第25章 一元二次方程 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“概念-解法-性质-应用-拓展”为逻辑主线，系统整合一元二次方程全章知识，提炼分层解法与跨场景应用策略，强化运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与系数辨析|4题（含中考真题）|三要素+隐含条件+符号规则|概念生成基础| |解法综合选择|4题（分方法命题）|优先级适用场景+选择原则|解法技能核心| |含参方程讨论|4题（参数分类）|参数位置分类+解的合理性|概念与解法延伸| |判别式应用|4题（根的情况判断）|Δ符号判断+参数范围+恒成立证明|方程性质深化| |韦达定理综合|4题（代数式求值）|对称式变形+勾股定理结合|性质与代数综合| |几何应用题|4题（面积/动点）|平移法+动点t表示+几何意义检验|模型意识培养| |传播增长率应用题|4题（循环/增长）|指数式建模+单双循环公式|实际应用拓展| |新定义与规律探索|4题（新运算/规律）|定义转化+系数规律归纳|创新意识提升|

2026－2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 全章综合训练 ▌课时目标 1. 系统梳理一元二次方程的概念、解法、判别式、韦达定理及实际应用，形成完整的知识网络，能准确辨析易混概念与易错点。 2. 能根据方程特征灵活选择最优解法，综合运用判别式、韦达定理解决含参方程、代数式求值、几何与代数综合等较复杂问题，提升运算与推理能力。 3. 能运用一元二次方程模型解决多类型实际应用问题，并能应对规律探索、新定义等开放性综合题，体会方程思想在跨章节问题中的核心作用。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程概念与系数识别的综合辨析 知识点02：四种解法的综合选择与灵活选用 知识点03：含参数一元二次方程的解法与讨论 知识点04：判别式与根的情况综合应用 知识点05：韦达定理与代数式求值的综合 知识点06：几何图形类应用题综合（面积、围栏、道路、动点） 知识点07：传播、增长率、循环类应用题综合 知识点08：新定义与规律探索类问题 ▌知识点01：一元二次方程概念与系数识别的综合辨析 综合辨析需关注三个层面： 1. 定义三要素：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2，三者缺一不可。 2. 一般形式中，必须强调这一隐含条件，当题目说“关于x的方程”时，需分类讨论a＝0（退化为一次方程）和两种情况。 3. 各项系数的符号：系数包括符号，如方程中，a＝2，b＝－3，c＝－1，而非b＝3、c＝1。 典型辨析题：已知是关于x的一元二次方程，求m的值。 解：由且，得且故。 1．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 2．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． 3．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得：， 整理得 ， 移项得 ， 系数化为得． ▌知识点02：四种解法的综合选择与灵活选用 四种解法的优先级与适用场景： 1. 直接开平方法：适用于型，速度最快，如(2x－1)2＝9。 2. 因式分解法：适用于能通过提公因式、公式法、十字相乘法分解为 型的方程，如x2－5x＋6＝0、(x－1)(x＋2)＝x－1（需先移项再分解）。 3. 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，当其他方法不易求解时使用，如2x2－4x－1＝0。 4. 配方法：一般不作为首选解法，但在推导求根公式、求代数式最值时有特殊优势。综合选择原则：先观察方程结构，优先尝试直接开平方或因式分解，若不易分解再用公式法；含参方程通常用公式法。 典型题：解方程3(x－2)2＝12（直接开平方最简）；解方程x2－4x＝5（移项后因式分解或配方法）；解方程2x2－5x＋1＝0（公式法）。 5．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）按要求解方程： (1)用配方法解方程： (2)用公式法解方程： (3)用适当的方法解方程： 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， 则， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴ ∴或 解得，． 6．（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)用配方法解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键； （1）因式分解法解方程即可； （2）先将方程化为一般形式，再利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）， ， ， ， ， ， 解得，． 7．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了用配方法和公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先将常数项移到方程的右边，然后方程两边都加上，左边配成了完全平方式，右边是常数项，最后用直接开平方法求解即可； （2）先将一元二次方程化为一般式：求出值，再代入判别式判断根的情况，最后代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得，即， 两边开平方，得， 所以，； （2）将原方程化为一般形式，得， ，，， ， ， ，． 8．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 即， 配方，得， ， 解得：； （2）解：， ， 即， 因式分解，得， 或， 解得：． ▌知识点03：含参数一元二次方程的解法与讨论 含参方程需从三个维度讨论： 1. 参数在二次项位置时：需讨论a＝0（退化为一次方程）和a≠0（一元二次方程）两种情况，分别求解。 2. 参数在常数项或一次项位置时：通常用公式法或因式分解法求解，注意根据判别式讨论根的情况。 3. 解含参方程后需检验解的合理性：如解为分式形式时，需确保分母不为0。 典型题：解关于x的方程ax2－(a＋1)x＋1＝0（a为常数）。 解：当a＝0时，方程化为－x＋1＝0，解得x＝1；当a≠0时，用因式分解法得(ax－1)(x－1)＝0，解得x1＝，x2＝1。 综上：当a＝0时，解为x＝1；当a≠0时，解为x1＝，x2＝1。 9．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程．据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2026·江苏泰州·三模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，则， ∴等式两边同时乘以得，． 11．（2026·安徽安庆·一模）若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入原方程求解，再根据一元二次方程定义排除不符合条件的值即可得到结果． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得，解得． 又∵是关于的一元二次方程， ∴，即， ∴符合条件． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）当______时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数．据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． ▌知识点04：判别式与根的情况综合应用 判别式的综合应用包括三个层次： 1. 不解方程判断根的情况：计算Δ的符号即可。 2. 已知根的情况求参数的取值范围：由Δ>0（两不等实根）、Δ＝0（两相等实根）、Δ<0（无实根）列出关于参数的不等式（或等式），注意同时考虑二次项系数不为0。 3. 证明方程总有实数根：证明Δ≥0恒成立。 典型综合题：已知关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围。 解：由题意得且，解得 且。 注意：当题目说“有两个实数根”，包含相等情况（Δ≥0）；若说“有两个不等实数根”，则Δ＞0。 13．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 14．（2026·河南平顶山·三模）当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴原方程没有实数根． 15．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 16．（2026·甘肃天水·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 【答案】 2 【分析】因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，据此得到第一个关于的限制条件．因为一元二次方程有实数根，所以根的判别式，代入对应系数计算得到第二个关于的不等式．联立两个条件得到的取值范围，在范围内任选一个符合要求的值即可． 【详解】解：该方程是一元二次方程，因此， 因为方程有实数根， 所以， 解得， 因此只要取且的任意值都符合条件，比如． ▌知识点05：韦达定理与代数式求值的综合 韦达定理的综合应用包括： 1. 直接求两根之和与积； 2. 求对称代数式的值（如、、等），需熟练掌握常见变形公式； 3. 已知一根求另一根及参数； 4. 构造以两数和为S、积为P的新方程。 综合题中常将韦达定理与根的判别式结合：先由判别式确定参数范围，再用韦达定理求代数式的值。 典型题：已知方程的两根为一个直角三角形的两直角边，且斜边长为，求k的值。 解：设两根为，由韦达定理得，，由勾股定理得，即，解得或；当时，，无实根，舍去，故。 17．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对已知等式因式分解得到a与c的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根的数量关系。 【详解】解：∵ ， 对左边变形得 ， 即 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 得 ， 将代入一元二次方程， 得 ， 整理得 ， 对于一元二次方程，常数项为 ， 由根与系数的关系得 ． 18．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若方程组的两组解为，，则________． 【答案】 【分析】可把看作一元二次方程的两个根，另外由根的确定性可以得到两组解是方程的两个根互换，进而可以得到答案． 【详解】解：由方程组，可知和是一元二次方程的两个根， ∴两根之和，两根之积， ∵题目中两组解为和， ∴两组解是方程的两个根互换，即，，，， ∴， 代入，得：． 19．（25-26八年级下·浙江金华·期末）设，是方程的两个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后，整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系可得：，， 对所求代数式因式分解：， 整体代入得：原式． 20．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． ▌知识点06：几何图形类应用题综合（面积、围栏、道路、动点） 核心等量关系为几何图形的面积公式。 1. 围栏问题：一边靠墙，设垂直于墙的边为x，则平行于墙的边为总长－2x，面积S＝x(L－2x)，注意检验平行于墙的边是否超过墙长。 2. 道路问题：采用“平移法”，将道路平移至边缘，剩余面积＝大矩形面积－道路面积＋重叠部分面积。 3. 动点问题：设运动时间为t，用t表示线段长，根据面积公式列方程，注意t的取值范围。 解题关键：审清题意，画图分析，检验解的几何意义（如边长为正）。 21．（2026·山东聊城·二模）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的长为x步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题意用设出的长表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】∵设这块田地的长为步，宽比长少12步， ∴宽为步， ∵矩形面积长宽，已知矩形面积为864平方步， ∴可得方程 ， 故选：A． 22．（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）2026年4月，在成都举办的中国教育装备展示会上，正式发布了《中小学信息科技实验室建设与装备规范》．如图，某中学计划修建信息科技实验室，准备扩建一块长，宽的矩形场地，若该场地的长和宽都增加，则扩建后的矩形场地面积为．根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】由题意，扩建后的矩形场地长为，宽为，根据扩建后的矩形场地面积为列一元二次方程即可． 【详解】解：由题意，扩建后的矩形场地长为，宽为， ∴． 23．（2026·江西抚州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是BC边上的点，，点P是边上的动点，若是等腰三角形时，则________． 【答案】或或． 【分析】设，则，根据勾股定理结合矩形的性质用表示出、的长，根据是等腰三角形时，分腰长的不同情况列方程求解即可. 【详解】解：设，则， ∵在矩形中， ∴，， ， 又∵， ∴， ∴， ， ， 若是等腰三角形， ①当时，，解得：（负值已经舍去）， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：，（不合题意舍去） 综上所述：或或． 24．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． ▌知识点07：传播、增长率、循环类应用题综合 1. 传播问题：初始1人，每轮传染x人，经过n轮总人数为(1＋x)n。注意区分“总人数”与“新增人数”。 2. 增长率问题：基期a，平均增长率x，经过n期后b＝a(1＋x)n；下降率则为b＝a(1－x)n。 3. 循环问题：单循环总场次；双循环总场次。 解题关键：准确理解“轮次”、“增长率”、“单双循环”的含义，正确列出指数式或二次式。 25．（2026·江苏盐城·一模）随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需要与其余支球队各进行一场比赛， 又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为，因此可得方程． 26．（25-26九年级上·全国·阶段检测）“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解． 【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得 ， ， ， ∴或 解得或（舍去） 故答案为：． 27．（25-26八年级下·重庆·期末）某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为________． 【答案】 【分析】设这两个月产值的月平均增长率为x，根据题意得到二月份的产值为万元，三月份的产值为，进而列出方程求解即可． 【详解】解：设这两个月产值的月平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：x值为． 28．（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． ▌知识点08：新定义与规律探索类问题 1. 新定义问题：如“倍根方程”、“友好方程”等，需先准确理解定义，将其转化为常规的根与系数关系或判别式问题求解。 2. 规律探索：观察方程系数或根的变化规律，归纳第n个方程的形式。例如：观察x2－2x－3＝0的根为3和－1；x2－4x－5＝0的根为5和－1，猜想第n个方程为x2－2nx－(2n＋1)＝0，根为2n＋1和－1。解题关键：阅读理解能力，将新情境转化为数学语言。 29．（25-26九年级上·河南商丘·期末）对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 【答案】D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 30．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为81时，则的值为__________． 【答案】5或 【分析】根据给出的规律得到，则，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 即， 解得或． 31．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)1或 (3)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 32．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）观察下列由小黑点组成的图形： 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为， 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为________，小黑点总数为________； (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ 【答案】(1)10，30； (2)22． 【分析】（1）根据图4作答即可； （2）找出规律，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：图4中矩形框内小黑点个数为10，小黑点总数为30； （2）解：照此规律，图中矩形框内小黑点个数为， 小黑点总数为， 当时， 整理得， 解得（负值舍去）， 当时，， 即矩形框内小黑点个数是22． ▌全章训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷．某公司生产的一款扫地机器人年的销售量为万台，到年销售量达到万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“年的年销售量＝年的年销售量×（＋年销售量的平均增长率）”即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为， 依题意，得：． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列关于的方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程. 【详解】解：A选项中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； C选项中，含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D选项中，是分式，方程为分式方程，不是整式方程，不符合要求； B选项整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义. 6．（25-26八年级下·浙江金华·期末）下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．所以一元二次方程满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有，两个未知数，不符合定义，故A选项不符合题意； 选项B：方程是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故B选项符合题意； 选项C：方程中含未知数的项的最高次数为，是一元一次方程，不符合定义，故C选项不符合题意； 选项D：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故D选项不符合题意． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为288万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增长公式：增长后的量增长前的量增长率，分别表示出每个月的营业额，再结合三个月总营业额列方程即可． 【详解】设平均每月营业额增长率为， 月份营业额为万元， 月份营业额为，月份营业额为， 又月、月、月总营业额为万元， 可得方程． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 二、填空题 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 10．（25-26八年级下·重庆·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 11．（25-26八年级下·广西百色·期末）若为方程的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程的解满足方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：为方程的解 整理得 ． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）若是关于x的方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入方程，对等式左边因式分解，结合的条件，即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴把代入方程得， 整理得：， ∵， ∴，即． 13．（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 15．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【答案】2 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 16．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，若，，则________． 【答案】 【分析】根据题意，得，设，根据勾股定理，得，继而求得，根据勾股定理，得，故，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， ， ∴， ∴，， ∴， 解得，负的舍去，线段长不能为负， ∴， 根据勾股定理，得， ， 整理，得， 解得或，负的舍去，线段长不能为负， 故, 故； 三、解答题 17．（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 19．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 20．（25-26八年级下·广东汕头·期末）【阅读理解】 我们定义：①对于直线，我们把称为直线的斜率； ②平行四边形的一组对边所在直线的斜率均为，另一组对边所在直线的斜率均为即斜率互为相反数，则称该平行四边形为“对倾框”． 【知识应用】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，点在上． (1)已知“对倾框”的顶点为与轴的交点．则顶点、的坐标分别是________、________； 【拓展探究】 (2)点在上，点在上．问：是否存在以、、、为顶点的“对倾框”？若存在，求出点、的坐标；若不存在，说明理由； (3)将直线向上平移个单位长度得到直线；将直线向下平移个单位长度得到直线，设与交于点．点在上，点在上，且四边形为“对倾框”．若该“对倾框”的面积等于，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)存在，使得以、、、为顶点的“对倾框” (3)或或 【分析】（1）根据题意分别求得，，根据平行四边形的性质以及中点坐标求得的坐标； （2）根据新定义，分三种情况讨论，设，，分别求得的坐标，再验证四边形的两边所在直线的是否互为相反数，即可求解； （3）根据平移的性质求得直线与，进而求得的坐标，根据平行四边形的性质求得的中点坐标，进而表示出的坐标，根据和可得四边形是矩形，进而根据勾股定理分别求得的长，根据四边形的面积列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点为：与轴的交点． 当时， ∴； ∵一次函数和的图象相交于点， ∴ 解得： ∴ ∵“对倾框”是平行四边形 ∴的中点重合， 设的坐标为，又点在上． ∴ 解得： ∴ （2）解：存在以、、、为顶点的“对倾框” ∵点在上，点在上． 设， ①、为平行四边形的对角线，则 解得： 此时为，为 设直线的解析式为，代入，则，解得： 设直线的解析式为，代入，则，解得： 对边、所在直线的斜率，对边、所在直线的斜率，符合对倾框的要求 ②若、为平行四边形的对角线，则 解得： 此时为，为； 设直线的解析式为，代入，； ∴，解得：， 同理可得所在直线的斜率， 对边、所在直线的斜率，对边、所在直线的斜率，不符合“对倾框”的要求 ③若、为平行四边形的对角线，则 解得： 此时为，为 同理可得所在直线的斜率，所在直线的斜率， 对边、所在直线的斜率，对边、所在直线的斜率，不符合“对倾框”的要求， 综上所述，存在，使得以、、、为顶点的“对倾框” （3）直线向上平移个单位长度得到直线；则的解析式为： 将直线向下平移个单位长度得到直线，则的解析式为： ∵点在上，点在上，且四边形为“对倾框”． 联立 解得：，则， 当时，，则 根据“对倾框”的定义，该平行四边形的一组对边斜率为，另一组对边斜率为 点在上，点在上，这意味着构成平行四边形的四条边中，有两条边的斜率为，另外两条边的斜率为； ∵四边形为“对倾框”． 设的中点为，则 设， ∴①， ∵点在上，点在上 ∴， 代入得， ∴② 联立①②得，， ∴， ∴ ∵平行四边形的边的斜率分别为和 ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∵该“对倾框”的面积等于， ∴ 当时，即时， 解得：或 当时，即时， 解得：或（舍去） 综上所述，或或 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第二十五章一元二次方程全章综合训练 课时目标 系统梳理一元二次方程的概念、解法、判别式、韦达定理及实际应用，形成完整的知 识网络，能准确辨析易混概念与易错点。 2. 能根据方程特征灵活选择最优解法，综合运用判别式、韦达定理解决含参方程、代数 式求值、几何与代数综合等较复杂问题，提升运算与推理能力。 3. 能运用一元二次方程模型解决多类型实际应用问题，并能应对规律探索、新定义等开 放性综合题，体会方程思想在跨章节问题中的核心作用。 课时目录 知识点01：一元二次方程概念与系数识别的综合辨析 知识点02：四种解法的综合选择与灵活选用 知识点03：含参数一元二次方程的解法与讨论 知识点04：判别式与根的情况综合应用 知识点05：韦达定理与代数式求值的综合 1/15 知识点O6:几何图形类应用题综合（面积、围栏、道路、动点) 知识点07：传播、增长率、循环类应用题综合 知识点08：新定义与规律探索类问题 知识点01：一元二次方程概念与系数识别的综合辨逝 综合辨析需关注三个层面： 定义三要素：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2，三者缺一不可。 一般形式ax+br+c=0中，必须强调a≠0这一隐含条件，当题目说“关于x的方程 ar2+br+c=0”时，需分类讨论a=0(退化为一次方程)和a≠0两种情况。 各项系数的符号：系数包括符号，如方程2x2-3x-1=0中，a=2,b=一3，c=一1，而非 b=3、c=1。 典型辨析腿：已知(m-2)3-3x-1=0是关于x的一元二次方程，求m的值。 解：由m-3=2且m-2≠0，得m2=5且m≠2故m=±5。 1.(25-26八年级下·重庆沙坪坝期末)下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x2-x=0 B.x+2=0 C.x+y=2 D.x-1=2 2.(25-26八年级下·北京期末)若x=2是关于x的一元二次方程a2-bx+4=0的一个根，则 2026-2a+b的值是 3.(2026广东中考真题)已知方程x2+3x+c=0的一个根是1，则c=一. 4.(25-26八年级下浙江宁波期末)已知x=2是方程x2++1=0的一个根，则k的值为 知识点02：四种解法的综合选择与灵活选用 四种解法的优先级与适用场景： 2/15 直接开平方法：适用于(x+m)=n(n之0)型，速度最快，如(2x一1y=9。 因式分解法：适用于能通过提公因式、公式法、十字相乘法分解为(r+b(cr+)=0型的 方程，如x2-5x十6=0、x一1)x十2)=x一1（需先移项再分解）。 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，当其他方法不易求解时使用，如2x2-4x一1 =0。 配方法：一般不作为首选解法，但在推导求根公式、求代数式最值时有特殊优势。综合选 择原则：先观察方程结构，优先尝试直接开平方或因式分解，若不易分解再用公式法：含 参方程通常用公式法。 典型题：解方程3x一2}=12（直接开平方最简）；解方程x2-4x=5(移项后因式分解或 配方法)：解方程2x2-5x十1=0（公式法）。 5.(25-26九年级上·云南昆明开学考试)按要求解方程： (1)用配方法解方程：x2-2x-8=0 (2)用公式法解方程：2x2-5x-1=0 (3)用适当的方法解方程：x2+5x+4=0 6.(25-26八年级上·上海期中)解方程： 02r-5x-3=0 (②用配方法解方程： x(x-4)+1=2x 7.(25-26九年级上·山东菏泽期中)按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：x2-6x-11=0: (2)用公式法解方程：5x+2=3x2. 8.(25-26九年级上辽宁抚顺阶段检测)(1)解方程：x2-2x-1=0: x(3x-2)=2x2+48 (2)解方程： 知识点03：含参数一元二次方程的解法与讨论 3/15 含参方程需从三个维度讨论： 参数在二次项位置时：需讨论a=0(退化为一次方程)和α≠0（一元二次方程）两种情 况，分别求解。 参数在常数项或一次项位置时：通常用公式法或因式分解法求解，注意根据判别式讨论根 的情况。 解含参方程后需检验解的合理性：如解为分式形式时，需确保分母不为0。 典型题：解关于x的方程ax2-(a十1)x十1=0(a为常数)。 解：当a=0时，方程化为一x十1=0，解得x=1;当a≠0时，用因式分解法得(m一1)x 1 1)=0,解得x1=a,x2=1。 综上：当a=0时，解为x=1;当a≠0时，解为x1=a,2=1。 9,（25-26八年级上河北店山阶段检测)若关于x的方程(m-)r-x-1=0 一元二次方程，则m的取 值范围是() A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D.m≠0 1 10.(2026江苏泰州三模)已知a是方程x-2x-5=0的一个根，则代数式24+a的值为 11. （2026-安微安庆一模)若一元二次方程（a-2)r-2x+1= 的一个解为x=1,则“的值为 12.(25-26九年级上·江苏无锡阶段检测)当m=」 时，关于的方程(m-2列r2=5是一元二次方 程. 知识点04：判别试与根的情况综合应里 判别式△=b2-4ac的综合应用包括三个层次： 不解方程判断根的情况：计算△的符号即可。 已知根的情况求参数的取值范围：由△>0（两不等实根）、△=0（两相等实根）、△<0 (无实根)列出关于参数的不等式（或等式），注意同时考虑二次项系数不为0。 证明方程总有实数根：证明△≥0恒成立。 4/15 典型综合题：已知关于x的方程(k-)x-2c+k+2=0有两个实数根，求k的取值范围。 解：由恩意得k-1≠0且△=(2)-4(-1+2)=4-4+-2列=8-4≥0，解得 k≤2且k≠1。 注意：当题目说“有两个实数根”，包含相等情况（△≥0）；若说“有两个不等实数 根”，则△>0。 13.(2026江苏扬州中考真题)关于x的一元二次方程x2+c-1=0根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D,无法判断根的情况 14.(2026河南平顶山三模)当m>4时，关于x的方程x2=4x-m的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 15.(25-26八年级下·浙江宁波期末)若关于x的一元二次方程2x2-4x+a=0有两个相等的实数根，则a 的值为（) A.0 B.1 C.2 D.3 16。(2026-甘肃天水模拟预测)若关于x的一元二次方程a-1)r+2x+1= 有实数根，则a (写出一个满足条件的值). 知识点05：韦达定理与代数式求值的综合 韦达定理的综合应用包括： 直接求两根之和与积： 1.1 求对称代数式的值（如+、，、：一等），需熟练掌握常见变形公式： 已知一根求另一根及参数： 构造以两数和为S、积为P的新方程x2-Sx+P=0。 综合题中常将韦达定理与根的判别式结合：先由判别式确定参数范围，再用韦达定理求代 数式的值。 5/15 典型题：已知方程 x2-(k+1)x+k2+1=0 4 的两根为一个直角三角形的两直角边，且斜边长 为V5,求k的值。 解：设两根为小名，由韦达定理得5+5=k+1,西=寻+1 1 4 ，由勾股定理得 +=(5=5,▣*-2任+1-5 ,解得k=2或k=-6;当k=-6时， =k+-42+1=-8<0 无实根，舍去，故k=2。 17.(25-26八年级下浙江台州期末)若实数a,b,c满足a2b2-2abc+b2c2=0,且ab<0,则一元二 ax2+bx+c-a=0(a≠0) 次方程 的两个实数根，满足的数量关系是《) A.5=0 B=为 C.=-5 D.5=-1 [x+y=7 x=41 2=a2 18.(25-26九年级下山东济南自主招生)若方程组y=9的两组解为y=h, y2=b2,则 a,42+bb2= 19。(2526八年级下渐江金华期末)设，是方程-2x-1=0的两个根，则代数式+46的值 为一 20.(25-26八年级下江苏苏州期末)已知关于x的一元二次方程x2-6x+m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围： Q)若方程的两根为，5，且 =2x2 ，求m的值。 知识点06：几何图形类应用题综会（面积围栏道路动点） 核心等量关系为几何图形的面积公式。 围栏问题：一边靠墙，设垂直于墙的边为x,则平行于墙的边为总长一2x,面积S=x(L 6/15 2x),注意检验平行于墙的边是否超过墙长。 道路问题：采用“平移法”，将道路平移至边缘，剩余面积=大矩形面积一道路面积十重 叠部分面积。 动点问题：设运动时间为t,用t表示线段长，根据面积公式列方程，注意t的取值范围。 解题关键：审清题意，画图分析，检验解的几何意义（如边长为正）。 21.(2026山东聊城二模)南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八 百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方 步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的长为x步，则所列方程正确的是() A.x(x-12)=864 B.x+(x-12)=864 C.(x+12)=864 D.x+x+12)2=864 22.(25-26九年级下·贵州贵阳中考复习)2026年4月，在成都举办的中国教育装备展示会上，正式发布 了《中小学信息科技实验室建设与装备规范》，如图，某中学计划修建信息科技实验室，准备扩建一 块长12m,宽8m的矩形场地，若该场地的长和宽都增加xm,则扩建后的矩形场地面积为l65m2.根 据题意，可列方程为 12m 8m x习 23.(2026江西抚州模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E是BC边上的点， CE=2,点P是AB边上的动点，若△PDE是等腰三角形时，则AP= C 24.(25-26九年级上新疆鸟鲁木齐阶段检测)己知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm,点P从点 A开始沿AB边向点B以lcms的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cms的速度移动，若一 动点运动到终点，则另一个也随之停止 7/15 AP (I)如果P、卫分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2? (2)在(1)中，△PB的面积能否等于8cm2？说明理由. 知识点0：传播。增长率。循环类应用题综合 传播问题：初始1人，每轮传染x人，经过轮总人数为(1十x)。注意区分“总人数”与 “新增人数”。 增长率问题：基期a,平均增长率x,经过n期后b=a(1十x);下降率则为b=a(1一x)”。 n(n-1) 循环问题：单循环总场次2一；双循环总场次n(-)。 解题关键：准确理解“轮次”、“增长率”、“单双循环”的含义，正确列出指数式或二 次式。 25.(2026江苏盐城·一模)随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余 生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛·第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支 参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛.已知共进行8场比赛，且无任何重复对阵.若设参赛 球队总数为n支，则可列出关于n的方程为() n(n-)-28 A.n(n-)=28B.n(n+)=28C.2 n(n+)=28 D.2 26.(25-26九年级上·全国阶段检测)“水是生命之源，树是水的卫士，”为了更好地让大家珍惜树木， 小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红 一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了人 27.(25-26八年级下·重庆期末)某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月 份的产值达到72万元.设这两个月产值的月平均增长率为x,则x的值为 28.(25-26八年级下·陕西西安·期末)西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒 甲、礼盒乙.已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵100元.上一周，礼盒甲销售总额为9000元，礼盒乙销 8/15 售总额为6000元，且两款礼盒销售量相等 ()上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价12元，销量增加1件；礼盒乙每件提价40元，销量和上周一样. 调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多600元，求礼盒甲每件降价多少元？ 知识点08：新定义与规律探索类问题 新定义问题：如“倍根方程”、“友好方程”等，需先准确理解定义，将其转化为常规的 根与系数关系或判别式问题求解。 规律探索：观察方程系数或根的变化规律，归纳第个方程的形式。例如：观察x2一2x一3 =0的根为3和一1；x2-4x-5=0的根为5和一1，猜想第n个方程为x2-2x一(2+1)= 0,根为21十1和一1。解题关键：阅读理解能力，将新情境转化为数学语言。 29.(25-26九年级上：河南商丘·期末)对于实数，n,现定义一种运算“*”如下： m*n= m2+m+n(m≥n) n2+m+n(m<m,若x*(-2)=10,则实数x的值为() A.3或4 B.-4或8 C.8 D.3 30.(2026·浙江温州·模拟预测)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载 的图表给出了a+b展开式的系数规律。 ……。 (a+b)0=1 .....(a+b)=a+b …(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 …(a+b)4=+4ab+6a2b2+4ab3b4 当代数式x4-8x3+24x2-32x+16的值为81时，则x的值为 31.(25-26八年级下·安徽准北阶段检测)定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们 就称这两个方程为“同一根方程”.例如=4和(x-2x+3)= 有且只有一个相同的实数根x=2, 所以这两个方程为“同一根方程”. 9/15 ()根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是 (填序号) ox-ly=9:②2+5x+4=0,®x-4(x-2)=0 (2)若关于x的一元二次方程.x2-2x=0与x2+3x+m-1=0为“同一根方程”，求m的值： B)若关于的一元二次方程+r+c=0(a≠0 同时满足a+b+c=0和a-b+c=0,且与 (x+2)(x-n)=0 为“同一根方程”，求”的值. 32.(25-26八年级下·安徽准北期末)观察下列由小黑点组成的图形： 。 。。… ●° ●● 图1 图2 图3 图4 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为2x3=6, 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为3×4=12， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为4×5=20， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为 一，小黑点总数为 (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ 全章训练 一、选择题 1.(2526八年级下新江台州期末)关于的方程-2m+-1=0的两个根，。满足=2，且 x>五，则m的值为(） A.2 B.±3 C.3 D.-3 2.(25.26八年级下-山东威海期末)关于‘的方程“+x+C=0(a≠0)中，若a6,c满足4a+2b+c=0 和4a-2b+c=0,则该方程的根是() 10115 A.=2,x=0 B,=-4,5=4 C.=2,6=-2 D.无法确定 3.(25-26八年级下·浙江杭州期末)现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来 越便捷.某公司生产的一款扫地机器人2023年的销售量为160万台，到2025年销售量达到220万台， 设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为x,可列出的方程为() A.160(1-x)2=220 B.160(1+x)2=220 C.160(1-2x)2=220 D.160(1+2x)2=220 4.(2526八年级下安微安庆期未)关于一元二次方程+2x-4=0的根的情沉，下列说法正确的是 () A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 5.(25-26八年级下·陕西西安·期末)下列关于x的方程是一元二次方程的是() A.2x+5=0B.x2-3x=2 C.x+y=1 D.+1=1 6.(25-26八年级下·浙江金华期末)下列方程属于一元二次方程的是() A.x2+xy+2=0B.x2-4x+3=0 C.2(x+1)=0 D.+r=0 7.(25-26八年级下山东烟台期末)某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为288万 元，设平均每月营业额增长率为x,则下面所列方程正确的是() A.90x(1+x)2=288 B.90×(1-)2=288 C.90x1+2)=28 D.90+90x0+x)+90x1+}=288 8.(25-26八年级下山东烟台期末)已知关于x的一元二次方程x+bx+C=0的两个不相等的实数根分 别为a,P；关于x的一元二次方程x2+cx+b=0的两个实数根分别为a-l,B-l.则下列方程中，其两 11/15 实数根分别为a+山，B+1的是() A.x2-5x-3=0 B.x2-5x+3=0 C.x2+5x-3=0 D.x2+3x-5=0 二、填空题 9.(25-26八年级下陕西西安期末)若关于x的一元二次方程x2+x+3=0有一根为-1，则方程的另一 个根为一 10.(25-26八年级下·重庆期末)若关于x的一元二次方程x+x-2a=0有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是一· 11.(25-26八年级下广西百色期末)若a为方程x2+2x-9=0的解，则a2+2a-8的值为 12.(25-26八年级下浙江杭州期末)若b6≠0)是关于x的方程？++5b=0的一个根，则a+b的值 为 13.(25-26八年级下·吉林期末)已知关于x的一元二次方程2x2-4x+a=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是。 14。(25-26八年级下山东泰安期未)若关于*的一元二次方程m-2)r-2x+1=0 实根，则m的取值 范围是 15.(25-26八年级下·福建福州期末)已知一元二次方程 2x2-5x+m=0 的一个根为2，则m= 16.(25-26八年级下福建福州期末)如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接BE,过点A作 LE于点R,若DE=42,=5DE 4 ,则CE= 12/15 三、解答题 17.(25-26八年级下·甘肃嘉峪关期末)解方程： 0)2-5x=0 ； 2r-7x+6=0 6)x+3)°=2x+5 18.(25-26八年级下·浙江杭州期末)某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN,现利用围 墙和木栏围出一块矩形菜地ABCD,菜地左右两边各开一扇宽为1米的门.已知木栏总长为30米，左 右两边的门均不消耗木栏. M A D M 门 B (图1) (图2) (I)如图1，当AD≤MN时，设AB长为x米. ① BC 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围. ② 若围成的菜地面积为6平方米，求1B的长. 96 (2)如图2，当AD>MW时，围成的菜地面积是否可以达到121平方米？说明理由. 19.(25-26八年级下湖南长沙期末)定义：方程ax2+bx+c=0(aC≠0)与方程cx2+bx+a=0互为 “换位方程”.如一元二次方程2x2-3x-1=0的“换位方程”是-x2-3x+2=0.己知关于x的一元 13/15 x2+(2m+1)x+m-2=0 二次方程①： 其中m≠2 (1)写出方程①的“换位方程”： (2)求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根： 3)若方程0与其“换位方程”有且仅有一个公共根。，求这个公共根及m的值。 20.(25-26八年级下广东汕头期末)【阅读理解】 :y=kx+b 我们定义：①对于直线 ,我们把称为直线的斜率： ②平行四边形的一组对边所在直线的斜率均为《，另一组对边所在直线的斜率均为 -k(k≠0) 即斜率互 为相反数，则称该平行四边形为“对倾框”· 【知识应用】 如图，在平面直角坐标系中，次爵数=+2和5y=-+8的网象相交于点M,点4@，2)太4 上. V YA M M M M 图1 备用图1 备用图2 备用图3 (I)已知“对倾框”AMC 的顶点C为与轴的交点.则顶点C、D 的坐标分别是 【拓展探究】 ②点P在上，点巴在上.问：是否存在以O0.0)、M、P、0为顶点的“对倾框”？若存在，求 出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由： 3)将直线向上平移>0)个单位长度得到直线，将直线向下平移(>0)个单位长度得到直线上， 设与交于点M,.点在上，点2在5上，且四边形0M,2为“对倾框”.若该“对倾框” 的面积等于12，请直接写出t的值. 14/15 15/15