第2章有理数分层练习-2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 这份有理数分层练习通过“基础达标”与“思维达标”双层次设计，覆盖概念理解、运算应用到综合创新，梯度清晰，适配单元复习巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|有理数概念（相反数、绝对值）、基本运算（加减、比较大小）、简单应用（温度差、科学记数法）|选择填空聚焦单一知识点，解答题结合生活情境（如外卖单量），强化运算能力与数据意识| |思维达标|新定义运算、进位制转换、符号推理|通过材料阅读（如《九章算术》算筹）、跨学科情境（二进制），发展抽象能力与创新意识|

第2章有理数分层练习 基础达标 一．选择题（共10小题） 1．（2026•长沙二模）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1011 C．1750×108 D．1.75×1012 2．（2026春•临清市校级月考）如图，工人检测四个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•庆阳二模）下列有理数中，最小的数是（　　） A．﹣4 B．2 C．0 D． 4．（2025秋•方城县校级月考）下列说法不正确的是（　　） A．一个有理数不是整数就是分数 B．相反数是它本身的数是0 C．绝对值是它本身的数是0 D．数轴上距离原点5个单位长度的点表示的数是5和﹣5 5．（2026•阜康市模拟）﹣3的绝对值是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 6．（2025秋•迪庆州校级期末）下列关于数轴的图示，画法正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•萍乡期末）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成﹣7+4﹣5﹣6的是（　　） A．（﹣7）﹣（+4）﹣（﹣5）+（﹣6） B．﹣（+7）+（+4）﹣（﹣5）+（﹣6） C．﹣（+7）﹣（﹣4）﹣（+5）+（﹣6） D．（﹣7）+（+4）+（﹣5）﹣（﹣6） 8．（2025秋•乌鲁木齐期末）如图所示，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列说法正确的是（　　） A．ab＞0 B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．a﹣b＜0 9．（2025秋•铜仁市期末）西汉时的数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．三国时大数学家刘徽在《九章算术注》中用赤、黑色的算筹（注：小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（本试卷用白色表示正数，黑色表示负数），并完善了正负数加减方法．图1所表示的是+21+（﹣32）＝﹣11的计算过程，则图2所表示的计算过程是（　　） A．﹣13+（+23）＝10 B．﹣31+（+32）＝1 C．+13+（+23）＝36 D．+13+（﹣23）＝﹣10 10．（2026•梓潼县二模）日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•江苏期末）比较大小：﹣1　 　 ﹣3．（填“＞”或“＜”） 12．（2026秋•栖霞区校级月考）某高山山下的温度为4℃，记为4℃，山顶的温度为零下6℃，记为　 　 ，这座高山山下和山顶的温度相差　 　 ℃． 13．（2025秋•龙华区校级期末）若x＝2，|y|＝3，且x+y＜0，则x﹣y的值为　 　 ． 14．（2026•福州模拟）国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为　 　 ． 15．（2025秋•遵化市期末）如果a＞0，b＜0，a＜|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小顺序为　 　 ． 16．（2026•南宁校级开学）定义一种新运算“△”，例如：4△3＝4+5+6＝15，8△4＝8+9+10+11＝38；定义另一种新运算“[a]”，例如：[5.3]＝5，[4.9]＝4，[4]＝4．则[1.01]△[10.6]＝　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）． 18．（2025秋•宁波期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣4 +3 ﹣5 ﹣6 +9 +10 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）若平均每送一单能获得5元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 19．（2025秋•栖霞市期末）已知|a|＝2，|b|＝5． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a﹣b|＝b﹣a，求a﹣b的值． 思维达标 20．（2026秋•同步）请你仔细阅读下列材料，并解答后面的问题．计算． 解法一（按常规方法计算）： 原式． 解法二（简便计算，先求其倒数）： 原式的倒数为． 故． 根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法计算： 21．（2025秋•花都区期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：（221）3就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数． 例如：（221）3＝2×32+2×31+1×30＝25（规定当a≠0时，a0＝1，如30＝1），可得（221）3转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为a，b，c，d，则这个三进制的四位数可记为（）3，于是（）3＝a×33+b×32+c×31+d×30． 任务1 （1）将（120）3转换为十进制数，结果是　 　 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时d的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 22．（2025秋•润州区月考）【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：（+3）*（+15）＝+18，（﹣14）*（﹣7）＝+21， （﹣12）*（+14）＝﹣26，0*（﹣15）＝+15 （+13）*0＝+13 【计算】 ①（﹣20）*（﹣5） ②（+7）*（﹣10） ③0*（﹣8） ④[（﹣5）*（+2）]*（﹣4） 【探究一】是否存在两个有理数m、n，使得m*n＝0？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算（﹣9）*x时，得到的结果是+15，求x的值． 【探究三】如果两个有理数a*b的结果是负数，那么等式（a*b）*c＝a*（b*c）对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 第2章有理数分层练习-2026-2027学年数学七年级上册苏科版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•长沙二模）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1011 C．1750×108 D．1.75×1012 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：1750亿＝175000000000＝1.75×1011． 故选：B． 【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 2．（2026春•临清市校级月考）如图，工人检测四个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出各数的绝对值，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为|﹣0.8|＝0.8，|+1.2|＝1.2，|﹣2.5|＝2.5，|+3.6|＝3.6， 且0.8＜1.2＜2.5＜3.6， 所以从质量角度看，最接近标准的是C选项； 故选C． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较，能根据题意求出各数的绝对值并进行比较大小是解题的关键． 3．（2026•庆阳二模）下列有理数中，最小的数是（　　） A．﹣4 B．2 C．0 D． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣4＜02， ∴最小的数是：﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 4．（2025秋•方城县校级月考）下列说法不正确的是（　　） A．一个有理数不是整数就是分数 B．相反数是它本身的数是0 C．绝对值是它本身的数是0 D．数轴上距离原点5个单位长度的点表示的数是5和﹣5 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征及绝对值和相反数的概念进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为一个有理数不是整数就是分数， 所以A选项不符合题意； 因为相反数等于它本身的数是0， 所以B选项不符合题意； 因为绝对值是它本身的数是非负数， 所以C选项符合题意； 因为数轴上距离原点5个单位长度的点表示的数是5和﹣5， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴、有理数、相反数及绝对值，熟知数轴上的点所表示数的特征及绝对值和相反数的概念是解题的关键． 5．（2026•阜康市模拟）﹣3的绝对值是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：|﹣3|＝3， 故选：A． 【点评】本题考查的是求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握“一个负数的绝对值是它的相反数”． 6．（2025秋•迪庆州校级期末）下列关于数轴的图示，画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数轴的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、单位长度不统一，故选项错误； B、正方向不符合习惯，故本选项错误； C、没有正方向，故本选项错误； D、画法正确，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，熟记数轴三要素：原点、正方向、单位长度是解题的关键． 7．（2025秋•萍乡期末）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成﹣7+4﹣5﹣6的是（　　） A．（﹣7）﹣（+4）﹣（﹣5）+（﹣6） B．﹣（+7）+（+4）﹣（﹣5）+（﹣6） C．﹣（+7）﹣（﹣4）﹣（+5）+（﹣6） D．（﹣7）+（+4）+（﹣5）﹣（﹣6） 【分析】将各式写成省略括号和加号的形式后进行判断即可． 【解答】解：（﹣7）﹣（+4）﹣（﹣5）+（﹣6）＝﹣7﹣4+5﹣6，则A不符合题意； ﹣（+7）+（+4）﹣（﹣5）+（﹣6）＝﹣7+4+5﹣6，则B不符合题意； ﹣（+7）﹣（﹣4）﹣（+5）+（﹣6）＝﹣7+4﹣5﹣6，则C符合题意； （﹣7）+（+4）+（﹣5）﹣（﹣6）＝﹣7+4﹣5+6，则，D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．（2025秋•乌鲁木齐期末）如图所示，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列说法正确的是（　　） A．ab＞0 B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．a﹣b＜0 【分析】根据数轴的概念得出a，b的大小关系和a，b的绝对值关系即可得出答案． 【解答】解：由a，b在数轴上的位置可知a＜0＜b， ∴ab＜0， ∴A选项不合题意， ∵一个数的绝对值表示这个数到原点的距离， ∴|a|＞|b|， ∴B选项不合题意， ∵a+b为异号两数相加，取a的符号， ∴结果为负， 故C选项不合题意， ∵a﹣b＝a+（﹣b），两个负数相加，符号不变， ∴a﹣b＜0， ∴D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查数轴的概念和有理数的加减运算，关键是要牢记有理数加减法的法则． 9．（2025秋•铜仁市期末）西汉时的数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．三国时大数学家刘徽在《九章算术注》中用赤、黑色的算筹（注：小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（本试卷用白色表示正数，黑色表示负数），并完善了正负数加减方法．图1所表示的是+21+（﹣32）＝﹣11的计算过程，则图2所表示的计算过程是（　　） A．﹣13+（+23）＝10 B．﹣31+（+32）＝1 C．+13+（+23）＝36 D．+13+（﹣23）＝﹣10 【分析】根据图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负，由此即可得出答案． 【解答】解：由图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负， 则图2表示的过程是在计算（﹣13）+（+23）＝10． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加减法，掌握理解每个算筹所表示的数是解题关键． 10．（2026•梓潼县二模）日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算． 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53． ∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53． 故选：D． 【点评】本题考查十进制中的数二进制、十进制中的数的相互转化的方法：二进制转十进制，从最后一位开始算，依次列为第0、1、2…位，第n位的数（0或1）乘以2的n次方．得到的结果相加就是答案． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•江苏期末）比较大小：﹣1　＞　 ﹣3．（填“＞”或“＜”） 【分析】根据有理数比较大小的方法，负数比较时，绝对值大的反而小即可得到答案． 【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣3|＝3，﹣1和﹣3都是负数， ∴1＜3， 则﹣1＞﹣3， 故答案为：＞． 【点评】本题考查有理数比较大小，熟记负数比较大小的方法是解决问题的关键． 12．（2026秋•栖霞区校级月考）某高山山下的温度为4℃，记为4℃，山顶的温度为零下6℃，记为　﹣6℃　 ，这座高山山下和山顶的温度相差　10　 ℃． 【分析】零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，温差等于较高温度减去较低温度． 【解答】解：由题意，零下6℃记为﹣6℃， ∵4﹣（﹣6）＝4+6＝10， ∴高山山下和山顶的温度相差10℃． 故答案为：﹣6℃；10． 【点评】题目考查了正数和负数，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 13．（2025秋•龙华区校级期末）若x＝2，|y|＝3，且x+y＜0，则x﹣y的值为　5　 ． 【分析】根据题意可得到y＝±3的取值，再根据x+y＜0，得到y＝﹣3，进而得到的确定值，代入计算即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，x＝2，y＝±3， 又∵x+y＜0， ∴y＝﹣3， ∴x﹣y＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的减法，掌握相应的运算法则是关键． 14．（2026•福州模拟）国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为　5.635×107 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定a和n的值即可． 【解答】解：将56350000用科学记数法表示为：5.635×107． 故答案为：5.635×107． 【点评】本题考查了科学记数法，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2025秋•遵化市期末）如果a＞0，b＜0，a＜|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小顺序为b＜﹣a＜a＜﹣b ． 【分析】根据题意将a，b表示在数轴上即可得到结果． 【解答】解：由题意可知，将a，b，﹣a，﹣b表示在数轴上为： ， ∴a，b，﹣a，﹣b的大小顺序为：b＜﹣a＜a＜﹣b． 故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b． 【点评】本题主要考查了用数轴判断式子的大小，能够由题意判断出a，b在数轴上的大致位置是解题的关键． 16．（2026•南宁校级开学）定义一种新运算“△”，例如：4△3＝4+5+6＝15，8△4＝8+9+10+11＝38；定义另一种新运算“[a]”，例如：[5.3]＝5，[4.9]＝4，[4]＝4．则[1.01]△[10.6]＝　55　 ． 【分析】根据两种新运算的规则，先计算出两个取整结果，再代入计算即可． 【解答】解：∵定义一种新运算“△”，例如：4△3＝4+5+6＝15，8△4＝8+9+10+11＝38；定义另一种新运算“[a]”，例如：[5.3]＝5，[4.9]＝4，[4]＝4， ∴[1.01]＝1，[10.6]＝10， ∴[1.01]△[10.6]＝1△10 ＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ＝55． 故答案为：55． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）用乘法分配律计算即可； （2）算式变形后逆用乘法分配律． 【解答】解：（1） ＝8×158×158×15 ＝20+50﹣36 ＝34； （2） 1 （1） 0 ＝0． 【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数相关的运算法则和运算律． 18．（2025秋•宁波期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣4 +3 ﹣5 ﹣6 +9 +10 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）若平均每送一单能获得5元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【分析】（1）用表格中这7天送餐量最大的数减去最小的数即可得到答案； （2）把表格中这7天的送餐量求和再加上50×7即可求出总送餐量，再乘以每一单的单价即可得到答案． 【解答】解：（1）∵送餐量最多的是星期六，送餐量最少的是星期四， ∴+12﹣（﹣6）＝12+6＝18（单）， 答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多18单； （2）50×7+（﹣4）+（+3）+（﹣5）+（﹣6）+（+9）+（+10）+（+12） ＝350﹣4+3﹣5﹣6+9+10+12 ＝369（单）， ∵平均每送一单能获得5元的酬劳， ∴369×5＝1845元， 答：外卖小哥这一周的收入为1845元． 【点评】本题主要考查了有理数四则混合计算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 19．（2025秋•栖霞市期末）已知|a|＝2，|b|＝5． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a﹣b|＝b﹣a，求a﹣b的值． 【分析】（1）由ab＜0可知a，b异号，即a＝2，b＝﹣5或a＝﹣2，b＝5，代入a+b计算即可； （2）根据|a﹣b|＝b﹣a可知a≤b，即a＝﹣2，b＝5或a＝2，b＝5，代入a+b计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，a＝2，b＝﹣5或a＝﹣2，b＝5， ∴a+b＝2+（﹣5）＝﹣3或a+b＝﹣2+5＝3； （2）∵|a﹣b|＝b﹣a≥0， ∴a≤b， ∵|a|＝2，|b|＝5， ∴a＝﹣2，b＝5或a＝2，b＝5， ∴a+b＝﹣2+5＝3或a+b＝2+5＝7． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，有理数的减法，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． 20．（2026秋•同步）请你仔细阅读下列材料，并解答后面的问题．计算． 解法一（按常规方法计算）： 原式． 解法二（简便计算，先求其倒数）： 原式的倒数为． 故． 根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法计算： 【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解； 观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可． 【解答】解：解法1， （）÷（） [（）] （） ； 解法2，原式的倒数为： （）÷（） ＝（）×（﹣56） 56565656 ＝﹣21+12﹣28+16 ＝﹣21， 故（）÷（）． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 21．（2025秋•花都区期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：（221）3就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数． 例如：（221）3＝2×32+2×31+1×30＝25（规定当a≠0时，a0＝1，如30＝1），可得（221）3转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为a，b，c，d，则这个三进制的四位数可记为（）3，于是（）3＝a×33+b×32+c×31+d×30． 任务1 （1）将（120）3转换为十进制数，结果是　15　 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时d的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先写出对应的十进制数，再根据已知条件分析即可； ②分a＝2，b＝1或a＝1，b＝2两种情况进行分析即可． 【解答】解：（1）原式＝1×32+2×3+0 ＝9+6 ＝15． 故答案为：15． （2）①d＝0，理由如下： ＝a×33+b×32+2×3+d ＝27a+9b+6+d， ∵一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴27a+9b+6+d能被3整除， ∵27a、9b、6都能被3整除， ∴d能被3整除， ∵d是三进制数的数字， ∴d＝0． ②∵这个三进制数所有数位上的数字之和是5， ∴a+b+2+0＝5， ∴a+b＝3， 当a＝2，b＝1时，这个三进制数为（2120）3， （2120）3＝2×33+1×32+2×3+0＝54+9+6＝69， 当a＝1，b＝2时，这个三进制数为（1220）3， （1220）3＝1×33+2×32+2×3+0＝27+18+6＝51， ∴这个三进制数对应的十进制数为69或51． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 22．（2025秋•润州区月考）【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：（+3）*（+15）＝+18，（﹣14）*（﹣7）＝+21， （﹣12）*（+14）＝﹣26，0*（﹣15）＝+15 （+13）*0＝+13 【计算】 ①（﹣20）*（﹣5） ②（+7）*（﹣10） ③0*（﹣8） ④[（﹣5）*（+2）]*（﹣4） 【探究一】是否存在两个有理数m、n，使得m*n＝0？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算（﹣9）*x时，得到的结果是+15，求x的值． 【探究三】如果两个有理数a*b的结果是负数，那么等式（a*b）*c＝a*（b*c）对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 【分析】【探究一】按照运算法则确定m＝n＝0； 【探究二】根据结果得正，两数同号，绝对值的和为15，由此利用和15减去另一加数得其x的绝对值，且x为负； 【探究三】根据题意a、b异号，a*b＝﹣（|a|+|b|），分情况求解即可． 【解答】解：【计算】①（﹣20）*（﹣5）＝20+5＝+25＝25； ②（+7）*（﹣10）＝7+（﹣10）＝﹣17； ③0*（﹣8）＝+8＝8； ④[（﹣5）*（+2）]*（﹣4）＝（﹣7）*（﹣4）＝+11＝11； 【探究一】新运算“*”的规则分为三种情况：1．同号两数运算：结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和．即若m和n同号（都为正或都为负），则|m*n|＝|m|+|n|，且m*n＞0（因为结果取正号）； 2．异号两数运算：结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和．即若m和n异号（一正一负），则|m*n|＝|m|+|n|，且m*n＜0（因为结果取负号）； 3.0和任何数运算：结果等于另一个数的绝对值．即若m＝0 或 n＝0，则m*n＝|n|（当m＝0时）或m*n＝|m|（当n＝0时），情况1：m和n同号，若m和n同号（都为正或都为负），根据规则，结果取正号，且绝对值为|m|+|n|．因为|m|≥0，|n|≥0，且m、n不同时为0（若同时为0，属于“0和任何数运算”的特殊情况），所以|m|+|n|＞0，因此m*n＝|m|+|n|＞0，不可能等于0． 情况2：m和n异号，若m和n异号（一正一负），根据规则，结果取负号，且绝对值为|m|+|n|．因为|m|≥0，|n|≥0，且m、n不同时为0（若同时为0，属于“0和任何数运算”的特殊情况，后续分析），所以|m|+|n|＞0，因此m*n＝|m|+|n|＞0，不可能等于0； 情况3：m＝0或n＝0若m＝0，则根据规则，0*n＝|n|．要使0*n＝0，需|n|＝0，即n＝0．若n＝0，则根据规则，m*0＝|m|．要使m*0＝0，需|m|＝0，即m＝0； ∴只有当m＝0且n＝0时，m*n＝0（因为0*0＝|0|＝0）． 因此，存在两个有理数m、n（m＝0，n＝0），使得m*n＝0． 【探究二】∵在计算（﹣9）*x时，得到的结果是+15， 根据定义可知：x与﹣9同号， ∴9+|x|＝15， ∴x＝﹣（15﹣9）＝﹣6， 即x＝﹣6； 【探究三】成立，理由如下： ∵两个有理数a*b的结果是负数， ∴a、b异号，a*b＝﹣（|a|+|b|）， ①当c＞0时， ∴a*b与c异号， ∴（a*b）*c＝﹣（|a|+|b|+|c|）， 若a＞0，b＜0，b*c＝﹣（|b|+|c|），a*（b*c）＝﹣（|a|+|b|+|c|）， ∴（a*b）*c＝a*（b*c）； 设a＞0，b＜0，b*c＝﹣（|b|+|c|），a*（b*c）＝﹣（|a|+|b|+|c|）， ∴（a*b）*c＝a*（b*c）； ②当c＜0时，（a*b）*c＝+（|a|+|b|+|c|）， 若a＞0，b＜0，b*c＝+（|b|+|c|），a*（b*c）＝+（|a|+|b|+|c|）， ∴（a*b）*c＝a*（b*c）； 设a＞0，b＜0，b*c＝+（|b|+|c|），a*（b*c）＝+（|a|+|b|+|c|）， ∴（a*b）*c＝a*（b*c）； 综上，等式（a*b）*c＝a*（b*c）对任意非零有理数c都成立． 【点评】本题考查了有理数的加法、绝对值，掌握有理数的加法的运算法则是关键． = 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $