精品解析：福建省同安第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题

同安一中2024-2025学年（上）高三数学摸底考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由，所以； 由， 所以． 所以． 故选：B. 2. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质比较大小逐一判断即可. 【详解】对于A：由得，错误； 对于B：由，则有，即，正确； 对于C：由得，则根据不等式的性质有，即， 由可得，错误； 对于D：由得，则，即，错误. 故选：B 3. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明函数为偶函数，证明当时，，结合选项得到答案． 【详解】因为，函数定义域为， ，函数偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 当时，，故， 观察各选项可得选项BCD都不同时满足以上要求，而选项满足以上要求， 故选：A． 4. 若函数在上单调递减，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上单调递减，故在恒成立，则由即可求解. 【详解】由题意可知，在上单调递减， 所以在恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为， 所以的最小值为. 故选：B. 5. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为. 故选：D 6. 已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题目条件得到在上单调递增，且为偶函数，，其中，根据函数单调性和奇偶性得到不等式，求出解集. 【详解】不妨设， ， 故在上单调递增， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故定义域为，且， 故为偶函数， 因为，所以， ， 所以，解得或. 故选：A 7. 命题，命题：函数在上单调，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】设，则可化为． 充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增，因此充分性成立． 必要性：当时，在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，所以，则，此时函数在上单调递减． 综上可知，当函数在上单调时，或，因此必要性不成立．所以是的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，体会函数思想、分类讨论思想的应用．先考虑充分性，再考虑命题为真命题时，参数的取值范围，对参数进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0这一情况，这是本题的易错点. 8. 若函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定，，得到，当时，，得到，解得答案. 【详解】当时，单调递增，且； 当时，，，函数单调递增， 且，解得； 当时，，，. 函数单调递增，则，解得； 同理可得：当时，，，函数单调递增， 且，解得； 综上所述：. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数 C. 的解集为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点的坐标确定，函数为奇函数得到A错误，函数为增函数得到B正确，计算得到CD正确，得到答案. 【详解】设幂函数，函数过点，即，解得，即， 对选项A：函数定义域为，，函数为奇函数，错误； 对选项B：函数是增函数，正确； 对选项C：，解得，正确； 对选项D：，正确； 故选：BCD. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为8 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误. 【详解】A选项，因为，由基本不等式得， 即，故A错误； B选项，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，B正确； C选项，两边平方得， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 的最小值为2，C正确； D选项，因为，， 所以， 故D错误. 故选：BC 11. 已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，得到，得到函数的对称中心；B选项，由题意条件得到，故B正确；C选项，由B选项得到的周期为4，故，赋值法得到；D选项，赋值法得到，，，结合函数的周期得到答案. 【详解】A选项，由题意知，，则， 所以图象的对称中心为，A正确． B选项，，， 两式相减得，所以，B正确． C选项，由B选项可得，的周期为4，又， 故，令得，， 得，所以C错误； D选项，因为，令得，， 又，故， 中，令得，， 由，得，， 又的周期为4， 则， 所以，D正确． 故选：ABD 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，，，，，，…，.写出满足上述条件的一个函数：______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意结合指数运算分析求解即可. 【详解】例如，则，且， 所以符合题意. 故答案为：. 13. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分析给定函数的性质，利用函数的奇偶性、单调性解不等式得出结果. 【详解】函数定义域为R， 显然有，即函数是偶函数， 当时，，令， ，，， 因，则，即，，有，在上单调递增， 又在上单调递增，因此，在上单调递增， 于是得， 解得或， 所以不等式成立的x的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为①， 所以时，②， 由①－②得，时，，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1），得， 所以， . 16. 如图，已知平行四边形，点E为中点，，.将沿折起，使点D到达点P的位置，且与夹角的余弦值为. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用已知的边和异面直线所成的角转化为已知的平面角，即可以证明线线垂直，再证线面垂直，最后到面面垂直； （2）利用空间向量法来求两平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连结，，由于是中点，可知， 所以为等边三角形，即， 又因为与夹角的余弦值为，， 所以与的夹角就是，即， 由余弦定理得：， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，所以， 因为四边形为平行四边形，且为等边三角形，所以． 因为为的中点，则，所以为等腰三角形， 可得，，即. 取的中点，则，所以， 以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 可得，，设是平面的一个法向量， 所以，即，取， 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 所以 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）； （2）为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中、、、、.当最大时，写出的值，并说明理由. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）设中位数为，分析可知，，利用中位数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）计算出按分层抽样所抽取的人中，从日平均阅读时间在内的学生抽取的学生人数，分析可知，的可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）分析可知，计算得出，利用二项式系数的性质可求得当取最大值时，的值. 【小问1详解】 设中位数为，前四个矩形的面积之和为 ， 前五个矩形的面积之和为，所以可设中位数为， 由中位数的定义可得，解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图，得这名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数分别为： ，，， 若采用分层抽样的方法抽取了人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人， 从这人中随机抽取人，则的可能取值为、、、， ，， ，， 所以，的分布列为 数学期望. 【小问3详解】 可知，原因如下： 由频率分布直方图，得， 解得， 所以，学生日平均阅读时间在内的概率为， 从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，日平均阅读时间在内的学生人数， 则， 所以，其中， 由组合数的性质，得当时，最大，则最大. 18. 在椭圆E：上任取一点，过作轴的垂线为垂足，点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线交椭圆于，交曲线于，当最大时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，由，得，进而得曲线的方程； （2）（i）当直线斜率不存在时，；（ii）当直线斜率存在时，设直线方程为， 与椭圆方程联立得坐标，进而得，利用均值不等式得最大值，进而得直线的直线方 程，利用几何法求即可求解. 【小问1详解】 设，则， 所以， 因为， 所以，得， 因为点在椭圆上，所以， 得曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）当直线斜率不存在时，； （ii）当直线斜率存在时，设直线方程为， 所以，得， 解得， 得， 所以， ， 所以当，即时，最大值为， 因为，所以， 当时，直线方程为， 即， 圆心到直线的距离， 根据垂径定理， 得． 19. 定义：对于空间向量，，其“导数积”为.已知空间向量，为常数，记. （1）当时，证明：； （2）若为的极大值点，求正实数的取值范围； （3）设，，，且满足，，证明： 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，根据导数积的定义求出，根据导数确定单调性和最值，进而证明； （2）依题意，得在单调递减，在单调递增，分别在，，验证即可； （3）依题意，在上不单调，变形构造函数证明. 【小问1详解】 依题意，， 即， 当时，，， 当时，；当时，， 因此，在上单调递减，在上单调递增， 故，得证. 【小问2详解】 当时，，设，， 令，解得，因为在上单调递增，于是， 当时，；当时，， 故在单调递减，在单调递增， 即在单调递减，在单调递增， ①当时，，注意到及在单调递减， 则当时，；当时，， 故在单调递增，在单调递减， 为的极大值点，符合题意； ②当时，，由（1）知，， 在上单调递增，无极值点，不合题意，舍去； ③当时，，注意到及在单调递增， 当时，；当时，， 故在单调递减，在单调递增， 为的极小值点，不合题意，舍去. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 依题意，上不单调，由（2）知，且，此时， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增，从而有， 要证，只需证， 由于在单调递减，且，， 故只需证，即证， 设，， ，设，则，， 当时，有，又因为在上单调递增， 于是有，即， 从而在上递增，即在上递增， 于是有，从而在上递增， 于是有，式得证，故原不等式成立. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性，极值（最值）最有效的工具，对导数的考查主要从以下几个方面：(1)考查导数的几何意义，求切线方程，(2)利用导数求解函数的单调区间，判断单调性，已知函数的单调性求解参数的范围，(3)用导数求解函数的最最值以及极值，恒成立问题，构造函数求解零点以及最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2024-2025学年（上）高三数学摸底考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 3. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上单调递减，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 命题，命题：函数在上单调，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A B. C D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数 C. 的解集为 D. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为8 11. 已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B C D 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，，，，，，…，.写出满足上述条件的一个函数：______. 13. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是___________. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和. 16. 如图，已知平行四边形，点E为的中点，，.将沿折起，使点D到达点P的位置，且与夹角的余弦值为. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）； （2）为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中、、、、.当最大时，写出的值，并说明理由. 18. 在椭圆E：上任取一点，过作轴的垂线为垂足，点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线交椭圆于，交曲线于，当最大时，求． 19. 定义：对于空间向量，，其“导数积”为.已知空间向量，为常数，记. （1）当时，证明：； （2）若为的极大值点，求正实数的取值范围； （3）设，，，且满足，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $