2.2 第1课时 利用基本不等式求最值 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

2.2　基本不等式 第1课时　利用基本不等式求最值 1.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a=4 B.a= C.a=- D.a=± 2.函数y=2x+(x>0)有 (　 ) A.最小值2 B.最大值2 C.最小值4 D.最大值4 3.已知x,y∈R,若x2+y2=2,则 (　 ) A.xy的最大值为1 B.xy的最大值为2 C.xy的最小值为1 D.xy的最小值为2 4.若a>1,则a+的最小值是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若a>b>0,则下列不等式成立的是 (　 ) A.a>b>> B.a>b>> C.a>>>b D.a>>>b 6.(多选题)已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论正确的是 (　 ) A.≥ B.ab≤ C.+≥2 D.≤ 7.[2026·成都外国语学校高一期中] 已知正数a,b满足4a+9b=4,则ab的最大值为　　　　.  8.[2026·湖南长郡中学高一期中] 若x>0,则2-3x-的最大值是　　　　.  9.(13分)(1)已知x>,求2x++1的最小值. (2)已知a>0,b>0,且a+b=ab,求a+b的最小值. (3)[2026·浙江S9联盟高一期中] 设0<x<2,求函数y=x(4-2x)的最大值,并求取得最大值时x的值. 10.已知a>0,b>0,a≠b,则,, ,中最大的是 (　 ) A. B. C. D. 11.(多选题)已知x,y为非零实数,则下列不等式恒成立的是 (　 ) A.xy≤ B.≥2 C.≥2 D.x2+y2≥2|xy| 12.[2026·四川巴中高一阶段练] 已知0<x<8,则的最大值是　　　　.  13.已知a>0,b>0,且3a+7b=10,则ab的最大值为　　　　.  14.(15分)(1)已知0<x<1,求x(4-3x)的最大值. (2)若x<-1,求的最大值. (3)[2026·无锡三中高一月考] 已知x>0,y>0,且xy=x+y+8,求xy的最小值. 15.若正实数a,b满足4a2+9b2=1,则的最大值是 (　 ) A.1- B.1+ C.-1 D. 16.(15分)已知a>0,b>0,且a+b=. (1)求a+b的最小值,并求出相应a,b的值. (2)是否存在实数a,b,使得+=成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　基本不等式 第1课时　利用基本不等式求最值 1.D　[解析] 该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±,故选D. 2.C　[解析] 因为x>0,所以y=2x+≥2=4,当且仅当2x=,即x=1时等号成立,故函数有最小值4,无最大值.故选C. 3.A　[解析] 因为x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,所以x2+y2≥2xy,所以xy≤1,所以xy的最大值为1,故A正确,B错误;因为x2+y2+2xy=(x+y)2≥0,所以x2+y2≥-2xy,所以xy≥-1,所以xy的最小值为-1,故C,D错误.故选A. 4.C　[解析] ∵a>1,∴a-1>0,则a+=(a-1)++1≥3,当且仅当a-1=,即a=2时取等号,故选C. 5.C　[解析] 因为a>b>0,所以a>,>b,又>,所以a>>>b. 6.BC　[解析] 对于A,因为ab>0,所以当a<0,b<0时,≥不成立,故A不正确;对于B,因为ab>0,所以ab≤恒成立,当且仅当a=b时,等号成立,故B正确;对于C,因为ab>0,所以>0,>0,则+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故C正确;对于D,因为a2+b2≥2ab,所以(a+b)2≥4ab,当a<0,b<0时,满足ab>0,但a+b<0,所以≤,故D不正确.故选BC. 7.　[解析] 正数a,b满足4a+9b=4,由基本不等式得4a+9b=4≥2,可得0<ab≤,当且仅当4a=9b,即a=,b=时,等号成立,故ab的最大值为. 8.2-4　[解析] 因为x>0,所以由基本不等式得,3x+≥2=4,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,故2-3x-=2-≤2-4,即2-3x-的最大值为2-4. 9.解:(1)∵x>,∴2x-1>0, 则2x++1=2x-1++2≥2+2=4,当且仅当2x-1=,即x=1时,等号成立,∴2x++1的最小值为4. (2)∵a+b=ab≤,∴4(a+b)≤(a+b)2,∴a+b≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立, ∴a+b的最小值为4. (3)∵0<x<2,∴0<2-x<2, 则y=x(4-2x)=2x(2-x)≤2×=2,当且仅当x=2-x,即x=1时,等号成立,故函数y=x(4-2x)的最大值为2,此时x=1. 10.A　[解析] 因为a>0,b>0,所以≤=(当且仅当a=b时取等号),≤(当且仅当a=b时取等号),=≥=(当且仅当a=b时取等号),又a≠b,故<<<.故选A. 11.ACD　[解析] 对于A,因为x,y为非零实数,所以x2+y2≥2xy(当且仅当x=y时取等号),则x2+y2+2xy≥4xy,即xy≤,故A恒成立;对于B,当x,y异号时,<0,故B不恒成立;对于C,=|x|+≥2=2,当且仅当|x|=,即x=±1时取等号,故C恒成立;对于D,x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x|·|y|=2|xy|,当且仅当|x|=|y|时取等号,故D恒成立.故选ACD. 12.4　[解析] 由0<x<8可知8-x>0,则≤=4,当且仅当x=8-x,即x=4时等号成立. 13.　[解析] 因为a>0,b>0,且3a+7b=10,所以ab=×3a×7b≤×=,当且仅当3a=7b且3a+7b=10,即b=,a=时,等号成立,故ab的最大值为. 14.解:(1)因为0<x<1,所以0<3x<3,所以4-3x>0, 故x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤=, 当且仅当3x=4-3x,即x=时取等号,故x(4-3x)的最大值为. (2)==x+1+-4.因为x<-1,所以x+1<0,<0,所以x+1+=-≤-6,当且仅当-(x+1)=-,即x=-4时,等号成立,所以x+1+-4≤-10,故的最大值为-10. (3)由xy=x+y+8得(x-1)y=x+8,因为x>0,y>0,所以x-1>0,所以y=,所以xy==x-1++10, 由基本不等式得x-1+≥2=6,当且仅当x-1=,即x=4时,等号成立, 所以xy的最小值为6+10=16. 15.B　[解析] ===2a+3b+1, 因为2×2a×3b≤4a2+9b2,所以2×2a×3b+4a2+9b2≤2(4a2+9b2),即(2a+3b)2≤2,所以2a+3b≤,当且仅当2a=3b=时取等号,所以2a+3b+1≤+1,所以的最大值是+1,故选B. 16.解:(1)由a>0,b>0,a+b=,得=≤, 于是(a+b)2≥4,可得a+b≥2,当且仅当a=b时取等号. 由可得a=b=1,所以a+b的最小值为2,此时a=b=1. (2)假设存在实数a,b,使得+=成立,则a+b=ab,因为a>0,b>0,=,所以a+b=·,整理得(a+b)3=4,由(1)知,(a+b)3≥8,而4<8,因此假设不成立,所以不存在实数a,b,使得+=成立. 学科网（北京）股份有限公司 $