2.2 第2课时　基本不等式的应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式应用，采用“基础巩固-推理深化-综合应用”三阶分层设计，通过多样化题型构建从单一知识点到实际问题解决的完整巩固路径，培养抽象能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|“1”的代换求最值（第1-2、4-5题）|单选题与填空题结合，强化基本公式直接应用，培养运算能力| |进阶层|不等式证明与多考点综合（第3、6-7、13、15题）|多选题与证明题搭配，融入教材变式，发展推理意识与批判性思维| |综合层|实际问题与拓展应用（第8-10、12、14、16-17题）|结合生产生活情境与柯西不等式拓展，提升数学建模与应用意识|

第2课时　基本不等式的应用 1.A　[解析] 因为a>0,b>0,a+b=1,所以+=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时取等号,所以+的最小值是4.故选A. 2.A　[解析] 因为m>0,n>0,且m+n=mn,所以+=1,所以4m+n=(4m+n)=++5≥2+5=9,当且仅当=,即m=,n=3时取等号.故选A. 3.ABD　[解析] 对于A,ab≤=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以ab的最大值为4,故A正确;对于B,+≥2=2,当且仅当=,即a=b=2时等号成立,所以+的最小值为2,故B正确;对于C,+=(a+b)=+≥+×2=1,当且仅当=,即a=b=2时等号成立,所以+的最小值为1,故C错误;对于D,+=+=++≥2+=,当且仅当=,即b=,a=时等号成立,所以+的最小值为,故D正确.故选ABD. 4.-1　[解析] ∵-=(x+1-x)=+-13≥2-13=-1,当且仅当=,即x=2时取等号,∴-的最小值为-1. 5.3　[解析] 由题意,a+b=(a+b+1)-1=(a+b+1)-1=++1≥2+1=3,当且仅当=,即a=2,b=1时取等号. 6.≥　[解析] 因为a>b>c,所以=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立. 7.证明:(1)由a,b,c,d都是正数,利用基本不等式可知ab+cd≥2,当且仅当ab=cd时,等号成立; ac+bd≥2,当且仅当ac=bd时,等号成立. 所以(ab+cd)(ac+bd)≥2·2=4abcd, 即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd,当且仅当a=d,b=c时,等号成立. (2)因为a,b,c都是正数,所以b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时,等号成立;c2+a2≥2ac,当且仅当a=c时,等号成立; a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 所以a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥a·2bc+b·2ac+c·2ab=6abc,当且仅当a=b=c时,等号成立. 8.B　[解析] 由题得5(1+a)(1+b)=5(1+x)2且a,b,x>0,则由基本不等式可得x=-1≤-1=,当且仅当a+1=b+1,即a=b时取等号,所以x≤.故选B. 9.60　[解析] 生产速度为x个/时(x>0),生产时间为小时,则全程生产成本C(x)=(0.2x2+720)·=200x+,C(x)≥2=24 000,当200x=,即x=60时等号成立.综上,当该公司全程生产成本最低时,生产速度为60个/时. 10.解:设矩形菜园平行于墙的一边的长为x m,与之相邻的边的长为y m,菜园的面积为S m2,则x+2y=30,S=xy. 由基本不等式得S=·2xy=x·2y≤×=×=,当x=2y,即x=15,y=时,菜园的面积最大,最大面积是 m2. 因此,当矩形菜园平行于墙的一边的长为15 m,与之相邻的边的长为 m时,菜园的面积最大,最大面积是 m2. [规律方法] 用基本不等式解决实际问题时的常用思路:(1)理解题意,设好变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值;(4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题. 11.A　[解析] 由2a+b=2,得a+=1,所以+=+=1++≥1+2=3,当且仅当=,即a=,b=1时等号成立,所以+的最小值为3.故选A. 12.C　[解析] 设一条直角边的长度为x m,由于面积为1 m2,所以另一条直角边的长度为m,所以斜边长为,所以周长为x++≥2+=2+2≈4.83,当且仅当x=且x2=,即x=时取等号,所以较经济(够用又耗材最少)的铁管长度为5 m.故选C. 13.ABD　[解析] 对于A,因为a>0,b>0,所以2ab=a+4b≥2,所以ab≥4,当且仅当a=4b,即a=4,b=1时取等号,故A正确;对于B,因为2ab=a+4b,所以+=1,所以(a+b)=2+++≥2+=,当且仅当=,即a=3,b=时取等号,故B正确;对于C,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号,由A得ab≥4,当且仅当a=4,b=1时取等号,所以a2+b2的最小值不是8,故C错误;对于D,由+=1,得a=,则a-2=,所以+=+≥2=2,当且仅当=,即a=3,b=时取等号,故D正确.故选ABD. 14.8000　[解析] 设该超市每月销售该商品所获得利润为L,∵每件利润为(x-10)元,每月的销售量为100y件,∴L=100y(x-10)=100(x-20+10),20<x<50.令t=x-20,则0<t<30,∴L=100(t+10)=200≥200=200×40=8000,当且仅当=t,即t=10时取等号,∴该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为8000元. 15.证明:(1)由a,b,c均为正实数,且a+b+c=2, 得++=(a+b+c)==≥=,当且仅当=,=,=,即a=b=c=时等号成立, 所以++≥. (2)由a,b,c均为正实数,且abc=1,得+≥2==2c,当且仅当=,即a=b时等号成立,+≥2==2a,当且仅当=,即b=c时等号成立,+≥2==2b,当且仅当=,即a=c时等号成立, 所以+++++≥2c+2b+2a, 即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c=1时等号成立. (3)由x,y,z均为正实数,且++=1, 得x+y+z=(x+y+z)=1++++4++++9=14++++++≥ 14+2+2+2=36, 当且仅当=,=,=,即x=6,y=12,z=18时等号成立,所以x+y+z≥36. 16.AD　[解析] 对于A选项,根据柯西不等式得(a2+b2)(22+32)≥(2a+3b)2,当且仅当3a=2b时取等号,因为a2+b2=1,所以22+32≥(2a+3b)2,即13≥(2a+3b)2,所以-≤2a+3b≤,则(2a+3b)max=,A选项正确.对于B选项,根据柯西不等式得[a+(2-a)]≥,当且仅当×(2-a)=×a时取等号,即×2≥(1+)2=3+2,所以+≥,B选项错误.对于C选项,根据柯西不等式得(+2)2≤(1+4)(a+1+b+2),当且仅当4(a+1)=b+2时取等号,因为a+b=4,所以(+2)2≤5×(4+1+2)=35,所以+2≤,C选项错误.对于D选项,令x=,y=,则x2+y2=a-1+3-a=2,根据柯西不等式得(+)2=(+)2=(x+y)2≤(1+2)(x2+y2),当且仅当y=x,即=时取等号,因为x2+y2=2,所以(+)2≤6,所以+≤,D选项正确.故选AD. 17.解:(1)由AB为直径,得AC⊥BC,所以BC2=100-x2, 由已知可得y=+(0<x<10). 当垃圾处理厂建在的中点时,对村落A和村落B的总影响度为0.26,即当x=5时,y=0.26,代入上式可得0.26=+,解得K=9, 所以y=+(0<x<10). (2)y=+==,0<x<10. 令t=x2+80∈(80,180), 则y==, 因为t+≥2=240,当且仅当t=,即t=120,即x=2时取等号, 所以y≥=.故上存在一点,使得建在此处的垃圾处理厂对村落A和村落B的总影响度最小,此时该点到村落A的距离为2 km. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　基本不等式的应用 考点一　巧用“1”的代换求最值 1.已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.4 B.6 C.2 D.4 2.已知m>0,n>0,且m+n=mn,则4m+n的最小值为 (　 ) A.9 B.8 C.6 D.5 3.(多选题)[2026·河南名校大联考高一期中] 已知a>0,b>0,且a+b=4,则 (　 ) A.ab的最大值为4 B.+的最小值为2 C.+的最小值为 D.+的最小值为 4.已知x>0,则-的最小值为　　　　.  5.已知正数a,b满足+=1,则a+b的最小值为　　　　.  考点二　利用基本不等式证明不等式 6.若a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　.  7.[教材P49第4题变式] (1)若a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd; (2)若a,b,c都是正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc. 考点三　基本不等式在实际问题中的应用 8.某食品加工厂生产某种食品,第一年的产量为5 kg,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则 (　 ) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 9.[2026·四川广安前锋区高一检测] 某公司要生产1000个玩偶,已知该公司每小时生产玩偶的数量固定,且每小时的生产成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与生产速度x(个/时)的平方成正比,比例系数为0.2,固定部分为720元,为使全程生产成本最低,则该公司的生产速度是　　　　个/时.  10.[教材P48练习第2题] 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m.当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? 11.[2026·镇江高一质检] 已知正数a,b满足2a+b=2,则+的最小值是 (　 ) A.3 B.2+2 C.2 D.1+2 12.制作一个面积为1 m2且形状为直角三角形的铁支架,则较经济(够用又耗材最少)的铁管长度为 (　 ) A.4.6 m B.4.8 m C.5 m D.5.2 m 13.(多选题)[2026·扬州高一检测] 已知a>0,b>0,且2ab=a+4b,则 (　 ) A.ab的最小值是4 B.a+b的最小值是 C.a2+b2的最小值是8 D.+的最小值是2 14.[2026·北京通州区高一检测] 据市场调查,某超市的某种商品每月的销售量y(单位:百件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+2,其中20<x<50.已知该商品的成本为10元/件,则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为　　　　元.  15.[2026·长春高一检测] (1)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=2,求证:++≥. (2)已知a,b,c均为正实数,且abc=1,求证:++≥a+b+c. (3)已知x,y,z均为正实数,且++=1,求证:x+y+z≥36. 16.(多选题)柯西不等式是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式,柯西不等式可以用于证明其他不等式,也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式: ①对于所有实数x和y,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. ②等式条件:当且仅当ad-bc=0时,等号成立. 例:已知x+2y=2,由柯西不等式(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2,可得(x2+y2)min=.运用柯西不等式,判断以下说法正确的为 (　 ) A.若a2+b2=1,则(2a+3b)max= B.若0<a<2,则=3+2 C.若a+b=4,则(+2)max=2 D.若1<a<3,则(+)max= 17.如图,两村落A和B相距10 km,现计划在村落外以AB为直径的半圆弧AB上(不含A,B两点)选择一点C建造垃圾处理站,其对村落的影响度与所选地点到村落的距离有关.垃圾处理厂对村落A的影响度与所选地点到村落A的距离的平方成反比,比例系数为4;对村落B的影响度与所选地点到村落B的距离的平方成反比,比例系数为K.对村落A和村落B的总影响度为对村落A和村落B的影响度之和.记C点到村落A的距离为x,建在C处的垃圾处理厂对村落A和村落B的总影响度为y.统计调查表明:当垃圾处理厂建在的中点时,对村落A和村落B的总影响度为0.26. (1)将y表示成x的函数. (2)判断上是否存在一点,使得建在此处的垃圾处理厂对村落A和村落B的总影响度最小?若存在,求出该点到村落A的距离;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $