27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时 k的几何意义）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数k的几何意义，通过复习点在图象上则xy=k及k与图象位置关系，自然引入面积与k的关联，搭建代数到几何的学习支架。 以“观察—归纳—转化”为主线，从特殊点推导面积不变性培养几何直观，典例中割补法、和差倍型模型训练推理能力，分层作业与实践验证提升应用意识，助力学生系统掌握知识，教师高效教学。

27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时 k的几何意义） 教学设计 课题 27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时 k的几何意义） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 （1）理解并掌握反比例函数 （k≠0）中比例系数 k 的几何意义：过图象上任意一点作两坐标轴的垂线，所围矩形面积为 ，所围直角三角形面积为 ； （2）能借助 k 的几何意义由图形面积求 k 或由 k 求图形面积，逐步提高从函数图象中获取信息、转化图形面积的能力，体会数形结合与转化思想； （3）在探究面积不变性的过程中，训练观察、归纳与解决问题的能力，体会解析式与图象的联系，增强学习的乐趣。 教学重点 理解并掌握反比例函数中比例系数 k 的几何意义，即过图象上一点所作两垂线与坐标轴围成的矩形面积为 、直角三角形面积为 ，并能据此由面积求 k、由 k 求面积。 教学难点 熟练识别各类“如图”图形中的基本矩形与直角三角形模型，并灵活运用等面积转化（割补法）解决较复杂的面积综合问题。 教学方法 观察归纳、数形结合、转化思想、讲练结合 教学准备 多媒体课件、方格纸、直尺 课后练习 必做：针对训练、当堂巩固中基础题；选做：拓展探究与当堂综合题；实践：任取反比例函数图象上一点，画垂线围成矩形与直角三角形，验证面积分别为 、。 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习旧知 【复习旧知】 1. 若点 P（m，n）在反比例函数 的图象上，则 mn＝　　　　。 解：mn＝6。 2. 若反比例函数 的图象在第一、三象限，则点（k，−3）在第　　　　象限。 解：图象在一、三象限，k−1＞0，k＞1，点（k，−3）在第四象限。 3. 如图，△ABC 的三个顶点分别为（1，2）、（4，2）、（4，4），若反比例函数 在第一象限内的图象与 △ABC 有交点，则 k 的取值范围是　　　　　。 解：当图象过点（4，4）时 k 最小，过点（1，2）时 k 最大，故 的取值范围是 。 教师引导：第3题说明 k 的大小对应图象（双曲线）到原点、坐标轴的远近。那么，k 有没有“看得见”的几何含义呢？面积能否表示 k？我们今天来研究反比例函数中的 k 的几何意义。 (设计意图：通过复习旧知引入，借助 k 与图象位置的关系自然引入“面积与k”的研究方向。) 由 、k−1＞0 得点所在象限，求 的范围 由“点在图象上则xy=k”直接过渡到“矩形面积=xy”，让“k的几何意义=面积”的发现自然水到渠成，激活旧知、温故知新。 二、新知探究 k 的几何意义 【新知探究】k 的几何意义 问题：如图（反比例函数 ，点 P 在图象上），过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足与原点 O、两坐标轴围成一个矩形（图中阴影部分）。你能求出这个矩形的面积吗？ 解：如图取点 P（2，2）。矩形的长为 2、宽为 2，面积 ；又因为 2×2=4 恰等于反比例函数 中 k 的值，面积与 k 相等。 追问 1：若在图象上任取一点 P（，），过它作两轴垂线围成的矩形面积是多少？ 解：（k＞0 时）。 追问 2：若 k＜0，图象在第二、四象限，同样是矩形面积，结果是什么？ 解：矩形的长、宽分别为 、，面积 。 归纳总结（k 的几何意义）：过反比例函数 （k≠0）图象上任意一点 P，分别作 x 轴、y 轴的垂线，两垂足与原点分别围成的矩形、直角三角形的面积为： 矩形面积 ；　　直角三角形面积 。 该面积与点 P 的位置无关，即反比例函数图象上任意一点围成的矩形（直角三角形）面积是固定不变的——这就是反比例函数“面积的不变性”。 教师强调：求 k 的函数值、判别符号时，由图象所在象限确定 k 的正负；计算面积时统一用 |k|。 (设计意图：从特殊点出发，让学生通过“观察—计算—归纳”得到面积与 k 的关系，领悟 k 的几何意义“面积的不变性”，知识生成自然。) 算矩形面积 ，归纳 、 以特殊点到一般推导，让学生完整经历“算一算—变一变—说一说”的探究来领悟 k 的几何意义，渗透数形结合与从特殊到一般的数学思想。 三、新知应用 【新知应用】 1. 如图，反比例函数 的图象经过点 P，过 P 作两轴垂线围成的矩形面积为　　　　。 解：矩形面积 。 2. 如图，点 P 是双曲线 上的一个动点，过点 P 作 轴于点 B，则 △OPB 的面积为　　　　。 解：。 3. 如图，A、B 是双曲线 上的点，分别过 A、B 作 x 轴、y 轴的垂线段，S₁、S₂ 分别表示图中矩形的面积，阴影部分的面积为 1，若 S₁+S₂＝5，则 k 的值为　　　　。 解：S₁、S₂ 对应两矩形面积为 ，阴影面积为 1，故 ， 解得 。 4. 直线与双曲线交于 A、B 两点，P 是 AB 上的点，比较 △AOC、△BOD、△POE 的面积大小。 解：A、B 在双曲线上，；P 在直线 AB 上（不在双曲线上），围成矩形面积最大，故 。 求 、，列方程得 ，比较三角形面积 通过基础题巩固“面积=（或 ）”，熟练正向（k 求面积）与逆向（面积求 k）两种运用，同时辨析“点在双曲线上”与“点在直线上”的重要性。 四、典例精讲 例1 等面积转化 【典例精讲】例1：运用等面积转化求 k 与面积。 （1）点 A 是反比例函数 图象上一点，过点 A 作 轴于 B，E 为 x 轴上一点，△ABE 的面积为 5，求 k 的值。 解： 轴，△ABE 与 △AOB 等底同高，，故 ；由图知图象经过第二、四象限（k＜0）， ∴ 。 （2）在（1）的条件下，点 C、D 在 y 轴上，且 CD∥AB，求四边形 ABCD 的面积。 解：四边形 ABCD 可转化为两个与 △AOB 面积相等的图形，。 （3）在（1）的条件下，点 H 为反比例图象上一点，F 为 y 轴上一点，且 ，求 △HOF 的面积。 解：， 与 等底同高，；又 ， ∴ 。 方法点拨：遇到复杂图形，可把目标图形通过等面积（同底等高、同高等底）进行转化，使其与含原点的矩形或直角三角形建立联系，再用 k 的几何意义求解。 (设计意图：通过将目标三角形进行等面积转化，体会“同底等高（同高等底）”这一转化技巧，突破复杂图形面积的难点。) 用 列方程求 k，用等面积转化求 例1示范如何把复杂或不规则图形通过等面积转化还原到基本 k 几何模型，培养转化的数学眼光，突破面积综合题的难点。 五、典例精讲 例2 双曲线间面积 【典例精讲】例2：两函数图象之间的矩形、三角形面积。 （1）矩形 ABCD 中，AB⊥y 轴，BC∥x 轴，C、D 在 y 轴上，点 A、B 分别在 和 的图象上，求 ｜k｜ 的值。 解：由 k 的几何意义，、（矩形 OADE 在 y 轴左侧，面积取正）， ∴ 。 （2）点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 上，AB∥x 轴，C、D 在 x 轴上，四边形 ABCD 为矩形，求它的面积。 解：、，矩形 ABCD 介于两曲线之间， ∴ 。 （3）两个反比例函数 和 在第一象限的图象分别记为 、，设点 P 在 上， 轴于 A，交 于 B，求 △POB 的面积。 解：，， ∴ 。 （4）在反比例函数 （x＞0）的图象上任取一点 A，过点 A 作 x 轴（AB∥x 轴）交 （x＜0）的图象于点 B，C 是 x 轴上一点，连接 AC、BC，求 △ABC 的面积。 解：设 AB 与 y 轴交于点 D，∵ AB∥x 轴，， ∴ 。 方法点拨：“和型”面积=两矩（三角形）面积相加（两曲线分别在一、三象限、AB 在两曲线外侧）；“差型”面积=大图面积−小图面积（一曲线嵌套于另一曲线与轴之间）。 分加、减模型求 ，答案依次为 4、2、1、4 让学生掌握“双曲线间图形面积=两 k 几何面积的加减”，一题多变、由浅入深，建立完整的转化模型，训练数形结合与迁移能力。 六、典例精讲 例3 对称图形面积 【典例精讲】例3：关于原点对称的图形的面积（倍型）。 （1）如图，A、B 是函数 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x 轴，AC⊥x 轴，求 △ABC 的面积。 解：由 k 的几何意义，；∵ A、O、B 三点共线且 OA=OB， 轴于 C， ∴ 。 （2）如图，A、B 两点均在反比例函数 的图象上，线段 AB 经过原点 O， 轴于点 C，求 △ABC 的面积。 解：；∵ A、B 关于原点对称， ∴ 。 方法点拨：当图形关于原点对称时，图中“两半”面积相等，目标面积常为基本直角三角形（或矩形）面积的 2 倍或 4 倍。 由 与其他形面积关系求 、8 通过“对称—放大”模型，让学生体悟整体与部分、对称性与面积的关系，训练“倍型”面积转化的灵活性，深化 k 几何意义的应用。 七、典例精讲 例4 两点与原点围成的面积 【典例精讲】例4：A、B 是双曲线上的两点，坐标分别为 A（2，4）、B（4，2），求 △AOB 的面积。 解：由 A（2，4）、B（4，2），得反比例函数 。 方法一（割补法，补成矩形）：过 A、B 分别作 x 轴、y 轴的垂线，围成矩形 ODEC，则 ， 即 ， ∴ 。 方法二（分割法，作垂线转化）：过 A 作 AD⊥x 轴于 D，过 B 作 BE⊥x 轴于 E，则由 k 的几何意义， ，故 ； 。 归纳：求双曲线上两点与原点围成的三角形面积，常通过“割补法”补成矩形相减，或“作垂线”转化为梯形面积（S△AOB=S梯形ADEB），二者本质一致。 补成矩形相减得 ，用梯形转化再验证 两法对比让学生体会割补法与 k 几何意义在面积问题中融会贯通的内在一致性，学会选取最便捷的方法，培育转化与模型思想。 八、针对训练 【针对训练】 1. 点 A 是反比例函数 图象上的点，过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B，点 C 在 y 轴上，且 △ABC 的面积为 3，求 k。 解：△ABC 与 △AOB 等底同高，，|k|=6，由图知 k＜0，故 。 2. 若图中平行四边形的面积为 12（D 在 图象上，AD⊥x 轴），则 k＝　　　　。 解：平行四边形 ABOD 的高与相应的矩形相等，面积即矩形面积 。 3. △OAB 为等边三角形，点 B 在 x 轴正半轴上，反比例函数 的图象的一支经过点 A，求 △OAB 的面积。 解：△OAB 为等边三角形，由反比例函数图象过顶点 A 可得边与高的关系，列方程求出边长后按三角形面积公式求解。（依课件图形数据完成计算。） 4. 双曲线 经过平行四边形 OABC 的对角线交点，AD⊥OC，已知面积，求 k。 解：把平行四边形面积按对角线交点分割，转化为与 k 相关的矩形、直角三角形面积，建立关于 k 的方程求解。 5. 点 A、B 分别在 和 （位于第一象限）的图象上，分别过 A、B 向 x 轴、y 轴作垂线，阴影部分的面积为 18，则 k＝　　　　。 解：两矩形面积之差（阴影部分）为 ，所以 ，故 。 6. 点 B 在 ，C 在 （x＞0）的图象上，AB⊥x 轴，A 在 x 轴上，△ABC 的面积为 1，求 k。 解：转化为两直角三角形面积之差（或补形），由 |k|−1 的关系建立方程求解 k。 7. 点 B 在双曲线 上，点 A 在 上，AB∥x 轴，连接 OA、OB，若 △AOB 的面积为 3，则 ，故 k＝6。 解：。 8. 点 A 在 ，点 B 在 （x＜0），AC⊥y 轴，且 AC⊥AB，则 k 的值为　　　　。 解：由直角与两曲线关系，把图形补成矩形，利用两 k 几何面积与此矩形的等量关系建立方程求解 k。 9. 函数 与 的图象交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 x 轴垂线，垂足为 C、D，则四边形 ACBD 的面积为　　　　。 解：A、B 关于原点对称，四边形 ACBD 由 4 个等面积的基本三角形组成，面积为 。 10. A、B 是函数 图象上关于原点对称的任意两点，AC∥x 轴，BC∥y 轴，△ABC 的面积为 8，则 k＝　　　　。 解：△ABC 面积与由 确定的矩形面积关系为 ，故 。 11. 点 A、B 在反比例函数 图象上，点 A、B 的横坐标分别是 3 和 6，连接 OA、OB，求 △AOB 的面积。 解：A（3，2）、B（6，1），作 AD⊥x 轴、BE⊥x 轴，则 ， 。 (解析思路均在教材、课件的图形之上，结合 k 的几何意义直接列式求得，体现“面积—k”的双向转化。) 由 、 求 k 与面积，辨析点是否在双曲线上 变式训练覆盖“和差倍半”各类型与小综合，培养学生由图形自主识别 k 几何模型并灵活列式的分析能力，巩固转化思想。 九、拓展探究 【拓展探究】 1. 反比例函数 的图象经过矩形 OABC 对角线交点，分别与 AB、BC 交于点 D、E。 （1）若矩形 OABC 的面积为 16，则 k＝　　　　； 解：矩形面积与 相应建立等量关系，由矩形面积为 16 得 。 （2）若四边形 ODBE 的面积为 6，则 k＝　　　　。 解：四边形 ODBE 由两个 基本三角形拼成（或补形），面积 ，故 。 2. 平行四边形 OABC 的顶点 B 在 y 轴上，A 在双曲线 上，C 在双曲线 上，求平行四边形 OABC 的面积。 解：过 A 作 AE⊥y 轴于 E，过 C 作 CD⊥y 轴于 D，由 ABCO 为平行四边形可得 △ABE≌△OCD（AAS），故 ，， ∴ 。 3. 如图，过原点 O 的直线与 的图象交于第一象限的 A 点、第三象限的 B 点，过 A、B 分别作 轴于 C、 轴于 D，设 A（m，n），若 A 是 OC 的中点，求 △OBC 的面积。 解：A（m，n）在 上，；A 是 OC 的中点，得 C（2m，0）， ∴ 。 构造辅助垂线把平行四边形分割为 组合求面积、列方程求 k 在基本模型上叠加平行四边形、对角线、中点等条件，提升学生灵活构建 k 几何面积关系、列方程解决综合问题的能力。 十、当堂巩固 【当堂巩固】 1. 在函数 （x＞0）的图象上有三点 A、B、C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，围成的矩形的面积分别为 、、，则它们的大小关系是（　　C　　） 解析：三个矩形面积都等于 |k|=1，故 ，选 C。 2. P 是反比例函数 图象上一点，过 P 作 PB⊥x 轴于 B，点 A 在 y 轴上，△ABP 的面积为 2，则 k 的值为　　　　。 解：△ABP 与 △OBP 等底同高，面积 （k＞0），故 。 3. 已知 A 是反比例函数图象上一点，过 A 作 y 轴垂线，垂足为 B，连接 OA 并延长交反比例函数图象于点 C，连接 BC，若 △ABC 的面积为 6，则 k 的值为　　　　。 解：A、B、C 关系结合 k 几何意义，转化为 与三角形面积关系建立方程，得 。 4. B、C 分别是 和 的图象上的点，A 在 x 轴上，若 OABC 为平行四边形，求其面积。 解：平行四边形面积等于两反比例 k 几何面积之和 。 5. 反比例函数 、 在 x 轴上方的图象，OABC 是平行四边形，面积为 7，点 A、C 分别在两曲线上，则 的值为　　　　。 解：平行四边形面积即两 k 几何面积之差 ，故 。 6. 点 A 在函数 （x＞0），点 B 在 （x＜0），AB∥x 轴，BC⊥x 轴于 C，ABCO 为平行四边形，则 a 的值为　　　　。 解：由平行四边形与两曲线关系建立 |a| 与 |−3a| 的等量，求出 a 的值并按符号取舍。 7. 矩形 ABCD 的面积为 16，AB 在反比例函数 （x＞0）与 （x＜0）的图象上，求 a 的值。 解：矩形面积等于两 k 面积之和，，得 ，由图可判定取 （或由象限定符号）。 8. 双曲线 和 的图象如图，k₁＞k₂＞0，点 P 在 上，作 PC⊥x 轴、PD⊥y 轴，垂足分别为 C、D，与 交于 A、B，若阴影部分面积为 |k₁|−|k₂|，则 k 的值为　　　　。 解：阴影面积为两矩形之差，即 |k₁|−|k₂|，据此建立关系即可求得参数。（依课件图形完成计算） 9. △ABC 的顶点 A、B 均在反比例函数 的图象上，且 A、B 关于原点对称，点 C 在 y 轴上，AD⊥x 轴于 D，点 D 在点 C 右侧，若 △ABC 的面积为 S，求 k 的值。 解：由 A、B 关于原点对称及等底同高关系，把 △ABC 的面积转化为 k 几何面积（矩形 、三角形 ）的整数倍，建立关于 S 的方程求解；再由 A 在双曲线上（或图象所在象限）确定 k 的符号与取值。（图形具体数据以课件为准） 10. 在反比例函数 的图象上任取一点 A，作 AB∥x 轴，在 AB 上取点 B（−1，6），点 C 在 x 轴上，若 △ABC 的面积为 12，求 k 的值。 解：设 A（a，6）。∵ AB∥x 轴，，解得 ，故 A（−5，6）； 点 A 在 上，。 11. 矩形对角线交于坐标原点，四个顶点均在反比例函数 的图象上，设 A（a，b），a、b＞0，求矩形 ABCD 的面积。 解：由矩形关于原点对称，四个“半矩形”的面积都等于 ，故矩形 ABCD 的面积为 4|k|＝4ab；由 A（a，b）在 上得 ab=k（k 为具体值，见课件），据此代入即可。（此题重点训练对称性下的面积转化） (当堂第9、11题为综合提升，图形结构与数据以课件为准，重点考查“对称—分割—列方程”的 k 几何意义综合运用。) 判断 ，由面积列方程求 k，解综合面积题 通过由易到难、层层递进的当堂检测检验学生运用 k 几何意义解决面积问题的水平，及时查漏补缺、巩固提升。 十一、课堂小结 今天学习了反比例函数中 k 的哪些几何意义？ 1. 基本模型：过反比例函数 （k≠0）图象上任意一点 P，作两坐标轴的垂线， 围成的矩形面积 ，直角三角形面积 （面积与点 P 位置无关，即“面积的不变性”）； 2. 拓展模型：两函数图象间的矩形、三角形面积为对应 |k| 之和或之差；关于原点对称的图形面积为基本面积的 2 倍或 4 倍； 3. 转化思想：遇到复杂图形，用“割补法”“等面积转化”还原为基本矩形或直角三角形，再利用 k 的几何意义列方程求解。 4. 易错提醒：求 k 时要结合象限确定 k 的正负；计算面积时一律取 ；辨认图形中哪些点是“在双曲线上”的。 （知识结构图从“基本模型：矩形面积=、直角三角形面积=”与“拓展模型：和型、差型、倍型”两方面完整呈现，可据此系统回顾。） 复述 、 及和、差、倍型转化 通过结构化的课堂小结把本课核心整合为清晰的模型网络，强化面积不变性与转化思想，帮助学生形成系统的知识脉络。 十二、布置作业与思考题 布置作业： 必做：认真完成当堂巩固中的基础题（第1～6题），复习巩固 k 的几何意义； 选做：完成当堂巩固综合题（第9～11题）与拓展探究，体会转化思想； 实践作业：任取一个反比例函数图象上的一点，过它分别作 x 轴、y 轴的垂线，围成长方形与直角三角形，实际量算并验证面积分别等于 、。 思考题（操作）：两个反比例函数 、（0＜k₂＜k₁）在第一象限的图象依次记为 、，点 P 在 上，作 PC⊥x 轴、PD⊥y 轴，与 分别交于 A、B，说出：△OAC 与 △OBD 面积的关系、四边形 PAOB 的面积、PA 与 PB 是否总相等。 完成分层作业，实践量算 、，思考探究题 分层任务巩固基础、延伸能力，操作实践与思考题引导学生在图形变换中把握 k 几何意义的两条主线，培养自主探究与创新精神。 板书设计 27.2 反比例函数的图象和性质（k的几何意义） 主板书 一、k 的几何意义（基本模型） 过 上一点 P 作两轴垂线： 矩形面积 ＝ |k| 直角三角形面积 ＝ 面积与点的位置无关（面积不变性） 二、拓展模型 和型：两曲线间面积 ＝ |k₁|＋|k₂| 差型：嵌套图形面积 ＝ |k₂|−|k₁| 倍型：对称图形面积 ＝ 2|k| 或 4|k| 三、思想方法 转化：割补法 → 基本矩形/直角三角形 → 列方程 易错：取绝对值 |k|；由象限定 k 正负；辨点在曲线上 副板书 例题（例1—例4）板演 学生练习板演 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $