2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二次函数与不等式核心知识，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三阶分层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学思维与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数性质、不等式解集|选择1直接考查解集求解，填空9结合生产利润情境，落实数学应用意识| |提升层|韦达定理、分式/绝对值不等式|选择3通过商场利润问题融合函数与不等式，计算12综合多种不等式类型，强化运算能力| |综合层|含参不等式讨论|简答13分a=0与a≠0分类求解，培养逻辑推理与分类讨论思维，体现数学思维严谨性|

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步练习 1. 二次函数的图象与性质 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 2. 一元二次方程求根公式及韦达定理 一元二次方程求根公式 的根为： 韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 3. 解一元二次不等式 “三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 4. 解分式不等式 ① ② ③ ④ 5. 解单绝对值不等式 或， 巩固练习 1、 单项选择题 1.不等式的解集是（       ） A． B． C． D．，或 2.已知不等式的解集是，则（       ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 3.商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（       ） A．11元 B．16元 C．12元到16元之间 D．13元到15元之间 4.下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 5.“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 7.不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   8.已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 2、 填空题 9.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是______． 10.已知，则关于的不等式的解集是________.（用区间表示） 11.不等式的解集为 。 三、计算 12.求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (6) 3、 简答题 13.关于的不等式： (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步练习答案含解析 1. 二次函数的图象与性质 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 2. 一元二次方程求根公式及韦达定理 一元二次方程求根公式 的根为： 韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 3. 解一元二次不等式 “三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 4. 解分式不等式 ① ② ③ ④ 5. 解单绝对值不等式 或， 巩固练习 1、 单项选择题 1.不等式的解集是（       ） A． B． C． D．，或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得； 【详解】解：由，解得，即不等式的解集为； 故选：C 2.已知不等式的解集是，则（       ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果. 【详解】因为不等式的解集是, 所以的两根为，则，即， 所以. 故选：A 3.商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（       ） A．11元 B．16元 C．12元到16元之间 D．13元到15元之间 【答案】C 【解析】设销售价定为每件元，利润为元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不等式，解不等式即可求得每件销售价的范围. 【详解】设销售价定为每件元,利润为元， 则， 由题意可得：， 即， 所以， 解得：， 所以每件销售价应定为12元到16元之间， 故选：C 4.下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次不等式的解，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A,，故A不符合， 对于B，,且开口向上，所以对任意的,都有,故B符合, 对于C,得，故C不符合， 对于D,由得，故D不符合， 故选：B. 5.“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】解不等式，由集合的包含关系和充分必要条件的定义判断结论. 【解答过程】不等式的解集或，设集合， 由⫋，所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：C. 6.已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为表示对称轴为，开口向下的抛物线， 所以当时取最大值， 故选：C 7.不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象. 【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，， 故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A 8.已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【解题思路】对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数的性质即可求解. 【解答过程】当时，不等式为，即，不符合题意； 当时，不等式对任意实数都成立， 由一元二次函数性质可知，且判别式 ， 解得． 故选:D． 2、 填空题 9.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是______． 【答案】3 【分析】根据题意，由求解. 【详解】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则， 整理得，又， 所以， 解得． 故x的最小值是3． 故答案为：3 10.已知，则关于的不等式的解集是________.（用区间表示） 【答案】 【分析】对因式分解，再根据，解一元二次不等式即可得到结果. 【详解】因为，所以 又，所以不等式的解集为. 故答案为：. 11.不等式的解集为 。 【答案】 【分析】解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘，再利用十字相乘法，可得答案， 【详解】原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为． 三、计算 12.求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (6) 【答案】(1)或 (2) (3) (4)(5) （6）{} 【分析】（1）（2）（6）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集； （3）利用绝对值不等式的解法解原不等式即可得其解集； （4）（5）利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集. 【详解】（1）解：由可得，解得或， 故原不等式的解集为或. （2）解：由可得，解得， 故原不等式的解集为. （3）解：由可得，即，解得， 故原不等式的解集为. （4）解：由可得，解得， 故原不等式的解集为. （5）解：由可得，解得， 故原不等式的解集为. （6） 解：由得，解得， 故原不等式的解集为﹛﹜ 3、 简答题 13.关于的不等式： (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)或； (2)答案见解析. 【分析】（1）当时，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）分，，，，五种情况解一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）当时，原不等式化为， 方程的实数根为，， 所以原不等式的解集为或. （2）， 当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为； 当时， 方程即的根为，， 且， 当或时，；当时，；当时，； 所以当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集， 当时，原不等式的解集为， 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $