25.3实际问题与一元二次方程（第2课时） 课件2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心讲解传播问题与增长率（下降率）问题的建模方法。通过传染病传播新闻情境导入，引导学生观察动态变化，借助表格梳理传播轮次中传染源、新增患者等数量关系，搭建从具体实例到抽象模型的学习支架。 其亮点在于以公共卫生、生活经济等真实情境培养数学眼光，通过“情境观察—分析变化—提炼关系—归纳模型”的探究过程发展数学思维，用表格梳理数据、公式规范表达培养数学语言。例如流感传播问题用表格呈现各轮数据变化，成本下降率问题对比绝对与相对变化量，课堂练习涵盖病毒传播、读书分享等多样情境。学生能提升建模与应用能力，教师可依托结构化流程和实例优化教学。

第25章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程（第2课时） 人教版（2024）九年级上册 01 02 03 掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元 二次方程模型；熟练运用平均下降率公式解决连续两次衰减类实际 问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去 不合理方程根 经历“情境观察一分析动态变化—提炼等量关系一归纳通用模型— 变式应用巩固”的探究过程，掌握动态变化类问题的建模方法，提 升分析连续变化数量关系的能力. 通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在 模型归纳与错题纠正中，养成严谨规范的解题习惯，增强数学应用 意识与探究信心。 教学目标 我们在新闻里经常看到传染病传播的报道，比如流感、诺如病毒，它们的传播速度非常快. 大家有没有想过：为什么一个人得病，很快就会有一群人被传染？ 这里面隐藏着什么数学规律？让我们一起探讨吧！ 新知导入 探究1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x 个人. 第一轮 第二轮 每轮平均1个人传染人的数量 被传染的总人数 x 1+x x 1+x+x(1+x) 新知讲解 探究1 解：列方程 1+x+x(1+x)=121. 解方程，得 x1​=10，x2​=−12 (不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人. 思考 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 由此体会阻断病毒传播的必要性. 解：两轮后传染121 人， 第三轮每人再传染 10 人： 121+121×10 = 1331 答：经过三轮传染后共有1331人被传染. 思考 如果按这样的传染速度，n轮传染后有多少人患了流感？ 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1·x = x (1+x)1 第二轮 1+x (1+x)·x 第三轮 第n轮 (1+x)2 (1+x)2·x (1+x)n-1 (1+x)n-1·x 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 1+x+(1+x)·x =(1+x)2 (1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3 (1+x)n 类型 等量关系 病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 传播问题的解题策略 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 下降率是下降的成本与前一年成本的比值. 下降率 = ×100% 下降前的量 –下降后的量 下降前的量 下降后的量=下降前的量×（1 – 下降率） 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10 000-6 000)÷2=2 000(元)， 乙种食品成本的年平均下降额为(12 000-7 200)÷2=2 400(元) . 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 但年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数）. 探究2 设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为  元， 两年后甲种食品成本为  元，于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考：为什么选择22.5%作为答案？ 因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1的正数，所以选择22.5%作为答案. 探究2 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 解：设乙种食品年平均下降率为 y . 可列方程：12000 (1−y)2 = 7200 化简得：(1−y)2 = = 0.6 . 直接开平方：1−y = ± . 解得：y1≈ 0.225 ，y2≈ 1.775（舍去） . 所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 探究2 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 因为 = 0.6 ， = 0.6 所以甲乙两种食品成本的年平均下降率相等。 x甲 = y乙 思考 成本下降额大的食品，它的成本下降率不一定大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 类型 等量关系 正增长、负增长 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. 增长率问题的解题策略 1.病毒A是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播.在某市人群密集区，因缺乏必要的预防措施，该病毒零号病人一天能传染x人，统计得到经过两天共有225人患病，求平均每天一人传染了多少人.根据题意，可列方程为（　A　） A. （1＋x）2＝225 B. 1＋x＋x2＝225 C. 1＋x＋（1＋x）2＝225 D. 1＋2x＝225 A 课堂练习 2. 某班级开展“读书分享”接力活动，1名同学先分享给x名同学，第一轮分享结束后，参与分享的同学又每人分享给x名未分享过的同学，两轮分享后，共有49名同学参与分享活动，则x的值满足的方程为（　A　） A. （1＋x）2＝49 B. x＋x2＝49 C. 1＋x＝49 D. x2＝49 A 3. 新能源汽车因节能、环保越来越受消费者的喜爱.某新能源汽车近几年销量逐年增加，2023年销量为95万辆，到2025年销量为120万辆.设年平均增长率为x，则可列方程为（　D　） A. 95（1－x）2＝120 B. 95（1＋2x）＝120 C. 120（1－x）2＝95 D. 95（1＋x）2＝120 D 4. 某类细胞在培养过程中，每个细胞每轮会分裂出相同数量的新细胞.现有一个该类细胞，经过两轮分裂后，细胞总个数达到121.设每轮每个细胞分裂出x个新细胞，则可列方程为 　（1＋x）2＝121，解得每轮每个细胞分裂出 　10　个新细胞. （1＋x）2＝121　 10　 5. 某新建工业园区今年6月提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计8月将提供岗位1815个.设7月、8月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　1501（1＋x）2＝1815　. 1501（1＋x）2＝1815　 6.新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2023年实现旅游收入1500万元，2025年该项收入达到2160万元，且从2023年到2025年，每年旅游收入的年增长率相同. （1） 求旅游收入的年增长率； 解：（1） 设旅游收入的年增长率为x. 依题意，得1500（1＋x）2＝2160， 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去）. ∴ 旅游收入的年增长率为20％ （2） 若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2026年的旅游收入为多少万元. 解：（2） 2160×（1＋20％）＝2592（万元）. ∴ 预计2026年旅游收入为2592万元 6.新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2023年实现旅游收入1500万元，2025年该项收入达到2160万元，且从2023年到2025年，每年旅游收入的年增长率相同. 实际问题与 一元二次方程 传播问题 增长率问题 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 课堂小结 25.3实际问题与一元二次方程（第2课时） 1.传播问题： 2.增长率问题： 板书设计 $