第2章实数的初步认识《小结与思考》专项练习 -2026年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、运算应用到新定义探究的三层设计，实现实数知识从单一认知到综合能力的进阶，适配新授课知识巩固与数学思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|核心概念（算术平方根、实数分类等）|直接考查定义与基本运算（如选择1-5、填空12）| |进阶层|概念辨析与简单应用（大小比较、估算等）|结合情境与计算推理（如选择8估算范围、解答23平方根综合）| |提高层|综合应用与创新拓展（新定义运算、复数等）|融入跨学科与探究性问题（如解答25复数应用、26平方和数探究）|

实数的初步认识小结与思考 专项练习 一、选择题 1、9 的算术平方根是（ ） A．-3 B．3 C．±3 D． 2、计算： = （ ） A．2 B．±2 C．-4 D．4 3、下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A．0 B．-1 C．- D． 4、下列说法正确的是（ ） A．所有无限小数都是无理数 B．实数分为正实数、负实数、0 C．是分数 D．无理数与无理数的和仍是无理数 5、下列说法中，正确的是（ ） A．无理数包括正无理数、0 和负无理数 B．无理数是用根号形式表示的数 C．无理数是开方开不尽的数 D．无理数是无限不循环小数 6、比较 - 3.14 与 -π 的大小，正确的是（ ） A．-3.14 > -π B．-3.14 < -π C．-3.14 = -π D．无法 7、比较下列说法错误的是（ ） A．-4 是 16 的平方根 B．-4 没有立方根 C．5 的平方根是 ± D．=5 8、估计实数+ 3 的值，它的所在范围是（ ） A．在 5 与 6 之间 B．在 6 与 7 之间 C．在 7 与 8 之间 D．在 8 与 9 之间 9、已知 ≈1.147，≈2.472，≈0.533，则 的值约是（ ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 10、我们定义一个关于实数 a,b 的新运算，规定：a⊗b=2a-3b，例如，2⊗1=2×2-3×1=1．若实数 m 满足 1⊗m≥5，则 m 的取值范围是（ ） A．m≥-1 B．m≤-1 C．m≥1 D．m≤1 11、一般地，如果 xⁿ=a（n 为正整数，且 n>1），那么 x 叫做 a 的 n 次方根．下列结论中正确的是（ ） A．81 的 4 次方根是 3 B．当 n 为奇数时，-5 的 n 次方根随 n 的增大而增大 C．32 的 5 次方根是 ±2 D．当 n 为奇数时，5 的 n 次方根随 n 的增大而增大 二、填空题 12、-的相反数是 ；16 的平方根是 ；81 的算术平方根是 ． 13、将 5.649 精确到百分位，得到的近似数是 ． 14、正常人的体温一般在 37℃，室温太高、太低都会感觉不舒服．有人研究认为人的满意温度与正常体温的比是黄金分割比时，此时人会感觉到比较舒服．根据你的生活体验和数学知识，该温度约为 （结果精确到 0.1）． 15、若 2m﹣4 与 3m﹣1 是同一个正数 a 的平方根，则 m＝ ． 16、观察图，每个小正方形的边均为 1，图中阴影部分的面积是 ；阴影部分边长的整数部分是 ． 17、如果 =2，则 (x+3)² 的平方根是 ． 18、若 a、b 为实数，且 b=，则 a+b 的值为 ． 19、实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 | a|+的结果是 ． 20、我们用 [m] 表示不大于 m 的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．若 [3+x]=5，则 x 的取值范围是 ． 三、解答题 21、把下列各数填在相应的集合中：3.14159，，0.6，-，0，1.1010010001…（每两个 1 之间 0 的个数依次加 1），π，． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}． 22、计算： （1）4x² - 16 = 0； （2）27 (x-3)³ = -64． 23、已知一个正数 x 的两个平方根分别为 a+3 和 2a-6，b+3 的立方根是 - 2． （1）求 a,b 的值； （2）求 x-b-2 的立方根． 24、如图，一蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了 2 个单位长度到达点 B，点 A 表示 -，设点 B 表示的数为 m． （1）实数 m 的值是多少？ （2）在数轴上还有 C、D 两点分别表示实数 c 和 d，并且 c<m<d，c、d 是相邻的整数，求 | c-d | 的平方根． 25、阅读材料：如果一个数的平方等于 - 1，记为 i²=-1，这个数 i 叫做虚数单位，那么形如 a+bi (a，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部． ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2+i)+(3-4i)=(2+3)+(1-4) i=5-3i；(3+i) i=3i+i²=3i-1． ②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如 1+2i 的共轭复数为 1-2i． 根据材料回答： （1）填空：i³= ； （2）求 (2+i)² 的共轭复数； （3）已知 (a+i)(b+i)=1+3i，求 a²+b² 的值． 26、对任意一个数 m，如果 m 等于两个正整数的平方和，那么称这个数 m 为 “平方和数”，若 m=a²+b²（a、b 为正整数），记 A (m)=ab． （1）判断 45 是否是 “平方和数”，若是，请计算 A (45)； （2）若 k 是一个不超过 50 的 “平方和数”，且 A (k)=k-9，求 k 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 实数初步认识专项练习答案与解析 一、选择题 1、答案：B 解析：算术平方根是指一个非负数的正的平方根，9 的平方根为 ±3，其中正的平方根 3 就是 9 的算术平方根。 2、答案：A 解析：立方根的符号与原数一致，且正数的立方根是唯一的正数，因为，因此。 3、答案：A 解析：计算各选项的绝对值：，，，，其中 0 是最小的，因此绝对值最小的数是 0。 4、答案：B 解析： A 选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，因此并非所有无限小数都是无理数，错误； B 选项：实数的分类为正实数、负实数和 0，正确； C 选项：，是整数，并非分数（此处分数指分数形式的有理数，该式化简后为整数），错误； D 选项：无理数与无理数的和可能是有理数，例如，错误。 5、答案：D 解析： A 选项：0 是有理数，不属于无理数，无理数仅分为正无理数和负无理数，错误； B 选项：无理数不一定是根号形式，例如是无理数，没有根号，错误； C 选项：开方开不尽的数是无理数的一部分，但无理数还包括无限不循环小数如，错误； D 选项：无理数的定义就是无限不循环小数，正确。 6、答案：A 解析：两个负数比较大小，绝对值小的数更大。，因此，所以。 7、答案：B 解析： A 选项：，因此 - 4 是 16 的平方根，正确； B 选项：任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，-4 的立方根为，错误； C 选项：正数的平方根有两个，互为相反数，因此 5 的平方根是，正确； D 选项：表示 25 的算术平方根，结果为 5，正确。 8、答案：C 解析：因为，所以，不等式两边同时加 3，可得，因此该值在 7 与 8 之间。 9、答案：C 解析：立方根的变化规律：被开方数的小数点每向右移动 3 位，立方根的小数点向右移动 1 位。 ，因此。 10、答案：B 解析：根据新运算的定义，，代入不等式得： ，移项得，解得。 11、答案：B 解析： A 选项：81 的 4 次方根，因为，因此 4 次方根为，错误； B 选项：当 n 为奇数时，负数的 n 次方根，例如 n=1 时，-5 的 1 次方根为 - 5；n=3 时，；n=5 时，，数值随 n 增大而增大，正确； C 选项：32 的 5 次方根，因为 5 是奇数，因此只有唯一的正根 2，不是，错误； D 选项：当 n 为奇数时，正数的 n 次方根，例如 n=1 时为 5，n=3 时约为 1.710，n=5 时约为 1.380，数值随 n 增大而减小，错误。 二、填空题 12、答案：；；9 解析： 相反数是符号相反的数，因此的相反数是； 16 的平方根：因为，所以平方根为； 81 的算术平方根：算术平方根为非负的根，，因此是 9。 13、答案：5.65 解析：精确到百分位需要看千分位的数字，5.649 的千分位是 9，根据四舍五入，向百分位进 1，因此得到 5.65。 14、答案：22.9℃ 解析：黄金分割比为，因此满意温度为，精确到 0.1 后为 22.9℃。 15、答案：1 解析：同一个正数的两个平方根互为相反数，因此两个式子的和为 0： ，解得，。 16、答案：10；3 解析： 阴影部分为正方形，利用割补法：大正方形面积为，四个角的直角三角形每个面积为，四个总面积为 6，因此阴影面积为； 阴影部分的边长为，因此其整数部分为 3。 17、答案： 解析：由，可得，因此，64 的平方根为。 18、答案：5 解析：二次根式的被开方数非负，因此： 且，解得，代入得，因此。 19、答案： 解析：由数轴可知，因此。 化简式子：。 20、答案： 解析：根据取整函数的定义，等价于。 因此等价于，解得。 三、解答题 21、答案： 有理数集合：； 无理数集合：。 解析：有理数是整数、分数、有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 是无理数，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，也是无限不循环小数，均为无理数。 22、 解方程： (1) 解：移项得，即， 解得。 (2) 解：整理得，开立方得， 解得。 23、解答： (1) 正数 x 的两个平方根互为相反数，因此： ，解得，。 因此 x 的平方根为，。 又因为的立方根是 - 2，因此，解得。 (2) 计算，因此 25 的立方根为。 24、解答： (1) 点 A 表示，向右移动 2 个单位，因此。 (2) ，因此相邻的整数，。 ，1 的平方根为。 25、虚数运算解答： (1) ，因此答案为。 (2) 计算： ， 共轭复数的虚部互为相反数，因此共轭复数为。 (3) 展开左边： ， 根据复数相等，实部和虚部分别相等，因此： ，即，。 因此。 26、平方和数解答： (1) 45 可以写成两个正整数的平方和：，因此 45 是 “平方和数”。 根据定义，。 (2) 根据题意，，且，代入得： ，整理得。 枚举正整数解： 当，时，，满足方程，此时，且，符合条件。 验证：，，满足条件。 因此 k 的值为 18。 学科网（北京）股份有限公司 $