第2章反比例函数--单元综合提升练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初三数学反比例函数单元综合提升卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三梯度设计，覆盖反比例函数定义、性质、图像及综合应用，适配单元复习，培养数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|反比例函数定义、性质、图像分布|结合菱形（题5）、量角器（题7）考查几何直观| |填空题|6题|k值计算、函数增减性、实际应用|党史竞赛优秀率（题14）体现文化情境| |解答题|6题|函数综合、实际应用、动态几何|智能饮水机水温变化（题20）构建数学模型，培养应用意识|

初三数学-反比例函数--单元综合提升练 一．选择题（共10小题） 1．下列函数是反比例函数的是（　　） A．y＝2026x B．y＝x+2026 C． D． 2．下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．小明的年龄和妈妈的年龄 C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数 D．平行四边的面积一定，它的底和高 3．已知反比例函数y，下列结论中不正确的是（　　） A．图象经过点（﹣1，﹣1） B．当x＜0时，y随着x的增大而增大 C．当x＞1时，0＜y＜1 D．图象在第一、三象限 4．函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 5．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．32 6．反比例函数的图象上三个点的坐标分别是（﹣2，y1），（3，y2），（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 7．如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴重合，且点O位于量角器边缘．双曲线经过量角器边缘上一点A，点A对应刻度为60°，点B是量角器中心，若OB＝6，则k的值为（　　） A．9 B． C．18 D． 8．如图，A、B是双曲线y（x＞0）上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为2，D为OB的中点，则k的值为（　　） A．4 B． C．5 D． 9．对函数，其自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x＜2 C．x＞2 D．x＝2 10．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 二．填空题（共6小题） 11．反比例函数的图象经过点P（﹣3，4），则k的值为　 　 ． 12．若函数y的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为　 　 ． 13．反比例函数y＝（m﹣2）x2m+1的函数值为时，自变量x的值是　 　 ． 14．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是 　 　 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 15．如图，点A、B在反比例函数的图象上，连接AB并延长交x轴于点C，若B是AC的中点，△OAC的面积为3，则k的值为 　 　 ． 16．如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C，若点C恰好也在反比例函数的图象上，已知B、C纵坐标分别为3，1，则k＝　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1． （1）求y的表达式； （2）求当x时y的值． 18．如图，边长为3的正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，反比例函数的图象在第一象限的图象经过点D，交BC于E． （1）当点E的坐标为（5，n）时，求n和k的值； （2）若点E是BC的中点，求OD的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点A（1，2）． （1）求m的值； （2）直线y＝2x﹣3与函数的图象交于点B，与x轴交于点C． ①求出点B、点C的坐标； ②过点A作x轴的平行线与y＝2x﹣3交于点D，直接写出BD与BC的数量关系． 20．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升10℃，加热到100℃时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在20℃时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至20℃的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系式是　 　 ，自变量x的取值范围是　 　 ； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至20℃为止，求这一过程中水温不低于40℃时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为20℃），当天上午9：20下课时同学们　 　 （填“能”或“不能”）接到35℃～45℃的温开水，此时水温为　 　 ℃． 21．直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图1，一次函数y＝kx﹣6（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点B（4，b）． （1）b＝　 　 ；k＝　 　 ； （2）点C是线段AB上一点，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD，求点C的坐标； （3）将第（2）小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O'C'D'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D'的坐标． A．图象经过点（﹣1，﹣1） B．当x＜0时，y随着x的增大而增大 C．当x＞1时，0＜y＜1 D．图象在第一、三象限 【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、当x＝﹣1时，y＝﹣1，即图象经过点（﹣1，﹣1），不符合题意． B、反比例函数y中的k＝1＞0，则当x＜0时，y随着x的增大而减小，符合题意． C、当x＞1时，0＜y＜1，不符合题意． D、反比例函数y中的k＝1＞0，则图象在第一、三象限，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数图象与性质，难度不大．对于反比例函数y＝kx（k≠0），当k＞0，反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，y随x的增大而增大． 4．函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意； B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 5．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．32 【分析】由菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），可求得BC＝OC＝5，继而求得点B的坐标，然后由待定系数法即可求得k的值． 【解答】解：∵点C的坐标为（3，4）， ∴OC5， ∵四边形OABC是菱形， ∴BC＝OC＝5，BC∥OA， ∴点B的坐标为（8，4）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过顶点B， ∴k＝xy＝8×4＝32． 故选：D． 【点评】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意根据菱形的性质求得点B的坐标是关键． 6．反比例函数的图象上三个点的坐标分别是（﹣2，y1），（3，y2），（6，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标的值，再根据有理数大小比较法则判断大小关系即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象上三个点的坐标分别是（﹣2，y1），（3，y2），（6，y3）， ∴当x＝﹣2时，，当x＝3时，，当x＝6时，， ∵﹣3＜1＜2， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 7．如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴重合，且点O位于量角器边缘．双曲线经过量角器边缘上一点A，点A对应刻度为60°，点B是量角器中心，若OB＝6，则k的值为（　　） A．9 B． C．18 D． 【分析】连接OA，AB，过点A作AH⊥OB，根据题意可得OB＝AB，∠OBA＝60°，证出△OAB是等边三角形，求出OH，AH，得出，再根据双曲线经过量角器边缘上一点A，即可求解． 【解答】解：连接OA，AB，过点A作AH⊥OB， 根据题意可得OB＝AB，∠OBA＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 8．如图，A、B是双曲线y（x＞0）上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为2，D为OB的中点，则k的值为（　　） A．4 B． C．5 D． 【分析】过点B作BG⊥x轴于点G，则CD是△OBG的中位线．设A（a，），B（2a，），求出AD，CD，再根据△ADO的面积为2求出k的值． 【解答】解：过点B作BG⊥x轴于点G，则CD是△OBG的中位线． 设A（a，），B（2a，）， ∴CD，AD， ∵AD•OC＝2， ∴a2， ∴k， 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键． 9．对函数，其自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x＜2 C．x＞2 D．x＝2 【分析】利用分式分母不为0，列出不等式x﹣2≠0可得． 【解答】解：根据题意，得x﹣2≠0， 解得x≠2． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，关键是掌握分式有意义的条件是分母不能为0． 10．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 【分析】本题涉及反比例函数的性质，已知点A在反比例函数y上，可先求出k的值，再根据“双曲线阶梯”的线段平行关系，设出相关点的坐标，利用反比例函数表达式列出等式，进而求出EF的长度． 【解答】解：∵点A（4，）在双曲线y上， ∴k＝46， ∴反比例函数的解析式为y， ∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A坐标为（4，）， ∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3， ∵点C在y上， ∴C点坐标为（3，2）， 同理，DE＝1，则点E的横坐标为2，把x＝2代入y，则y＝3， ∴求得E点坐标为（2，3）， FG＝1，则点G的横坐标为1，把x＝1代入y，则y＝6， ∴G点坐标为（1，6）， 观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标， 即EF＝6﹣3＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于理解反比例函数上点的坐标特征以及“双曲线阶梯”的线段位置关系． 二．填空题（共6小题） 11．反比例函数的图象经过点P（﹣3，4），则k的值为　﹣12　 ． 【分析】将点P（﹣3，4）代入已知函数式，列出关于系数k的方程，通过解该方程即可求得k的值． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（﹣3，4）， ∴点P（﹣3，4）满足反比例函数， 则k＝yx＝4×（﹣3）＝﹣12． 故答案为：﹣12． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 12．若函数y的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为m＜2　 ． 【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大， ∴m﹣2＜0，解得m＜2． 故答案为m＜2． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键． 13．反比例函数y＝（m﹣2）x2m+1的函数值为时，自变量x的值是　﹣9　 ． 【分析】此题应先根据反比例函数的定义求得其解析式，再代入y的值求出自变量x的值． 【解答】解：∵y＝（m﹣2）x2m+1是反比例函数， 则有， 解得m＝﹣1， 因而函数解析式是y， 当函数值为时，即， 解得x＝﹣9． 故自变量x的值是﹣9． 【点评】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键． 14．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是　丙　 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【解答】解：用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，则： 描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲（x1，y1）、乙（x2，y2）、丙（x3，y3）、丁（x4，y4）， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y′1），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y′3），如图所示： 由图可知y′1＞y1，y′3＜y3， ∴（x1，y′1）、乙（x2，y2）、（x3，y′3）、丁（x4，y4）在反比例函数图象上， 根据题意可知xy＝优秀人数， ①x2y2＝k＝x4y4，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②x1y1＜x1y′1＝k，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③x3y3＞x3y′3＝k，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数＜乙学校优秀人数＝丁学校优秀人数＜丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 【点评】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 15．如图，点A、B在反比例函数的图象上，连接AB并延长交x轴于点C，若B是AC的中点，△OAC的面积为3，则k的值为 　2　 ． 【分析】作AE⊥x轴，BF⊥x轴，设A（a，），根据中点得到B、C、F坐标，通过点的坐标列出方程，解答即可． 【解答】解：如图，作AE⊥x轴，BF⊥x轴， 设A（a，）， ∵B是AC的中点， ∴B（2a，），C（3a，0）， ∵S△AOC3， ， 解得k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 16．如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C，若点C恰好也在反比例函数的图象上，已知B、C纵坐标分别为3，1，则k＝　﹣6　 ． 【分析】如图过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，求得∠BAF+∠ABF＝90°，根据旋转的性质得到AB＝AC，∠BAC＝90°，根据全等三角形的性质得到AF＝CE，BF＝AE，设B（x，3）则C（x﹣5，1），根据点B、点C在反比例函数y的图象上，得到3x＝x﹣4，于是得到结论． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F， ∴∠AEC＝∠BFA＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝90°， 由旋转知，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠CAE+∠BAF＝90°， ∴∠ABF＝∠CAE， ∴△ABF≌△CAE（AAS）， ∴AF＝CE，BF＝AE， ∵B、C的纵坐标分别为3、1， ∴CE＝1，BF＝3， ∴AF＝1，AE＝3， 设B（x，3），C（x﹣4，1）， ∵点B、点C在反比例函数y的图象上， ∴3x＝x﹣4， ∴x＝﹣2， ∴B（﹣2，3）， ∴k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，构造出△ABF≌△CAE是解本题的关键． 三．解答题（共6小题） 17．已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1． （1）求y的表达式； （2）求当x时y的值． 【分析】（1）先根据题意得出y1＝k1（x﹣1），y2，根据y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1得出x、y的函数关系式即可； （2）把x代入（1）中的函数关系式，求出y的值即可． 【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例， ∴y1＝k1（x﹣1），y2， ∵y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1． ∴， ∴k2＝﹣2，k1＝1， ∴y＝x﹣1； （2）当x，y＝x﹣11． 【点评】本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y与x的函数关系式是解答此题的关键． 18．如图，边长为3的正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，反比例函数的图象在第一象限的图象经过点D，交BC于E． （1）当点E的坐标为（5，n）时，求n和k的值； （2）若点E是BC的中点，求OD的长． 【分析】（1）由题意表示出点D的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于n的方程，求得n的值，进而求得k的值． （2）设D（x，3）则E（x+3，），由反比例函数经过点D、E列出关于x的方程，求得x的值即可得出答案． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为3，点E的坐标为（5，n）， ∴OB＝5，AB＝AD＝3， ∴D（2，3）， ∵反比例函数的图象在第一象限的图象经过点D， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数的解析式为：y， ∵反比例函数在第一象限的图象交BC于E， ∴n； （2）设D（x，3）， ∵点E是BC的中点， ∴E（x+3，）， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点D、点E， ∴3x（x+3）， 解得x＝3， ∴D（3，3）， ∴OA＝AD＝3， ∴OD3． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k． 19．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点A（1，2）． （1）求m的值； （2）直线y＝2x﹣3与函数的图象交于点B，与x轴交于点C． ①求出点B、点C的坐标； ②过点A作x轴的平行线与y＝2x﹣3交于点D，直接写出BD与BC的数量关系． 【分析】（1）依据题意，由反比例函数的图像经过点A（1，2），从而代入计算可以得解； （2）①依据题意，由（1）得反比例函数的解析式为，则联立方程组，可得x1＝2，x2（因为x＞0，故舍去负根），从而可得点B的坐标为（2，1），又直线y＝2x﹣3与x轴交点C的纵坐标为0，故令y＝0，得0＝2x﹣3，解得x，从而可得点C的坐标为（，0）； ②依据题意，过点A（1，2）作x轴的平行线，则点D的纵坐标是2，又代入y＝2x﹣3，则x＝2.5，故D（2.5，2），结合①点C（1.5，0），又点B（2，1），则，从而点B就是线段CD的中点，进而可以得解． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图像经过点A（1，2）， ∴将x＝1，y＝2代入解析式得：， ∴m＝2； （2）①由（1）得反比例函数的解析式为， ∴联立方程组， ∴x1＝2，x2（因为x＞0，故舍去负根）， ∴当x＝2时，y＝2×2﹣3＝1． ∴点B的坐标为（2，1）． ∵直线y＝2x﹣3与x轴交点C的纵坐标为0， ∴令y＝0，得0＝2x﹣3，解得x． ∴点C的坐标为（，0）； ②由题意，∵过点A（1，2）作x轴的平行线， ∴点D的纵坐标是2， ∴代入y＝2x﹣3，则x＝2.5，故D（2.5，2）． 由①点C（1.5，0）， ∵点B（2，1）， ∴，则点B就是线段CD的中点． ∴BD＝BC． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 20．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升10℃，加热到100℃时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在20℃时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至20℃的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系式是　　 ，自变量x的取值范围是　8≤x≤40　 ； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至20℃为止，求这一过程中水温不低于40℃时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为20℃），当天上午9：20下课时同学们　能　 （填“能”或“不能”）接到35℃～45℃的温开水，此时水温为　40　 ℃． 【分析】（1）先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至20℃时的总时间确定自变量范围． （2）分加热和回落两个阶段分别求出水温为40℃时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于40℃的时长并求和． （3）先求一个完整周期时长，再计算100min内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在35℃～45℃范围内． 【解答】解：（1）由题意可知加热到100℃所需时间为， 即停止加热时x＝8，y＝100． 设停止加热后水温y与通电时间x的函数关系式为， 则， 解得k＝800， ∴函数关系式为． 当水温降至20℃时，， 解得x＝40， ∴自变量x的取值范围是8≤x≤40． （2）由题意，加热阶段水温y与通电时间x的关系为y＝20+10x（0≤x≤8）， 当y＝40时，40＝20+10x， 解得x＝2， ∴加热阶段水温不低于40℃的时长为8﹣2＝6（min）． 回落阶段水温y与通电时间x的关系为（8≤x≤40）， 当y＝40时，， 解得x＝20， ∴回落阶段水温不低于40℃的时长为20﹣8＝12（min）． ∴这一过程中水温不低于40℃的总时长为6+12＝18（min）． （3）∵加热需8min，回落需40﹣8＝32（min）， ∴一个完整周期为40min． ∵早晨7：40到上午9：20共100min， 100＝2×40+20， ∴经过2个完整周期后，第3个周期又进行了20min． 第3个周期中，前8min加热，后32min回落， ∵20＞8， ∴此时处于第3个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期20min的温度，第3个周期开始后第20min的温度一样， 此时的温度为：， ∵35＜40＜45， ∴同学们能接到35℃～45℃的温开水， 此时水温为40℃． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，熟练掌握反比例函数性质是关键． 21．直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b和解方程得到结论； （2）设C（5﹣m，m），求得xC﹣xD＝10，得到xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m，求得D（﹣5﹣m，m），解方程得到D（6，1）； （3）设C（n，﹣n+5），①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M，得到∠EMN＝∠ONM＝90°，根据全等三角形的性质得到CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5，求得；②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M，根据全等三角形的性质得到EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n，求得E（n﹣5，n），解方程得到E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）． 【解答】解：（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b 得：6＝1+b，b＝5， 将A（﹣1，6）代入得：k＝﹣6； （2）∵ky＝﹣x+5， ∴x＝5﹣y， 设C（5﹣m，m）， ∵CD＝10， ∴xC﹣xD＝10， xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m， ∴D（﹣5﹣m，m）， ∵点D在双曲线上， ∴m（﹣m﹣5）＝﹣6， 解得：m1＝1，m2＝﹣6（舍去）， ∴D（6，1）； （3）存在．设C（n，﹣n+5）， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M， 则∠EMN＝∠ONM＝90°， ∵∠ECO＝90°， ∴∠ECM+∠OCN＝90°， ∵∠EMC＝90°， ∴∠MEC+∠ECM＝90°， ∴∠OCN＝∠MEC， 又∵等腰直角三角形ECO中，CE＝CO， ∴△EMC≌△CNO（AAS）， ∴CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5， ∴； ②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M， 同理可得：△EMO≌△ONC， ∴EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n， ∴E（n﹣5，n）， ∴（n﹣5）n＝﹣6， 解得：n1＝2，n2＝3， 此时E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或（﹣3，2）或（﹣2，3）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．如图1，一次函数y＝kx﹣6（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点B（4，b）． （1）b＝　2　 ；k＝　2　 ； （2）点C是线段AB上一点，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD，求点C的坐标； （3）将第（2）小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O'C'D'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D'的坐标． 由，解得或（舍弃）， ∴O′（2，4）， ∴D′（，）． 【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/5 19:46:03；用户：18114435413；邮箱：18114435413；学号：26095406 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $