25.3 第2课时 实际问题与一元二次方程课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，核心涵盖传播问题（传染、分裂）和平均变化率问题，通过特值分析法、表格梳理等方式，搭建从方程解法到实际应用的学习支架，帮助学生建立数量关系脉络。 其亮点是以生活实例（如流感传染、药品成本变化）为载体，通过表格抽象规律培养抽象能力（数学眼光），对比分析绝对与相对变化量发展推理意识（数学思维），总结通用公式构建模型（数学语言）。学生提升实际问题解决能力，教师获得结构化教学资源，便于高效教学。

第二十五章 一元二次方程 25.3 第2课时 实际问题与一元二次方程 学习目标 1.能根据传播问题中的数量关系列一元二次方程并求解； 2.能根据以生产成本变化为问题情境，讨论平均变化率的问题的数量关系列一元二次方程并求解. 重点：传播问题中的数量关系 难点：平均变化率的问题 典例解析 题型1 传染问题 例1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 第2轮 第1轮 注意：不要忽视病源A的二次传染. 第1轮传染后患病人数_______人; 特值分析法： 1.如果每轮每人传染2人. 第2轮传染后患病人数________________人. (1+2) 1+2+(1+2)×2 病源A 典例解析 题型1 传染问题 例1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第2轮 第1轮 第1轮传染后患病人数_______人; 第2轮传染后患病人数______________人. [1+x+(1+x)x] (1+x) ·· · · · ·· · · · · 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 规律发现 典例解析 题型1 传染问题 例1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? x1= , x2= . 解方程,得 答:平均一个人传染了_____个人. 10 -12 (不合题意,舍去) 10 解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人. (1+x)2=121 注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验. 补问：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 典例解析 题型1 传染问题 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数 第n轮传染后的人数 补问：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 三轮传染后:121+10×121=(10+1)3=113=1331(人) n轮传染后：(10+1) n=11n(人) n轮呢? 规律发现 病源为1人时，如果每轮传染中平均一个人传染了x个人 (1+x)1 (1+x)2 (1+x)3 (1+x)n 针对训练 1.2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 根据题意，得：（x+1）2=256， 直接开平方得x+1=±16， 解得x1=15，x2=-17， 经检验都是原方程的根，但x2=-17＜0不符合实际（舍去）， 答：每轮传染中平均每个人传染了15个人． 典例解析 题型1 传染问题 例2 有2人患了流感,经过两轮传染后共有288人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第1轮传染后患病人数_______人; 第2轮传染后患病人数_________________人. [2+2x+(2+2x)x] (2+2x) 2(1+x)2 2(1+x)2=288 解得 x1=11,x2=-13. (不合题意,舍去) 2(1+x) 答:每轮传染中平均一个人传染了11人. 针对训练 2.在古代有一部落，15位族人外出狩猎回来，其中有5个人染上了瘟疫，经过两轮传染后部落里共有125个人染上了瘟疫，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 根据题意，列出方程 5+5x+x(5+5x)=125， 整理得 5(1+x)2=125 解得 x1=4，x2=-6(不合题意，舍去) 答：每轮传染中平均一个人传染了4个人. 典例解析 题型2 分裂问题 例3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解:设每个支干长出x个小分支, 则 1+x+x2=91 即 解得, x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支. 针对训练 3.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73 B 归纳对比 知识点1 传染和分裂 1.在分析传染问题和分裂问题中的数量关系时它们有何区别？ 每名患者每轮都传染； 每个树枝只分裂一次. 2.解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）可利用表格梳理数量关系； （2）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 传播问题 探究新知 知识点2 增长率问题 1．小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，他第二次数学成绩是__________分，第三次数学成绩是___________分． 2．国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动，某品牌上衣原价是a元，第一次价格降低了15%，第二次价格又降低了15%，第一次促销活动中该上衣的价格是__________元，第二次促销活动中该上衣的价格是__________元． a (1+10%) a (1+10%)² a (1-15%) a (1-15%)² 填空： 典例解析 题型3 增长率问题 例4 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________元，根据题意，列出方程 5000(1-x) 5000(1-x)2 5000(1-x)2=3000 解得 x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去) 答：根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 强调：下降率不可为负，且不大于1. 典例解析 题型3 增长率问题 例4 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？ 比较：两种药品成本的年平均下降率. 类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程 6000(1-y)2=3600 解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%. (相同) 典例解析 题型3 增长率问题 例4 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 问：成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 成本下降额大的产品，其成本下降率不一定大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量,两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 探究新知 知识点2 增长率问题 方法总结： 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为 a(1±x) n=b(其中增长取“+”,降低取“－”) 针对训练 4.某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x)+200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 强调：增长率不可为负，但可以超过1. 针对训练 5.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率. 解：设原价为a个单位，每次降价的百分率为x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为 . 升为原来的 1.2倍 1.2a 1+x 归纳总结 增长(下降) 率问题 增长率 问题 下降率 问题 基数为 a, 平均增长/下降率为x 第一次增长 第二次增长 第n 次增长 第一次下降 第二次下降 第n次下降 a(1+x) a(1+x)2 a(1+x)n a(1－x) a(1－x)2 a(1－x)n a(1±x)n 增长率问题 作业布置 课堂作业:P24习题25.3的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $