辽宁沈阳市东北育才学校2026-2027学年高三上学期第一次模拟数学试卷

东北育才高中2026-2027学年高三上学期 第一次模拟考试数学试题 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：从每题四个选项中选出唯一正确的选项(5×8=40分) 1.一组数据a1(1=1,2,3,4)的平均数是2，方差是1，则另一组数据3a+1(1=1,2,3,4)的平均数及 标准差分别为() A.2,1B.7,3C.7,9D.4,3V2 2.设集合A=[a,a+4,集合B=(-∞，-1)U(5,+∞)，若AnB≠o,则实数a的取值范围 为() A.(-∞，-1)B.(1,+o)C.[-1,1]D.(-∞，-1)U(1,+∞) 3.已知数列1，a,b,c,4,则b>0是该数列成等比数列的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件 4.下图对应的函数解析式为() A.y xsin x B.y xsinx C.y =x2sinx D.y =x2cosx 5.己知xy,z都是正数，则x+y+z+这三个数() A.都大于2B.都小于2C.至多有一个大于2D.至少有一个不小于2 6.将方程'-x-1=0(x≥0)对应的曲线绕原点逆时针旋转o角后，所得曲线是一个函数的图 像，则锐角的最大值为() A.3 B.C.D. 7.已知等差数列a,}、}的前n项和分别为S、T。:且费=：则是 A号BCD 8.已知函数fx)=Ix-ml+ml,g(☒=e-1,若对K∈R,都有y>fx)是y>g(x)的必要 条件，则实数m的取值范围是() A.{0}B.(-∞，0)C.[0,+o)D.(-∞，0) 二、多选题：每题四个选项中有多个正确的选项(6×4=24分) 9.把2,4,7，K四张牌分发给四人，每人按牌面数字记分(K记为13)，然后收回重洗，再分发和记 分，，若干次后，发现四人累计各得16,17,21和24分.已知得16分者最后一次得2分，则下列说 法正确的有() A.总共分发了3次牌B.总共分发了4次牌 C.得16分者在第一次得分数为13D.得16分者在第一次得分数为7 10.记S,=是+京+是+…+点，则下列不等式正确的有() As<日B.5n>吕-Cm5<Dm5=4 11.20世纪90年代中期，英国数学家安德鲁怀尔斯证明了由法国数学家费马提出的猜想：“当整 数n>2时，关于X,y,z的方程x+yn=z没有正整数解”.使该猜想经历300多年终成“费马大 定理”，因此安德鲁怀尔斯获得菲尔兹特别奖.则下面说法正确的是() A.关于X,y,z的方程x3+y3=z3至少存在一组正整数解； B.关于xy的方程x3+y3=1必然没有正有理数解； C.关于x,y的方程x3+y3=1可能有正有理数解； D.当整数n>2时，关于x,y,z的方程x+y=z有正实数解. 三.填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列{a}为等比数列，a3,a11是方程x2-2026x+2027=0的两个实数根，则a7= 13.有4个相同的球，分别标有数字1,2,3,4，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这4 个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)= 14.函数f(x)=,x2+x(1-1x)有两个极值点X,x2,当X1<X2<2x1时，k的取值范围是 四.解答题：本题共5小题，共77分. 15.(本小题13分)已知函数fx)=ln(a+x)+n(a-x)(a>0),且f(0)=ln4 (1)求实数a和函数f(x)的定义域： (2)判断函数fx)的奇偶性，简述理由； (3)若f(x)>0,求实数x的取值范围， 16.(本小题15分)如图，两条相互垂直的公路11,2交于点0，有一个湖泊，其边界如曲线C所 示，现要建一条笔直的小路1连通湖泊与公路11，l2,要求1的端点A,B分别在11，l2上，且1与曲线 C相切于点P.现以O为原点，11，l2所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系xOy,曲线C 近似符合函数y=是(0.5≤x≤4，单位：百米).设点P的横坐标为t. (1)求点A,B的坐标（用t表示）： (2)求小路1长度的最小值，及此时t的值. 17.(本小题15分)己知在正项数列{a}中，a1=1且√Sn+vSn-1=a(n≥2)，其中Sn为数列 {an}的前n项和. (1)求证：{VSn是等差数列，并求an: (2)若对于任意n∈N*,2n·入≥Sn恒成立，求实数入的取值范围 (3)设cn=a-4知+10，d=，求数列d}的前n项和Tn CnCn+1 18.(本小题17分)近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同 一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功 制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为；，第二次曝光的成功率为}，每次曝光过程相互独 立.现要制作1块芯片，依次对块晶片进行曝光，操作要求如下：若某晶片第一次曝光失败则认 为制作失败，不进行第二次曝光，继续曝光下一个晶片；若第一次曝光成功，则继续进行第二 次曝光，若第二次曝光失败，则认为制作失败，若二次曝光都成功，即成功制作出1块芯片，且不 再对后续的晶片进行曝光；若对这块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，都停止制 作 (1)当=3时，求成功制作出1块芯片的概率； (2)用这块晶片制作1块芯片，记随机变量X为曝光的晶片个数，求X的分布列和数学期望 E); (③)若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次：若一块晶片第一次曝光成功，无论第二 次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在这块晶片全部经过曝光，并成功制作出1块芯 片的条件下，记随机变量Y为这n块晶片曝光的总次数，求Y的数学期望E(). 19.(本小题17分)已知函数fx)=xnx-mx2, (1)当m≥时，讨论fx)在(0，+o)上的单调性； ②)若需>1对任意的x∈【VE,]恒成立，求实数m的取值范围： (3)若1，x2是fx)=1的两个零点，证明：X1X2>V6e2