专题04 圆压轴四大模型突破 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学圆压轴四大核心模型，系统梳理点圆最值问题、定弦定角、四点共圆及瓜豆原理，搭建从基础几何关系到动态轨迹分析的学习支架，助力学生构建圆压轴题解题脉络。 资料以模型化分类与递进式练习为特色，通过等腰直角三角形动点最值、正方形四点共圆判定等实例，引导学生用数学眼光抽象几何本质，培养推理意识与空间观念。课中辅助教师聚焦难点突破，课后学生可通过典型例题巩固模型应用，有效查漏补缺。

专题04 圆压轴四大模型突破 【模型01：点圆最值问题】 【模型02：定弦定角】. 【模型03：四点共圆】 【模型04：瓜豆原理】 【模型01：点圆最值问题】 1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是为（　　） A． B．0.25 C．1 D．2 2．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 3．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 4．如图，M是等边三角形的边的中点，P为平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为________． 5．如图，在矩形中，，P是边上的一点，且，E是线段上的一个动点，把沿折叠，点C的对应点为F，当点E与点D重合时，点F恰好落在上，则的最小值是______． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点、点、（），点在以为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值是_____． 7．如图，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最大值为_________． 【模型02：定弦定角】. 8．如图，中，，，．点为内一点，且满足．则的最小值为______． 9．如图，在中，，，，是内一点，，则长的最小值是______． 10．如图，已知正方形，边长为，点是正方形内部一点，且，点是边上一动点，连接，．则的最小值为___． 11．如图，在边长为6正方形中，点分别是边，上的动点，且交于点，则的最小值为___________． 12．如图，在矩形中，，点为平面内一点，且满足．连接，则的最小值是_____，最大值是_____． 【模型03：四点共圆】 13．【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 (2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 (3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 14．【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 15．综合与实践——探究四点共圆的条件（续） 某学习小组在开展“探究四点共圆的条件”的数学活动后，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，连接，如果，那么四点在同一个圆上． 【探究展示】如图2所示，作经过点的，在劣弧上取一点（不与重合），连接， 则，（依据1） ． 点四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点在点所确定的上，（依据2） 点四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”是_____，“依据2”是_____． （从下框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补 ②对角互补的四边形四个顶点共圆 ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上 【结论运用】 （1）如图3，在四边形中，，，则的度数为_____． （2）如图4，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接．延长交于点．请证明下列两个结论： 四点共圆； ②． 16．综合与实践 【问题提出】 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题： 如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接． 【初步感知】 （1）求证：A，，，四点共圆； 【深入探究】 （2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； 【延伸探究】 （3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值． 17．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 18．综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【模型04：瓜豆原理】 19．如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆压轴四大模型突破 【模型01：点圆最值问题】 【模型02：定弦定角】. 【模型03：四点共圆】 【模型04：瓜豆原理】 【模型01：点圆最值问题】 1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是为（　　） A． B．0.25 C．1 D．2 【答案】A 【分析】依题意设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根据点到直线的距离可知：当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值. 【详解】解：设Q是AB的中点，连接DQ， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC＝2，O为AC中点， ∴ ∴AQ＝AO， 在△AQD和△AOE中， ， ∴△AQD≌△AOE（SAS）， ∴QD＝OE， ∵点D在直线BC上运动， ∴当QD⊥BC时，QD最小， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∵QD⊥BC， ∴△QBD是等腰直角三角形， ∴ ∵QB＝AB＝1， ∴ ∴线段OE的最小值是为 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是：作出辅助线构建全等三角形. 2．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，证得，当，，三点共线时，的值最小，证得点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点为的中点，， ， ∴点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上， ∴圆外一点到圆上一点距离的最小值为， ， ， ， 的最小值是． 3．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由点为矩形内一个动点，且得点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），要求的最小值，即求的最小值，当三点共线时，的值最小，由勾股定理求出，可得的最小值为，根据三角形中位线定理可得的最小值为． 【详解】解：∵点为矩形内一个动点，且， ∴点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），如图， 设的中点为O，则O是圆心，半径，连接 ∵M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 因此，要求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 4．如图，M是等边三角形的边的中点，P为平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,由等边三角形的性质和勾股定理求出,证明是等边三角形，得到,再证明,得到,得出点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接,将绕点逆时针旋转得到，连接， 点是等边三角形边的中点， ， ， 由旋转的性质可得, 是等边三角形， , , , , , 点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动， 当点在线段上时，的值最小，最小值为. 5．如图，在矩形中，，P是边上的一点，且，E是线段上的一个动点，把沿折叠，点C的对应点为F，当点E与点D重合时，点F恰好落在上，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，画出图形，由勾股定理解，求出的长，再根据，点P为定点，可知点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上，连接，与交点即为所求点F． 【详解】解：矩形中，，， ，，，， 当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，如下图所示： 设， 由折叠的性质可知：，， 在中，由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． ，点P为定点， 点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上， 如图，连接，与交点即为所求点F， ，， ， ， 即的最小值是． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点、点、（），点在以为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系、直角三角形的性质、平面直角坐标系中两点之间的距离公式，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据三角形三边之间的关系可知，可得：当点、、三点共线时最小，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可以求出，所以的最小值为． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 点、点、（）， ， 又， ， ， 当点、、三点共线时最小， 点的圆心是， ， 的半径为， ， ， 的最小值为. 7．如图，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】取点，连接，容易证明是的中位线，则，因此最大时，最大．当、、三点共线时，取得最大值为，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，取点，连接， ∵，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，即最大时，最大， 由线段公理可知，当、、三点共线时，取得最大值为， 由勾股定理可得， ∴取得最大值为，此时， ∴的最大值为． 【模型02：定弦定角】. 8．如图，中，，，．点为内一点，且满足．则的最小值为______． 【答案】 【分析】以为直径作，连接，交于点，根据勾股定理得出，根据，得出点P在以为直径的圆上运动，从而得出当B、P、O三点共线时，最小，即可得出答案． 【详解】解：如图，以为直径作，连接，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴点P在以为直径的圆上运动， ∴当B、P、O三点共线时，最小， ∴的最小值为． 9．如图，在中，，，，是内一点，，则长的最小值是______． 【答案】2 【分析】根据，可知点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，利用勾股定理得到，此时的最小值为． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 点在以为直径的上， 连接交于点，此时最小， 在中，，，， ， ， 线段长的最小值为． 10．如图，已知正方形，边长为，点是正方形内部一点，且，点是边上一动点，连接，．则的最小值为___． 【答案】 【分析】由，根据圆周角定理，可知点在以为直径的圆上；先作点关于的对称点，则，因此．要使最小，即求的最小值，也就是定点到圆上动点的最短距离（最小值），再结合对称性性质求解． 【详解】解：，， 点在以为直径的上，圆心为中点，半径， 作点关于的对称点，连接，则， ， 当、、三点共线时，最小，即最小，最小值为的最小值， 圆外一点到圆上点的最短距离=该点到圆心距离半径， 作于点，连接， ， 又， 四边形是矩形， ，， 根据勾股定理，， ， 即的最小值为． 11．如图，在边长为6正方形中，点分别是边，上的动点，且交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】证明，确定P点轨迹是以为直径的圆，设中点为O（圆心），则圆半径，点C到圆O上点的最小距离为：点C到圆心O的距离减去半径，求解即可； 【详解】 解：在正方形中，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又， 则，故， 根据“直角对直径”，点P的轨迹是以为直径的圆， 设中点为O（圆心），连接，则圆半径， 点C到圆O上点的最小距离为：点C到圆心O的距离减去半径， 在中，，，， 由勾股定理得： ， 因此的最小值为． 12．如图，在矩形中，，点为平面内一点，且满足．连接，则的最小值是_____，最大值是_____． 【答案】 【分析】由题意可得点在以为直径的圆上，分别画出图形分两种情况解答即可求解． 【详解】解：∵矩形中， ， 点在以为直径的圆上， 如图，取的中点，连接，交于点，此时的值最小， ∵点是的中点， ， ∴， 的最小值为 ， 如图，取的中点，连接并延长，交于点，此时的值最大， ∴的最大值为， 故答案为：，． 【模型03：四点共圆】 13．【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 (2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 (3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】(1)①可知、、三点在以为圆心、为半径的圆上，根据圆周角定理求解即可； ②利用圆内接四边形对角互补求解即可； (2)由，取斜边的中点，可得，于是、、、四点共圆，且为直径，再利用圆周角定理推论求解即可； (3)通过两次全等证明，确定动点在以为直径的圆上，最后将“最小值”转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题即可． 【详解】（1）解：①如图1， ，， ，，都在以为圆心，为半径的上， ； ②在圆内接四边形中，， ． （2）解：如图2，取的中点，连接，， ，， ， ，，，在以为直径的上， ． （3）解：如图3： ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接， ， 在以为直径的圆上，，，三点共线时最小， 在中，， 的最小值是． 14．【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 【答案】 （1）如图， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）30；（4）；（5） 【分析】（1）由圆的内接四边形可得，即可求解； （2）通过点A、B、C、E四点在同一个圆上，可得点C在点A、B、D所确定的上，即可求解； （3）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得； （4）通过证明点A、、E、C四点共圆，可得，由三角形内角和定理可求解； （5）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得，当是直径时，有最大值，即四边形的周长有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于， 连接，则． 四边形是的内接四边形， ， ， 与矛盾，故点C不可能在圆内， ∴点C在圆上， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）∵， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴， 故答案为：30； （4）由对称可知，， ， ， 由（2）可知，点A、、E、C四点共圆． ， 中，， ； （5）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴，弦最大值是直径长， 以为边在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴A，E，D三点共线， ∴， ∵四边形周长， ∴当是直径时，四边形的周长有最大值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，反证法，等边三角形的判定与性质等知识点． 15．综合与实践——探究四点共圆的条件（续） 某学习小组在开展“探究四点共圆的条件”的数学活动后，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，连接，如果，那么四点在同一个圆上． 【探究展示】如图2所示，作经过点的，在劣弧上取一点（不与重合），连接， 则，（依据1） ． 点四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点在点所确定的上，（依据2） 点四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”是_____，“依据2”是_____． （从下框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补 ②对角互补的四边形四个顶点共圆 ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上 【结论运用】 （1）如图3，在四边形中，，，则的度数为_____． （2）如图4，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接．延长交于点．请证明下列两个结论： 四点共圆； ②． 【答案】【反思归纳】①，③； 【结论运用】（1）； （2）①证明：由旋转的性质可得，， ∴， ， ∴， ∴点四点共圆； ②证明：如图，连接， ∵点四点共圆， ∴， 又∵， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是读懂题干信息； 【反思归纳】（1）选择恰当的依据填空即可； 【结论运用】（1）通过已知判断四点共圆，进而利用圆周角的性质即可求得结果； （2）①利用旋转可得，进而结论可证； ②通过论证，结合等腰三角形即可得出结论． 【详解】【反思归纳】解：∵四点共圆， ∴，（圆内接四边形对角互补） ， 点四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点在点所确定的上，（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） 点四点在同一个圆上． 故答案为：①，③； 【结论运用】（1）解：∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 16．综合与实践 【问题提出】 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题： 如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接． 【初步感知】 （1）求证：A，，，四点共圆； 【深入探究】 （2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； 【延伸探究】 （3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值． 【答案】 （1）证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A、B、D、E四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径 ∴是的切线； （3） 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆； （2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线； （3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接， ∵， ∴， ∵点M是边的中点，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由得， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴点P一定在的垂直平分线上， ∴点P在直线上， ∴当时，有最小值， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴圆心P与点M距离的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定，四边形的外接圆的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键． 17．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 【答案】(1)直角三角形斜边中线等于斜边的一半； (2) 证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角． ∴，相互矛盾，故点在圆上； (3)，B、E、D、C，； (4) 证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∴， 由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上． 【分析】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质等知识，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用． （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论可知，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上； （3）以四点作圆，以四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明； （4）连接，由结论可得点四点共圆，点四点共圆，证明，由结论可得点四点共圆，即点在的外接圆上． 【详解】（1）解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即A，B，C，D共圆， 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）略 （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、四点作圆，连接，如图： ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高， 故答案为：，B、E、D、C，； （4）略 18．综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等； （2）证明：如图3，假设点在外，设交于点，连接， 点在上， ， 在中，， ， 这与已知条件矛盾， 点不在外； （3） 【分析】（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； （3）延长至点，使得，过点作于，证明得，再利用勾股定理及 30 度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：（1）同弧所对的圆周角相等； （2）略 （3）解：的值不会发生改变；理由如下： 已知四边形中，，若，平分，记，延长至点，使得，过点作于， ，，，四点在同一个圆上， 平分， ， ， ； ，，，四点在同一个圆上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 平分，， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． 【模型04：瓜豆原理】 19．如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故选：B． 20．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，从而推出点的运动轨迹是以为直径的圆上，取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，利用等腰直角三角形的性质，求出，连接交于点，此时线段有最小值，先利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在等腰直角三角形中，， ，， 点是的中点， ， ， ， 为的中点， ，， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动， ， ， ，， ，， ， ， 连接交于点，此时线段有最小值， 在中，， ， 故选：D． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，直径所对圆周角、点到圆的距离等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 21．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $