2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以8大题型分层递进，覆盖从基础求解到实际应用的完整知识链，强化逻辑推理与数学建模能力 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不含参不等式求解、解集求参数|直接考查定义与运算，如解不含参不等式（题型01）| |提升层|含参不等式、恒成立与有解问题|需分类讨论与逻辑推理，如含参不等式整数解分析（题型03）| |综合层|根分布、实际应用|结合数学建模解决问题，如销售利润与运动轨迹应用（题型08）|

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型01 解不含参一元二次不等式 1 题型02 根据一元二次不等式解集求参数 1 题型03 解含参一元二次不等式 2 题型04 一元二次不等式在R上恒成立问题 3 题型05 一元二次不等式在区间上恒成立问题 3 题型06 一元二次不等式在区间上有解问题 4 题型07 一元二次方程根的分布问题 4 题型08 一元二次不等式实际应用 5 题型01 解不含参一元二次不等式 1．不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 2．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据一元二次不等式解集求参数 6．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 7．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 8．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 9．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 10．不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 题型03 解含参一元二次不等式 11．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 12．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 15．解不等式． 题型04 一元二次不等式在R上恒成立问题 16．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 17．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 18．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 19．命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 20．若不等式的解集为R，则的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 题型05 一元二次不等式在区间上恒成立问题 21．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 22．对，不等式恒成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 23．命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 25．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 题型06 一元二次不等式在区间上有解问题 26．若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 28．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 30．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 一元二次方程根的分布问题 31．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 32．若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 34．关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 题型08 一元二次不等式实际应用 36．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 38．某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）．第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件．要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是多少？ 二、解答题 39．某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 40．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型01 解不含参一元二次不等式 1 题型02 根据一元二次不等式解集求参数 2 题型03 解含参一元二次不等式 4 题型04 一元二次不等式在R上恒成立问题 8 题型05 一元二次不等式在区间上恒成立问题 10 题型06 一元二次不等式在区间上有解问题 12 题型07 一元二次方程根的分布问题 14 题型08 一元二次不等式实际应用 16 题型01 解不含参一元二次不等式 1．不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 2．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以，又，所以. 5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求出解集，结合充分条件，必要条件的概念求解即可. 【详解】不等式，即的解集为. 结合充分不必要条件的概念及各项描述，不等式成立的一个充分不必要条件为. 题型02 根据一元二次不等式解集求参数 6．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 7．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 8．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【详解】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 9．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，利用韦达定理，得到的关系，代入不等式，转化为不含参的一元二次不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解． 【详解】由一元二次不等式的解集为， 可得，解得， 则不等式可转化为，即， 因为，则，不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D． 10．不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据不等式的解集求得的关系式，进而求得的解集. 【详解】依题意，不等式的解集为， 所以，所以， 所以，即， ，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 题型03 解含参一元二次不等式 11．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 12．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含参分类讨论解不等式，再结合解集中恰有3个整数即可求出答案. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 13．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原不等式因式分解后可得，计算即可得. 【详解】化简可得， 由该不等式有且只有两个整数解，可得两个整数解必为1和2， 则有 ，解得. 故选：A. 14．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）解一元二次不等式即可得答案； （2）将分式不等式转化为整式不等式求解，即得答案； （3）不等式可化为，分类讨论a的取值，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 即，解得， 故不等式的解集为. （2）由得， 即，也即为， 故，解得， 故不等式的解集为. （3）不等式可化为， 当时，解得； 当时，原不等式即为， 当时，，. 当时，，此时不等式解集为； 当时，， 当时，原不等式即为， 因为，所以，所以或. 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 15．解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【分析】分、及进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 题型04 一元二次不等式在R上恒成立问题 16．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 17．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 18．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 19．命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案. 【详解】∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， ∴，∴. 即命题“，使”是假命题等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求. ∴选项B正确. 20．若不等式的解集为R，则的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将问题转化为等式在R上恒成立，讨论的范围即可得到结果. 【详解】由题意得不等式在R上恒成立. 当时，不等式恒成立，符合题意. 当时，由不等式恒成立得，解得， 综上得，. 故选：A. 题型05 一元二次不等式在区间上恒成立问题 21．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 22．对，不等式恒成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，分类讨论解含有参数的一元二次不等式，再由不等式恒成立确定的范围，最后结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】整理得， 当时，解得；当时，解得； 当时，解得. 又，不等式恒成立，，即， 因为⫋，故 “”是“”的充分不必要条件， 故选：D． 23．命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设在上恒成立，得，结合对应二次函数的性质研究不等式恒成立求参数范围. 【详解】由题意在上恒成立，显然， 令，其对称轴为，且， 当，即时，恒成立， 当，即时，只需，可得，所以， 综上，. 故选：A 24．若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 25．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 题型06 一元二次不等式在区间上有解问题 26．若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 27．若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 28．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 29．当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 30．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围． 【详解】不等式在内有解等价于时，. 当时，，所以. 故选：A. 题型07 一元二次方程根的分布问题 31．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 32．若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 33．关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 34．关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设方程对应的二次函数为，根据判别式，对称轴，列出不等式组，求解即可． 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 35．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 题型08 一元二次不等式实际应用 36．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 37．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【答案】A 【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【详解】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 38．某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）．第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件．要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是多少？ 【答案】 【分析】计算出第二年产品上交的营业税，根据题意得出关于的不等式，解不等式即可得出的最大值． 【详解】由题意，第二年产品年销售量为万件，产品的售价为元， 所以，第二年产品年销售额为万元， 则第二年产品上交的营业税为万元． 由题意可得， 化简得，即，解得． 所以的最大值是． 39．某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 40．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $