27.3 实际问题与反比例函数（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

年级组

九年级

学科组

数学

主备人

审阅人

授课教师

授课时间

课  题

27.3 实际问题与反比例函数（第2课时）——选择函数模型

课   型

新授课

教学

目标

1.能根据实际情境中的变量关系，正确判断应选择正比例函数、一次函数、反比例函数还是二次函数模型。

2.经历分析实际情境、选择函数模型、建立函数关系式的过程，掌握选择函数模型的方法和依据，提高综合运用函数知识解决问题的能力。

3.在对比不同函数模型的过程中，体会各种函数的本质区别，培养分析问题和解决问题的能力，增强数学应用意识。

★核心素养：数学建模（选择合适的函数模型）、逻辑推理（分析变量关系判断函数类型）、应用意识（综合运用函数知识）

重点

根据实际情境中变量之间的关系，正确选择函数模型并建立函数关系式。

★关键：判断变量之间是"商一定"（正比例）、"和差关系"（一次）、"积一定"（反比例）还是"二次关系"（二次函数）

难点

区分一次函数和正比例函数、反比例函数和其他函数，在复杂情境中准确判断函数类型。

★突破策略：①分析变量之间的运算关系（是乘、除、加还是平方）；②看函数图象的形状（直线、双曲线、抛物线）；③通过列表观察数据变化规律

教学

方法

对比分析法、情境建模法、归纳总结法、讲练结合法

★学法指导：读题→分析变量关系→判断函数类型→建立模型→求解验证

教学过程设计

教

学

过

程

及

方

法

目标导学

二次备课

一、情境导入

1.复习回顾：我们学过哪些函数？它们的解析式和图象分别是什么？

①正比例函数y=kx（k≠0）——过原点的直线；

②一次函数y=kx+b（k≠0）——直线；

③反比例函数y=（k≠0）——双曲线；

④二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）——抛物线。

2.思考问题：面对一个实际问题，我们应该选择哪种函数模型呢？判断的依据是什么？

3.揭示课题：今天我们来学习如何根据实际情境选择合适的函数模型。

任务驱学

任务1：分析下列实际情境中两个变量的关系，判断属于哪种函数模型：

①汽车以60km/h匀速行驶，路程s与时间t的关系；

②汽车油箱有50L油，每小时耗油5L，剩余油量Q与时间t的关系；

③矩形面积为24cm²，长x与宽y的关系；

④正方形面积S与边长a的关系。

任务2：将上述四个情境的函数图象画在同一坐标系中（草图），观察它

二次备课

们的形状有什么不同。

任务3：总结选择函数模型的判断方法。

【设计意图】通过四个不同类型的实际情境对比，让学生学会根据变量关系判断函数类型。

二、合作探究

探究1  选择函数模型的判断依据

①正比例函数：两个变量的商一定（=k），即一个量增大另一个量按比例增大。图象是过原点的直线。

②一次函数：两个变量是线性关系（y=kx+b），即均匀变化。图象是直线（不一定过原点）。

③反比例函数：两个变量的积一定（xy=k），即一个量增大另一个量减小。图象是双曲线。

④二次函数：变量之间有二次关系（含x²项），图象是抛物线。

探究2  判断方法

①解析式法：根据题意列出关系式，看符合哪种函数的一般形式；

②图象法：根据数据画出图象，看图象的形状；

③表格法：观察数据变化规律——等差变化是一次函数，乘积一定是反比例函数。

★深度剖析：

①正比例函数是一次函数的特殊情况（b=0），判断时要看是否过原点；

②实际问题中，"匀速""单价不变"通常是正比例或一次函数，"面积、体积、路程一定"通常是反比例函数，"面积与边长""利润与涨价"通常是二次函数；

③选择模型后要注意自变量的取值范围要符合实际意义。

★易错点提示：

①不要把一次函数和正比例函数混淆，正比例函数必须过原点（b=0）；

②反比例函数的关键是"乘积一定"，不是"一个增大一个减小"（一次函数递减也是一个增大一个减小）；

③判断函数类型要先化简关系式，不能只看表面形式。

★数学思想渗透：

分类讨论思想：根据变量关系的不同类型分类选择函数模型；

数学建模思想：将实际问题转化为合适的数学模型；

对比思想：通过对比不同函数模型的特征来准确判断。

教

学

过

程

及

方

法

激思展学

例1  如图1，三个图象分别对应正比例函数、一次函数和反比例函数，根据图象回答：

（1）哪个图象是正比例函数？它的解析式是什么？

（2）哪个图象是一次函数？它与y轴的交点坐标是什么？

（3）哪个图象是反比例函数？k的值是多少？

解：（1）图象①是正比例函数y=2x，过原点，是直线。

（2）图象②是一次函数y=x+1，与y轴交于(0,1)。

二次备课