第2章实数的初步认识分层练习-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 分层练习通过“基础达标”与“思维达标”两级设计，覆盖实数概念、运算及综合应用，梯度从基础概念辨析到创新问题解决，适配新授课分层巩固需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|无理数识别、平方根计算、近似数、数轴与实数|10选择+6填空+6解答，聚焦概念辨析与基础运算，如平方根解方程| |思维达标|无理数整数小数部分、新定义“和谐组合”、估算方法应用|3道解答题，侧重逻辑推理与创新应用，如通过新定义问题培养抽象能力|

第2章实数的初步认识分层练习 基础达标 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•五华区校级期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B．0.7 C．π D． 2．（2025秋•秦皇岛期末）近似数7.21精确到（　　） A．个位 B．百位 C．十分位 D．百分位 3．（2026•川汇区二模）下列各数在数轴上对应的点，离原点最远的是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．2 D． 4．（2026春•东丽区期末）16的平方根是（　　） A．4 B．﹣4 C．±16 D．±4 5．（2026春•陕州区期中）下列算式中错误的是（　　） A．0.8 B． C． D． 6．（2026•金华二模）估计的值应在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 7．（2026春•宜城市期末）已知一个数的两个不同的平方根是a﹣4和2a﹣5，则这个数是（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 8．（2026•南开区一模）已知正方形的面积是5，估计其边长在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 9．（2026•吉林一模）如图，数轴上的点P表示的无理数可能是（　　） A． B． C． D．π 10．（2025秋•潞州区期末）若实数x的平方根为，y的立方根为﹣2，则代数式x+y的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 二．填空题（共6小题） 11．（2026•河南二模）请写出一个大于1小于3的无理数　 　 ． 12．（2026秋•同步）16的算术平方根是 　 　 ． 13．（2026•甘孜州）比较大小：2　 　 ．（填“＞”，“＜”或“＝”）． 14．（2026春•黄山期末）若实数m，n满足，则m+n的立方根是　 　 ． 15．（2025秋•内江期末）已知a、b满足等式，则a2026b2026＝　 　 ． 16．（2025秋•西安期末）如图，若数轴上点A，B对应的实数分别为和，以点B为圆心，AB的长为半径画圆，交数轴于点C（在点B的右侧），则点C对应的实数是　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•美兰区校级开学）求下列各式中x的值． （1）169x2＝100； （2）（x+1）2＝81； （3）9x2＝25； （4）4（x﹣2）2＝9． 18．（2026•东台市二模）已知3a﹣5的平方根是±2，a﹣2b﹣7的立方根是﹣2． （1）求a，b的值． （2）求2ab+15的立方根． 19．（2026春•界首市期末）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 思维达标 20．（2025秋•周村区月考）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是1，请回答以下问题； （1）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根； （2）若，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值． 21．（2025秋•永丰县校级期末）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，2，3，6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 22．（2025秋•兰溪市期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若n＝ab（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若m1是的最初近似值，则的二级近似值m2，的三级近似值m3． 例如：∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，4，6最接近， ∴的最初近似值为5， ∴的二级近似值为， ∴的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是　 　 ； （2）的二级近似值是　 　 ； （3）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 第2章实数的初步认识分层练习-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•五华区校级期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B．0.7 C．π D． 【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、0.7是有理数，故此选项不符合题意； C、π是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2．（2025秋•秦皇岛期末）近似数7.21精确到（　　） A．个位 B．百位 C．十分位 D．百分位 【分析】根据近似数的精确度定义，判断最后一位数字所在的数位，即可确定该近似数精确到的位置． 【解答】解：根据近似数的精确度定义，判断最后一位数字所在的数位可得： 近似数7.21的最后一位数字1位于百分位， ∴它精确到百分位， 故选：D． 【点评】本题主要考查了近似数的精确度，熟练掌握“近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定”是解题的关键． 3．（2026•川汇区二模）下列各数在数轴上对应的点，离原点最远的是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．2 D． 【分析】根据绝对值的几何意义，数轴上点到原点的距离等于该点对应数的绝对值，只需比较各数的绝对值大小即可得到结果． 【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣3|＝3，|2|＝2，， ∴， ∴﹣3在数轴上的对应点的绝对值最大，离原点最远． 故选：B． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，绝对值，实数与数轴，掌握估算无理数大小方法，绝对值的几何意义是解题的关键． 4．（2026春•东丽区期末）16的平方根是（　　） A．4 B．﹣4 C．±16 D．±4 【分析】根据平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：±4， 故选：D． 【点评】本题考查平方根，掌握平方根的定义是解题的关键． 5．（2026春•陕州区期中）下列算式中错误的是（　　） A．0.8 B． C． D． 【分析】分别根据算术平方根，平方根，立方根的定义可作判断． 【解答】解：A、0.8，正确，不符合题意； B、±1.4，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，掌握其定义是关键． 6．（2026•金华二模）估计的值应在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【解答】解：∵22＝4，32＝9，而4＜6＜9， ∴23， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 7．（2026春•宜城市期末）已知一个数的两个不同的平方根是a﹣4和2a﹣5，则这个数是（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【分析】平方根的基本性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，先根据该性质列方程求出a的值，再计算得到原数即可． 【解答】解：由条件可知（a﹣4）+（2a﹣5）＝0， 整理得：3a﹣9＝0， 解得：a＝3， 将a＝3代入其中一个平方根，得a﹣4＝3﹣4＝﹣1， ∴这个数为 （﹣1）2＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了平方根，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2026•南开区一模）已知正方形的面积是5，估计其边长在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【解答】解：正方形的面积是5，则边长为， ∵， ∴23， 故选：B． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 9．（2026•吉林一模）如图，数轴上的点P表示的无理数可能是（　　） A． B． C． D．π 【分析】根据数轴判断点P表示的数的取值范围，再根据无理数的估算判断每个选项中无理数的取值范围，即可得解． 【解答】解：由数轴得，点P表示的数在1和2之间， A、∵， ∴点P表示的无理数可能是， 故此选项符合题意； B、∵， ∴点P表示的无理数不可能是， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴点P表示的无理数不可能是， 故此选项不符合题意； D、∵π＞3， ∴点P表示的无理数不可能是π， 故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了实数与数轴，无理数，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 10．（2025秋•潞州区期末）若实数x的平方根为，y的立方根为﹣2，则代数式x+y的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 【分析】根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【解答】解：由题意可得：，y＝（﹣2）3＝﹣8， ∴x+y＝7+（﹣8）＝﹣1， 故选：A． 【点评】此题考查平方根、算术平方根、立方根，正确进行计算是解题关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2026•河南二模）请写出一个大于1小于3的无理数　（答案不唯一）　 ． 【分析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可． 【解答】解：∵3，1， ∴写出一个大于1且小于3的无理数是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质． 12．（2026秋•同步）16的算术平方根是 　4　 ． 【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：4． 故答案为：4 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 13．（2026•甘孜州）比较大小：2　＞　 ．（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】先把2变形为，然后比较和的大小，即可得出答案． 【解答】解：， ∵， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，掌握实数的大小比较方法，算术平方根的定义是解题的关键． 14．（2026春•黄山期末）若实数m，n满足，则m+n的立方根是　2　 ． 【分析】先根据非负数的性质，由推出m﹣2＝0且n﹣6＝0；再解出m、n的值，计算m+n；最后求m+n的立方根． 【解答】解：根据非负数的性质可知：m﹣2＝0，n﹣6＝0． 解得m＝2，n＝6， ∴m+n＝2+6＝8， ∴． 故答案为：2． 【点评】本题考查了非负数的性质和立方根的计算，解题的关键是利用“平方数和算术平方根均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个数均为0”的性质求出m、n的值． 15．（2025秋•内江期末）已知a、b满足等式，则a2026b2026＝　1　 ． 【分析】根据题意可得，由非负数的性质可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知变形得， ∵（a+3）2≥0，， ∴（a+3）2＝0，且， 解得：a＝﹣3，， ∴． 故答案为：1． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，偶次方，算术平方根，掌握相应的运算法则是关键． 16．（2025秋•西安期末）如图，若数轴上点A，B对应的实数分别为和，以点B为圆心，AB的长为半径画圆，交数轴于点C（在点B的右侧），则点C对应的实数是　　 ． 【分析】求出半径，即可解答． 【解答】解：由条件可知， 又∵以点B为圆心，AB的长为半径画圆，交数轴于点C（在点B的右侧）， ∴， ∴点C对应的实数是， 故答案为：． 【点评】本题考查数轴上两点之间的距离，用点表示数轴上的数，二次根式的加法法则，熟练掌握以上知识点是关键． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•美兰区校级开学）求下列各式中x的值． （1）169x2＝100； （2）（x+1）2＝81； （3）9x2＝25； （4）4（x﹣2）2＝9． 【分析】（1）先系数化1，再开平方根，即可作答； （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答； （3）先系数化1，再开平方根，即可作答； （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【解答】解：（1）169x2＝100， ， 解得； （2）（x+1）2＝81， ， 解得x＝8或x＝﹣10； （3）9x2＝25， ， 解得； （4）4（x﹣2）2＝9， ， ， 解得或． 【点评】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（2026•东台市二模）已知3a﹣5的平方根是±2，a﹣2b﹣7的立方根是﹣2． （1）求a，b的值． （2）求2ab+15的立方根． 【分析】（1）根据平方根的定义得到3a﹣5＝4，根据立方根的定义得到a﹣2b﹣7＝﹣8，即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【解答】解：（1）∵3a﹣5的平方根是±2， ∴3a﹣5＝4， 解得：a＝3， ∵a﹣2b﹣7的立方根是﹣2， ∴a﹣2b﹣7＝3﹣2b﹣7＝﹣8， 解得：b＝2， 综上所述，a＝3，b＝2； （2）2ab+15 ＝2×3×2+15 ＝27， ∵． 【点评】本题考查了平方根，立方根，掌握平方根，立方根的定义是关键． 19．（2026春•界首市期末）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形． （1）求长方形的长和宽； （2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 【分析】（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，则，再利用平方根的含义解方程即可； （2）设正方形的边长为y，根据题意可得，y2＝75，利用平方根的含义先解方程，再比较与3的大小即可． 【解答】解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm， 则3x•x＝75， 即x2＝25， ∵x＞0， ∴x＝5， ∴3x＝15， 答：长方形的长为15cm，宽为5cm． （2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得， y2＝75， ∵y＞0， ∴， ∵原来长方形的宽为5cm， ∴正方形的边长与长方形的宽之差为：， ∵， 即， ∴， 所以她的说法正确． 【点评】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，准确地列出方程或代数式是解本题的关键． 20．（2025秋•周村区月考）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是1，请回答以下问题； （1）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根； （2）若，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值． 【分析】（1）根据题意，先求出a，b的值，再代入求值，最后计算得平方根即可； （2）先根据无理数的整数部分和小数部分求出x，y的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）由条件可知a＝8， ∵的整数部分是2，而b是的小数部分， ∴， ∴， ∵16的平方根是±4， ∴的平方根是±4； （2）∵， ∴的整数部分是15，小数部分是， ∵x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝15，， ∴． 【点评】本题考查了无理数的整数部分的有关计算，求无理数的整数部分和小数部分，实数的运算，熟练掌握无理数的整数部分的有关计算是解题的关键． 21．（2025秋•永丰县校级期末）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，2，3，6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【分析】（1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【解答】（1）证明：根据“和谐组合”的定义分别求解可知： ，，， ∴2，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：①当4≤a＜25时，可得，解得：a＝0（舍去）， ②当a＜4＜25时，可得，解得：a＝1，经检验符合题意， ③当4＜25≤a时，可得，解得：a＝100，经检验符合题意． 综上所述，a的值为1或100． 【点评】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． 22．（2025秋•兰溪市期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若n＝ab（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若m1是的最初近似值，则的二级近似值m2，的三级近似值m3． 例如：∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，4，6最接近， ∴的最初近似值为5， ∴的二级近似值为， ∴的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是　4　 ； （2）的二级近似值是　　 ； （3）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【分析】（1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）设n＝ab，进而求出a+b＝9，根据公式代入即可求值． 【解答】解：（1）∵15＝3×5， 3与5最接近， ∴的最初近似值为； 故答案为：4； （2）∵63＝7×9， 7和9最接近， ∴最初近似值， ∴的二级近似值是； 故答案为：； （3）设n＝ab， ∵最初近似值， 得a+b＝9， ∴二级近似值， 解得n＝18． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $