第2章 反比例函数 单元分层练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级上册第2章反比例函数分层练习，通过选择、填空、解答题分层设计，覆盖定义、图象性质、实际应用，融合数学眼光、思维与语言，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|反比例函数定义、图象位置、点坐标判断|结合2026年模拟题情境，如功与功率关系，考查用数学眼光观察实际问题| |填空题|6小题|函数关系式、参数求解、k值几何意义|通过三角形、菱形面积等几何情境，体现数学思维推理能力| |解答题|6小题|实际应用（溶液稀释）、函数交点、几何综合|分层设计基础与思维题，科技节实验问题培养模型意识，几何综合题提升空间观念|

第2章反比例函数分层练习 基础达标 一．选择题（共10小题） 1．（2026•宝山区二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•江北区校级三模）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（　　） A．（2，﹣1） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1） 3．（2026•保山一模）反比例函数的图象分别位于（　　） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 4．（2026•湖北模拟）在功W（单位：J）一定的条件下，功率P（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，P（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当60≤t≤80时，P的值可以是（　　） A．18 B．28 C．38 D．48 5．（2026•宁波一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数图象上的三个点，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 6．（2026•邯山区校级一模）若2≤x≤3时，反比例函数中y有最大值m，则对于﹣4≤x≤﹣2时，反比例函数中y有（　　） A．最大值为2m B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 7．（2026•绥棱县校级三模）如图，如图，点A，B是反比例函数y（x＞0）图象上的点，点C，D分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形ABCD为菱形，BD∥x轴，S菱形ABCD＝8，则k的值为多少（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 8．（2026•黄冈三模）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，矩形OABC是面积为6，若函数的图象经过点B（2，m），则满足y≥3的x的取值范围为（　　） A．0＜x≤2 B．x≥3 C．0＜x≤3 D．x≥2 9．（2026•连山区二模）如图，直线AB与x轴交于点C，与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，若S△ACD＝5，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．6 D．11 10．（2026•保定校级模拟）根据图1所示的程序框图，得到了y与x的函数图象如图2所示，若M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交函数图象于点P，Q，连接OP，OQ，则下列结论正确的是（　　） A．△OPQ的面积为1.5 B．x＜0时， C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．∠POQ可能等于90° 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•漳浦县期末）已知一个三角形的面积为1，一边的长为x，这边上的高为y，则y关于x的函数关系式为　 　 ． 12．（2026春•莱州市期末）已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 　 　 ． 13．（2026•东西湖区一模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是　 　 ． 14．（2025秋•大同期末）如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，若△AOB的面积为5，则k的值为　 　 ． 15．（2025秋•台江区校级月考）如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为3，则k的值为　 　 ． 16．（2026•徐州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C，则△ABC的面积为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•盐湖区一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度C（单位：%）与溶液体积V（单位：mL）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为50mL时，浓度为30%． （1）求出C与V之间的函数关系式； （2）实验要求稀释后溶液浓度不得低于20%，那么稀释后溶液体积V应不高于多少？ 18．（2025秋•萧县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A和点B的横坐标分别是﹣3和2． （1）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式． 19．（2026•毕节市模拟）如图，反比例函数（x＞0）与一次函数y＝x+b交于一点． （1）求b与k的值； （2）将一次函数y＝x+b向上平移n（n＞0）个单位与反比例函数交于一点B，连接A、O、B，当时，求n的值． 思维达标 20．（2026•颍上县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A（3，m）． （1）求k的值； （2）点B在反比例函数的图象上，记线段OB与x轴正半轴的夹角为∠1，若，求△AOB的面积． 21．（2026•郯城县一模）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF，用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1，矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2．其中． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质． 22．（2026•市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6的图象与反比例函数的图象交于点A（4，a），与y轴交于点B，经过点A、点O的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，△AHC是以AC为斜边的直角三角形． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； （3）如图2，若AH平分∠BAC，求点H的坐标． 第2章反比例函数分层练习-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•宝山区二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】形如yk为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y，y不符合反比例函数的定义，它们不是反比例函数， y中y是（x+1）的反比例函数，而非x的反比例函数， y中y是x的反比例函数， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2026•江北区校级三模）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（　　） A．（2，﹣1） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k．把各个点代入检验即可． 【解答】解：反比例函数，中k＝2， 四个答案中只有B的横纵坐标的积等于2， 故选：B． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 3．（2026•保山一模）反比例函数的图象分别位于（　　） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：∵k＝4＞0， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 4．（2026•湖北模拟）在功W（单位：J）一定的条件下，功率P（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，P（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当60≤t≤80时，P的值可以是（　　） A．18 B．28 C．38 D．48 【分析】先求出反比例函数的解析式，根据增减性，求出P的范围即可． 【解答】解：由题意， 把（40，30）代入，得W＝30×40＝1200， ∴， ∴当t＝60时，，当t＝80时，， ∴当60≤t≤80时，15≤P≤20， ∴P的值可以是18， 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．（2026•宁波一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数图象上的三个点，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣5＜0， ∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数图象上的三个点，且x1＜x2＜0＜x3， ∴点C（x3，y3）在第四象限，则y3＜0， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在第二象限，则y2＞y1＞0， ∴y1，y2，y3的大小关系为y3＜y1＜y2． 故选：D． 【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 6．（2026•邯山区校级一模）若2≤x≤3时，反比例函数中y有最大值m，则对于﹣4≤x≤﹣2时，反比例函数中y有（　　） A．最大值为2m B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【分析】根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当x＝﹣4时，y＝m，则可求出k＝2m，再分别求出x＝﹣4和x＝﹣2时的函数值即可得到答案． 【解答】解：由条件可知反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当2≤x≤3时，反比例函数中y有最大值m， ∴， ∴k＝2m， 当﹣4≤x≤﹣2时，则y的最大值为，最小值为， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，熟练掌握以上知识点是关键． 7．（2026•绥棱县校级三模）如图，如图，点A，B是反比例函数y（x＞0）图象上的点，点C，D分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形ABCD为菱形，BD∥x轴，S菱形ABCD＝8，则k的值为多少（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】连接AC，过点B作BE⊥x轴于点E，由菱形的性质及面积可得CF•BD＝8，证得四边形OEBD，CEBF为矩形，即可得出答案． 【解答】解：连接AC交BD于点F，过点B作BE⊥x轴于点E， 由菱形性质可知AC⊥BD，FA＝FC， ∵S菱形ABCD＝8， ∴， ∴CF•BD＝8， ∵BD∥x轴，BE⊥x轴，AC⊥BD， ∴∠DOE＝∠BEO＝∠BDO＝∠FCE＝90°， ∴四边形OEBD，CEBF为矩形， ∴BE＝OD＝CF，BD＝OE， ∴k＝OE•BE＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2026•黄冈三模）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，矩形OABC是面积为6，若函数的图象经过点B（2，m），则满足y≥3的x的取值范围为（　　） A．0＜x≤2 B．x≥3 C．0＜x≤3 D．x≥2 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，求出k的值，再结合反比例函数图象上点的坐标特征求出x的取值范围即可． 【解答】解：由题知， ∵点B在反比例函数的图象上且矩形OABC是面积为6， ∴k＝6， ∴反比例函数的解析式为（x＞0）． 当y＝3时，x＝2， ∴满足y≥3的x的取值范围为0＜x≤2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征及矩形的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 9．（2026•连山区二模）如图，直线AB与x轴交于点C，与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，若S△ACD＝5，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．6 D．11 【分析】连接AO，利用反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：连接AO， ∵S△ACD＝5且AD⊥y轴， ∴S△AOD＝S△ACD＝5， ∴， 解得a＝11或﹣9． 又∵a＜0， ∴a＝﹣9． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 10．（2026•保定校级模拟）根据图1所示的程序框图，得到了y与x的函数图象如图2所示，若M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交函数图象于点P，Q，连接OP，OQ，则下列结论正确的是（　　） A．△OPQ的面积为1.5 B．x＜0时， C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．∠POQ可能等于90° 【分析】根据程序框图确定x＜0和x＞0时的函数解析式，利用反比例函数的性质判断选项B、C；利用反比例函数k的几何意义计算△OPQ的面积判断选项A；设点P、Q的坐标，利用勾股定理构建方程判断选项D． 【解答】解：设P（x1，y），Q（x2，y），其中y＞0， ∴x1y＝﹣3，x2y＝6， ∴， ∴选项A错误； 由程序框图可知：当x＜0时，；当x＞0时，． ∴选项B错误； ∵当x＞0时，，k＝6＞0， ∴y随x的增大而减小， ∴选项C错误； 设，（h＞0）， 若∠POQ＝90°， 则OP2+OQ2＝PQ2， 即， 整理得：， ， h4＝18， ∵h＞0， ∴，方程有解， ∴∠POQ可能等于90°， ∴选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•漳浦县期末）已知一个三角形的面积为1，一边的长为x，这边上的高为y，则y关于x的函数关系式为　　 ． 【分析】根据三角形面积公式，代入已知的面积、边长和高，通过代数变形得到函数关系式，并根据实际意义确定自变量的取值范围． 【解答】解：∵三角形的面积为1，一边长为x，这边上的高为y， ∴， ∴xy＝2， ∴． ∵三角形的边长x＞0， ∴函数关系式为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，熟练掌握三角形的面积公式以及反比例函数的定义是解题的关键． 12．（2026春•莱州市期末）已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 　2　 ． 【分析】根据反比例函数的定义：形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出m的值． 【解答】解：∵函数是关于x的反比例函数， ∴m+2≠0，m2﹣5＝﹣1， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 （k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，注意k≠0，x的次数为﹣1． 13．（2026•东西湖区一模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是k＞1　 ． 【分析】根据反比例函数的图象位于第一、三象限，得出k﹣1＞0，解出不等式，即可作答． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴k﹣1＞0， ∴k＞1， 故答案为：k＞1． 【点评】本题考查了反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是关键． 14．（2025秋•大同期末）如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，若△AOB的面积为5，则k的值为　﹣8　 ． 【分析】利用反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 又∵S△AOB＝5， ∴S△BOC＝5﹣1＝4， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴，而k＜0， ∴k＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 15．（2025秋•台江区校级月考）如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为3，则k的值为　﹣7　 ． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义计算即可． 【解答】解：∵过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D， ∴S△AOB，S△DOB|﹣1|，∴S△AOD＝S△AOB﹣S△DOB|k|3， ∴|k|＝7， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查反比例函数k值的几何意义，理解反比例函数k值的几何意义是正确解答关键． 16．（2026•徐州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C，则△ABC的面积为　：　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【解答】解： 正比例函数y＝kx的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴S△AOD＝2，S△BOE， ∴S△AOD：S△BOE＝4：1， △AOD∽△BOE， ∴AD：OE＝2：1， ∴AD：AC＝2：3， 显然△AOD∽△ABC， ∴S△AOD：S△ABC＝4：9， ∴△ABC的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义和反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练运用相关知识点求解． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•盐湖区一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度C（单位：%）与溶液体积V（单位：mL）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为50mL时，浓度为30%． （1）求出C与V之间的函数关系式； （2）实验要求稀释后溶液浓度不得低于20%，那么稀释后溶液体积V应不高于多少？ 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的V、C对应值代入，求出比例系数k，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于20%的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【解答】解：（1）设（k＞0），由条件可得， 解得k＝1500， ∴C与V之间的函数关系式为； （2）当C＝20时，， ∵1500＞0， ∴V＞0时，溶液浓度C随溶液体积V的增大而减少， 所以，当稀释后溶液浓度不低于20%时，溶液体积V不高于75mL． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，熟练掌握反比例函数性质是关键． 18．（2025秋•萧县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A和点B的横坐标分别是﹣3和2． （1）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式． 【分析】（1）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （2）利用待定系数法进行求解即可． 【解答】解：（1）由题知， 当﹣3＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2， 所以当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2； （2）因为点A和点B的横坐标分别是﹣3和2， 所以点A坐标为（﹣3，），点B坐标为（2，）． 将点A和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为y1＝x+1，反比例函数的解析式为． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 19．（2026•毕节市模拟）如图，反比例函数（x＞0）与一次函数y＝x+b交于一点． （1）求b与k的值； （2）将一次函数y＝x+b向上平移n（n＞0）个单位与反比例函数交于一点B，连接A、O、B，当时，求n的值． 【分析】（1）将点分别代入反比例函数，一次函数y＝x+b即可求解； （2）分别过点A作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，P，过点B作y轴的垂线，垂足为H，根据S梯形ABHP+S矩形APOG＝S△AOB+S△OBH+S△OAG，建立方程求解得到B（2，3），由一次函数平移的规律得到平移后的解析式为，将B（2，3）代入计算即可求出n的值． 【解答】解：（1）由条件可得：， 解得k＝6； 将点代入一次函数y＝x+b，则， 解得； （2）分别过点A作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，P，过点B作y轴的垂线，垂足为H， 则S矩形OGAP＝6，S△OBH＝S△OAG＝3，， 设， ∵S梯形ABHP+S矩形APOG＝S△AOB+S△OBH+S△OAG， ∴， 整理得b2+6b﹣16＝0， 解得b＝2或b＝﹣8＜0（舍去）， 则， ∴B（2，3）， 将一次函数向上平移n（n＞0）个单位后的解析式为， 则，解得． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 20．（2026•颍上县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A（3，m）． （1）求k的值； （2）点B在反比例函数的图象上，记线段OB与x轴正半轴的夹角为∠1，若，求△AOB的面积． 【分析】（1）先求出点A的坐标，将其代入反比例函数表达式，即可得到k的值； （2）以∠1的正切值为入手点，求出点B的坐标，然后求出OB所在直线的函数表达式为，结合AC⊥x轴，A（3，4），得出C（3，1），根据公式“三角形的面积铅垂高×水平宽”计算，即可作答． 【解答】解：（1）由条件可得， ∴A（3，4）， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A（3，4）， ∴把A（3，4）代入，得， 解得k＝12． （2）由（1）得k＝12， ∴， 如图，过点A作x轴的垂线，交OB于点C，过点B作BD⊥x轴于点D． ∵， ∴． 设BD＝n，则OD＝3n， ∴B（3n，n）． 将B（3n，n）代入， 得3n2＝12， 解得n1＝2，n2＝﹣2＜0（不符合题意，已舍去）， ∴B（6，2）， 设OB所在直线的函数表达式为y＝ax（a≠0）， 把B（6，2）代入y＝ax得6a＝2， 解得， ∴OB所在直线的函数表达式为． ∵AC⊥x轴，A（3，4）， ∴点C的横坐标为3， 把x＝3代入，得， ∴C（3，1）， ∴AC＝4﹣1＝3， ∴（三角形的面积铅垂高×水平宽”）． 【点评】本题考查了一次函数于反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2026•郯城县一模）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF，用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1，矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2．其中． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC＝5，根据AE＝CF＝x可知，当时，y1＝5﹣2x，当时，y1＝2x﹣5；根据三角形的面积公式可得，S矩形ABCD＝12，可以得到； （2）根据（1）中得到的函数解析式画出图象并结合函数图象，写出函数y1，y2的一条性质． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3，BC＝4， ∴， ∵AE＝CF＝x， 当时， 可得：y1＝AE+CF﹣AC＝2x﹣5， 当时， 可得：y1＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2x， 综上所述，； 如下图所示，过点B作BM⊥AC， ∵， ∴3×4＝5BM， ∴， ∴， ∵AB＝3，BC＝4， ∴S矩形ABCD＝AB•CD＝3×4＝12， ∴； 综上所述，，． （2）如图， 当0＜x＜5时，y2随x的增大而减小， 当时，y1随x的增大而减小（或当时，y1随x的增大而增大）． 【点评】本题考查一次函数，反比例函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2026•市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6的图象与反比例函数的图象交于点A（4，a），与y轴交于点B，经过点A、点O的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，△AHC是以AC为斜边的直角三角形． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； （3）如图2，若AH平分∠BAC，求点H的坐标． 【分析】（1）先求出点A坐标，进而可得k值； （2）作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，先求AC，再得HO，可得OH，即可得解； （3）延长CH交AB的延长线于点D，证△AHD≌△AHC（ASA），点H是CD的中点，设点D（t，﹣t+6），再利用AD＝AC，建立方程求解，可得D坐标，进而得解． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+6经过点A（4，a）， ∴a＝﹣4+6＝2， ∴点A（4，2）， ∵反比例函数经过点A（4，2）， ∴k＝4×2＝8， ∴反比例函数的解析式为； （2）作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N， ∴AM＝2，AN＝4， ∵直线AC与双曲线关于原点中心对称， ∴点A，点C关于原点中心对称， ∵点A（4，2）， ∴点C（﹣4，﹣2）且OA＝OC， ∴在Rt△AOM中，∠AMO＝90° ∴， ∴， ∵∠AHC＝90°，HO是斜边AC上的中线， ∴， 一次函数y＝﹣x+6，当x＝0时，y＝6， ∴B（0，6）， ∴OB＝6， ∵， ， ∴； （3）延长CH交AB的延长线于点D， ∵AH平分∠BAC， ∴∠DAH＝∠CAH， ∵△AHC为直角三角形，且AC斜边，点H在第二象限， ∴∠AHD＝∠AHC＝90° 在△AHD和△AHC中， ， ∴△AHD≌△AHC（ASA）， ∴HD＝HC，AD＝AC， 即点H是CD的中点， ∵点D在直线y＝﹣x+6上， ∴设点D（t，﹣t+6）， ∵点D在第二象限， ∴t＜0， ∵AD＝AC， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴ ∴点， ∵点H是CD的中点， ∴点H的坐标为． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及反比例函数解析式、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $