专题06 圆中的重要模型之阿基米德折弦模型、婆罗摩笈多（定理）模型（几何模型讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义以圆中阿基米德折弦模型、婆罗摩笈多模型为核心，通过框架图呈现模型条件与结论，用表格归纳圆核心性质、全等证明等知识储备，构建“模型来源-证明方法-典例运用”的递进知识脉络，突出线段转化与垂直中点转化的重难点联系。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固模型应用，B组提升题结合阅读探究（如补全阿基米德折弦定理证明），C组压轴题综合圆与三角形知识，培养推理意识与几何直观。融入数学家故事激发兴趣，易错点总结与方法指导帮助学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题06 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 阿基米德折弦模型主要解决：圆内折弦结构的线段和差证明与长度计算，是圆几何线段转化的 “终极工具”。该模型定理可考阅读、可考探究、可层层变式，区分度极高，是尖子生拔高必备模型。 婆罗摩笈多模型主要实现：垂直条件与中点条件的无条件双向转化，是圆内倒角、证垂直、证中点的终极工具。此定理完美体现几何 “对称、互逆、统一” 的美感， 中考命题人极其偏爱：条件隐蔽、结论炸裂、推导简洁、区分度极强。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.阿基米德折弦（定理）模型 2 模型2.婆罗摩笈多（定理）模型 9 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 22 C组（综合压轴题） 30 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ 1）圆核心性质：等弧对等弦、同弧或等弧对等圆周角；圆内接四边形对角互补；垂径定理、勾股定理。 2）全等三角形 SAS、AAS 证明。 3）几何核心辅助线：截长法、补短法（线段和差专属）。 4）等腰三角形三线合一；等角对等边（等腰判定）；直角互余倒角模型；直角三角形斜边中线定理。 模型1.阿基米德折弦（定理）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在上截取，连接，，，， 是的中点，，， 和都是所对的圆周角，， 在和中，，，， 又，，，故C选项正确， 现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，故选C． 【典例2】（2025·河南南阳·校考一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是弧ABC的中点，… 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为弧AC上一点，，于点E，，连接AD，则△DAB的周长是___________． 【答案】(1)见解析(2)2＋4 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中∵ ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB＝MG，∴△MBG是等腰三角形又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD； （2））解：如图4，截取BF＝AD，连接CF，CD， ∵△ABC是等边三角形∴ BC＝AC，∠CBF＝∠CAD，∠ABC＝60°， 在△CBF和△CAD中∵ ∴△CBF≌△CAD（SAS）， ∴CF＝CD，∠BCF＝∠ACD＝∠ABD＝15°∴△CDF是等腰三角形， ∵CE⊥BD，∴FE＝DE，∠BCE＝90°则AD+DE＝BE， ∵∠ABD＝15°∴∠CBE＝∠ABC－∠ABD＝45°∴∠BCE＝90°－∠CBE＝45° ∴△BCE是等腰直角三角形∴BE＝CE＝2，BC＝ ∴AD+DE＝BE＝2，AB＝BC＝2 ∴△DAB的周长＝AB＋AD+DE＋BE＝2＋4故答案为：2＋4 【典例3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线 段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为　　　．      【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点 是的中点，从向 作垂线，垂足为，则．这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， ∵点 是的中点，∴，∴． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】（3）如图4，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系?请直接写出结论．    【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　　．   【详解】（1）解：是的切线，为切点，，， ，，，， 是折线段的中点，，故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、，    ∵点是的中点，∴，∴． ∵，，，， ，，，∴； （3）解：，理由如下： 证明：如图，在上截取，连接、、、，    点是的中点，，，， ，，， ，，；∴； （4）解：是的直径，，，，∴由勾股定理得， 当点在下方半圆上时，如图，  ，，过点作交于点， 同理由（3）可知，，； 当点在上时，如图，，  过点作交于点， 同理由（3）可知，，； 综上所述：的长为或，故答案为：或． 【典例4】（2026·河南商丘校考一模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接， ∵是的中点，∴ 在和中，∴，∴ ∵，∴∴ ； （2）证明：在中，， 在中，，由（1）可知， ， ∴ ； 模型2.婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 【模型提炼与证明】 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理） 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD． 结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：，，．． 又_______，，．… 任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：由题意知，材料中横线部分缺少的条件为，故答案为：； （2）证明：，， ，，， 又，，，，∴， ∵，∴，∴，∴． 【典例2】（2025·山西·校考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，，∴ ∴，．∴． ∵，∴．（依据） 又∵，∴．∴．…… 任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3）见解析． 【详解】（1）同弧所对的圆周角相等 （2）…，∵，， ∴，∴，∴． （3）证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 【典例3】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为．． ，．． 与都是所对的圆周角，．（依据1） ．．．（依据2） 同理，．． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务：(1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 【详解】（1）解：与都是所对的圆周角， ，（同弧所对的圆周角相等）；依据1为同弧所对的圆周角相等； ，，（等角对等边）依据2为等角对等边； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；等角对等边． (2)正确，理由如下，，，，， ，， 四边形是圆内接四边形，，， 又，，，同理，，． （3）解：取的中点，连接，，如图， 则，根据题意可知，，为中位线， ，，同理，，， ，，，， ，，，，，， 在中，． 1.（25-26广东九年级期中）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB， ∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴BA=GC，CD=AB+BD=，故选：D． 2.（2025·广东·校考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 【答案】60°． 【详解】解：如图2，连接OA、OC、OE， ∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB， ∴点E为弧ABC的中点，即，∴∠AOE＝∠COE， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案为60°． 3．（26-27九年级下·成都·单元复习）阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 【答案】(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补 (2)证明：如图2，连接， 于点D，．，， ，，． ∵四边形内接于，． ，， 在和中， ， 4.（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． 又_______，，．… 任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：由题意知，材料中横线部分缺少的条件为，故答案为：； （2）证明：，，，，， 又，，，，∴， ∵，∴，∴，∴． 5.（2025·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，，∴ ∴，．∴． ∵，∴．（依据） 又∵，∴．∴．…… 任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3）见解析． 【详解】（1）同弧所对的圆周角相等 （2）…，∵，， ∴，∴，∴． （3）证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 6．（2025·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理：如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，，∴，．∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ，∴．∴② ．… 任务：(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)①；②(2)1 【详解】（1）证明：∵，， ∴，．∴． 又∵，（同弧所对的圆周角相等） ，∴．∴．…故答案为：①；②； （2）解：四边形是内接四边形，， ，，即， ，，，，． 7.（2025·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即， ，，在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，即， ，，在中，，， 又∵，∴，∴， ∵，∴∴，∴； （2）证明：∵∴，∴ 又∵，∴， ∵，∴∴，∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ，， ，，即， ， ，， ，，由（1）中结论可得， ，，在中，，． 1．（2026·湖南株洲·校考二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．    【答案】/ 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ∴外接圆中，，即点是弧的中点，且于点， ∴根据阿基米德折弦定理得，， ∵中，，于点，且， ∴，，即是等腰直角三角形，则， ∴，∴， ∵的周长为，∴，故答案为：． 2．（25-26九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    【答案】1 【详解】解：连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，      ∵是直径，∴，由题意知，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴， 同理可得，∴， ∴，即的半径为1，故答案为：1． 3．（25-26·山西阳泉·九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：    阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，． ∵是弧的中点， ∴．…       任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．    【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）∵是弧的中点，∴，∵，∴， ∵和所对的弧是，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴． （2）∵是等边三角形，∴，，∵，∴， ∵于点，∴，∴，∵，∴，∵， ∴折弦的长为：，故答案为：． 4．（2026·河南安阳·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知内接于，点P在上（不与点A，B，C重合），过点P分别作，，的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接，，，，取的中点Q，连接，，则，（依据1） ∴点E，F，P，C四点共圆，∴．（依据2） 又∵，∴． 同上可得点B，D，P，E四点共圆，…… 任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________． (2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性． 【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ②依据2指的是圆内接四边形对角互补， 故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补； （2）如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE、QF， 则EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴点E，F，P，C四点共圆，∴∠FCP+∠FEP=180°， 又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得点B，D，P，E四点共圆，∴∠DBP=∠DEP， ∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴点D，E，F在同一直线上； （3）如图，连接． ∵点P是的中点，∴，∴． 又∵，∴，∴，∴． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）问题提出 如图1，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝BA+AD． 小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC． ∵M是的中点∴∴∠MCB＝∠MAC（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．） 推广运用：如图3，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是 　 　． 拓展研究:如图4，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系，并说明理由． 【答案】问题提出：见解析；推广运用：1+；拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD，理由见解析 【详解】问题提出：证明：如图2，延长CA至E，使AE=AB，连接MA、MB、MC、ME、BC， ∵M是的中点， ∴MB=MC，∠MBC=∠MCB， ∵∠MAB=180°-∠MCB，∠EAM=180°-∠CAM=180°-∠MBC， ∴∠EAM=∠BAM， 在△EAM和△BAM中，， ∴△EAM≌△BAM（SAS）， ∴ME=MB=MC， 又∵MD⊥AC，∴ED=CD， ∴DC=AD+AE=BA+AD； 推广运用：解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD， 由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD， 在△ABF和△ACD中， ∴△ABF≌ACD（SAS）， ∴AF=AD， ∵AE⊥BD， ∴FE=DE，则CD+DE=BE， ∵∠ABD=45°， ∴BE= ， 则△BDC的周长=BC+BD+CD=BC+2BE=1+， 故答案为：1+； 拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD， 证明：延长MD交圆O于点E，如图④，连接EA，EF，ED，EB交AC于N， ∵M是的中点， ∴∠BEM=∠CEM， 在△EDN和△EDC中，,∴△EDN≌△EDC ,∴CD=ND，∠ECD=∠END， ∵∠ECD=∠ABE，∠ENC=∠ANB， ∴∠ANB=∠ABE， ∴AN=AB， ∴AD=AN+ND=BA+CD． 6．（2026重庆·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 【答案】（1）见解析；（2）菱形 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 证明：，， ，，， 同理可证，，∴点E是的中点 故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 （2）四边形是菱形 理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点， 是中点 ∴四边形是菱形故答案为：四边形是菱形 7．（2026·河南驻马店·校考一模）阅读以下材料，并完成相应的任务： 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上 以下是他们的证明过程： 如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF， 则（依据1）， ∴E，F，P，C四点共圆．∴（依据2）． 又∵，∴． ∵，∴B，D，P，E四点共圆．∴（依据3）． ∵，∴（依据4）． ∴点D，E，F在同一条直线上． 任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______； ③依据3指的是______；④依据4指的是______． (2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性． 【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换(2)见解析 【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补； ③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换； （2）证明：如图，连接PA，PB，PC． ∵点P是的中点，∴．∴，． 又∵，，∴． ∴（HL）．∴． 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故选A． 2．（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点，．．．．．请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是的中点，，，在中，， 在和中，，，， ，，． （2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知，过圆心且，，， ，四边形是矩形，， ，， ，． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD． （1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）__________． （2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）40 【详解】（1）是的中点，故答案为： （2） 理由如下：如图，在线段上截取， ∵∴是的中垂线∴ ， ∵点D是的中点，∴，，∴ ∵∴， ∵，∴ ，∴，∴， ∴即 （3）∵∴ ∴ 4．（2026·贵州·校考一模）（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再次做了研究，如图甲，中，点C是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过点C作，垂足为点E，小红在电脑上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关系，这个关系是______（用ED、DB、AE的式子表示） ED DB AE 1.37 2.23 3.60 1.51 2.07 3.58 1.63 1.93 3.56 1.91 1.60 3.51 （2）探索结论：怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如图乙，在线段AE上截取点F，使得，连接CF、CD．小红试图构造关于AF、DB所在的三角形，通过全等完成证明，请接着小红的想法完成证明． （3）结论应用：如图丙，等边三角形ABC内接于，点D在上，连接BD、CD，过点C作，垂足为点E，若，，求的半径． 【答案】（1）AE=DE+BD；（2）证明见解析；（3）． 【详解】（1）解：由表格可得：当AE=3.60，DE=1.37，BD=2.23时，有3.60=1.37+2.23，即AE=DE+BD； 当AE=3.58，DE=1.51，BD=2.07时，有3.58=1.51+2.07，即AE=DE+BD； 当AE=3.56，DE=1.63，BD=1.93时，有3.56=1.63+1.93，即AE=DE+BD； 当AE=3.51，DE=1.91，BD=1.60时，有3.56=1.91+1.60，即AE=DE+BD； 因此，线段ED、DB、AE的关系为AE=DE+BD，故答案为AE=DE+BD； （2）证明：如图1，在线段AE上取一点F，使得EF=DE，连接CD、BC、CF、AC， ，EF=DE，CF=CD，， ， 中，点C是劣弧AB的中点，，， ，，  ， ，，， AE=AF+EF=DE+BD； （3）解：如图2，作直径AF，连接CF， 等边三角形ABC内接于，，， ，， ，，，AE=CE， ，，， ， DE=1，AE=，， AF是的直径，，，的半径为． 5.（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）阅读理解：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图1，在上截取，连接，，，． 是的中点，． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图2，已知等腰三角形内接于，，，点为上一点，，于点，求的周长． 【答案】(1)见解析；(2)的周长为． 【详解】（1）证明：如图1所示，在上截取，连接，，，， 是的中点， ，又所对圆周角为与，∴， 在和中， ，，， ，，； （2）解：如图2所示，在上截取， ，，，∴，， 又所对圆周角为与，∴， 在和中， ，，， ，，， 的周长为，答：的周长为． 6.（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3(2)，证明见解析；(3)或． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ，，，； （2）解：，证明如下：如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点，，， 在和中，，，，， ，，，即； （3）解：是的直径，， 的半径为10，，，由勾股定理得：，， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ，，，，， ，即点是的中点，， ，； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，，，，即点是的中点， 由（2）可知，，，在中，， 综上可知，长为或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 阿基米德折弦模型主要解决：圆内折弦结构的线段和差证明与长度计算，是圆几何线段转化的 “终极工具”。该模型定理可考阅读、可考探究、可层层变式，区分度极高，是尖子生拔高必备模型。 婆罗摩笈多模型主要实现：垂直条件与中点条件的无条件双向转化，是圆内倒角、证垂直、证中点的终极工具。此定理完美体现几何 “对称、互逆、统一” 的美感， 中考命题人极其偏爱：条件隐蔽、结论炸裂、推导简洁、区分度极强。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.阿基米德折弦（定理）模型 2 模型2.婆罗摩笈多（定理）模型 9 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 22 C组（综合压轴题） 30 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ 1）圆核心性质：等弧对等弦、同弧或等弧对等圆周角；圆内接四边形对角互补；垂径定理、勾股定理。 2）全等三角形 SAS、AAS 证明。 3）几何核心辅助线：截长法、补短法（线段和差专属）。 4）等腰三角形三线合一；等角对等边（等腰判定）；直角互余倒角模型；直角三角形斜边中线定理。 模型1.阿基米德折弦（定理）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·河南南阳·校考一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是弧ABC的中点，… 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为弧AC上一点，，于点E，，连接AD，则△DAB的周长是___________． 【典例3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线 段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为　　　．      【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点 是的中点，从向 作垂线，垂足为，则．这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， ∵点 是的中点，∴，∴． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】（3）如图4，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系?请直接写出结论．    【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　　．   【典例4】（2026·河南商丘校考一模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 模型2.婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 【模型提炼与证明】 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理） 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD． 结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：，，．． 又_______，，．… 任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程． 【典例2】（2025·山西·校考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，，∴ ∴，．∴． ∵，∴．（依据） 又∵，∴．∴．…… 任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 【典例3】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为．． ，．． 与都是所对的圆周角，．（依据1） ．．．（依据2） 同理，．． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务：(1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 1.（25-26广东九年级期中）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 2.（2025·广东·校考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 3．（26-27九年级下·成都·单元复习）阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 4.（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． 又_______，，．… 任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程． 5.（2025·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，，∴ ∴，．∴． ∵，∴．（依据） 又∵，∴．∴．…… 任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 6．（2025·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理：如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，，∴，．∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ，∴．∴② ．… 任务：(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 7.（2025·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即， ，，在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 1．（2026·湖南株洲·校考二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．    2．（25-26九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    3．（25-26·山西阳泉·九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：    阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，． ∵是弧的中点， ∴．…       任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．    4．（2026·河南安阳·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知内接于，点P在上（不与点A，B，C重合），过点P分别作，，的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接，，，，取的中点Q，连接，，则，（依据1） ∴点E，F，P，C四点共圆，∴．（依据2） 又∵，∴． 同上可得点B，D，P，E四点共圆，…… 任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________． (2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）问题提出 如图1，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝BA+AD． 小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC． ∵M是的中点∴∴∠MCB＝∠MAC（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．） 推广运用：如图3，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是 　 　． 拓展研究:如图4，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系，并说明理由． 6．（2026重庆·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 7．（2026·河南驻马店·校考一模）阅读以下材料，并完成相应的任务： 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上 以下是他们的证明过程： 如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF， 则（依据1）， ∴E，F，P，C四点共圆．∴（依据2）． 又∵，∴． ∵，∴B，D，P，E四点共圆．∴（依据3）． ∵，∴（依据4）． ∴点D，E，F在同一条直线上． 任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______； ③依据3指的是______；④依据4指的是______． (2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性． 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点，．．．．．请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD． （1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）__________． （2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值． 4．（2026·贵州·校考一模）（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再次做了研究，如图甲，中，点C是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过点C作，垂足为点E，小红在电脑上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关系，这个关系是______（用ED、DB、AE的式子表示） ED DB AE 1.37 2.23 3.60 1.51 2.07 3.58 1.63 1.93 3.56 1.91 1.60 3.51 （2）探索结论：怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如图乙，在线段AE上截取点F，使得，连接CF、CD．小红试图构造关于AF、DB所在的三角形，通过全等完成证明，请接着小红的想法完成证明． （3）结论应用：如图丙，等边三角形ABC内接于，点D在上，连接BD、CD，过点C作，垂足为点E，若，，求的半径． 5.（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）阅读理解：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图1，在上截取，连接，，，． 是的中点，． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图2，已知等腰三角形内接于，，，点为上一点，，于点，求的周长． 6.（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $