2.2 基本不等式 第1课时 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础过关+能力提升”分层设计，以概念理解→运算应用→综合拓展为路径，强化基本不等式的梯度掌握，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|基本不等式概念辨析、简单最值求解、基础应用|含易错题标注，结合教材改编题，如题组一判断不等关系，题组二多情境最值计算| |能力提升练|概念深化（充要条件）、复杂最值（多变量/换元）、综合应用（恒成立/数学文化）|引入《几何原本》无字证明、柯西不等式拓展，如题组三结合实际问题考查参数范围|

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式、求最大(小)值及其应用 基础过关练 题组一　对基本不等式的理解 1.(2026海南海口第一中学月考)设a,b∈R,且a<b<0,则(　　) A.<　　B.> C.≥　　D.+>2 2.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是(　　) A.a=2　　B.a=±2 C.a=　　D.a=± 3.(2026山西吕梁月考)已知m>0,n>0,则“m+n≤”是“16mn≤1”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　 D.既不充分也不必要条件 题组二　利用基本不等式求最大(小)值 4.(多选题)(2026河北保定一中月考)下列选项正确的是　(　　) A.当x>1时,x+的最小值是3 B.已知x<0,则x+的最大值是-2 C.当0<x<10时,的最大值是5 D.设x∈R,则x2+2+的最小值为2 5.(2026吉林长春期末)已知0<x<4,则+的最小值为(　　) A.　　B.　　 C.2　　D. 6.(易错题)(2026江苏连云港期中)已知m<10,则m+的最大值为(　　) A.4　　B.6　　C.8　　D.16 7.(2026北京中国人民大学附属中学月考)已知x>0,y>0,且+=,则x+y的最小值为(　　) A.5　　B.6　　C.7　　D.8 8.(2026福建厦门期中)已知x>-1,则的最小值为(　　) A.4　　B.7　　C.11　　D.24 9.(教材习题改编)已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为　　　　.  题组三　利用基本不等式求最大(小)值的应用 10.(2026河北NT20名校联合体期中)若不等式+≥2a-3对任意的m∈m0<m<恒成立,则实数a的最大值为(　　) A.　　B.　　 C.6　　D.-6 11.(2026山西临汾一中月考)已知a>0,b>0,若不等式≤恒成立,则实数m的最大值为(　　) A.64　　B.25　　 C.13　　D.12 12.(2026广东广州第四中学月考)已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y≥m恒成立,则实数m的最大值是　　　　.  能力提升练 题组一　对基本不等式的理解 1.(2026河南名校期中联考)已知a,b∈R,设甲:a+b≥2,乙:a2+b2≥2,则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 2.(多选题)(2026山东济宁三校联考)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是(　　) A.ab≥1　　B.a2+b2≥2　　 C.+≤　　D.+≥2 3.(多选题)(2026江苏无锡天一中学月考)《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于点E.设AC=a,BC=b,则该图形可以直接完成的“无字证明”为(　　) A.2ab<a2+b2　　B.<　　 C.<　　D.> 4.(多选题)(2026上海七宝中学月考)《九章算术》中有“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图(1),用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图(2)所示的矩形,该矩形的长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图(3),设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是(　　) 　　 A.由题图(1)和题图(2)的面积相等得d= B.由AE≥AF可得≥ C.由AD≥AE可得≥ D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab 题组二　利用基本不等式求最大(小)值 5.(2026山东日照实验高级中学段考)已知0<x<,则+的最小值为(　　) A.　　B.2　　 C.　　D.4 6.(2026江苏南京期中)已知x>0,y>0,且x+y=1,则+的最小值为(　　) A.1　　B.2　　 C.　　D. 7.已知a>b>0,则a2+的最小值为(　　) A.8　　B.8　　 C.16　　D.16 8.(2026安徽亳州一中月考)已知正实数a,b,c满足b+c=1,则+的最小值为　　　　.  9.(2026天津第一百中学月考)已知a>0,b>0. (1)若a+b=4,求+的最小值及此时a,b的值; (2)若2a2+b2=4a+4b,求+的最小值及此时a,b的值; (3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值. 题组三　利用基本不等式求最大(小)值的应用 10.(2026重庆月考)已知x>0,y>0,且x+y=5,若+≥2m+1恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.m≤　　B.m≤　　 C.m≤　　D.m≤4 11.(2026湖南邵阳二中月考)若“∃x∈x≤x≤2,3x2-λx+1<0”是假命题,则实数λ的最大值为　　　　.  12.(2026河南安阳一中月考)设x>y>z,n∈N,且+≥恒成立,则n的最大值为　　　　.  13.(2026山东济宁育才中学月考)设a>b>0,若a2+λb2≤恒成立,则实数λ的最大值为　　　　.  14.(2026山东枣庄期中)柯西不等式:∀a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,且b1b2…bn≠0,有(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当==…=时,等号成立.用它可以解决一些数学问题,如:若x+2y=2,则由柯西不等式得(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2,可得x2+y2≥,当且仅当=,且x+2y=2,即x=,y=时取等号,故x2+y2的最小值为.运用柯西不等式,解决下列问题: (1)若x+2y+2z=3,求x2+y2+z2的最小值; (2)求++的最大值. 答案 2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式、求最大(小)值及其应用 基础过关练 1.D　对于A,因为a<b<0,所以>,故A错误; 对于B,因为a<b<0,所以<<0,所以->->0, 又-a>-b>0,所以·(-a)>·(-b)>0,即>,故B错误; 对于C,因为a<b<0,所以<0,>0,所以<,故C错误; 对于D,因为a<b<0,所以>0,>0,所以+≥2=2, 当且仅当=,即a=b时,等号成立, 又a<b,所以+>2,故D正确. 2.D　该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±. 3.A　当m>0,n>0时,m+n≥2,当且仅当m=n时取等号,则当m+n≤时,有2≤m+n≤,则16mn≤1,充分性成立; 取m=,n=1(举特例),满足16mn≤1,但m+n=>,必要性不成立. 综上所述,“m+n≤”是“16mn≤1”的充分不必要条件. 4.ABC　对于A,由x>1,得x-1>0,则x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,所以A正确. 对于B,当x<0时,-x>0, 所以x+=- ≤-2=-2, 当且仅当-x=,即x=-1时等号成立,所以B正确. 对于C,≤=5,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,所以C正确. 对于D,x2+2+ ≥2=2, 但x2+2=无解,所以等号不成立,所以D错误. 5.B　由0<x<4,得4-x>0,则+=[x+(4-x)]=5++≥5+2=,当且仅当=,即x=时取等号, 所以+的最小值为. 6.A　因为m<10,所以10-m>0,则m+=m-10++10=10-10-m+≤10-2×=10-6=4,当且仅当10-m=,即m=7时取等号,所以m+的最大值为4. 7.A　解法一(常值代换法):x+y=(x+3)+y-3=[(x+3)+y]×2-3(“1”的代换) =2-3≥1+4=1+4=5, 当且仅当=,且+=,即x=1,y=4时取等号,故x+y的最小值为5. 解法二(消元法):由+=得y==+2(分离常数), 所以x+y=x++2=x+1++1(配项)≥1+2=1+4=5, 当且仅当x+1=,且+=,即x=1,y=4时等号成立,故x+y的最小值为5. 8.B　解法一(配凑法):因为x>-1,所以x+1>0,==x+1++3或==x+4+=x+1++3 ≥2+3=7, 当且仅当x+1=,即x=1时等号成立,所以的最小值为7. 解法二(换元法):令t=x+1,则t>0,x=t-1, 则===t++3≥2+3=7, 当且仅当t=,即t=2,x=1时取等号,所以的最小值为7. 9.答案　 解析　∵0<x<1,∴4-3x>0,∴x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤·=, 当且仅当3x=4-3x,即x=时取等号. 10.C　因为0<m<,所以1-2m>0,则+=[(1-2m)+2m]=5++≥5+2=9, 当且仅当=,即m=时取等号, 由已知得9≥2a-3,解得a≤6,所以a的最大值为6. 11.B　由a>0,b>0,得a+b>0,所以不等式≤恒成立即m≤·(a+b)恒成立,故m≤.易得·(a+b)=(a+b)=13++≥13+2=25, 当且仅当=,即b=a时等号成立, 故·(a+b)的最小值为25, 所以m≤25,即实数m的最大值为25. 12.答案　9 解析　因为x>0,y>0,且+=1, 所以2x+y=(2x+y)(“1”的代换) =5++≥5+2=9, 当且仅当x=y=3时,等号成立,故2x+y的最小值为9. 因为2x+y≥m恒成立,所以m≤(2x+y)min=9, 所以实数m的最大值是9. 能力提升练 1.A　当a+b≥2时,a2+b2≥≥=2,当且仅当a=b=1时取等号,则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分条件; 当a2+b2≥2时,不妨取a=-2,b=0,此时a+b<2,则“a+b≥2”不是“a2+b2≥2”的必要条件, 所以甲是乙的充分不必要条件. 2.BD　因为a>0,b>0,所以a+b=2≥2,所以ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,故A错误; a2+b2≥=2,当且仅当a=b=1时取等号,故B正确; 令a=b=1,满足a+b=2,但+≤不成立,故C错误; +==1+1++=1+≥1+×2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故D正确. 3.BC　∵AB=AC+CB=a+b,∴DO=AB=. 连接AD,BD,易知∠ADB=90°. 在Rt△ADB中,由射影定理可知CD2=AC·CB,∴CD=. ∵OD>CD,∴>(a>0,b>0,a≠b),故B正确. 同理,在Rt△OCD中,由射影定理可知CD2=DE·OD,即DE===, ∵CD>DE,∴>,故C正确. 对于A,D选项,∵a2+b2在图中没有相应的线段与之对应,∴无法判断. 4.BCD　 信息提取　AF是斜边上的高,AD是斜边上的中线,AE是正方形的对角线,AE等于正方形边长的倍. 解析　由题图(1)和题图(2)的面积相等可得ab=(a+b)d,得d=,故A错误; 由题意知题图(3)的面积为ab=·AF,故AF=,由D是斜边BC的中点得AD=BC=, 易知题图(3)中正方形的边长为d=,则AE=,由AE≥AF可得≥,化简可得≥,故B正确; 由AD≥AE可得≥,化简可得≥,故C正确; 由AD≥AF可得≥,化简可得a2+b2≥2ab,故D正确. 5.C　因为0<x<,所以3-2x>0,所以+=+=[2x+(3-2x)]利用[2x+(3-2x)]=1进行代换 =2+++2 ≥=, 当且仅当=,即x=时等号成立,所以+的最小值为. 6.C　依题意得,1=x+y=(2x+y)+(x+3y),因为x>0,y>0, 所以+=(2x+y)+(x+3y) =++≥+2=+, 当且仅当=且x+y=1, 即x=,y=时取等号,故+的最小值为. 7.C　∵a>b>0,∴a-b>0,则b(a-b)≤=, ∴a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当即时,等号成立,故a2+的最小值为16. 8.答案　16 解析　因为a,b,c>0,b+c=1, 所以+=a·+=a·+=a·+=a·+≥a2+2+=8a+=8(a+1)+-8≥2-8=16, 当且仅当 即时,等号成立. 故所求最小值为16. 9.解析　(1)∵a+b=4,a>0,b>0, ∴+=(a+b)=++≥+2=,当且仅当4a2=b2,即a=,b=时取等号,∴+的最小值为,此时a=,b=. (2)∵2a2+b2=4a+4b, ∴+===+≥2=, 当且仅当2a2=b2,即a=1+,b=+2时取等号, ∴+的最小值为,此时a=1+,b=+2. (3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6, ∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a=,b=时取等号,∴5a+9b的最小值为12,此时a=,b=. 10.B　因为x+y=5,所以x+1+y+2=8, 又x>0,y>0, 所以+=[(x+1)+(y+2)]=5++ ≥5+2=, 当且仅当即x=,y=时取等号,所以+的最小值为. 因为+≥2m+1恒成立,所以2m+1≤,解得m≤. 11.答案　2 解析　由题意得“∀x∈x≤x≤2,3x2-λx+1≥0”是真命题, 故当x∈x≤x≤2时,3x+≥λ恒成立,即λ≤, 由基本不等式,得3x+≥2=2,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,故λ≤2. 则实数λ的最大值为2. 12.答案　4 解析　因为x>y>z,所以x-y>0,y-z>0,x-z>0, 则+≥恒成立等价于n≤(x-z)恒成立, 则n≤. (x-z)=[(x-y)+(y-z)]=2++≥2+2×=4, 当且仅当=,即x-y=y-z时等号成立,所以n≤4,又n∈N,所以n的最大值为4. 13.答案　6 解析　因为a>b>0,所以由a2+λb2≤恒成立, 可得λ≤==恒成立,即λ≤, (点拨:分子二次,分母一次,利用配凑法或换元法分离常量) 令t=-1,因为a>b>0,所以>1,则t>0,=t+1,所以===t++2≥2+2=6,当且仅当t=,即t=2,a=3b时等号成立, 所以λ≤6,即λ的最大值为6. 14.解析　(1)由柯西不等式可得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2=27, 所以x2+y2+z2≥3, 当且仅当==,且x+2y+2z=3,即x=,y=z=时取等号,故x2+y2+z2的最小值为3. (2)由柯西不等式可得[x+(3x-32)+4(17-x)]·12+12+≥(++)2, 所以(++)2≤36×=81,则++≤9, 当且仅当==2,即x=16时等号成立, 故++的最大值为9. 7 学科网（北京）股份有限公司 $