （5）如图，连接， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴，弦最大值是直径长，以为边在上方作等边三角形，连接， ∴，，∴， ∴，∴，，∴， ∴A，E，D三点共线，∴， ∵四边形周长， ∴当是直径时，四边形的周长有最大值，∴，∴，∴． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 　　 得，即A，B，C，D共圆； (2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） (4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上． 【答案】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)；； (3)①；②B、E、D、C；③；(4)证明见解析． 【详解】（1）解：连接，， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，， ∴故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）解：假设点C落在外，交于点E，连接，可得：， ∵，∴， ∵是的一个外角，∴，相互矛盾，故点C在圆上，故答案为：；； （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接． ∵A、E、H、D四点共圆，∴，∵B、E、D、C四点共圆，∴， ∵，∴，∴， ∴，即是的高．故答案为：；B、E、D、C；； （4）证明：连接，， 由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上，∴，，∴， 由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $