27.2反比例函数的图象和性质（第2课时 反比例函数的图和性质综合应用）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的对称性、跨象限函数值比较、k的几何意义及综合应用，通过复习旧知中象限分布与增减性，设疑跨象限能否用增减性比大小、面积是否有规律，制造认知冲突，衔接新知搭建学习支架。 特色在于以图像观察和推理推导为主，如旋转折叠探究对称性培养几何直观，分类讨论比大小发展推理意识，推导k几何意义建立面积模型。例题结合中考真题，提升学生数形结合能力，为教师提供系统教学资源和中考衔接素材。

27.2反比例函数的图象和性质 （第2课时 反比例函数的图象和性质的综合应用） （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第27章《反比例函数》，27.2反比例函数的图象和性质第二课时反比例函数的图象和性质的综合应用。.核心内容为：反比例函数图像的对称性（中心对称、轴对称）；跨象限函数值大小比较；反比例函数比例系数k的几何意义（矩形面积、三角形面积）；反比例函数与正比例函数交点特征；利用图像性质、k几何意义解决中档综合题型. 2. 内容解析 本节课是反比例函数单元的核心重难点课，第一课时学生仅掌握“象限分布、象限内增减性”基础性质，本节课对知识进行深度拓展与综合运用.通过图像观察、对称探究、面积推导，引出反比例函数最核心考点——k的几何意义，同时解决学生最大难点：不同象限点的函数值比较.同时结合正反比例函数交点问题，初步构建函数综合解题模型.本节内容是中考高频考点，承接基础图像性质，为后续27.3实际问题、反比例函数压轴几何综合题奠定核心解题工具，在单元知识体系中起到承上启下的关键作用. 基于以上分析，本节课的教学重点跨象限函数值大小比较；反比例函数中k的几何意义及应用；函数对称性的简单运用. 1. 教学目标 （1）掌握反比例函数图像的两种对称性；熟练掌握跨象限、同象限函数值大小比较方法；理解并掌握k的几何意义，能利用|k|求图形面积、由面积求k值；掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，能解决基础综合题型. （2）通过图像观察、推理推导、例题探究，经历性质综合应用的过程，提升数形结合能力、几何推理能力和综合解题能力. （3）体会反比例函数图像的对称美、数形结合的逻辑性，培养严谨、全面的数学思维，增强综合解题的信心. 2.目标解析 目标1在掌握基础性质的前提下，补齐反比例函数对称性、k几何意义、跨象限比大小三大必考知识点，构建完整的图像性质知识体系. 目标2突破学生“只会简单判断、不会综合分析”的短板，让学生具备识图、用图、数形转化、几何代数结合的综合解题能力. 目标3深度落实直观想象、数学推理、数形结合核心素养，适配新课标综合与应用的能力要求. 学生通过第一课时学习，已经掌握双曲线图像形态、象限分布、同一象限内增减性，具备基础识图能力.但学生存在三大突出薄弱点：1. 极易混淆同象限、跨象限比大小规则，惯性用增减性判断所有点；2. 对k几何意义陌生，无法理解为什么面积恒为定值；3. 缺乏数形综合思维，不会结合对称性、面积、函数值综合解题.本节课通过专项探究、典型例题纠错、规范解题步骤，针对性突破以上难点. 基于以上分析，确定本节课的教学难点灵活区分同象限、跨象限函数值比较方法；理解任意点面积恒等于|k|的原理；含参数、含面积的综合题型解题思路. 复习旧知、类比导入 复习回顾：反比例函数k>0、k<0的图像象限与增减性. 提问设疑：① 若两个点不在同一个象限，还能用增减性比大小吗？ ② 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的图形面积有什么规律？ 导入课题：本节课综合运用反比例函数图像性质，探究对称性、函数值比较、k几何意义综合应用. （设计意图：立足旧知制造认知冲突，精准点出本节课要解决的重难点问题，让学生带着问题听课，明确课堂探究目标，实现新旧知识自然衔接.） 探究点1：反比例函数图象性质应用 观察图像：双曲线绕原点旋转180°与自身重合→关于原点中心对称； 折叠观察：沿直线y=x、y=-x折叠重合→两条对称轴轴对称； 推论：正比例函数与反比例函数若有两个交点，则两个交点关于原点对称. 问题1：已知反比例函数的图象经过点A（一2，4). （1）这个函数的图象位于哪些象限？随的增大如何变化？ (2）点B(1，-8)，C(2号，-3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上? 追问1.已知反比例函数图象上的点，怎样求函数解析式？ 令函数解析式为y=，用待定系数法求出k. 追问2.反比例函数图象的位置由什么确定的，如何确定的？ 反比例函数y=图象的位置是由k确定了，当k>0时，图象在一三象限，当k<0时，图象在二四象限. 追问3.如何判断一点是否在反比例函数图象上？ 将点的坐标代入函数解析式，左右两边相等，点在函数的图象上. 解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点A（一2，4）在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，随x的增大而增大. (2）设这个反比例函数的解析式为y=，因为点A（-2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足y=，即4= 解得k=-8. 因此，这个反比例函数的解析式为y=- 因为点B，C的坐标都满足y=-，所以点B，C在这个函数图象上，点不在这个函数图象上. 探究点2 函数值大小比较综合方法 问题2.如图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(，）和点B(，）.如果>，那么和有怎样的大小关系? 追问1.已知反比例函数图象的位置，怎样判断函数解析式中k的符号？ 反比例函数图象y=，在第一三象限时，k>0；在第二、四象限时，k<0. 追问2.反比例函数图象的增减性？ 当k>0时，在第一、三象限内，y随x的增大而增大；当k<0时，在第二、四象限内，y随x的增大而减小. 解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 m-5>0. 解得 m>5. (2)因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小.因此当>时，<. 探究点3 比例系数k的几何意义 设点P(x,y)是双曲线y=(k≠0)上任意一点： 1. 过P作x、y轴垂线，围成矩形面积：S=|k|； 2. 围成直角三角形面积：S=|k|； 3. 核心结论：无论点在双曲线上哪个位置，面积恒为定值. 问题3:如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上． (1)求点B的坐标． (2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积． 【分析】（1）利用A的坐标得到B的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标； （2）过点B作轴交AC于点D，根据反比例函数的中心对称性得到C的坐标，从而求得直线AC解析式，进而求得D点坐标，然后根据求得即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为（1，6）， ∵点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到， ∴点B的横坐标为3， 将代入中，得， ∴点B的坐标为（3，2）； （2）过点B作轴交AC于点D，如图所示， 由题意，可知点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为（－3，－2）， 设直线AC解析式为y=kx+b， 将A、C代入得，， 解得， ∴直线AC的解析式为， 由题意，易得点D的纵坐标为2， 将代入中，得， ∴点D的坐标为（－1，2）， ∴． （设计意图：从教师示范到学生自主操作，自主归纳应用反比例函数的性质，避免死记硬背，突破重难点，落实数形结合思想.） 典型例题 例1.在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小． （1）函数经过哪些象限？ （2）求的取值范围． 【分析】（1）根据y随x的增大而减小，即可求解； （2）由（1）得：函数经过第一、三象限，可得到5-﹥0，即可求解． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象上，y随x的增大而减小 ∴函数经过第一、三象限， （2）∵函数经过第一、三象限， ∴5-﹥0， 即﹤5 例2.双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 【分析】根据B点的坐标，利用反比例函数解析式，求出A、C两个顶点坐标即可． 【详解】解：∵双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴， 当时，， ∴A（2，6）． ∵轴， 当时，，， ∴C（8，1.5）． ∴点D的坐标为（8，6）． (设计意图：通过不同形式的例题，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P71课堂练习. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.综合运用 如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， 把代入， 得， 反比例函数的函数表达式为； （2）解：当时， ， ， ， ， ， 又 ， 解得：， ， 点P坐标为； （3）解：存在； 理由如下： ①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作轴交x轴于， 则， 点； ②当点Q在x轴负半轴上时， 如上图，设与y轴交于点， ∵， ∴， 则， 解得：， ∴， 设直线表达式为，则有 ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． （设计意图：强化反比例函数的图象与性质） 1．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求△OAB的面积． 【解答】解：（1）由题意得：将点A（﹣1，6）代入，得：k＝﹣1×6＝﹣6， 所以反比例函数的表达式为， 将点B（m，﹣2）代入可得：， ∴B（3，﹣2）， 将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b 得：， 解得， 所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4； （2）如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C， 将y＝0代入一次函数y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2， ∴C（2，0）， ∴OC＝2， 由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2）， ∴△AOC的OC边上的高为|6|＝6，△BOC的OC边上的高为|﹣2|＝2， ∴△OAB 的面积为． 2．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 【解答】解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上， ∴，即k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0）， 把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线AC的解析式为y＝2x+4； 上式中，令x＝0，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ∴， 解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4， ∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD ＝10． 3．(2026年甘肃省武威市)如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 4．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 【解答】解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上， ∴，即k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0）， 把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线AC的解析式为y＝2x+4； 上式中，令x＝0，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ∴， 解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4， ∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD ＝10． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能:本节课掌握了反比例函数图像的中心对称、轴对称性质；掌握正反比例函数交点关于原点对称的结论；熟练掌握同象限看增减、跨象限看正负的函数值比较方法；理解并熟记k的几何意义，能快速求解双曲线对应矩形、三角形面积，能解决参数、面积、函数值综合基础题型. 思想方法:（1）数形结合思想：依托图像判断象限、正负、面积，以形助数；（2）分类讨论思想：对比大小时分同象限、跨象限分类讨论；（3）模型思想：建立k与面积的固定模型，实现快速解题；（4）对称转化思想：利用函数对称性简化交点问题计算. 易错提醒:（1）跨象限两点乱用增减性比较大小，必须先看正负；（2）求面积忘记加绝对值，出现负数面积；已知面积求k忘记分类正负；（3）忽略“任意一点面积恒为|k|”，误以为只有特殊点成立；（4）多个点比大小不分类，思维不全面导致结果错误. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题27.2第5、6题. 探究性作业：习题27.2第7题 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时） 一、图象性质应用 二、函数值比大小 三、k的几何意义 四、核心思想 五、易错警示 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $