专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理圆中外接圆和内切圆模型，以“外心核心（垂直平分线+顶点等距）”“内心核心（角平分线+面积法求半径）”为根基，分普通三角形、直角三角形、等边三角形及四边形模型构建知识脉络，用对比表格呈现内外心性质差异，明确中考高频考点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固半径公式应用，B组提升题结合几何直观探究内外心位置关系，C组压轴题融入动态几何培养推理能力。典例选用2026年中考模拟题，如直角三角形内切圆半径计算，配套“外心盯顶点，内心盯边长”口诀，助力学生建立模型意识，教师可据此实施精准分层教学。

专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。本模型研究任意三角形的外接圆、内切圆两大基础圆模型，是初中圆几何最底层、最必考、辐射最广的核心模型。外接圆、内切圆是圆几何一切综合题的根基。 外心核心：垂直平分线 + 顶点等距 内心核心：角平分线 + 面积法求半径。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.内切圆模型 2 模型2.外接圆模型 10 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 29 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。两大圆 “一外一内、一顶点一边长” 完美对偶，构成平面几何三角形最稳定的圆体系。 中考命题逻辑完全继承这一几何本质： 考位置、考距离、考半径、考角度、考面积。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 1）线段垂直平分线性质（外心核心）； 2）角平分线性质（内心核心）； 3）三角形内角和、外角定理； 4）三角形面积多种求法； 5）直角三角形斜边中线性质； 6）等边三角形四心合一性质。 模型1.内切圆模型 【模型提炼与证明】 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【典例2】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例3】（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【典例4】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【典例5】（2026·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，且，若是的内切圆，与、、轴分别相切，与、、轴分别相切，……按此规律，则的半径 ． 【典例6】（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四边形叫作“美外四边形”．如图1，与四边形的各边都相切，，则四边形叫作“美外四边形”． 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是__▲___（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题2：如图1，若四边形是“美外四边形”，与四边形的各边相切的切点分别为E，F，G，H，．求的半径． 解：如图2，连接． ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（依据），． ∵，∴，…… 任务：(1)问题1中的“▲”处应填写______；问题2中的“依据”是指______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)如图3，已知锐角，请在边上求作点G，H，使得四边形为“美外四边形”，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【典例7】（2026·上海静安·三模）探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 模型2.外接圆模型 【模型提炼与证明】 1）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 2）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 3）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【典例2】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【典例3】（25-26江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ． 【典例4】（25-26·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 【典例5】（2026·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 【典例6】（25-26·浙江·九年级专题练习）已知为三角形的内心，连接交三角形的外接圆于点，如图所示，连接和．(1)求证：．(2)，，，求AD． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 模型常见易错点 1）内外心位置记混（最高频错误） 错误：认为外心永远在三角形内部 解决方案： 锐角内、直角中、钝角外；内心永远在内部！ 2）内外心性质混淆 错误：外心到边等距、内心到顶点等距 解决方案：外心盯顶点，内心盯边长，死记对偶口诀 3）乱用直角三角形内切公式 错误：普通三角形套用：r=（a+b-c）/2 解决方案： 该公式仅限直角三角形！普通三角形只能用万能面积公式。 4）大题直接默写二级结论 解决方案： 选择填空可秒用；解答题必须写出面积法推导或斜边中线依据。 5）等边三角形比例记反 解决方案： 外半径是内半径的2倍，R大r小，永远2:1。 解题方法总结 外接圆解题步骤： 1）判断三角形类型（锐/直/钝）确定外心位置. 2）直角三角形直接：R=斜边/2 3）普通三角形利用垂直平分线性质、圆心角圆周角倒角 4）勾股定理求半径、边长 内切圆解题步骤： 1）求三角形面积S、周长L。 2）套万能公式：r=2S/L 3）若是直角三角形，直接秒杀：r=(a+b-c)/2 万能口诀 外心垂直分三边，顶点等距半径显；内心平分三个角，面积求r最保险；直角外圆斜一半，内切公式要分辨。 1.（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，点是的内心，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（25-26浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 5.（24-25·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 6.（2026·江苏扬州·二模）如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 7．（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，点C在上，直径，，垂足为D，点E是的内心，，点F在线段上，，则 ． 1．（2026·河北唐山·二模）如图，点O为的外心，连接，作正方形，其中E点在的外部，则外心不是点O的三角形是______（填“”或“”或“”或“”）． 2.（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 3．（2026·江苏泰州·二模）如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 4．（22-23九年级下·青海西宁·开学考试）已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径与内切圆半径的比为________． 5．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 6．（2026·山东淄博·一模）如图，点O，I分别是（）的外心和内心，其中是外接圆的直径．连接并延长交外接圆于点D，连接，． (1)测量并找出图中所有与相等的线段，并加以证明；(2)若图中，，求的周长． 7．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、．(1)连接、，则______．(2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 1．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 4．（2026·广东广州·二模）如图，在正方形中，，点为边上的一个动点，连接，，点为外接圆的圆心．在点从点运动到点的过程中，下列说法正确的是___．（填序号） ①在点运动的过程中，的面积不发生变化；②外接圆的最大半径为； ③外接圆的最小半径为；④点运动的路径长为． 5．（2026·山西朔州·三模）在数学的学习过程中，小明积累了许多解决问题的策略，其中特殊化的策略尤为重要．特殊化指的是当面对一个一般性问题时，可以先考虑其特殊情况（如特殊数值、特殊位置、特殊图形等），从中发现规律、性质或解题思路，再将结论或方法推广到一般情况．下面数学活动小组将利用特殊化策略解决平面图形的最小覆盖圆． 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)【探究一】最简单的图形——线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点，点．如图1，以为直径作，再过，两点作（与不重合），连结，． 在中，有（▲）． ，，即的直径大于的直径．是线段的最小覆盖圆． “▲”处应填写的推理依据为_________________． (2)【探究二】特殊的三角形——直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为线段的最小覆盖圆问题，这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图2，在中，，是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． (3)由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】一般的图形——矩形的最小覆盖圆 如图3，在矩形中，，．用无刻度的直尺在图3中作出矩形的最小覆盖圆的圆心；（不写作法，保留作图痕迹） (4)该矩形的最小覆盖圆的直径为_____． 6．（26-27九年级·江苏·暑假作业）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 7．（2026·湖南长沙·三模）与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． (1)如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． (2)如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． (3)如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。本模型研究任意三角形的外接圆、内切圆两大基础圆模型，是初中圆几何最底层、最必考、辐射最广的核心模型。外接圆、内切圆是圆几何一切综合题的根基。 外心核心：垂直平分线 + 顶点等距 内心核心：角平分线 + 面积法求半径。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.内切圆模型 2 模型2.外接圆模型 10 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 29 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。两大圆 “一外一内、一顶点一边长” 完美对偶，构成平面几何三角形最稳定的圆体系。 中考命题逻辑完全继承这一几何本质： 考位置、考距离、考半径、考角度、考面积。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 1）线段垂直平分线性质（外心核心）； 2）角平分线性质（内心核心）； 3）三角形内角和、外角定理； 4）三角形面积多种求法； 5）直角三角形斜边中线性质； 6）等边三角形四心合一性质。 模型1.内切圆模型 【模型提炼与证明】 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【答案】/115度 【详解】∵在中，，，∴； 又∵是的内心，∴平分，平分，∴，； 又∵在中，，∴， ∴，∴； 又∵在中，，∴ 【典例2】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵，，且，∴， 设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，， ∴，，，设的半径为，∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴，，∴． 【典例3】（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【详解】解：设的半径为，连接， ∵是的内切圆，∴点到的距离都等于， ∴， ∵的周长为8，面积为4，∴，解得． 【典例4】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， ∵的周长为，， ∴， ∵，，∴， ∴，∵，， ∴， ∴剪下的的周长为． 【典例5】（2026·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，且，若是的内切圆，与、、轴分别相切，与、、轴分别相切，……按此规律，则的半径 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接、、，作于，于，于， 则，过点作轴于，∴轴， ∵，，即点是的中点，∴点是的中点，是的中位线， ∴，，∴，，， ∴，，，， ∵，∴， 同理可得：，，…，∴， 依此类推可得：的半径，故答案为：． 【典例6】（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四边形叫作“美外四边形”．如图1，与四边形的各边都相切，，则四边形叫作“美外四边形”． 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是__▲___（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题2：如图1，若四边形是“美外四边形”，与四边形的各边相切的切点分别为E，F，G，H，．求的半径． 解：如图2，连接． ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（依据），． ∵，∴，…… 任务：(1)问题1中的“▲”处应填写______；问题2中的“依据”是指______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)如图3，已知锐角，请在边上求作点G，H，使得四边形为“美外四边形”，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【详解】（1）解：①平行四边形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”； ②矩形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”；     ③菱形的内角不一定为直角，故不一定是“美外四边形”；      ④正方形一定是“美外四边形”； ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（切线长定理） (2)∵，∴． ∵，∴．∵，∴． ∵，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴，即的半径为13； (3)作出的“美外四边形”如图所示： （3）解：理由：如图，连接，由作法得：圆O为的内切圆，则， ∴四边形为正方形，∴，∴与圆O相切， ∴四边形为“美外四边形”，且． 【典例7】（2026·上海静安·三模）探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 【答案】(1)A(2)A(3)(4) 【详解】（1）原定理“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半”的逆命题是“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”．根据圆的性质，若中线等于边的一半，则该点在以该边为直径的圆上，因此三角形为直角三角形，结论是必然事件．所以A选项是正确的． （2）三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即内角平分线的交点(到三边距离相等)．中线交点是重心，垂直平分线交点是外心．所以A选项是正确的． （3）已知在直角三角形 中， ， ， ， 则 ，设 ，则 ， 由题意知 是直角三角形，其内切圆半径为， 因为，所以， 由题意知 的面积为， 的半周长， 其内切圆半径为，即， 令，化简得方程 ，解得（ 时 不存在，舍去），因此． （4）对于选项A，点H在 上， 的内切圆在三角形内部，H到内切圆圆心的距离需等于半径，但只有当H与B重合时成立(此时 不存在)，故A错误． 对于选项B，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，移动 上的H点时，随 大小变化、随 大小变化，当两个内切圆都与相切与同一点时，两圆可能相切，B正确． 对于选项C，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，到 的距离相等，到 的距离相等，当H靠近B时，靠近B，偏大；当H靠近C时，靠近C，偏大；当H在中间某位置时， 圆心距可取到中间值6，C正确．对于选项D，如图所示： 两圆公切线共4条，其中为一条，除外最多有3条公切线，D正确． 模型2.外接圆模型 【模型提炼与证明】 1）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 2）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 3）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【详解】解：由题意，，∴，，， ∴，，， ∵，∴， ∴，则． 【典例2】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ，∴ ， 垂直平分 ， ∴ ，∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ，∴ ， 在 中， ，∴，解得：．即外接圆的半径为． 【典例3】（25-26江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点M作于点D，作于点E，作于点， ∵，，，∴， ∵N为的外心，∴，∵M为的内心，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形为正方形，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴，故答案为：． 【典例4】（25-26·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 【答案】①②③ 【详解】解：连接，如图所示：∵为的直径，∴， ∵的角平分线交于点Q，点I为的内心，∴， ∴，且是等腰直角三角形，∴，即点Q是定点，故①正确； 由圆中最长的弦是直径可知的最大值为8，故②正确； ∵，且， ∴，∴，即的长为定值，故③正确； 过点P作于点D，∴， 当的值为最大，则的值为最大，即的值为最大， ∴当是半径时，即为，∴的最大值为；故④错误； 综上所述：正确的有①②③；故答案为①②③． 【典例5】（2026·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接、、、， ，，，，，平分， 点是的内心，平分，与在同一条直线上，所在的直线经过点． （2）证明：连接，则，， ，，，， ，，，， ，， ，，，，，点是的中点． 【典例6】（25-26·浙江·九年级专题练习）已知为三角形的内心，连接交三角形的外接圆于点，如图所示，连接和．(1)求证：．(2)，，，求AD． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为三角形的内心，，，，， ，，， ，，； （2）如图，过点作于，过点作于点， ，，，则， ，，则，， ，，，， ，， 过点，作的垂线，垂足分别为，如图， I为三角形ABC的内心，，设， ，即， 解得，中，， ，， （3）如图，设为三角形ABC的外接圆的圆心，连接， ，，，，且， ，是等边三角形，，圆的半径为， ． 模型常见易错点 1）内外心位置记混（最高频错误） 错误：认为外心永远在三角形内部 解决方案： 锐角内、直角中、钝角外；内心永远在内部！ 2）内外心性质混淆 错误：外心到边等距、内心到顶点等距 解决方案：外心盯顶点，内心盯边长，死记对偶口诀 3）乱用直角三角形内切公式 错误：普通三角形套用：r=（a+b-c）/2 解决方案： 该公式仅限直角三角形！普通三角形只能用万能面积公式。 4）大题直接默写二级结论 解决方案： 选择填空可秒用；解答题必须写出面积法推导或斜边中线依据。 5）等边三角形比例记反 解决方案： 外半径是内半径的2倍，R大r小，永远2:1。 解题方法总结 外接圆解题步骤： 1）判断三角形类型（锐/直/钝）确定外心位置. 2）直角三角形直接：R=斜边/2 3）普通三角形利用垂直平分线性质、圆心角圆周角倒角 4）勾股定理求半径、边长 内切圆解题步骤： 1）求三角形面积S、周长L。 2）套万能公式：r=2S/L 3）若是直角三角形，直接秒杀：r=(a+b-c)/2 万能口诀 外心垂直分三边，顶点等距半径显；内心平分三个角，面积求r最保险；直角外圆斜一半，内切公式要分辨。 1.（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，点是的内心，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点是的内心，∴， ∵， ∴，故选：D． 2.（25-26浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：截的三条边所得的弦长相等， 到三角形三条边的距离相等，即是的内心，，， ，， ，故选：C． 3.（2025·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，延长交于H，连接，作出的内接圆，确定圆心I，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴， 设，在中，∵， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故选D． 4．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【详解】解：∵在中，，，，∴， 如图：连接，∵， ∴，即，解得：． 5.（24-25·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 【答案】 【详解】解：如图，∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16， ∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC， ∴BD=CD=BC=8，AD==6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2， ∴R2=（6-R）2+82，∴R=；如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC， ∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC， 则IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI， ∴由三角形的面积公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=， 即三角形ABC的外接圆半径R=，内切圆半径r=，故答案为：，． 6.（2026·江苏扬州·二模）如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 【答案】35 【详解】连接， ∵，∴，∴，∴， ∵点是的内心，∴，故答案为：35． 7．（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，点C在上，直径，，垂足为D，点E是的内心，，点F在线段上，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接、、、，作于M，于H，于G，于N，∵为直径，∴，∴， ， ∴，，∴， ∴，∴， ∵点E是的内心，∴平分，平分，平分， ∵，，∴，同理可得，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，，，∴四边形为矩形，∴， ∴，∵，∴， ∴，∴，∴， 故答案为：． 1．（2026·河北唐山·二模）如图，点O为的外心，连接，作正方形，其中E点在的外部，则外心不是点O的三角形是______（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：如图，连接．∵O是的外心，∴． ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴O是的外心；∵四边形是正方形，∴， ∴，∴，∴O不是的外心； ∵，∴O是的外心；∵，∴O是的外心． 2.（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， ， ∵为直径，∴，∴， ∴，，∴， ∴，∴， ∵点是的内心，∴平分，平分，平分， ∵，，∴，同理可得，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，，， ∴四边形为矩形，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故答案为：． 3．（2026·江苏泰州·二模）如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵于点，∴，∴， ∵为的内心，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， 设，则， 在和中，，∴，∴， ∴，∴． 4．（22-23九年级下·青海西宁·开学考试）已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径与内切圆半径的比为________． 【答案】 【详解】解：在中，，两直角边分别为和，， 直角三角形的外接圆直径等于斜边，因此的外接圆半径，设的内切圆半径为， 由三角形面积公式可得：， 代入得，解得，∴外接圆半径与内切圆半径的比为. 5．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：点，点，，，∴在中，； 连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心，∴分别平分∴ ∵∴∴同理可得，，， 设，则，， ，解得：，∴， 的坐标为，点关于轴对称的点的坐标是． 6．（2026·山东淄博·一模）如图，点O，I分别是（）的外心和内心，其中是外接圆的直径．连接并延长交外接圆于点D，连接，． (1)测量并找出图中所有与相等的线段，并加以证明；(2)若图中，，求的周长． 【答案】(1)解：，证明如下：连接， I是的内心，，，，， ，， ，； （2）解：连接，过点作于点，于点，于点， I是的内心，，，，圆I是的内切圆， ∴，是外接圆的直径，， ，，，， ，的周长为． 7．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、．(1)连接、，则______．(2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：是的内切圆，平分，平分， 在中，，， ，． （2）解：设半径为r，连接、，是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，，四边形是正方形，， ，， ，在中，由勾股定理得： ，解得： 或 （舍去负值），的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心，分别连接， ，，，， 是内切圆半径，，， 在中，由勾股定理得：， 的外心和内心的距离为． 1．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接， 为 的直径， ， 点为的内心， 平分， ， 弧 弧，， 在 中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得；设的内切圆半径为， 点 为的内心， 点到的三边的距离都等于， ，， ，；如图所示， 过点作于点， 则，在中，， 是等腰直角三角形 ， ． 2．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：连接、、． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，． 在中，，， ，∴． 在中，，∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 【答案】/ 【详解】∵在中，，∴， 如图，的外心为的中点，记为点D，三角形的重心G在线段上， ∵，，∴，∴， 即的重心与外心的距离是． 4．（2026·广东广州·二模）如图，在正方形中，，点为边上的一个动点，连接，，点为外接圆的圆心．在点从点运动到点的过程中，下列说法正确的是___．（填序号） ①在点运动的过程中，的面积不发生变化；②外接圆的最大半径为； ③外接圆的最小半径为；④点运动的路径长为． 【答案】①②④ 【详解】解：∵，∴在点运动的过程中，的面积不发生变化，说法①正确； 当点与点或点重合时，外接圆的半径最大，此时直径为， ∴外接圆的最大半径为，说法②正确； ∵外接圆的圆心在线段的垂线平分线上，作于点，作于点，如图， ∴，∴当共线时，外接圆的半径最小， 如图，此时设，，， 在中，由勾股定理得，解得，即外接圆的最小半径为，说法③错误； 连接交于点，∴点在点和点之间运动，则运动路径长为， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴点运动的路径长为，说法④正确． 5．（2026·山西朔州·三模）在数学的学习过程中，小明积累了许多解决问题的策略，其中特殊化的策略尤为重要．特殊化指的是当面对一个一般性问题时，可以先考虑其特殊情况（如特殊数值、特殊位置、特殊图形等），从中发现规律、性质或解题思路，再将结论或方法推广到一般情况．下面数学活动小组将利用特殊化策略解决平面图形的最小覆盖圆． 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)【探究一】最简单的图形——线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点，点．如图1，以为直径作，再过，两点作（与不重合），连结，． 在中，有（▲）． ，，即的直径大于的直径．是线段的最小覆盖圆． “▲”处应填写的推理依据为_________________． (2)【探究二】特殊的三角形——直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为线段的最小覆盖圆问题，这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图2，在中，，是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． (3)由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】一般的图形——矩形的最小覆盖圆 如图3，在矩形中，，．用无刻度的直尺在图3中作出矩形的最小覆盖圆的圆心；（不写作法，保留作图痕迹） (4)该矩形的最小覆盖圆的直径为_____． 【答案】(1)三角形的任意两边之和大于第三边 (2)点在上，理由如下：连接， ，点为线段的中点，，点在上． (3)如图所示：解：连接交于点，点即为所求圆心， 理由：是矩形的最小覆盖圆，点都在上， ，点是矩形的对角线的交点 ； （4）解：如图，在中，，， ． 6．（26-27九年级·江苏·暑假作业）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴，∴，即 ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为； (2)解：．理由如下：连接，，如图， ∵六边形是等边半正六边形．，． 在与中，，∴，∴． 在与中，，∴．∴； (3)作法一：如图，六边形即为所求， 作法二：如图，六边形即为所求， （3）解：作法一：∵是正三角形，是它的外接圆， ∴、、分别为、、的垂直平分线，，，，∴，，， ∴，，，由作图可知， 在与中，，∴，∴， 同理可得，∴，∴， 在与中，，∴，∴，， 同理可得，∴，， ∴， ∵，∴， ∴六边形即为等边半正六边形．作法二同理可证． 7．（2026·湖南长沙·三模）与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． (1)如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． (2)如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． (3)如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． 【详解】（1）解：如图1，设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、，根据题意，，，， ∴，， ∵的内切圆与的切点分别为， ∴，，，， ∵，∴， 即，解得，即的内切圆半径为2； （2）解：如图2，过点作于点，连接、、， ∵，是边上的中线，∴，平分， ∴，是的垂直平分线，∴， ∵点是的外接圆圆心，∴点在的垂直平分线上，， ∴点在直线上，∴，设，则， 在中，，∴，解得，∴， ∵点是的内切圆圆心，∴平分，平分，∴， ∵平分，平分，∴点在上，∴， ∵，∴， ∴， 又∵，∴，∴，， ∴，设，则， 在中，，∴，解得， ∴，∴， 即的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为5； (3)①证明：如图3，连接， ∵四边形的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H， ∴，，，，，，，，，∴，即， 设，则，，，， ∴，，∴； ②解：由①得，，又∵，∴，∴， 同理可得：，，， ∵四边形拥有外接圆，∴，， ∴，，即，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， 在中，，∴，解得（负值已舍去）， ∴，∴， 同理可证：，∴，即，解得； 综上，内切圆的半径，的长为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $