第一章 丰富的图形世界 单元自测卷 -2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学“丰富的图形世界”单元复习卷，聚焦几何体展开与折叠、三视图、立体图形搭建等核心知识，融合文化情境（如“中国玉雕之乡”正方体对面判断）与实践操作（长方体纸盒制作），适配单元基础巩固与空间观念、几何直观素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|几何体展开图识别（第1题）、正方体对面判断（第2题）、三视图分析（第4题）|结合地域文化情境，考查空间想象能力| |填空题|4/12|展开图相对面关系（第11题）、旋转体体积计算（第12题）|基础概念与计算结合，强化几何直观| |解答题|7/58|三视图作图（第15题）、长方体表面积与体积（第18题）、七巧板面积应用（第10题）|分层设计实践操作题，培养应用意识与创新思维|

第一章 丰富的图形世界基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A．B．C． D． 2．新情境  河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（   ） A．国 B．玉 C．雕 D．乡 3．如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（  ） A．B．C．D． 4．如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．一个立体图形从前面、左面、上面看到的形状如图，要搭这样的立体图形，至少要用（    ）个小正方体． A．11 B．9 C．8 D．7 6．马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次是（   ） A．3，， B．，，3 C．，，3D．，3， 8．如图1的每一个正方形上都写着一个数字，可折叠成如图2所示的正方体，将该正方体放在一个的正方形网格平台上，一次一个小格地按箭头所指的方向依次翻转，当正方体落在位置“”时，紧贴位置“”的一面上的数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 9．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，则水平面形状不可能是（    ）． A．三角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 10．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 12．长方形的长是20cm，宽是10cm．绕它的一边所在直线旋转所得的圆柱体的体积是_____．（结果保留π） 13．一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭成这样的立体图形，最少需要 _____个小正方体． 14．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图中对应位置画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若要使得从上面和正面看到的该几何体的形状图不变，最多可以添加_____个小立方块． 16．如图是10块棱长都为的正方体搭成的几何体． (1)分别画出从正面、从左面、从上面看到的所搭几何体的形状图； (2)所搭几何体的表面积（包括与桌面接触的部分）是______； (3)若想从上面看和从正面看的形状图不变，最多添加______个正方体． 17．如图，某直角三角形纸片两直角边分别为，将纸片绕着它的某条直角边所在的直线旋转，可以得到一个几何体． (1)如果把直角三角形纸片看成一个面，那么这一过程体现的数学原理是______，最终形成的几何体是______； (2)求最终形成几何体的体积（结果保留）． 18．如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 19．七年级数学活动课上，“探究小组”利用一个长为，宽为的长方形纸板制作长方体纸盒，如图是纸盒的平面展开图．请结合图形解决下列问题： (1)小组成员发现，他们剪开后的平面展开图无法拼成长方体，请你帮助他们直接在图中修改，使修改后的平面展开图可以拼成长方体纸盒．若有多余面，则把多余面涂黑；若还缺少，请直接在图中补全． (2)修改后的平面展开图，拼成长方体纸盒的体积为_______，表面积为_______（用含的代数式表示）； (3)当时，制作一个这样的长方体纸盒后，纸板还剩多少？ 20．（1）要将街心花园的路灯柱刷上白色的油漆（如图，圆柱的上、下底面不刷漆），要刷多少平方米？（得数保留一位小数．） （2）有个这样的路灯柱，如果刷油漆的人工费为每平方米元，一共需要人工费多少元？ 21．【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 丰富的图形世界基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体展开图可得答案． 【详解】解：根据几何体表面的展开图有2个面，一个圆是底面，一个曲面是侧面，可知该几何体是圆锥，所以D符合题意． 2．新情境  河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（   ） A．国 B．玉 C．雕 D．乡 【答案】A 【详解】解：由题意，可得“中”与“玉”“雕”“之”“乡”相邻， 所以“中”的对面汉字是“国”． 3．如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：这个几何体是： ． 4．如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了从不同方向看几何体等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据题意，画出所有可能情况，再确定小立方块不可能的个数． 【详解】解：根据从上面和左面看到的图形，可画出所有可能情况，如图： 小立方块的个数有三种情况：最多为个，最少为个，还有可能为个， 所以不可能是个， 故选：A． 5．一个立体图形从前面、左面、上面看到的形状如图，要搭这样的立体图形，至少要用（    ）个小正方体． A．11 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据观察物体的方法，结合从上面看到的形状可知，几何体底层有4个正方体，结合从前面和左面看到的形状可知，第一排为6个，第二排最少3个，即可解答． 【详解】解：最少要用小正方体个数如下： （个）， 即至少要用9个小正方体． 故答案为：B． 6．马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等． 根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【详解】解：∵八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， ∴每条侧棱的长为． 故选：C． 7．如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次是（   ） A．3，， B．，，3 C．，，3 D．，3， 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的定义． 根据正方体相对两个面上的文字得到A，B，C对应的数，进而根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：由正方体展开图可知A对应，B对应2，C对应1， ∵使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数， ∴． 故选：A． 8．如图1的每一个正方形上都写着一个数字，可折叠成如图2所示的正方体，将该正方体放在一个的正方形网格平台上，一次一个小格地按箭头所指的方向依次翻转，当正方体落在位置“”时，紧贴位置“”的一面上的数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键． 根据正方体的展开图可知，4的对面是3，5的对面是2，1的对面是6，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，4的对面是3，5的对面是2，1的对面是6， 当正方体落在位置“”时，紧贴位置“”的一面上的数字为5， 故选：C． 9．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，则水平面形状不可能是（    ）． A．三角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体，掌握正方体的截面形状是解题的关键．正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形． 故选：D． 10．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 【答案】 【分析】根据相对面上的数相等得到，进而可知的值． 【详解】解：∵相对面上的数相等， ∴， ∴． 12．长方形的长是20cm，宽是10cm．绕它的一边所在直线旋转所得的圆柱体的体积是_____．（结果保留π） 【答案】或 【分析】由于题目未说明是绕长方形的长还是宽旋转，所以需要分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： 当绕长为 的边所在直线旋转时，所得圆柱体底面半径，高， 根据圆柱体积公式得： ； 当绕宽为 的边所在直线旋转时，所得圆柱体底面半径 ，高， 根据圆柱体积公式得： ， 因此所得圆柱体的体积为或． 13．一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭成这样的立体图形，最少需要 _____个小正方体． 【答案】 【分析】从不同方向看几何体可知，上层有2个小正方体，下层有4个小正方体，相加即可求解． 【详解】解：由从上面看和从左面看到的形状可知，上层有2个小正方体，下层有4个小正方体， ∴搭成这样的立体图形至少需要小正方体（个）． 14．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查长方体的展开图．从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米．据此可得这个纸盒的容积． 【详解】解：从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后， 沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 故这个纸盒的容积是立方厘米． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图中对应位置画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若要使得从上面和正面看到的该几何体的形状图不变，最多可以添加_____个小立方块． 【答案】(1) 从正面和从左面看到的形状图如下： (2)4 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体． （1）根据从正面和从左面看到的形状画图即可． （2）挨个位置分析确定即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：可以在左侧列1的位置添加2个，右侧列1的位置添加2个这样的小立方体，这样才能保持从上面和从正面看到的形状图都不变．添加的小立方体的个数如图，故最多可以再添加个小立方体． 16．如图是10块棱长都为的正方体搭成的几何体． (1)分别画出从正面、从左面、从上面看到的所搭几何体的形状图； (2)所搭几何体的表面积（包括与桌面接触的部分）是______； (3)若想从上面看和从正面看的形状图不变，最多添加______个正方体． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) (3)3 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键． （1）根据几何体的特征可直接进行求解； （2）由（1）可知前后共有个小正方形面，左右有个小正方形面，上下也有个小正方形面，然后把这些小正方形的面积加起来即为几何体的表面积； （3）根据从上面看和从正面看的形状图不变确定每个位置最多的正方体数，再减去10即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴所搭几何体的表面积（包括与桌面接触的部分）是； （3）解：如图所示，每个位置最多的小立方体数如下所示，则最多添加个正方体． 17．如图，某直角三角形纸片两直角边分别为，将纸片绕着它的某条直角边所在的直线旋转，可以得到一个几何体． (1)如果把直角三角形纸片看成一个面，那么这一过程体现的数学原理是______，最终形成的几何体是______； (2)求最终形成几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)面动成体；圆锥 (2)最终形成几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体，理解题意是解决本题的关键． （1）根据面动成体可知，将直角三角形纸片绕它的某条直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥； （2）分两种情况确定出圆锥的底面半径和高，再根据圆锥的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将直角三角形纸片绕它的某条直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：面动成体，圆锥； （2）解：圆锥体积公式为（r为底面半径，h为高），分两种旋转情况： 情况1：绕的直角边（）旋转： 此时圆锥的高，底面半径， 代入公式得 ； 情况2：绕的直角边（）旋转： 此时圆锥的高，底面半径， 代入公式得 ． 综上所述，最终形成几何体的体积为或． 18．如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 19．七年级数学活动课上，“探究小组”利用一个长为，宽为的长方形纸板制作长方体纸盒，如图是纸盒的平面展开图．请结合图形解决下列问题： (1)小组成员发现，他们剪开后的平面展开图无法拼成长方体，请你帮助他们直接在图中修改，使修改后的平面展开图可以拼成长方体纸盒．若有多余面，则把多余面涂黑；若还缺少，请直接在图中补全． (2)修改后的平面展开图，拼成长方体纸盒的体积为_______，表面积为_______（用含的代数式表示）； (3)当时，制作一个这样的长方体纸盒后，纸板还剩多少？ 【答案】(1) 有多余的面，将图中涂阴影部分的面去掉即可； (2)，； (3) ． 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据长方体体积、表面积的计算方法进行计算即可； （3）求出长方体的表面积，再进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：将修改后的展开图折叠成的几何体是长为，宽为 ，高为 的长方体， 所以长方体的体积为，表面积为， 故答案为：，； （3）解：当，时，纸盒的表面积为， 纸板还剩， 答：纸板还剩． 20．（1）要将街心花园的路灯柱刷上白色的油漆（如图，圆柱的上、下底面不刷漆），要刷多少平方米？（得数保留一位小数．） （2）有个这样的路灯柱，如果刷油漆的人工费为每平方米元，一共需要人工费多少元？ 【答案】（1）平方米；（2）元 【分析】本题主要考查了长方体的表面积及圆柱侧面积的求法，要注意去掉圆的面积，盖住了喷不上；用到的知识点∶单价、数量和总价三者之间的关系． （1）根据图示可知∶刷漆的面积实际就是长方体的表面积去掉直径是圆的面积，再加上圆柱的侧面积，利用长方体的表面积公式及圆柱的侧面积计算公式可解∶ （2）用一个路灯桂刷漆的面积乘．求出个这样的灯柱刷漆的面积，然后乘每平方米人工费元即可求出一共需要的人工费用． 【详解】解：（1） （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 平方厘米平方米 答：要刷平方米． （2） （元） 答：一共需要人工费元． 21．【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 【答案】(1)①③④ (2)①16；②1000 (3)该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和展开图的特征判断即可； （2）①由条件得底面是正方形，求出边长后根据正方形周长公式即可得解； ②分别求出长方体的长宽高后根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案； 本题主要考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：16； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为， 高为， 宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $