2.3 等腰三角形的性质定理（2） 课件 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形“三线合一”性质，通过课前复习性质定理1及推论搭建知识支架，结合折叠探究引导发现三线重合，分解命题逐步证明形成新知，衔接旧知与新知的逻辑脉络。 其亮点在于以折叠实验培养几何直观（数学眼光），通过命题分解证明发展推理能力（数学思维），规范几何语言表达（数学语言）。练习涵盖基础应用、实际问题（三角尺检查横梁水平）和尺规作图，小结用表格对比性质定理，帮助学生系统掌握，教师可直接用于课堂提升教学效率。

2.3 等腰三角形的性质定理（2） 2024浙教版 八年级上册 第2章 特殊三角形 学习目标 学习目标 （1）掌握等腰三角形的性质定理2：等腰三角形三线合一. （2）会利用等腰三角形的性质定理2进行简单的推理、计算. （3）等腰三角形的性质定理1和2的综合应用. 课前复习 【1】等腰三角形性质定理1： 等腰三角形的两个底角相等. 也可以说成在同一个三角形中，等边对等角. AB=AC（已知） ∵ ∴ ∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等） 几何语言： 【2】等腰三角形性质定理1的推论： 等边三角形的各个内角都等于60° 学习新知 探究：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是顶角平分线。将三角形沿AD所在的直线对折后再展开。在图中找出所有相等的线段和相等的角。 AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 相等的线段 相等的角 　 问题1 思考折痕AD有哪些特征？ AD是BC上的中线 AD是BC边上的高线 猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。 ▲ 学习新知 问题2 如何证明三条线段重合？你有什么方法？ 将其中一个条件作为已知条件，推导出另外两个结论。 追问：如果将“三线”中的一条线段作为条件，那么这个问题可以分解成哪些命题？ 1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AD是顶角的平分线，那么它也是底边上的中线和高线。 猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。 2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AD是底边上的高线，那么它也是底边上的中线和顶角的平分线。 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AD是底边上的中线，那么它也是底边上的高线和顶角的平分线。 探索新知 已知：如图，在ΔABC中，AB=AC，AD是顶角平分线. 求证：BD=DC. A B C D ∴ △ABD ≌△ACD AB=AC（已知） AD=AD（公共边） （SAS） 证明：在△ABD和△ACD中 ∵ ∠BAD=∠CAD（角平分线的定义） ∴ BD=DC（全等三角形的对应边相等） 【结论1】等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线互相重合. 探索新知 已知：如图，在ΔABC中，AB=AC，AD是顶角平分线. 求证：AD⟂BC. A B C D ∴ △ABC ≌△DEF AB=AC（已知） AD=AD（公共边） （SAS） 证明：在△ABD和△ACD中 ∵ ∠BAD=∠CAD（角平分线的定义） ∴ ∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应边相等） 【结论2】等腰三角形的顶角平分线和底边上的高线互相重合. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°（平角的定义） ∴ ∠ADB=180°÷2=90° ∴ AD⟂BC（垂直的定义） 新知学习 【新知】等腰三角形性质定理2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合. 简称：等腰三角形三线合一. AB=AC且∠BAD=∠CAD （1）∵ ∴ BD=DC，AD⟂BC（等腰三角形三线合一） 几何语言： A B C D AB=AC且BD=DC （2）∵ ∴ ∠BAD=∠CAD，AD⟂BC（等腰三角形三线合一） AB=AC且AD⟂BC （3）∵ ∴ ∠BAD=∠CAD，BD=DC（等腰三角形三线合一） 学习新知 练习1 在△ABC中，AB=AC，点D在BC上。 (1)如果AD⊥BC，那么∠BAD=∠　　　　，BD=　　　　;  (2)如果∠BAD=∠CAD，BC=6 cm,那么∠BDA=　　　　°，BD=　　　cm;  (3)如果BD=CD，那么∠BAD=∠　　　　，AD⊥　　　　。  CAD CD 90 3 CAD BC 学习新知 练习2（书本66页 课内练习 第1题 ）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AD上的一点，EF⊥AB，EG⊥AC，F，G分别为垂足。 求证：EF＝EG。 证明：因为AB＝AC，AD⊥BC( 已知 )， 所以AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）， 因为EF⊥AB于E，EG⊥AC于G， 所以EF＝EG。 学习新知 练习3（书本66页 课内练习 第2题） 将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？ 因为图中的三角尺是等腰三角形。当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。如果重锤线偏离中点，则横梁不水平。 学习新知 例3 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC，求证：AD⊥BC。 证明：延长AD，交BC于点E。因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）， 而AD=AD（公共边），∠ADB=∠ADC（已知）， 所以 △ABD≌△ACD （ASA）， 所以AB=AC（全等三角形的对应边相等）， 所以△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）， 因为AE是等腰三角形ABC顶角的平分线， 所以AE⊥BC （等腰三角形三线合一）， 即AD⊥BC。 学习新知 练习4（书本67页作业题B组第4题 ）已知:如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且DE=AE。求证:DE//AC。 ∠BAD＝∠CAD AD平分∠BAC ∠BAD＝∠ADE DE=AE AB =AC AD是BC边上的中线 DE//AC ∠CAD＝∠ADE 学习新知 练习4（书本67页作业题B组第4题 ）已知:如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且DE=AE。求证:DE//AC。 证明：因为AB=AC，AD是BC上的中线， 所以AD为顶角∠BAC的平分线， 所以∠BAD＝∠CAD， 又因为DE=AE， 所以∠BAD＝∠ADE ， 所以∠CAD＝∠EDA， 所以DE∥AC（内错角相等，两直线平行）。 学习新知 例4 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC边上的高线长为h。 B C D A？ 图2-22 A 作法: 1. 作线段BC=a。 2. 作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D。 3. 在直线l上截取DA=h，连结AB， AC。 △ABC就是所求作的等腰三角形。 B C D · A l 学习新知 【练习5】如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线，P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP并延长交BC于点E，连结BP并延长交AC于点F.求证：(1)∠CAE＝∠CBF.(2)AE＝BF. 【解析】(1)∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴CA＝CB，∠ACP＝∠BCP.又∵PC＝PC， ∴△ACP≌△BCP(SAS)． ∴∠CAE＝∠CBF. 课堂小结 回顾本节课的内容，我们学习了哪些知识？ 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 符号语言：1.因为AB=AC，AD平分∠BAC， 所以BD=DC，AD⊥BC。 2.因为AB=AC，AD⊥BC， 所以AD平分∠BAC，BD=DC。 3.因为AB=AC，BD=DC， 所以AD平分∠BAC，AD⊥BC。 课堂小结 文字叙述 符号语言 定理1 等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。 定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、高线互相重合（简称等腰三角形三线合一）。 因为AB=AC， 所以∠B=∠C 因为AB=AC，∠BAC=∠CAD， 所以AD⊥BC，BD=CD 等腰三角形的性质定理 课堂小结 EVCapture4.2.3.170软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn (2)在△ACE和△BCF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAE＝∠CBF，,AC＝BC，,∠ACE＝∠BCF，)) ∴△ACE≌△BCF(ASA)．∴AE＝BF. $