27.3 实际问题与反比例函数（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“选择函数模型”核心知识点，通过复习正比例、一次、反比例、二次函数的解析式与图象，引导学生思考实际问题中函数模型的选择依据，衔接已学函数知识，搭建从理论到应用的学习支架。 这份资料以对比分析法和情境建模法为特色，通过任务驱动学生分析匀速行驶路程与时间等实际情境，结合解析式、图象、表格法判断函数类型，培养数学建模与逻辑推理能力。实例丰富如利润问题，助学生掌握判断方法，提升应用意识，为教师提供清晰教学流程与实用策略。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 27.3 实际问题与反比例函数（第2课时）——选择函数模型 课 型 新授课 教学 目标 1.能根据实际情境中的变量关系，正确判断应选择正比例函数、一次函数、反比例函数还是二次函数模型。 2.经历分析实际情境、选择函数模型、建立函数关系式的过程，掌握选择函数模型的方法和依据，提高综合运用函数知识解决问题的能力。 3.在对比不同函数模型的过程中，体会各种函数的本质区别，培养分析问题和解决问题的能力，增强数学应用意识。 ★核心素养：数学建模（选择合适的函数模型）、逻辑推理（分析变量关系判断函数类型）、应用意识（综合运用函数知识） 重点 根据实际情境中变量之间的关系，正确选择函数模型并建立函数关系式。 ★关键：判断变量之间是"商一定"（正比例）、"和差关系"（一次）、"积一定"（反比例）还是"二次关系"（二次函数） 难点 区分一次函数和正比例函数、反比例函数和其他函数，在复杂情境中准确判断函数类型。 ★突破策略：①分析变量之间的运算关系（是乘、除、加还是平方）；②看函数图象的形状（直线、双曲线、抛物线）；③通过列表观察数据变化规律 教学 方法 对比分析法、情境建模法、归纳总结法、讲练结合法 ★学法指导：读题→分析变量关系→判断函数类型→建立模型→求解验证 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.复习回顾：我们学过哪些函数？它们的解析式和图象分别是什么？ ①正比例函数y=kx（k≠0）——过原点的直线； ②一次函数y=kx+b（k≠0）——直线； ③反比例函数y=（k≠0）——双曲线； ④二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）——抛物线。 2.思考问题：面对一个实际问题，我们应该选择哪种函数模型呢？判断的依据是什么？ 3.揭示课题：今天我们来学习如何根据实际情境选择合适的函数模型。 任务驱学 任务1：分析下列实际情境中两个变量的关系，判断属于哪种函数模型： ①汽车以60km/h匀速行驶，路程s与时间t的关系； ②汽车油箱有50L油，每小时耗油5L，剩余油量Q与时间t的关系； ③矩形面积为24cm²，长x与宽y的关系； ④正方形面积S与边长a的关系。 任务2：将上述四个情境的函数图象画在同一坐标系中（草图），观察它们的形状有什么不同。 任务3：总结选择函数模型的判断方法。 【设计意图】通过四个不同类型的实际情境对比，让学生学会根据变量关系判断函数类型。 二次备课 二、合作探究 探究1 选择函数模型的判断依据 ①正比例函数：两个变量的商一定（=k），即一个量增大另一个量按比例增大。图象是过原点的直线。 ②一次函数：两个变量是线性关系（y=kx+b），即均匀变化。图象是直线（不一定过原点）。 ③反比例函数：两个变量的积一定（xy=k），即一个量增大另一个量减小。图象是双曲线。 ④二次函数：变量之间有二次关系（含x²项），图象是抛物线。 探究2 判断方法 ①解析式法：根据题意列出关系式，看符合哪种函数的一般形式； ②图象法：根据数据画出图象，看图象的形状； ③表格法：观察数据变化规律——等差变化是一次函数，乘积一定是反比例函数。 ★深度剖析： ①正比例函数是一次函数的特殊情况（b=0），判断时要看是否过原点； ②实际问题中，"匀速""单价不变"通常是正比例或一次函数，"面积、体积、路程一定"通常是反比例函数，"面积与边长""利润与涨价"通常是二次函数； ③选择模型后要注意自变量的取值范围要符合实际意义。 ★易错点提示： ①不要把一次函数和正比例函数混淆，正比例函数必须过原点（b=0）； ②反比例函数的关键是"乘积一定"，不是"一个增大一个减小"（一次函数递减也是一个增大一个减小）； ③判断函数类型要先化简关系式，不能只看表面形式。 ★数学思想渗透： 分类讨论思想：根据变量关系的不同类型分类选择函数模型； 数学建模思想：将实际问题转化为合适的数学模型； 对比思想：通过对比不同函数模型的特征来准确判断。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 如图1，三个图象分别对应正比例函数、一次函数和反比例函数，根据图象回答： （1）哪个图象是正比例函数？它的解析式是什么？ （2）哪个图象是一次函数？它与y轴的交点坐标是什么？ （3）哪个图象是反比例函数？k的值是多少？ 解：（1）图象①是正比例函数y=2x，过原点，是直线。 （2）图象②是一次函数y=x+1，与y轴交于(0,1)。 （3）图象③是反比例函数y=，取点(2,3)，k=2×3=6。 【方法总结】根据图象形状判断函数类型：过原点的直线是正比例函数，一般直线是一次函数，双曲线是反比例函数。 图1 三种函数图象对比 例2 如图2，三个实际情境的图象如下，判断各对应哪种函数模型，并说明理由： ①匀速行驶的路程与时间；②油箱剩余油量与行驶时间；③面积一定的矩形长与宽。 解：①情境①的图象是过原点的直线，是正比例函数。理由：路程=速度×时间，速度一定时，路程与时间的商一定（=v）。 ②情境②的图象是不过原点的递减直线，是一次函数。理由：剩余油量=原有油量-耗油量，耗油量与时间成正比例，所以剩余油量与时间是一次函数关系。 ③情境③的图象是双曲线（第一象限一支），是反比例函数。理由：面积=长×宽，面积一定时，长与宽的积一定（xy=S）。 【方法总结】判断实际情境的函数模型，关键是分析变量之间的运算关系：商一定→正比例，线性关系→一次函数，积一定→反比例。 图2 实际情境的函数图象判断 例3 某商店销售一种商品，进价为每件10元，售价为每件x元，每天的销量为(50-x)件。设每天的利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）判断y是x的什么函数。 解：（1）每件利润为(x-10)元，销量为(50-x)件，所以y=(x-10)(50-x)=-x²+60x-500。 （2）y=-x²+60x-500是二次函数（a=-1≠0）。 【方法总结】利润问题中，利润=单件利润×销量，两个量都含x的一次式，乘积为二次式，所以通常是二次函数。 二次备课 展示交流，深化理解 1.学生展示例2的判断结果和理由，小组讨论是否正确； 2.讨论：一次函数和正比例函数有什么区别和联系？（正比例函数是特殊的一次函数，b=0；一次函数包含正比例函数） 3.教师强调： ①选择函数模型的关键是分析变量之间的运算关系； ②"乘积一定"是反比例函数的本质特征，不要被"一个增大一个减小"迷惑； ③实际问题中要注意自变量取值范围。 ★拓展思考：你能举出一个二次函数的实际例子吗？它和反比例函数有什么区别？（提示：二次函数含x²项，图象是抛物线；反比例函数是分式，图象是双曲线） 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：路程一定时，速度与时间成____函数关系；速度一定时，路程与时间成____函数关系。 2.判断：矩形周长一定时，长与宽成反比例函数关系。（　） 3.选择：下列实际情境中，y与x成反比例函数关系的是（　） A.圆的周长y与半径x B.正方形面积y与边长x C.路程一定时，时间y与速度x D.单价一定时，总价y与数量x 4.解答：如图2，若情境③中矩形面积改为36cm²，写出宽y与长x的函数关系式，并判断函数类型。 （答案：y=，反比例函数，x>0） 5.拓展：某商品进价20元，售价x元时销量为(100-2x)件，求利润y与x的函数关系式，并判断函数类型。 （答案：y=(x-20)(100-2x)=-2x²+140x-2000，二次函数） 【分层设计】1-3题为基础题，4题为中档题，5题为稍难题 二次备课 课 堂 小 结 1.四种函数模型：正比例（过原点直线）、一次（直线）、反比例（双曲线）、二次（抛物线）。 2.判断依据：商一定→正比例；线性关系→一次；积一定→反比例；含x²→二次。 3.判断方法：解析式法、图象法、表格法。 4.常见情境：匀速→正比例；剩余量→一次；面积、体积、路程一定→反比例；利润/面积最值→二次。 5.注意事项：先化简再判断，注意自变量取值范围。 6.数学思想：分类讨论、数学建模、对比分析。 ★知识网络：实际情境→分析变量关系→选择函数模型→建立解析式→求解应用 课后 作业 1.必做：课本27.3.2练习第1、2题；习题27.3第3、4题。 2.选做： ①自己设计三个实际情境，分别对应正比例、一次、反比例函数，并写出函数关系式； ②思考：反比例函数与一次函数的交点问题如何解决？（预习复习课） 3.预习：阅读课本第二十七章小结，梳理全章知识网络。 板 书 设 计 27.3 实际问题与反比例函数（第2课时）——选择函数模型 一、四种函数模型： 正比例 y=kx → 过原点直线（商一定） 一次函数 y=kx+b → 直线（线性关系） 反比例 y= → 双曲线（积一定） 二次函数 y=ax²+bx+c → 抛物线（含x²） 二、判断方法：解析式法、图象法、表格法 三、关键：分析变量运算关系 四、常见情境：匀速→正比例，剩余→一次，面积一定→反比例，利润→二次 五、数学思想：分类、建模、对比 课 后 反 思 教学反思 1.通过四种函数模型的对比，学生能较好地区分不同函数类型。 2.例2的三个实际情境图象帮助学生建立"图象形状→函数类型"的联系，效果好。 3.部分学生容易混淆一次函数和正比例函数，通过"是否过原点"的对比强化了区别。 4."乘积一定"是反比例函数的本质，通过多个例子反复强调，学生掌握较好。 5.利润问题得到二次函数，与之前学的二次函数形成呼应，知识体系更完整。 6.改进方向：可增加表格数据判断题，让学生通过数据变化规律判断函数类型，提高综合判断能力。 学科网（北京）股份有限公司 $