2.2 基本不等式（第1课时：基本不等式的简单应用） 同步练习题 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式简单应用，通过“例题精练+基础夯实”分层设计，实现从概念应用到实际问题解决的知识巩固，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|最值计算、实际应用、证明|阶梯式例题示范方法，如例1参数最值、例2蓄水池造价问题，渗透模型意识| |基础夯实|概念辨析、性质应用、简单实际问题|选择填空巩固基础，如第2题最值计算、第13题纸盒面积问题，融入几何背景（第7题）体现数学眼光|

2.2 基本不等式（第1课时：基本不等式的简单应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最大值； （3）已知(，)在时取得最小值，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用基本不等式直接求解即可； （2）对式子变形，再利用基本不等式求解即可； （3）利用基本不等式求解最小值，根据取得最值的条件建立方程即可求解. 【详解】（1）因为，所以.所以， 当且仅当，即时取最小值， 所以当时，的最小值为. （2）当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 所以当时，的最大值为. （3）因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 【例2】某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． 【答案】21420元 【分析】设该蓄水池池底的一边长为，总造价为元，则，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为，当且仅当即时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是21420元． 【例3】已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． (2) 证明：，即证，也即证， 只需证 ，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可； （2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【基础夯实】 一、单选题 1．不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是（    ） A．x=3 B．x=6 C．x=5 D．x=10 【答案】C 【分析】根据基本不等式等号成立的条件可知，当时等号成立． 【详解】当时，， 等号成立的条件是 ， ，解得： 故选：C． 2．已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】用基本不等式 求积的最大值. 【详解】由已知得，由基本不等式得， 当且仅当时，取得最大值.所以的最大值为8. 故选：D 3．若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 4．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】通过配凑，直接利用基本不等式即可求解. 【详解】由为正实数，且 则利用基本不等式可得： ， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为3. 故选：C. 5．已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ，当且仅当取等号， 而， 故选：A． 6．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 7．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 8．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 二、多选题 9．设，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合基本不等式逐项分析判断即可. 【详解】选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：，所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确； 选项D：，当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【答案】ABD 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 11．设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用重要不等式，可判断A，C；利用特值法，可判断B，D. 【详解】对于A：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故A正确； 对于B：取，则显然成立，故该不等式不一定成立，故B错误； 对于C：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故C正确； 对于D：可取，得，故该不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式即可求解． 【详解】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 13．小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】首先由长方体的体积公式求得底面面积，再用底面的长和宽表示纸的面积，最后用基本不等式，即可求最小值. 【详解】设底面长方形的长和宽分别为和，则， 纸的面积， 当时等号成立， 所以小李所用纸的面积的最小值为. 故答案为： 14．比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式（第1课时：基本不等式的简单应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最大值； （3）已知(，)在时取得最小值，求的值. 【例2】某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． 【例3】已知，且，求证： (1)； (2)． 【基础夯实】 一、单选题 1．不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是（    ） A．x=3 B．x=6 C．x=5 D．x=10 2．已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D．8 3．若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 5．已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 6．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 8．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 11．设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 13．小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 14．比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $